Topologie générale/Exercices/Connexité

Connexité
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Exercices no5
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Connexité

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Espaces complets
Exo suiv. :Dénombrabilité
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Topologie générale/Exercices/Connexité
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ConnexitéModifier

Exercice 1Modifier

Dans  , soit   un sous-espace affine de dimension  . Quel est le nombre de composantes connexes de   ?

Exercice 2Modifier

Une application f d'un espace topologique X dans un ensemble Y est dite localement constante si tout point de X possède un voisinage sur lequel f est constante.

  1. Soient   un ouvert de   et   dérivable et de dérivée nulle. Montrer que   est localement constante.
  2. Montrer que si une application   est localement constante alors elle est constante sur chaque composante connexe de  .

Exercice 3Modifier

Soit   et   deux parties d'un espace topologique  .

  1. Montrer que si   et   sont fermés dans   et si   et   sont connexes, alors   et   sont connexes.
  2. Trouver un contre-exemple pour   ou   non fermé.
  3. Montrer que si   et   sont connexes et si   est non vide, alors   est connexe.

Exercice 4Modifier

Soit   un espace connexe et localement connexe. Soient   et   deux fermés de   non vides et disjoints. Montrer qu'il existe une composante connexe de   dont l'adhérence rencontre à la fois   et  .

Exercice 5Modifier

Soient   un intervalle réel et   une injection continue. On pose   et  .

  1. Montrer que   est un intervalle.
  2. En déduire que   est monotone.

Exercice 6Modifier

  1. Soit  . Montrer qu'il existe deux fonctions continues distinctes   dont le graphe est inclus dans Z et contient  .
  2. Soient   un espace topologique quelconque,   un espace séparé,   une application continue,   son graphe et   un point de ce graphe.
    On suppose que G est ouvert dans une certaine partie Z de V×F (pour la topologie induite sur Z). Montrer qu'alors, sur tout connexe de V contenant  ,   est la seule application continue dont le graphe est inclus dans Z et contient  .

Connexité par arcsModifier

Exercice 7Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Courbe sinus du topologue ».

Soit   le graphe de l’application   :  . Montrer que   est connexe mais pas connexe par arcs.

Exercice 8Modifier

Montrer que le groupe topologique SO(3) des matrices de rotation en dimension 3 est connexe par arcs.

Remarque : il en résulte évidemment que le groupe orthogonal O(3) a deux composantes connexes par arcs : SO(3) et son complémentaire.

Exercice 9Modifier

Soit   un ouvert connexe de  .

  1. Montrer que   est connexe par arcs polygonaux.
  2. Soit   une droite de  . Montrer que   est connexe.

Exercice 10Modifier

  1. Montrer que pour deux points distincts quelconques   et   du plan, il existe une famille   de chemins dans le plan de   à  , polygonaux, et tels que les   soient disjoints deux à deux.
  2. En déduire que pour toute partie au plus dénombrable   du plan,   est connexe par arcs polygonaux.
  3. Montrer de même que   est connexe par arcs C.