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Exercice : Résolution d'équations 2Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre les équations :
1° tan x + tan 3 x 1 − tan x tan 3 x = tan 2 x − tan x 1 + tan 2 x tan x {\displaystyle {\frac {\tan x+\tan 3x}{1-\tan x\tan 3x}}={\frac {\tan 2x-\tan x}{1+\tan 2x\tan x}}} ;
2° 3 − tan x 1 + 3 tan x = 1 − 3 tan 2 x 3 + tan 2 x {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-\tan x}{1+{\sqrt {3}}\tan x}}={\frac {1-{\sqrt {3}}\tan 2x}{{\sqrt {3}}+\tan 2x}}} ;
3° 3 + tan x 1 + 3 tan x = 1 − 3 tan 2 x 3 + tan 2 x {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+\tan x}{1+{\sqrt {3}}\tan x}}={\frac {1-{\sqrt {3}}\tan 2x}{{\sqrt {3}}+\tan 2x}}} .
Solution
1° tan 4 x = tan x ⇔ 4 x ≡ x mod π ⇔ x ≡ 0 mod π 3 {\displaystyle \tan 4x=\tan x\Leftrightarrow 4x\equiv x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{3}}} .
2° tan ( π 3 − x ) = tan ( π 6 − 2 x ) ⇔ π 3 − x ≡ π 6 − 2 x mod π ⇔ x ≡ − π 6 mod π {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{3}}-x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{6}}-2x\right)\Leftrightarrow {\frac {\pi }{3}}-x\equiv {\frac {\pi }{6}}-2x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{6}}\mod \pi } .
3° tan ( π 3 + x ) = tan ( π 6 − 2 x ) ⇔ π 3 + x ≡ π 6 − 2 x mod π ⇔ x ≡ − π 18 mod π 3 {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{6}}-2x\right)\Leftrightarrow {\frac {\pi }{3}}+x\equiv {\frac {\pi }{6}}-2x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{18}}\mod {\frac {\pi }{3}}} .
Résoudre les équations :
1° sin 2 x = 2 cos 2 x {\displaystyle \sin 2x=2\cos ^{2}x} ;
2° cos 2 x + 2 sin x cos x = 0 {\displaystyle \cos 2x+2\sin x\cos x=0} ;
3° 2 sin x cos x = cos 3 x {\displaystyle 2\sin x\cos x=\cos 3x} ;
4° cos 2 x − sin 2 x = cos 5 x {\displaystyle \cos ^{2}x-\sin ^{2}x=\cos 5x} .
Solution
1° 2 cos x ( sin x − cos x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ou tan x = 1 ⇔ x ≡ π 2 ou π 4 mod π {\displaystyle 2\cos x\left(\sin x-\cos x\right)=0\Leftrightarrow \cos x=0{\text{ ou }}\tan x=1\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{4}}\mod \pi } .
2° tan 2 x = − 1 ⇔ x ≡ − π 8 mod π 2 {\displaystyle \tan 2x=-1\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}} .
3° π 2 − 2 x ≡ ± 3 x mod 2 π ⇔ x ≡ π 10 mod 2 π 5 ou x ≡ − π 2 mod 2 π {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2x\equiv \pm 3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{10}}\mod {\frac {2\pi }{5}}{\text{ ou }}x\equiv -{\frac {\pi }{2}}\mod 2\pi } .
4° 2 x ≡ ± 5 x mod 2 π ⇔ x ≡ 0 mod 2 π 3 ou mod 2 π 7 {\displaystyle 2x\equiv \pm 5x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}\mod {\frac {2\pi }{7}}} .
Résoudre les équations :
1° sin x tan x 2 = cos x {\displaystyle \sin x\tan {\frac {x}{2}}=\cos x} ;
2° sin 2 x = sin 3 x {\displaystyle \sin 2x=\sin 3x} .
Solution
1° x 2 ≡ π 2 − x mod π ⇔ x ≡ π 3 mod 2 π 3 {\displaystyle {\frac {x}{2}}\equiv {\frac {\pi }{2}}-x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}} .
2° 2 x ≡ 3 x ou π − 3 x mod 2 π ⇔ x ≡ 0 mod 2 π ou x ≡ π 5 mod 2 π 5 {\displaystyle 2x\equiv 3x{\text{ ou }}\pi -3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod 2\pi {\text{ ou }}x\equiv {\frac {\pi }{5}}\mod {\frac {2\pi }{5}}} .
Résoudre les équations :
1° cos 2 x − 2 sin x − 1 = 0 {\displaystyle \cos ^{2}x-2\sin x-1=0} ;
2° 2 cos 2 x − sin x − 1 = 0 {\displaystyle 2\cos ^{2}x-\sin x-1=0} ;
3° 2 sin 2 x + cos x − 1 = 0 {\displaystyle 2\sin ^{2}x+\cos x-1=0} ;
4° cos 2 x − 3 sin x + 3 4 = 0 {\displaystyle \cos ^{2}x-3\sin x+{\frac {3}{4}}=0} .
Solution
Notons c = cos x {\displaystyle c=\cos x} et s = sin x {\displaystyle s=\sin x} .
1° 1 − s 2 − 2 s − 1 = 0 ⇔ s = 0 ⇔ x ≡ 0 mod π {\displaystyle 1-s^{2}-2s-1=0\Leftrightarrow s=0\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi } .
2° 2 ( 1 − s 2 ) − s − 1 = 0 ⇔ s = − 1 ou 1 2 ⇔ x ≡ − π 2 ou π 6 ou 5 π 6 mod 2 π {\displaystyle 2\left(1-s^{2}\right)-s-1=0\Leftrightarrow s=-1{\text{ ou }}{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}\mod {2\pi }} .
3° 2 ( 1 − c 2 ) + c − 1 = 0 ⇔ c = 1 ou − 1 2 ⇔ x ≡ 0 mod 2 π 3 {\displaystyle 2\left(1-c^{2}\right)+c-1=0\Leftrightarrow c=1{\text{ ou }}-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {2\pi }{3}}} .
4° 1 − s 2 − 3 s + 3 4 = 0 ⇔ s = 1 2 ⇔ x ≡ π 6 ou 5 π 6 mod 2 π {\displaystyle 1-s^{2}-3s+{\frac {3}{4}}=0\Leftrightarrow s={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}\mod {2\pi }} .
Résoudre les équations :
1° sin x + sin 2 x = 0 {\displaystyle \sin x+\sin 2x=0} ;
2° sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 {\displaystyle \sin x+\sin 2x+\sin 3x=0} ;
3° sin x + sin 2 x + sin 3 x = 1 + cos x + cos 2 x {\displaystyle \sin x+\sin 2x+\sin 3x=1+\cos x+\cos 2x} ;
4° 1 + sin 4 x − cos 4 x = 0 {\displaystyle 1+\sin 4x-\cos 4x=0} ;
5° 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 {\displaystyle 1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0} .
Solution
1° sin x ( 1 + 2 cos x ) = 0 ⇔ sin x = 0 ou cos x = − 1 2 ⇔ x ≡ 0 mod π ou x ≡ ± 2 π 3 mod 2 π {\displaystyle \sin x\left(1+2\cos x\right)=0\Leftrightarrow \sin x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi {\text{ ou }}x\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi } .
2° sin 2 x + 2 sin 2 x cos x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ou cos x = − 1 2 ⇔ x ≡ 0 mod π 2 ou x ≡ ± 2 π 3 mod 2 π {\displaystyle \sin 2x+2\sin 2x\cos x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}x\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi } .
3° sin 2 x ( 1 + 2 cos x ) = cos x ( 1 + 2 cos x ) ⇔ sin x = 1 2 ou cos x = 0 ou cos x = − 1 2 ⇔ x ≡ π 6 ou 5 π 6 ou ± π 2 ou ± 2 π 3 mod 2 π {\displaystyle \sin 2x\left(1+2\cos x\right)=\cos x\left(1+2\cos x\right)\Leftrightarrow \sin x={\frac {1}{2}}{\text{ ou }}\cos x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}{\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}\pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi } .
4° Cf. exercice 6-4 : cos 4 x − sin 4 x = 1 ⇔ − 4 x ≡ 0 ou π 2 mod 2 π ⇔ x ≡ 0 ou − π 8 mod π 2 {\displaystyle \cos 4x-\sin 4x=1\Leftrightarrow -4x\equiv 0{\text{ ou }}{\frac {\pi }{2}}\mod {2\pi }\Leftrightarrow x\equiv 0{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}} .
5° Cf. exercice 5-10 : cos 3 x 2 sin 2 x = 0 ⇔ x ≡ π 3 mod 2 π 3 ou x ≡ 0 mod π 2 {\displaystyle \cos {\frac {3x}{2}}\sin 2x=0\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{2}}} .
Résoudre les équations :
1° ( 2 + 1 ) sin 2 x + ( 2 − 1 ) cos 2 x + sin 2 x = 2 {\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\sin ^{2}x+\left({\sqrt {2}}-1\right)\cos ^{2}x+\sin 2x={\sqrt {2}}} ;
2° sin 2 x − 2 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0 {\displaystyle \sin ^{2}x-2\sin x\cos x-3\cos ^{2}x=0} ;
3° sin 2 x − sin 2 x + 1 2 = 0 {\displaystyle \sin ^{2}x-\sin 2x+{\frac {1}{2}}=0} .
Solution
1° Cf. exercice 7-2 : cos 2 x − sin 2 x = 0 ⇔ x ≡ π 8 mod π 2 {\displaystyle \cos 2x-\sin 2x=0\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}} .
2° ( sin x + cos x ) ( sin x − 3 cos x ) = 0 ⇔ x ≡ − π 4 ou arctan 3 mod π {\displaystyle \left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin x-3\cos x\right)=0\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\arctan 3\mod \pi } ;
3° 0 = 3 2 − cos 2 x − sin 2 x = 3 2 − 1 + 2 tan x 1 + tan 2 x ⇔ tan x = 1 ou 1 3 ⇔ x ≡ π 4 ou arctan 1 3 mod π {\displaystyle 0={\frac {3}{2}}-\cos ^{2}x-\sin 2x={\frac {3}{2}}-{\frac {1+2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}\Leftrightarrow \tan x=1{\text{ ou }}{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\arctan {\frac {1}{3}}\mod \pi } .
Résoudre les équations :
1° 2 sin x sin 3 x = 1 {\displaystyle 2\sin x\sin 3x=1} ;
2° tan x + tan 2 x = tan 3 x {\displaystyle \tan x+\tan 2x=\tan 3x} ;
3° tan x − 6 cot x + 3 = 0 {\displaystyle \tan x-6\cot x+{\sqrt {3}}=0} .
Solution
1° 1 = cos 2 x − cos 4 x = cos 2 x − 2 cos 2 2 x + 1 ⇔ cos 2 x = 0 ou 1 2 ⇔ x ≡ ± π 4 ou ± π 6 mod π {\displaystyle 1=\cos 2x-\cos 4x=\cos 2x-2\cos ^{2}2x+1\Leftrightarrow \cos 2x=0{\text{ ou }}{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{6}}\mod \pi } .
2° sin 3 x cos x cos 2 x = tan 3 x ⇔ sin 3 x = 0 ou 2 cos 2 x − 1 = 4 cos 2 x − 3 ⇔ x ≡ 0 mod π 3 ou mod π 2 {\displaystyle {\frac {\sin 3x}{\cos x\cos 2x}}=\tan 3x\Leftrightarrow \sin 3x=0{\text{ ou }}2\cos ^{2}x-1=4\cos ^{2}x-3\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}\mod {\frac {\pi }{2}}} .
3° tan 2 x + 3 tan x − 6 = 0 ⇔ tan x = 3 ou − 2 3 ⇔ x ≡ π 3 ou − arctan ( 2 3 ) mod π {\displaystyle \tan ^{2}x+{\sqrt {3}}\tan x-6=0\Leftrightarrow \tan x={\sqrt {3}}{\text{ ou }}-2{\sqrt {3}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}-\arctan \left(2{\sqrt {3}}\right)\mod \pi } .
Résoudre les équations :
1° sin 3 x + cos 3 x = 1 {\displaystyle \sin ^{3}x+\cos ^{3}x=1} ;
2° sin 6 x + cos 6 x = 1 4 {\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x={\frac {1}{4}}} .
Solution
1° Une rapide étude de variations montre que les seules solutions sont 0 et π 2 mod 2 π {\displaystyle 0{\text{ et }}{\frac {\pi }{2}}\mod 2\pi } .
2° (Cf. exercice 5-4 .) 1 − 3 sin 2 x cos 2 x = 1 4 ⇔ sin 2 2 x = 1 ⇔ x ≡ π 4 mod π 2 {\displaystyle 1-3\sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {1}{4}}\Leftrightarrow \sin ^{2}2x=1\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod {\frac {\pi }{2}}} .