Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

À ce niveau, il y a deux manières d’aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :

soit à partir de la fonction inverse
soit à partir de la fonction exponentielle

**Définition du logarithme néperien**
Leçon : Fonction logarithme

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Propriétés algébriques du logarithme

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Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Nous allons présenter ces deux approches. Nous admettrons qu'elles sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Logarithme népérien et fonction inverse modifier

Cette section nécessite des connaissances sur les primitives. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Problématique modifier

Si $n\neq 1$ , une primitive de $x\mapsto x^{-n}$ est $x\mapsto {\frac {x^{-n+1}}{-n+1}}$ mais pour $n=1$ , on n'a rien de tel.

On ne trouve pas de primitive de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ , un théorème nous assure l’existence d’une primitive.

Définition de la fonction logarithme népérien modifier

Définition

On appelle fonction logarithme népérien et on note $\ln$ l’unique primitive de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ qui s'annule en $x=1$ . Autrement dit :

pour tout $x\in \mathbb {R} _{+}^{*},~\ln '(x)={\frac {1}{x}}$
$\ln(1)=0$

Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif modifier

Définition

Le logarithme népérien d’un nombre réel $x>0$ est son image par la fonction logarithme népérien définie ci-dessus. On le note donc $\ln(x)$ .

Logarithme népérien et exponentielle modifier

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Rappel : l'étude de la fonction exponentielle $\exp$ (définie par $\exp '=\exp$ et $\exp(0)=1$ ) montre que c'est une bijection strictement croissante de $\mathbb {R}$ dans $\left]0,+\infty \right[$ . En particulier, son tableau de variations est le suivant :

${\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &&&&&+\infty \\&&&&\nearrow \\\exp(x)&&&1\\&&\nearrow \\&0\\\end{array}}$

Définition

On appelle fonction logarithme népérien, et l'on note $\ln$ , la bijection réciproque, de $\left]0,+\infty \right[$ dans $\mathbb {R}$ , de la fonction $\exp$ .