Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison

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Soient (comme au chapitre 2 sur les limites) $I$ une partie de $\mathbb {R}$ et $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ un point adhérent à $I$. Par exemple :

• $I=$ un intervalle et $a=$ une extrémité (finie ou infinie) de cet intervalle ;
• $I=\mathbb {N}$ et $a=+\infty$ (ce qui permet d'englober le cas des suites).

fin de la boite de navigation du chapitre

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $I$ dans $\mathbb {R}$.

Définitions : les notations de Landau

Définition

Au voisinage de $a$ :

• $f$ est dite dominée par $g$, ce qu'on note $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)$ et lit « $f$ est un grand O de $g$ au voisinage de $a$ » si :

au voisinage de $a$, $f(x)=\varphi (x)g(x)$ avec $\varphi$ bornée ;

• $f$ est dite équivalente à $g$, ce qu'on note $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$, si :

au voisinage de $a$, $f(x)=\varphi (x)g(x)$ avec $\lim _{a}\varphi =1$ ;

• $f$ est dite négligeable devant $g$, ce qu'on note $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et lit « $f$ est un petit o de $g$ au voisinage de $a$ », si :

au voisinage de $a$, $f(x)=\varphi (x)g(x)$ avec $\lim _{a}\varphi =0$.

Lorsque $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, ces trois notions sont donc respectivement équivalentes à :

${\frac {f}{g}}$ est bornée au voisinage de $a$, $\lim _{a}{\frac {f}{g}}=1$ et $\lim _{a}{\frac {f}{g}}=0$.

En particulier, pour tout réel $\ell \neq 0$, on a $f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ell$ si et seulement si $\lim _{a}f=\ell$.

Début de l'exemple

Exemples

*En $+\infty$, tout polynôme non nul est équivalent à son monôme de plus haut degré.

• Pour tous réels strictement positifs $\lambda$ et $\mu$, on a :
  $\quad x^{\mu }\,{\underset {x\to +\infty }{=}}\,o\left(\operatorname {e} ^{\lambda x}\right)\quad {\text{ et }}\quad (\ln x)^{\mu }\,{\underset {x\to +\infty }{=}}\,o\left(x^{\lambda }\right)$
  (voir, dans les leçons Fonction exponentielle et Fonction logarithme, les chapitres sur les croissances comparées, et leurs pages d'exercices respectives).
• Si $f'(a)=k\neq 0$, alors $f(x)-f(a)\,{\underset {x\to a}{\sim }}\,k(x-a)$. Par exemple, en 0 :
  • $\sin x$, $\tan x$, $\arcsin x$, $\arctan x$, $\ln(1+x)$ et $\mathrm {e} ^{x}-1$ sont tous équivalents à $x$ ;
  • $(1+x)^{k}-1$ est équivalent à $kx$.
• Le point précédent est une reformulation de développements limités à l'ordre 1. Le prochain chapitre traitera des développements limités à un ordre quelconque, et un équivalent sera alors donné par le premier terme non nul du développement limité. Par exemple :

  $\cos x-1\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,-{\frac {x^{2}}{2}}$.

• $\mathrm {e} ^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,\mathrm {e} ^{g}\Longleftrightarrow \lim _{a}(f-g)=0$, d'après l'identité ${\frac {\mathrm {e} ^{f}}{\mathrm {e} ^{g}}}=\mathrm {e} ^{f-g}$, et par continuité des fonctions logarithme (en 1) et exponentielle (en 0).

Fin de l'exemple

Propriétés des trois relations

Propriétés

* Si $f=\varphi g$ avec $\lim _{a}\varphi \in \mathbb {R}$ (en particulier si $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ ou $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$), alors $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)$.

• $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\iff f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$.

'Démonstration'

• Une fonction ayant une limite réelle en $a$ est bornée au voisinage de $a$ d’après une démonstration faite dans le cours sur les limites. On en déduit que $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)$.
• On a $f=\varphi g\iff f-g=(\varphi -1)g$, et $\lim _{a}\varphi =1\iff \lim _{a}(\varphi -1)=0$.

 

Début de l'exemple

Exemples

En $+\infty$ :

• $\ln x=o(x)$ donc $x+\ln x\sim x$ ;
• $\mathrm {e} ^{-x}=o(1/x)$ donc ${\frac {1}{x}}+\mathrm {e} ^{-x}\sim {\frac {1}{x}}$.

Fin de l'exemple

Propriétés

* La relation ${\underset {a}{\sim }}$ est une relation d'équivalence, c'est-à-dire qu'elle est :

• • réflexive : $f\,{\underset {a}{\sim }}\,f$
  • symétrique : $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Rightarrow g\,{\underset {a}{\sim }}\,f$
  • transitive : $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g{\text{ et }}g\,{\underset {a}{\sim }}\,h\Longrightarrow f\,{\underset {a}{\sim }}\,h$.
• Il y a aussi transitivité de la relation de domination :
  $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g){\text{ et }}g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)\Longrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,O(h)$.
• Pour la relation de négligeabilité, on a une propriété plus forte que la transitivité :
  $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$, ou si $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)$, alors $f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$.

'Démonstration'

• Pour la relation ${\underset {a}{\sim }}$ :
  • Soit $\varphi$ la fonction contante 1. Alors, $f=\varphi f$ et $\lim _{a}\varphi =1$ donc $f\,{\underset {a}{\sim }}\,f$.
  • Si $f=\alpha g$ avec $\lim _{a}\alpha =1$ alors, au voisinage de $a$, $\alpha >0$, ce qui permet d'écrire $g={\frac {1}{\alpha }}f$ et, puisque $\lim _{a}{\frac {1}{\alpha }}=1$, d'en déduire que $g\,{\underset {a}{\sim }}\,f$.
  • Si $f=\alpha g$ et $g=\beta h$ avec $\lim _{a}\alpha =\lim _{a}\beta =1$, alors $f=\gamma h{\text{ avec }}\gamma =\alpha \beta$ et $\lim _{a}\gamma =1$ donc $f\,{\underset {a}{\sim }}\,h$.
• On démontre de même les autres points.

 

Multiplication

Proposition

*Les relations ${\underset {a}{\sim }}$ et ${\underset {a}{=}}\,O$ sont compatibles avec la multiplication de fonctions :

• • $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}{\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}\Longrightarrow f_{1}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}g_{2}$ ;
  • $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})\Longrightarrow f_{1}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}g_{2})$.
• La relation ${\underset {a}{=}}\,o$ est compatible en un sens plus fort :

  $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})\Longrightarrow f_{1}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(f_{2}g_{2})$.

• Si $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors ${\frac {1}{f}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {1}{g}}$.

'Démonstration'

• On démontre le résultat pour l'équivalence : si $f_{1}=\alpha f_{2}$ et $g_{1}=\beta g_{2}$ avec $\lim _{a}\alpha =\lim _{a}\beta =1$ alors, $f_{1}g_{1}=\alpha \beta f_{2}g_{2}$ et $\lim _{a}(\alpha \beta )=1$ donc $f_{1}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}g_{2}$.
• Pour ${\underset {a}{=}}\,O$, le raisonnement est analogue, en utilisant que le produit de deux fonctions bornées est borné.
• Pour ${\underset {a}{=}}\,o$, le raisonnement est analogue, en utilisant que si $\alpha$ est bornée et $\lim _{a}\beta =0$ alors $\lim _{a}(\alpha \beta )=0$.
• Si $\lim _{a}{\frac {f}{g}}=1$ alors (quitte à rétrécir le voisinage de $a$) $f$ ne s'annule pas non plus, et $\lim _{a}{\frac {1/f}{1/g}}=\lim _{a}{\frac {g}{f}}=1$.

 

On en déduit par exemple que :

• $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Longrightarrow f^{n}\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{n}$ pour tout entier naturel $n$ (et même tout entier relatif, si $g$ ne s'annule pas). Nous verrons plus loin une règle analogue pour un exposant non entier ;
• $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}{\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}\Longrightarrow {\frac {f_{1}}{g_{1}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {f_{2}}{g_{2}}}$, si $g_{2}$ ne s'annule pas.

Addition

Les relations $o,O{\text{ et }}\sim$ ne sont pas compatibles avec l'addition. En particulier, on ne peut généralement pas additionner les équivalents.

Début de l'exemple

Exemple

On a $1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1$ mais $(1+x)+(-1)\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,1+(-1)$.

Fin de l'exemple

On a cependant un cas favorable assez fréquent :

Cas particulier

Si, sur un voisinage de $a$, $f_{2}$ et $g_{2}$ sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors :

• $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})\Rightarrow f_{1}+g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(f_{2}+g_{2})$ ;
• $f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}{\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}\Rightarrow f_{1}+g_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,f_{2}+g_{2}$ ;
• $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}){\text{ et }}g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})\Rightarrow f_{1}+g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,O(f_{2}+g_{2})$.

Référence pour le point 2 : S. Balac et F. Sturm, Algèbre et analyse, PPUR, 2003 [lire en ligne], p. 692 .

'Démonstration'

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux fonctions telles que $f_{1}=\alpha f_{2}$ et $g_{1}=\beta g_{2}$ sur un voisinage $V$ de $a$. Supposons aussi que sur $V$, on a $f_{2}g_{2}\geq 0$ et $h:=f_{2}+g_{2}\neq 0$. Alors,

${\frac {f_{1}+g_{1}}{f_{2}+g_{2}}}={\frac {\alpha f_{2}+\beta g_{2}}{h}}={\frac {\alpha f_{2}+\beta (h-f_{2})}{h}}=\beta +(\alpha -\beta ){\frac {f_{2}}{h}}$

et ${\frac {f_{2}}{h}}$ est bornée (comprise entre 0 et 1) donc :

• si $\lim _{a}\alpha =\lim _{a}\beta =\ell \in \mathbb {R}$ alors $\lim _{a}{\frac {f_{1}+g_{1}}{f_{2}+g_{2}}}=\ell$ ;
• si $\alpha$ et $\beta$ sont bornées alors ${\frac {f_{1}+g_{1}}{f_{2}+g_{2}}}$ est bornée.

 

Composition

Soient $h:J\to I$ et $b$ adhérent à $J$.

Composition à droite par une même fonction

Si $\lim _{b}h=a$, alors :

• $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Longrightarrow f\circ h\,{\underset {b}{\sim }}\,g\circ h$ ;
• $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Longrightarrow f\circ h\,{\underset {b}{=}}\,o(g\circ h)$ ;
• $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)\Longrightarrow f\circ h\,{\underset {b}{=}}\,O(g\circ h)$.

'Démonstration'

Démontrons par exemple le premier point. Soit $\varphi$ telle que $f=\varphi g$ et $\lim _{a}\varphi =1$. Alors, $f\circ h=(\varphi \circ h)(g\circ h)$ et d'après le théorème de composition des limites, $\lim _{b}\varphi \circ h=1$.

 

Début de l'exemple

Exemples

*$f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Longleftrightarrow f(a+t)\,{\underset {t\to 0}{\sim }}\,g(a+t)$
($\Rightarrow$ en posant $h(t)=a+t$, mais aussi $\Leftarrow$, en posant $h(x)=x-a$).
Par exemple (puisque $\ln(1+t)\,{\underset {t\to 0}{\sim }}\,t$) :

• $\ln x\,{\underset {1}{\sim }}\,x-1$ ;

• On en déduit : si $\lim _{b}h=1$, alors $\mathrm {ln} \circ h\,{\underset {b}{\sim }}\,h-1$ ;
• Pour toute suite numérique $(h_{n})$ convergeant vers $0$, on a $\ln(1+h_{n})\sim h_{n}$ ;
• De $\mathrm {e} ^{x}-1\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,x$ et $\lim _{t\to 0}\sin t=0$, on déduit : $\mathrm {e} ^{\sin t}-1\,{\underset {t\to 0}{\sim }}\,\sin t$.

Fin de l'exemple

Composition à gauche par les puissances et le logarithme

Supposons que $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g$ et $g>0$. On a :

• $\forall \alpha \in \mathbb {C} \quad f^{\alpha }\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{\alpha }$ ;
• s'il existe de plus un réel $\varepsilon >0$ tel que, au voisinage de $a$, $|g-1|\geq \varepsilon$ (en particulier, si $\lim _{a}g=+\infty$ ou $\lim _{a}g=0$), alors $\ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g$.

'Démonstration'

D'après les hypothèses et quitte à réduire le voisinage de $a$ sur lequel on considère les fonctions, on a $f>0$.

• $\lim _{a}{\frac {f^{\alpha }}{g^{\alpha }}}=\lim _{a}\exp \left(\alpha \ln \circ {\frac {f}{g}}\right)=\exp \left(\alpha \ln 1\right)=\exp 0=1$.
• Si $|g-1|\geq \varepsilon >1$ alors $h:={\frac {1}{\ln \circ g}}$ est bien définie et bornée, et ${\frac {\ln \circ f}{\ln \circ g}}=\left(\ln \circ f\right)h=\left(\ln \circ {\frac {f}{g}}+\ln \circ g\right)h=\left(\ln \circ {\frac {f}{g}}\right)h+1$, or $\lim _{a}\ln \circ {\frac {f}{g}}=\ln 1=0$, donc $\lim _{a}{\frac {\ln \circ f}{\ln \circ g}}=1$.