Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison

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Relations de comparaison
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Chapitre no 5
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Dérivabilité
Chap. suiv. :Développements limités

Exercices :

Calcul de limites
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Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison
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Soient (comme au chapitre 2 sur les limites) une partie de et un point adhérent à . Par exemple :

  • un intervalle et une extrémité (finie ou infinie) de cet intervalle ;
  • et (ce qui permet d'englober le cas des suites).

Soient et deux fonctions de dans .

Définitions : les notations de LandauModifier

Lorsque   ne s'annule pas au voisinage de  , ces trois notions sont donc respectivement équivalentes à :

  est bornée au voisinage de  ,   et  .

En particulier, pour tout réel  , on a   si et seulement si  .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Propriétés des trois relationsModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple

MultiplicationModifier


On en déduit par exemple que :

  •   pour tout entier naturel   (et même tout entier relatif, si   ne s'annule pas). Nous verrons plus loin une règle analogue pour un exposant non entier ;
  •  , si   ne s'annule pas.

AdditionModifier

  Les relations   ne sont pas compatibles avec l'addition. En particulier, on ne peut généralement pas additionner les équivalents.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On a cependant un cas favorable assez fréquent :

Référence pour le point 2 : S. Balac et F. Sturm, Algèbre et analyse, PPUR, 2003 [lire en ligne], p. 692 .

CompositionModifier

Soient   et   adhérent à  .


Début de l'exemple
Fin de l'exemple