Wikiversité:La salle café/23 2010

La salle café du 7 juin 2010 au 13 juin 2010

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Café rafraîchiAjouter un message

étude d'une fonction logarithmique

j'ai du mal avec l'étude du sens de variation ainsi que le signe de cette fonction 2lnx+1/x — Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par 41.214.223.114 (d · c · b · s).

Bonjour, vous avez lu Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien ? JackPotte ($) 12 juin 2010 à 19:36 (UTC)

Bonjour,

Comme la quasi-totalité des exercices de ce genre, il faut mener l'étude de la fonction suivant le plan classique :

• Détermination du domaine de définition (et de dérivabilité si différent)
• Calcul de la dérivée
• Étude du signe de la dérivée et déduction du tableau de variations
• Étude du signe

Dans ce cas particulier, $f:x\mapsto 2\ln(x)+{\frac {1}{x}}$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty [$, sa dérivée vaut $\forall x\in \mathbb {R} ^{+*},~f'(x)={\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {2x-1}{x^{2}}}$

Le signe de la dérivée est alors très simple à trouver et permet de montrer que f est décroissante pour x < 1/2 et croissante ensuite. La valeur en 1/2 est donc le minimum absolu de f et comme f(1/2)>0, f est toujours positive. Xzapro4 _discuter 15 juin 2010 à 17:32 (UTC)

sommations

a quoi est egale la somme de tous les reels elevés a eux-même allant de 1 a n et la somme de l'inverse de tous les reel allant de 1 a n — Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par 41.138.41.132 (d · c · b · s).

Cela ressemble à ça : Mathématiques financières/Somme d'une suite géométrique. JackPotte ($) 13 juin 2010 à 20:12 (UTC)

Je suppose qu'un lapsus a été commis et qu’il était question de la somme des entiers ou de leurs inverses entre 1 et n, sinon ça n'a aucun sens.

Cela ressemble à une somme géométrique mais ce n'en est malheureusement pas une puisque la raison est variable. On a $\sum _{i=1}^{n}i^{i}$ et non $\sum _{i=1}^{n}q^{i}$ avec q défini. Je ne connais pas de résultat exact, il en existe peut-être un démontrable par récurrence mais j'en doute. On peut trouver un équivalent à cette série en l'infini, probablement $n^{n}$.

Pour la deuxième, $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}$, je ne crois pas qu’il existe une expression exacte. Elle s’appelle la série harmonique et est équivalente à ln(n) en l'infini. Xzapro4 _discuter 15 juin 2010 à 17:32 (UTC)