En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Établissement de formules 1Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculer
tan
4
a
{\displaystyle \tan 4a}
en fonction de
tan
a
{\displaystyle \tan a}
Solution
tan
2
a
=
2
tan
a
1
−
tan
2
a
{\displaystyle \tan 2a={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}}
donc
tan
4
a
=
2
2
tan
a
1
−
tan
2
a
1
−
(
2
tan
a
1
−
tan
2
a
)
2
=
4
tan
a
(
1
−
tan
2
a
)
(
1
−
tan
2
a
)
2
−
4
tan
2
a
=
4
tan
a
−
4
tan
3
a
1
−
6
tan
2
a
+
tan
4
a
{\displaystyle \tan 4a={\frac {2{\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}}{1-\left({\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\right)^{2}}}={\frac {4\tan a\left(1-\tan ^{2}a\right)}{\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}-4\tan ^{2}a}}={\frac {4\tan a-4\tan ^{3}a}{1-6\tan ^{2}a+\tan ^{4}a}}}
Démontrer les identités suivantes :
1°
cos
a
sin
(
b
−
c
)
+
cos
b
sin
(
c
−
a
)
+
cos
c
sin
(
a
−
b
)
=
0
{\displaystyle \cos a\sin(b-c)+\cos b\sin(c-a)+\cos c\sin(a-b)=0}
2°
sin
a
sin
(
b
−
c
)
+
sin
b
sin
(
c
−
a
)
+
sin
c
sin
(
a
−
b
)
=
0
{\displaystyle \sin a\sin(b-c)+\sin b\sin(c-a)+\sin c\sin(a-b)=0}
3°
cos
(
a
+
b
)
cos
(
a
−
b
)
=
cos
2
a
−
sin
2
b
=
cos
2
b
−
sin
2
a
{\displaystyle \cos(a+b)\cos(a-b)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}b=\cos ^{2}b-\sin ^{2}a}
4°
sin
(
a
+
b
)
sin
(
a
−
b
)
=
sin
2
a
−
sin
2
b
=
cos
2
b
−
cos
2
a
{\displaystyle \sin(a+b)\sin(a-b)=\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=\cos ^{2}b-\cos ^{2}a}
Démontrer les identités suivantes :
1°
cot
a
−
tan
a
=
2
cot
2
a
{\displaystyle \cot a-\tan a=2\cot 2a}
;
2°
1
sin
2
a
+
cot
2
a
=
cot
a
{\displaystyle {\frac {1}{\sin 2a}}+\cot 2a=\cot a}
.
Solution
1°
cot
a
−
tan
a
=
cos
a
sin
a
−
sin
a
cos
a
=
cos
2
a
−
sin
2
a
sin
a
cos
a
=
cos
2
a
1
2
sin
2
a
=
2
cot
2
a
{\displaystyle \cot a-\tan a={\frac {\cos a}{\sin a}}-{\frac {\sin a}{\cos a}}={\frac {\cos ^{2}a-\sin ^{2}a}{\sin a\cos a}}={\frac {\cos 2a}{{\frac {1}{2}}\sin 2a}}=2\cot 2a}
;
2°
1
sin
2
a
+
cot
2
a
=
1
+
cos
2
a
sin
2
a
=
2
cos
2
a
2
sin
a
cos
a
=
cot
a
{\displaystyle {\frac {1}{\sin 2a}}+\cot 2a={\frac {1+\cos 2a}{\sin 2a}}={\frac {2\cos ^{2}a}{2\sin a\cos a}}=\cot a}
.
Démontrer les identités suivantes :
1°
2
cos
(
a
+
b
)
sin
(
a
−
b
)
=
sin
2
a
−
sin
2
b
{\displaystyle 2\cos(a+b)\sin(a-b)=\sin 2a-\sin 2b}
2°
2
sin
(
a
+
b
)
sin
(
a
−
b
)
=
cos
2
b
−
cos
2
a
{\displaystyle 2\sin(a+b)\sin(a-b)=\cos 2b-\cos 2a}
.
Solution
D'après les formules de transformation d'un produit en somme :
2
cos
(
a
+
b
)
sin
(
a
−
b
)
=
sin
(
(
a
−
b
)
+
(
a
+
b
)
)
+
sin
(
(
a
−
b
)
−
(
a
+
b
)
)
=
sin
2
a
−
sin
2
b
{\displaystyle 2\cos(a+b)\sin(a-b)=\sin \left((a-b)+(a+b)\right)+\sin \left((a-b)-(a+b)\right)=\sin 2a-\sin 2b}
;
2
sin
(
a
+
b
)
sin
(
a
−
b
)
=
cos
(
(
a
+
b
)
−
(
a
−
b
)
)
−
cos
(
(
a
+
b
)
+
(
a
−
b
)
)
=
cos
2
b
−
cos
2
a
{\displaystyle 2\sin(a+b)\sin(a-b)=\cos \left((a+b)-(a-b)\right)-\cos \left((a+b)+(a-b)\right)=\cos 2b-\cos 2a}
.
Démontrer les identités suivantes :
1°
sin
3
a
=
4
sin
(
π
3
+
a
)
sin
(
π
3
−
a
)
sin
a
{\displaystyle \sin 3a=4\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\sin a}
;
2°
cos
3
a
=
4
cos
(
π
3
+
a
)
cos
(
π
3
−
a
)
cos
a
{\displaystyle \cos 3a=4\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\cos a}
;
3°
tan
3
a
=
tan
(
π
3
+
a
)
tan
(
π
3
−
a
)
tan
a
{\displaystyle \tan 3a=\tan \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\tan a}
.
Solution
1° D'après l'exercice précédent,
2
sin
(
π
3
+
a
)
sin
(
π
3
−
a
)
=
cos
2
a
−
cos
2
π
3
=
cos
2
a
+
1
2
{\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)=\cos 2a-\cos {\frac {2\pi }{3}}=\cos 2a+{\frac {1}{2}}}
.
Donc
4
sin
(
π
3
+
a
)
sin
(
π
3
−
a
)
sin
a
=
2
cos
2
a
sin
a
+
sin
a
=
sin
3
a
{\displaystyle 4\sin \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\sin a=2\cos 2a\sin a+\sin a=\sin 3a}
(d'après les formules de transformation d'un produit en somme ).
2° D'après les formules de transformation d'un produit en somme (cf. exercice précédent),
2
cos
(
π
3
+
a
)
cos
(
π
3
−
a
)
=
cos
2
π
3
+
cos
2
a
=
cos
2
a
−
1
2
{\displaystyle 2\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)=\cos {\frac {2\pi }{3}}+\cos 2a=\cos 2a-{\frac {1}{2}}}
.
Donc
4
cos
(
π
3
+
a
)
cos
(
π
3
−
a
)
cos
a
=
2
cos
2
a
cos
a
−
cos
a
=
cos
3
a
{\displaystyle 4\cos \left({\frac {\pi }{3}}+a\right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}-a\right)\cos a=2\cos 2a\cos a-\cos a=\cos 3a}
(à nouveau par transformation d'un produit en somme).
3° Résulte immédiatement de 1° et 2°.
Démontrer les identités suivantes :
1°
cos
4
a
−
sin
4
a
=
cos
2
a
{\displaystyle \cos ^{4}a-\sin ^{4}a=\cos 2a}
;
2°
cos
2
2
a
−
sin
2
a
=
cos
a
cos
3
a
{\displaystyle \cos ^{2}2a-\sin ^{2}a=\cos a\cos 3a}
;
3°
sin
3
a
sin
3
a
+
cos
3
a
cos
3
a
=
cos
3
2
a
{\displaystyle \sin 3a\sin ^{3}a+\cos 3a\cos ^{3}a=\cos ^{3}2a}
;
4°
4
cos
3
a
sin
3
a
+
4
sin
3
a
cos
3
a
=
3
sin
4
a
{\displaystyle 4\cos 3a\sin ^{3}a+4\sin 3a\cos ^{3}a=3\sin 4a}
.
Solution
1°
cos
4
a
−
sin
4
a
=
(
cos
2
a
+
sin
2
a
)
(
cos
2
a
−
sin
2
a
)
=
1
×
cos
2
a
{\displaystyle \cos ^{4}a-\sin ^{4}a=\left(\cos ^{2}a+\sin ^{2}a\right)\left(\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\right)=1\times \cos 2a}
.
2°
cos
a
cos
3
a
=
cos
4
a
+
cos
2
a
2
=
2
cos
2
2
a
−
1
+
1
−
2
sin
2
a
2
=
cos
2
2
a
−
sin
2
a
{\displaystyle \cos a\cos 3a={\frac {\cos 4a+\cos 2a}{2}}={\frac {2\cos ^{2}2a-1+1-2\sin ^{2}a}{2}}=\cos ^{2}2a-\sin ^{2}a}
.
3°
(
sin
3
a
sin
a
)
sin
2
a
+
(
cos
3
a
cos
a
)
cos
2
a
=
(
cos
2
a
−
cos
4
a
)
(
1
−
cos
2
a
)
+
(
cos
2
a
+
cos
4
a
)
(
1
+
cos
2
a
)
4
=
cos
2
a
(
1
+
cos
4
a
)
2
=
cos
3
2
a
{\displaystyle (\sin 3a\sin a)\sin ^{2}a+(\cos 3a\cos a)\cos ^{2}a={\frac {\left(\cos 2a-\cos 4a\right)\left(1-\cos 2a\right)+\left(\cos 2a+\cos 4a\right)\left(1+\cos 2a\right)}{4}}={\frac {\cos 2a\left(1+\cos 4a\right)}{2}}=\cos ^{3}2a}
.
4°
4
(
cos
3
a
sin
a
)
sin
2
a
+
4
(
sin
3
a
cos
a
)
cos
2
a
=
(
sin
4
a
−
sin
2
a
)
(
1
−
cos
2
a
)
+
(
sin
4
a
+
sin
2
a
)
(
1
+
cos
2
a
)
=
2
sin
4
a
+
2
sin
2
a
cos
2
a
=
3
sin
4
a
{\displaystyle 4(\cos 3a\sin a)\sin ^{2}a+4(\sin 3a\cos a)\cos ^{2}a=\left(\sin 4a-\sin 2a\right)\left(1-\cos 2a\right)+\left(\sin 4a+\sin 2a\right)\left(1+\cos 2a\right)=2\sin 4a+2\sin 2a\cos 2a=3\sin 4a}
.