Topologie générale/Exercices/Espaces complets
Exercice 1
modifierSoient un espace métrique complet non vide et une application (non nécessairement continue) dont une itérée est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :
- possède un unique point fixe ;
- toute suite dans vérifiant converge vers , à une vitesse au moins géométrique.
Solution
Soit l'unique point fixe de .
- Unicité : tout point fixe par est fixe par donc est égal à .
- Existence : posons . Alors, donc est fixe par . Par conséquent, il est égal à , c'est-à-dire que .
- Convergence : la suite des converge vers car chacune des sous-suites , pour de à , converge vers . De plus, la convergence de chacune des sous-suites étant au moins géométrique de raison la constante de Lipschitz de , la convergence de la suite est au moins géométrique de raison .
Exercice 2
modifierSoient et deux espaces métriques et leur produit, avec (par exemple) . Montrer qu'une suite dans est de Cauchy si et seulement si les deux suites (dans ) et (dans ) sont de Cauchy.
Solution
- Si est de Cauchy alors pour tout , il existe tel que , c'est-à-dire et . Ainsi, les deux suites et sont de Cauchy.
- Réciproquement, si elles le sont alors pour tout , il existe tel que et il existe tel que . En posant , on obtient : . Ainsi, la suite est de Cauchy.