Topologie générale/Exercices/Espaces complets

Espaces complets
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Exercices no4
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Complétude

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Espaces métriques
Exo suiv. :Connexité
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Topologie générale/Exercices/Espaces complets
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Exercice 1Modifier

Soient   un espace métrique complet non vide et   une application (non nécessairement continue) dont une itérée   est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :

  •   possède un unique point fixe   ;
  • toute suite   dans   vérifiant   converge vers  , à une vitesse au moins géométrique.

Exercice 2Modifier

Soient   et   deux espaces métriques et   leur produit, avec (par exemple)  . Montrer qu'une suite   dans   est de Cauchy si et seulement si les deux suites   (dans  ) et   (dans  ) sont de Cauchy.