Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison
Soient (comme au chapitre 2 sur les limites) une partie de et un point adhérent à . Par exemple :
- un intervalle et une extrémité (finie ou infinie) de cet intervalle ;
- et (ce qui permet d'englober le cas des suites).
Soient et deux fonctions de dans .
Définitions : les notations de LandauModifier
Au voisinage de :
- est dite dominée par , ce qu'on note et lit « est un grand O de au voisinage de » si :
- est dite équivalente à , ce qu'on note , si :
- est dite négligeable devant , ce qu'on note et lit « est un petit o de au voisinage de », si :
Lorsque ne s'annule pas au voisinage de , ces trois notions sont donc respectivement équivalentes à :
- est bornée au voisinage de , et .
En particulier, pour tout réel , on a si et seulement si .
- En , tout polynôme non nul est équivalent à son monôme de plus haut degré.
- Pour tous réels strictement positifs et , on a :
(voir, dans les leçons Fonction exponentielle et Fonction logarithme, les chapitres sur les croissances comparées, et leurs pages d'exercices respectives). - Si , alors . Par exemple, en 0 :
- , , , , et sont tous équivalents à ;
- est équivalent à .
- Le point précédent est une reformulation de développements limités à l'ordre 1. Le prochain chapitre traitera des développements limités à un ordre quelconque, et un équivalent sera alors donné par le premier terme non nul du développement limité. Par exemple :
- .
- , d'après l'identité , et par continuité des fonctions logarithme (en 1) et exponentielle (en 0).
Propriétés des trois relationsModifier
- Une fonction ayant une limite réelle en est bornée au voisinage de d’après une démonstration faite dans le cours sur les limites. On en déduit que .
- On a , et .
- La relation est une relation d'équivalence, c'est-à-dire qu'elle est :
- réflexive :
- symétrique :
- transitive : .
- Il y a aussi transitivité de la relation de domination :
. - Pour la relation de négligeabilité, on a une propriété plus forte que la transitivité :
et , ou si et , alors .
- Pour la relation :
- Soit la fonction contante 1. Alors, et donc .
- Si avec alors, au voisinage de , , ce qui permet d'écrire et, puisque , d'en déduire que .
- Si et avec , alors et donc .
- On démontre de même les autres points.
MultiplicationModifier
- Les relations et sont compatibles avec la multiplication de fonctions :
- ;
- .
- La relation est compatible en un sens plus fort :
- .
- Si et si ne s'annule pas au voisinage de , alors .
- On démontre le résultat pour l'équivalence : si et avec alors, et donc .
- Pour , le raisonnement est analogue, en utilisant que le produit de deux fonctions bornées est borné.
- Pour , le raisonnement est analogue, en utilisant que si est bornée et alors .
- Si alors (quitte à rétrécir le voisinage de ) ne s'annule pas non plus, et .
On en déduit par exemple que :
- pour tout entier naturel (et même tout entier relatif, si ne s'annule pas). Nous verrons plus loin une règle analogue pour un exposant non entier ;
- , si ne s'annule pas.
AdditionModifier
Les relations ne sont pas compatibles avec l'addition. En particulier, on ne peut généralement pas additionner les équivalents. |
On a cependant un cas favorable assez fréquent :
Si, sur un voisinage de , et sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors :
- ;
- ;
- .
Référence pour le point 2 : S. Balac et F. Sturm, Algèbre et analyse, PPUR, 2003 [lire en ligne], p. 692.
Soient et deux fonctions telles que et sur un voisinage de . Supposons aussi que sur , on a et . Alors,
et est bornée (comprise entre 0 et 1) donc :
- si alors ;
- si et sont bornées alors est bornée.
CompositionModifier
Soient et adhérent à .
Démontrons par exemple le premier point. Soit telle que et . Alors, et d'après le théorème de composition des limites, .
-
( en posant , mais aussi , en posant ).
Par exemple (puisque ) :- ;
- On en déduit : si , alors ;
- Pour toute suite numérique convergeant vers , on a ;
- De et , on déduit : .
Supposons que et . On a :
- ;
- s'il existe de plus un réel tel que, au voisinage de , (en particulier, si ou ), alors .
D'après les hypothèses et quitte à réduire le voisinage de sur lequel on considère les fonctions, on a .
- .
- Si alors est bien définie et bornée, et , or , donc .