En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Résolution d'équations 2Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre les équations :
1°
tan
x
+
tan
3
x
1
−
tan
x
tan
3
x
=
tan
2
x
−
tan
x
1
+
tan
2
x
tan
x
{\displaystyle {\frac {\tan x+\tan 3x}{1-\tan x\tan 3x}}={\frac {\tan 2x-\tan x}{1+\tan 2x\tan x}}}
;
2°
3
−
tan
x
1
+
3
tan
x
=
1
−
3
tan
2
x
3
+
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-\tan x}{1+{\sqrt {3}}\tan x}}={\frac {1-{\sqrt {3}}\tan 2x}{{\sqrt {3}}+\tan 2x}}}
;
3°
3
+
tan
x
1
+
3
tan
x
=
1
−
3
tan
2
x
3
+
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+\tan x}{1+{\sqrt {3}}\tan x}}={\frac {1-{\sqrt {3}}\tan 2x}{{\sqrt {3}}+\tan 2x}}}
.
Solution
1°
tan
4
x
=
tan
x
⇔
4
x
≡
x
mod
π
⇔
x
≡
0
mod
π
3
{\displaystyle \tan 4x=\tan x\Leftrightarrow 4x\equiv x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{3}}}
.
2°
tan
(
π
3
−
x
)
=
tan
(
π
6
−
2
x
)
⇔
π
3
−
x
≡
π
6
−
2
x
mod
π
⇔
x
≡
−
π
6
mod
π
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{3}}-x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{6}}-2x\right)\Leftrightarrow {\frac {\pi }{3}}-x\equiv {\frac {\pi }{6}}-2x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{6}}\mod \pi }
.
3°
tan
(
π
3
+
x
)
=
tan
(
π
6
−
2
x
)
⇔
π
3
+
x
≡
π
6
−
2
x
mod
π
⇔
x
≡
−
π
18
mod
π
3
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{6}}-2x\right)\Leftrightarrow {\frac {\pi }{3}}+x\equiv {\frac {\pi }{6}}-2x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{18}}\mod {\frac {\pi }{3}}}
.
Résoudre les équations :
1°
sin
2
x
=
2
cos
2
x
{\displaystyle \sin 2x=2\cos ^{2}x}
;
2°
cos
2
x
+
2
sin
x
cos
x
=
0
{\displaystyle \cos 2x+2\sin x\cos x=0}
;
3°
2
sin
x
cos
x
=
cos
3
x
{\displaystyle 2\sin x\cos x=\cos 3x}
;
4°
cos
2
x
−
sin
2
x
=
cos
5
x
{\displaystyle \cos ^{2}x-\sin ^{2}x=\cos 5x}
.
Solution
1°
2
cos
x
(
sin
x
−
cos
x
)
=
0
⇔
cos
x
=
0
ou
tan
x
=
1
⇔
x
≡
π
2
ou
π
4
mod
π
{\displaystyle 2\cos x\left(\sin x-\cos x\right)=0\Leftrightarrow \cos x=0{\text{ ou }}\tan x=1\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{4}}\mod \pi }
.
2°
tan
2
x
=
−
1
⇔
x
≡
−
π
8
mod
π
2
{\displaystyle \tan 2x=-1\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}}
.
3°
π
2
−
2
x
≡
±
3
x
mod
2
π
⇔
x
≡
π
10
mod
2
π
5
ou
x
≡
−
π
2
mod
2
π
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2x\equiv \pm 3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{10}}\mod {\frac {2\pi }{5}}{\text{ ou }}x\equiv -{\frac {\pi }{2}}\mod 2\pi }
.
4°
2
x
≡
±
5
x
mod
2
π
⇔
x
≡
0
mod
2
π
3
ou
mod
2
π
7
{\displaystyle 2x\equiv \pm 5x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}\mod {\frac {2\pi }{7}}}
.
Résoudre les équations :
1°
sin
x
tan
x
2
=
cos
x
{\displaystyle \sin x\tan {\frac {x}{2}}=\cos x}
;
2°
sin
2
x
=
sin
3
x
{\displaystyle \sin 2x=\sin 3x}
.
Solution
1°
x
2
≡
π
2
−
x
mod
π
⇔
x
≡
π
3
mod
2
π
3
{\displaystyle {\frac {x}{2}}\equiv {\frac {\pi }{2}}-x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}}
.
2°
2
x
≡
3
x
ou
π
−
3
x
mod
2
π
⇔
x
≡
0
mod
2
π
ou
x
≡
π
5
mod
2
π
5
{\displaystyle 2x\equiv 3x{\text{ ou }}\pi -3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod 2\pi {\text{ ou }}x\equiv {\frac {\pi }{5}}\mod {\frac {2\pi }{5}}}
.
Résoudre les équations :
1°
cos
2
x
−
2
sin
x
−
1
=
0
{\displaystyle \cos ^{2}x-2\sin x-1=0}
;
2°
2
cos
2
x
−
sin
x
−
1
=
0
{\displaystyle 2\cos ^{2}x-\sin x-1=0}
;
3°
2
sin
2
x
+
cos
x
−
1
=
0
{\displaystyle 2\sin ^{2}x+\cos x-1=0}
;
4°
cos
2
x
−
3
sin
x
+
3
4
=
0
{\displaystyle \cos ^{2}x-3\sin x+{\frac {3}{4}}=0}
.
Solution
Notons
c
=
cos
x
{\displaystyle c=\cos x}
et
s
=
sin
x
{\displaystyle s=\sin x}
.
1°
1
−
s
2
−
2
s
−
1
=
0
⇔
s
=
0
⇔
x
≡
0
mod
π
{\displaystyle 1-s^{2}-2s-1=0\Leftrightarrow s=0\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi }
.
2°
2
(
1
−
s
2
)
−
s
−
1
=
0
⇔
s
=
−
1
ou
1
2
⇔
x
≡
−
π
2
ou
π
6
ou
5
π
6
mod
2
π
{\displaystyle 2\left(1-s^{2}\right)-s-1=0\Leftrightarrow s=-1{\text{ ou }}{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}\mod {2\pi }}
.
3°
2
(
1
−
c
2
)
+
c
−
1
=
0
⇔
c
=
1
ou
−
1
2
⇔
x
≡
0
mod
2
π
3
{\displaystyle 2\left(1-c^{2}\right)+c-1=0\Leftrightarrow c=1{\text{ ou }}-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {2\pi }{3}}}
.
4°
1
−
s
2
−
3
s
+
3
4
=
0
⇔
s
=
1
2
⇔
x
≡
π
6
ou
5
π
6
mod
2
π
{\displaystyle 1-s^{2}-3s+{\frac {3}{4}}=0\Leftrightarrow s={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}\mod {2\pi }}
.
Résoudre les équations :
1°
sin
x
+
sin
2
x
=
0
{\displaystyle \sin x+\sin 2x=0}
;
2°
sin
x
+
sin
2
x
+
sin
3
x
=
0
{\displaystyle \sin x+\sin 2x+\sin 3x=0}
;
3°
sin
x
+
sin
2
x
+
sin
3
x
=
1
+
cos
x
+
cos
2
x
{\displaystyle \sin x+\sin 2x+\sin 3x=1+\cos x+\cos 2x}
;
4°
1
+
sin
4
x
−
cos
4
x
=
0
{\displaystyle 1+\sin 4x-\cos 4x=0}
;
5°
1
+
cos
x
+
cos
2
x
+
cos
3
x
=
0
{\displaystyle 1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0}
.
Solution
1°
sin
x
(
1
+
2
cos
x
)
=
0
⇔
sin
x
=
0
ou
cos
x
=
−
1
2
⇔
x
≡
0
mod
π
ou
x
≡
±
2
π
3
mod
2
π
{\displaystyle \sin x\left(1+2\cos x\right)=0\Leftrightarrow \sin x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi {\text{ ou }}x\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi }
.
2°
sin
2
x
+
2
sin
2
x
cos
x
=
0
⇔
sin
2
x
=
0
ou
cos
x
=
−
1
2
⇔
x
≡
0
mod
π
2
ou
x
≡
±
2
π
3
mod
2
π
{\displaystyle \sin 2x+2\sin 2x\cos x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}x\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi }
.
3°
sin
2
x
(
1
+
2
cos
x
)
=
cos
x
(
1
+
2
cos
x
)
⇔
sin
x
=
1
2
ou
cos
x
=
0
ou
cos
x
=
−
1
2
⇔
x
≡
π
6
ou
5
π
6
ou
±
π
2
ou
±
2
π
3
mod
2
π
{\displaystyle \sin 2x\left(1+2\cos x\right)=\cos x\left(1+2\cos x\right)\Leftrightarrow \sin x={\frac {1}{2}}{\text{ ou }}\cos x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}{\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}\pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi }
.
4° Cf. exercice 6-4 :
cos
4
x
−
sin
4
x
=
1
⇔
−
4
x
≡
0
ou
π
2
mod
2
π
⇔
x
≡
0
ou
−
π
8
mod
π
2
{\displaystyle \cos 4x-\sin 4x=1\Leftrightarrow -4x\equiv 0{\text{ ou }}{\frac {\pi }{2}}\mod {2\pi }\Leftrightarrow x\equiv 0{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}}
.
5° Cf. exercice 5-10 :
cos
3
x
2
sin
2
x
=
0
⇔
x
≡
π
3
mod
2
π
3
ou
x
≡
0
mod
π
2
{\displaystyle \cos {\frac {3x}{2}}\sin 2x=0\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{2}}}
.
Résoudre les équations :
1°
(
2
+
1
)
sin
2
x
+
(
2
−
1
)
cos
2
x
+
sin
2
x
=
2
{\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\sin ^{2}x+\left({\sqrt {2}}-1\right)\cos ^{2}x+\sin 2x={\sqrt {2}}}
;
2°
sin
2
x
−
2
sin
x
cos
x
−
3
cos
2
x
=
0
{\displaystyle \sin ^{2}x-2\sin x\cos x-3\cos ^{2}x=0}
;
3°
sin
2
x
−
sin
2
x
+
1
2
=
0
{\displaystyle \sin ^{2}x-\sin 2x+{\frac {1}{2}}=0}
.
Solution
1° Cf. exercice 7-2 :
cos
2
x
−
sin
2
x
=
0
⇔
x
≡
π
8
mod
π
2
{\displaystyle \cos 2x-\sin 2x=0\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}}
.
2°
(
sin
x
+
cos
x
)
(
sin
x
−
3
cos
x
)
=
0
⇔
x
≡
−
π
4
ou
arctan
3
mod
π
{\displaystyle \left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin x-3\cos x\right)=0\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\arctan 3\mod \pi }
;
3°
0
=
3
2
−
cos
2
x
−
sin
2
x
=
3
2
−
1
+
2
tan
x
1
+
tan
2
x
⇔
tan
x
=
1
ou
1
3
⇔
x
≡
π
4
ou
arctan
1
3
mod
π
{\displaystyle 0={\frac {3}{2}}-\cos ^{2}x-\sin 2x={\frac {3}{2}}-{\frac {1+2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}\Leftrightarrow \tan x=1{\text{ ou }}{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\arctan {\frac {1}{3}}\mod \pi }
.
Résoudre les équations :
1°
2
sin
x
sin
3
x
=
1
{\displaystyle 2\sin x\sin 3x=1}
;
2°
tan
x
+
tan
2
x
=
tan
3
x
{\displaystyle \tan x+\tan 2x=\tan 3x}
;
3°
tan
x
−
6
cot
x
+
3
=
0
{\displaystyle \tan x-6\cot x+{\sqrt {3}}=0}
.
Solution
1°
1
=
cos
2
x
−
cos
4
x
=
cos
2
x
−
2
cos
2
2
x
+
1
⇔
cos
2
x
=
0
ou
1
2
⇔
x
≡
±
π
4
ou
±
π
6
mod
π
{\displaystyle 1=\cos 2x-\cos 4x=\cos 2x-2\cos ^{2}2x+1\Leftrightarrow \cos 2x=0{\text{ ou }}{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{6}}\mod \pi }
.
2°
sin
3
x
cos
x
cos
2
x
=
tan
3
x
⇔
sin
3
x
=
0
ou
2
cos
2
x
−
1
=
4
cos
2
x
−
3
⇔
x
≡
0
mod
π
3
ou
mod
π
2
{\displaystyle {\frac {\sin 3x}{\cos x\cos 2x}}=\tan 3x\Leftrightarrow \sin 3x=0{\text{ ou }}2\cos ^{2}x-1=4\cos ^{2}x-3\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}\mod {\frac {\pi }{2}}}
.
3°
tan
2
x
+
3
tan
x
−
6
=
0
⇔
tan
x
=
3
ou
−
2
3
⇔
x
≡
π
3
ou
−
arctan
(
2
3
)
mod
π
{\displaystyle \tan ^{2}x+{\sqrt {3}}\tan x-6=0\Leftrightarrow \tan x={\sqrt {3}}{\text{ ou }}-2{\sqrt {3}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}-\arctan \left(2{\sqrt {3}}\right)\mod \pi }
.
Résoudre les équations :
1°
sin
3
x
+
cos
3
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{3}x+\cos ^{3}x=1}
;
2°
sin
6
x
+
cos
6
x
=
1
4
{\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x={\frac {1}{4}}}
.
Solution
1° Une rapide étude de variations montre que les seules solutions sont
0
et
π
2
mod
2
π
{\displaystyle 0{\text{ et }}{\frac {\pi }{2}}\mod 2\pi }
.
2° (Cf. exercice 5-4 .)
1
−
3
sin
2
x
cos
2
x
=
1
4
⇔
sin
2
2
x
=
1
⇔
x
≡
π
4
mod
π
2
{\displaystyle 1-3\sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {1}{4}}\Leftrightarrow \sin ^{2}2x=1\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod {\frac {\pi }{2}}}
.