En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Établissement de formules 2Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Démontrer les identités suivantes :
1°
tan
2
a
−
tan
a
=
tan
a
cos
2
a
{\displaystyle \tan 2a-\tan a={\frac {\tan a}{\cos 2a}}}
;
2°
tan
2
a
−
tan
a
=
2
sin
a
cos
a
+
cos
3
a
{\displaystyle \tan 2a-\tan a={\frac {2\sin a}{\cos a+\cos 3a}}}
;
3°
sin
2
a
=
2
tan
a
+
cot
a
{\displaystyle \sin 2a={\frac {2}{\tan a+\cot a}}}
;
4°
2
tan
2
a
1
+
tan
4
a
=
tan
2
2
a
2
+
tan
2
2
a
{\displaystyle {\frac {2\tan ^{2}a}{1+\tan ^{4}a}}={\frac {\tan ^{2}2a}{2+\tan ^{2}2a}}}
.
Solution
1° D'après l'exercice 4-3,
tan
2
a
−
tan
a
=
sin
a
cos
2
a
cos
a
=
tan
a
cos
2
a
{\displaystyle \tan 2a-\tan a={\frac {\sin a}{\cos 2a\cos a}}={\frac {\tan a}{\cos 2a}}}
.
2°
2
sin
a
cos
a
+
cos
3
a
=
sin
a
cos
2
a
cos
a
=
tan
a
cos
2
a
{\displaystyle {\frac {2\sin a}{\cos a+\cos 3a}}={\frac {\sin a}{\cos 2a\cos a}}={\frac {\tan a}{\cos 2a}}}
(
=
tan
2
a
−
tan
a
{\displaystyle =\tan 2a-\tan a}
d'après 1°).
3°
tan
a
+
cot
a
=
sin
2
a
+
cos
2
a
cos
a
sin
a
=
2
sin
2
a
{\displaystyle \tan a+\cot a={\frac {\sin ^{2}a+\cos ^{2}a}{\cos a\sin a}}={\frac {2}{\sin 2a}}}
.
4°
tan
2
2
a
=
4
tan
2
a
(
1
−
tan
2
a
)
2
{\displaystyle \tan ^{2}2a={\frac {4\tan ^{2}a}{\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}}}}
donc
tan
2
2
a
2
+
tan
2
2
a
=
4
tan
2
a
2
(
1
−
tan
2
a
)
2
+
4
tan
2
a
=
2
tan
2
a
1
+
tan
4
a
{\displaystyle {\frac {\tan ^{2}2a}{2+\tan ^{2}2a}}={\frac {4\tan ^{2}a}{2\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}+4\tan ^{2}a}}={\frac {2\tan ^{2}a}{1+\tan ^{4}a}}}
.
Démontrer les formules suivantes :
1°
1
−
cos
a
1
+
cos
a
=
tan
2
a
2
{\displaystyle {\frac {1-\cos a}{1+\cos a}}=\tan ^{2}{\frac {a}{2}}}
;
2°
1
−
sin
a
cos
a
=
cos
a
1
+
sin
a
=
tan
(
π
4
−
a
2
)
{\displaystyle {\frac {1-\sin a}{\cos a}}={\frac {\cos a}{1+\sin a}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {a}{2}}\right)}
;
3°
1
−
sin
a
1
+
sin
a
=
tan
2
(
π
4
−
a
2
)
{\displaystyle {\frac {1-\sin a}{1+\sin a}}=\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {a}{2}}\right)}
.
Soient
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
deux réels tels que
cos
p
cos
q
≠
0
{\displaystyle \cos p\cos q\neq 0}
. Démontrer que :
1°
tan
p
+
tan
q
=
sin
(
p
+
q
)
cos
p
cos
q
{\displaystyle \tan p+\tan q={\frac {\sin(p+q)}{\cos p\cos q}}}
;
2°
tan
p
−
tan
q
=
sin
(
p
−
q
)
cos
p
cos
q
{\displaystyle \tan p-\tan q={\frac {\sin(p-q)}{\cos p\cos q}}}
.
Solution
On a
(
tan
p
+
tan
q
)
cos
p
cos
q
=
sin
p
cos
q
+
sin
q
cos
p
=
sin
(
p
+
q
)
{\displaystyle \left(\tan p+\tan q\right)\cos p\cos q=\sin p\cos q+\sin q\cos p=\sin(p+q)}
, d'où 1°. 2° s'en déduit en remplaçant
q
{\displaystyle q}
par
−
q
{\displaystyle -q}
, ou se démontre de même.
Démontrer que pour tout réel
α
{\displaystyle \alpha }
:
1°
cos
α
+
sin
α
=
2
cos
(
π
4
−
α
)
=
2
sin
(
π
4
+
α
)
{\displaystyle \cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)}
;
2°
cos
α
−
sin
α
=
2
cos
(
π
4
+
α
)
=
2
sin
(
π
4
−
α
)
{\displaystyle \cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}
.
Vérifier la relation :
tan
(
π
4
+
a
)
−
tan
(
π
4
−
a
)
=
2
tan
2
a
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)-\tan \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)=2\tan 2a}
.
Solution
D'après l'exercice 4-7,
tan
(
π
4
+
a
)
−
tan
(
π
4
−
a
)
=
2
sin
2
a
cos
2
a
+
cos
π
2
=
2
tan
2
a
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)-\tan \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)={\frac {2\sin 2a}{\cos 2a+\cos {\frac {\pi }{2}}}}=2\tan 2a}
.
Vérifier les relations :
1°
cos
2
a
=
1
1
+
tan
a
tan
2
a
{\displaystyle \cos 2a={\frac {1}{1+\tan a\tan 2a}}}
;
2°
sin
2
a
=
1
−
tan
2
(
π
4
−
a
)
1
+
tan
2
(
π
4
−
a
)
{\displaystyle \sin 2a={\frac {1-\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}{1+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}}}
.
Solution
1°
(
1
+
tan
a
tan
2
a
)
cos
2
a
=
cos
2
a
+
tan
a
sin
2
a
=
cos
2
a
+
2
sin
2
a
=
1
{\displaystyle \left(1+\tan a\tan 2a\right)\cos 2a=\cos 2a+\tan a\sin 2a=\cos 2a+2\sin ^{2}a=1}
.
2°
sin
2
a
=
cos
(
π
2
−
2
a
)
=
cos
(
2
(
π
4
−
a
)
)
=
1
−
tan
2
(
π
4
−
a
)
1
+
tan
2
(
π
4
−
a
)
{\displaystyle \sin 2a=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-2a\right)=\cos \left(2\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)\right)={\frac {1-\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}{1+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}}}
.
Vérifier les relations :
1°
tan
a
+
tan
b
=
2
sin
(
a
+
b
)
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
{\displaystyle \tan a+\tan b={\frac {2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}}}
et
tan
a
=
sin
2
a
1
+
cos
2
a
=
1
−
cos
2
a
sin
2
a
{\displaystyle \tan a={\frac {\sin 2a}{1+\cos 2a}}={\frac {1-\cos 2a}{\sin 2a}}}
;
2°
tan
a
+
b
2
=
sin
a
+
sin
b
cos
a
+
cos
b
=
−
cos
a
−
cos
b
sin
a
−
sin
b
{\displaystyle \tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}=-{\frac {\cos a-\cos b}{\sin a-\sin b}}}
;
3°
tan
(
a
+
b
)
=
sin
2
a
−
sin
2
b
sin
a
cos
a
−
sin
b
cos
b
{\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}}}
;
4°
tan
2
a
−
tan
2
b
=
sin
(
a
+
b
)
sin
(
a
−
b
)
cos
2
a
cos
2
b
{\displaystyle \tan ^{2}a-\tan ^{2}b={\frac {\sin(a+b)\sin(a-b)}{\cos ^{2}a\cos ^{2}b}}}
.
Solution
1° D'après l'exercice 4-3 et les formules de transformation d'un produit en somme ,
tan
a
+
tan
b
=
sin
(
a
+
b
)
cos
a
cos
b
=
2
sin
(
a
+
b
)
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
{\displaystyle \tan a+\tan b={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}={\frac {2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}}}
, d'où la première égalité du 1°. La seconde s'en déduit en faisant
b
=
a
{\displaystyle b=a}
. Elle équivaut à la troisième, sachant que
(
1
+
cos
2
a
)
(
1
−
cos
2
a
)
=
1
−
cos
2
2
a
=
sin
2
2
a
{\displaystyle (1+\cos 2a)(1-\cos 2a)=1-\cos ^{2}2a=\sin ^{2}2a}
.
2°
sin
a
+
sin
b
cos
a
+
cos
b
=
2
sin
a
+
b
2
cos
a
−
b
2
2
cos
a
+
b
2
cos
a
−
b
2
=
tan
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}={\frac {2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{2\cos {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}}=\tan {\frac {a+b}{2}}}
, d'où la première égalité du 2°. Elle équivaut à la seconde, sachant que
(
sin
a
+
sin
b
)
(
sin
a
−
sin
b
)
+
(
cos
a
+
cos
b
)
(
cos
a
−
cos
b
)
=
sin
2
a
−
sin
2
b
+
cos
2
a
−
cos
2
b
=
1
−
1
=
0
{\displaystyle \left(\sin a+\sin b\right)\left(\sin a-\sin b\right)+\left(\cos a+\cos b\right)\left(\cos a-\cos b\right)=\sin ^{2}a-\sin ^{2}b+\cos ^{2}a-\cos ^{2}b=1-1=0}
.
3°
sin
2
a
−
sin
2
b
sin
a
cos
a
−
sin
b
cos
b
=
(
1
−
cos
2
a
)
−
(
1
−
cos
2
b
)
sin
2
a
−
sin
2
b
=
−
cos
2
a
−
cos
2
b
sin
2
a
−
sin
2
b
=
tan
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}}={\frac {(1-\cos 2a)-(1-\cos 2b)}{\sin 2a-\sin 2b}}=-{\frac {\cos 2a-\cos 2b}{\sin 2a-\sin 2b}}=\tan(a+b)}
, d'après la question précédente.
4° D'après l'exercice 4-3,
tan
2
a
−
tan
2
b
=
(
tan
a
+
tan
b
)
(
tan
a
−
tan
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
cos
a
cos
b
sin
(
a
−
b
)
cos
a
cos
b
{\displaystyle \tan ^{2}a-\tan ^{2}b=(\tan a+\tan b)(\tan a-\tan b)={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}{\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}}
.
Vérifier les relations :
1°
(
1
+
tan
a
+
1
cos
a
)
(
1
+
tan
a
−
1
cos
a
)
=
sin
2
a
cos
2
a
{\displaystyle \left(1+\tan a+{\frac {1}{\cos a}}\right)\left(1+\tan a-{\frac {1}{\cos a}}\right)={\frac {\sin 2a}{\cos ^{2}a}}}
;
2°
cos
2
a
−
cos
4
a
cos
2
a
+
cos
4
a
=
tan
3
a
tan
a
=
tan
2
2
a
−
tan
2
a
1
−
tan
2
a
tan
2
2
a
{\displaystyle {\frac {\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}}=\tan 3a\tan a={\frac {\tan ^{2}2a-\tan ^{2}a}{1-\tan ^{2}a\tan ^{2}2a}}}
.
Solution
1°
(
1
+
tan
a
+
1
cos
a
)
(
1
+
tan
a
−
1
cos
a
)
=
(
1
+
tan
a
)
2
−
1
cos
2
a
=
2
tan
a
=
sin
2
a
cos
2
a
{\displaystyle \left(1+\tan a+{\frac {1}{\cos a}}\right)\left(1+\tan a-{\frac {1}{\cos a}}\right)=(1+\tan a)^{2}-{\frac {1}{\cos ^{2}a}}=2\tan a={\frac {\sin 2a}{\cos ^{2}a}}}
.
2° D'après l'exercice 4-7,
cos
2
a
−
cos
4
a
cos
2
a
+
cos
4
a
=
cos
2
a
−
cos
4
a
sin
2
a
−
sin
4
a
×
sin
2
a
−
sin
4
a
cos
2
a
+
cos
4
a
=
−
tan
3
a
tan
(
−
a
)
=
tan
3
a
tan
a
{\displaystyle {\frac {\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}}={\frac {\cos 2a-\cos 4a}{\sin 2a-\sin 4a}}\times {\frac {\sin 2a-\sin 4a}{\cos 2a+\cos 4a}}=-\tan 3a\tan(-a)=\tan 3a\tan a}
.
Par ailleurs,
tan
2
2
a
−
tan
2
a
1
−
tan
2
a
tan
2
2
a
=
tan
2
a
+
tan
a
1
−
tan
2
a
tan
a
×
tan
2
a
−
tan
a
1
+
tan
2
a
tan
a
=
tan
3
a
tan
a
{\displaystyle {\frac {\tan ^{2}2a-\tan ^{2}a}{1-\tan ^{2}a\tan ^{2}2a}}={\frac {\tan 2a+\tan a}{1-\tan 2a\tan a}}\times {\frac {\tan 2a-\tan a}{1+\tan 2a\tan a}}=\tan 3a\tan a}
.