Utilisateur:RM77/Sujets

DS 1 de Mathématiques, 28/09

DS 1, Exo 1

Résoudre l'équation différentielle $y''+2my'+y=\sin x$ dépendant du paramètre réel $m>0$, avec les conditions initiales $y(0)=y'(0)=0$.

Solution : voir Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants#Avec des sinus et cosinus.

DS 1, Exo 2

On considère le système linéaire

$(S):{\begin{cases}mx+y+2z=a\\2x+my+z=b\\x+2y+mz=c\end{cases}}$

dépendant des paramètres réels $m,a,b,c$.

1. Donner une expression factorisée du déterminant de $(S)$.
2. Discuter et résoudre le système $(S)$.

Solution : voir Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre#Exercice 2.

DS 1, Exo 3

1. Représenter géométriquement l’ensemble des nombres complexes $\{1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mid \theta \in \left[0,2\pi \right[\}$.
2. Donner, suivant les valeurs de $\theta \in \left[0,2\pi \right[$, le module et l'argument de $1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }$.
3. Résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation $z^{5}=\left(1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)^{5}$.

Solution

1. Il s'agit du cercle de centre (1, 0) et de rayon 1 ;
2. et 3. : voir Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes#Exercice 6-9.

 

DS 1, Exo 4

On trouve, dans les livres d'optique, que la luminance énergétique spectrale d'un corps noir est une fonction $f_{T}$ de la longueur d'onde, dépendant de la température absolue, donnée par :

$f_{T}(\lambda )={\frac {a\lambda ^{-5}}{\exp \left({\frac {b}{\lambda T}}\right)-1}}$

où a et b sont constantes > 0, T > 0 est la température en kelvin et $\lambda >0$ la longueur d'onde.

1. Montrer que $f_{T}$ peut être prolongée en 0 en une continue sur $\mathbb {R} _{+}$ . La fonction prolongée est-elle dérivable en 0 ?
2. Donner la limite de $f_{T}$ quand $\lambda \rightarrow +\infty$ .
3. Étudier la position relative des courbes des $f_{T}$ .
4. Étudier les variations de la fonction g donnée par $g(x)=xe^{x}-5e^{x}+5$ .
5. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$ .
6. Exprimer la dérivée de $f_{T}$ au moyen de la fonction g.
7. Donner les variations de $f_{T}$ sur $\mathbb {R} _{+}$ .
8. Donner, par son équation, la courbe des points à tangente horizontale.
9. Tracer sur un même graphique la courbe des points à tangente horizontale et quelques une des courbes des $f_{T}$ .
10. Calculer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
11. Sachant que $a=1,19.10^{-16}\,W.m^{-2}$ et $b=1,44.10^{-2}\,m.K$, donner, pour $T=5500\,K$ température superficielle du Soleil, une valeur approchée de la valeur de $\lambda$ pour laquelle $f_{T}$ atteint son maximum.

Solution des questions 1 et 2

1. ${\frac {f_{T}(\lambda )}{\lambda }}\,{\underset {\lambda \to 0^{+}}{\sim }}\,{\frac {a}{\lambda ^{6}\exp \left({\frac {b}{\lambda T}}\right)}}\,{\underset {\lambda \to 0^{+}}{\to }}\,0$. Par conséquent, la fonction peut être prolongée en 0 en une fonction dérivable, telle que $f_{T}(0)=f'_{T}(0)=0$.
2. $f_{T}(\lambda )\,{\underset {\lambda \to +\infty }{\sim }}\,{\frac {aT}{b\lambda ^{4}}}\,{\underset {\lambda \to +\infty }{\to }}\,0$.

 

Solution des questions 3 à 11

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}