Topologie générale/Exercices/Espaces complets
Exercice 1Modifier
Soient un espace métrique complet non vide et une application (non nécessairement continue) dont une itérée est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :
- possède un unique point fixe ;
- toute suite dans vérifiant converge vers , à une vitesse au moins géométrique.
Solution
Soit l'unique point fixe de .
- Unicité : tout point fixe par est fixe par donc est égal à .
- Existence : posons . Alors, donc est fixe par . Par conséquent, il est égal à , c'est-à-dire que .
- Convergence : la suite des converge vers car chacune des sous-suites , pour de à , converge vers . De plus, la convergence de chacune des sous-suites étant au moins géométrique de raison la constante de Lipschitz de , la convergence de la suite est au moins géométrique de raison .
Exercice 2Modifier
Soient et deux espaces métriques et leur produit, avec (par exemple) . Montrer qu'une suite dans est de Cauchy si et seulement si les deux suites (dans ) et (dans ) sont de Cauchy.
Solution
- Si est de Cauchy alors pour tout , il existe tel que , c.-à-d. et . Ainsi, les deux suites et sont de Cauchy.
- Réciproquement, si elles le sont alors pour tout , il existe tel que et il existe tel que . En posant , on obtient : . Ainsi, la suite est de Cauchy.