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À ce niveau, il y a deux manières d’aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :
soit à partir de la fonction inverse
soit à partir de la fonction exponentielle fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction logarithme : Définition du logarithme néperien Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous allons présenter ces deux approches. Nous admettrons qu'elles sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14 ).
Logarithme népérien et fonction inverse
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Si
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 1}
, une primitive de
x
↦
x
−
n
{\displaystyle x\mapsto x^{-n}}
est
x
↦
x
−
n
+
1
−
n
+
1
{\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{-n+1}}{-n+1}}}
mais pour
n
=
1
{\displaystyle n=1}
, on n'a rien de tel.
On ne trouve pas de primitive de
x
↦
1
x
{\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}
parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
, un théorème nous assure l’existence d’une primitive .
Définition de la fonction logarithme népérien
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Définition
On appelle fonction
logarithme népérien et on note
ln
{\displaystyle \ln }
l’unique primitive de
x
↦
1
x
{\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}
sur
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
qui s'annule en
x
=
1
{\displaystyle x=1}
.
Autrement dit :
pour tout
x
∈
R
+
∗
,
ln
′
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}^{*},~\ln '(x)={\frac {1}{x}}}
ln
(
1
)
=
0
{\displaystyle \ln(1)=0}
Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif
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Définition
Le logarithme népérien d’un nombre réel
x
>
0
{\displaystyle x>0}
est son image par la fonction logarithme népérien définie ci-dessus. On le note donc
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
.
Logarithme népérien et exponentielle
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Rappel : l'étude de la fonction exponentielle
exp
{\displaystyle \exp }
(définie par
exp
′
=
exp
{\displaystyle \exp '=\exp }
et
exp
(
0
)
=
1
{\displaystyle \exp(0)=1}
) montre que c'est une bijection strictement croissante de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
dans
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
. En particulier, son tableau de variations est le suivant :
x
−
∞
0
+
∞
+
∞
↗
exp
(
x
)
1
↗
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &&&&&+\infty \\&&&&\nearrow \\\exp(x)&&&1\\&&\nearrow \\&0\\\end{array}}}
Définition
On appelle
fonction logarithme népérien , et l'on note
ln
{\displaystyle \ln }
, la
bijection réciproque , de
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, de la fonction
exp
{\displaystyle \exp }
.
Autrement dit :
pour tout réel
x
{\displaystyle x}
strictement positif , le nombre réel
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
est caractérisé par :
exp
(
ln
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \exp \left(\ln(x)\right)=x}
Ou encore :
pour tout
y
∈
R
,
ln
(
exp
(
y
)
)
=
y
{\displaystyle y\in \mathbb {R} ,~\ln(\exp(y))=y}
Remarque
En particulier,
ln
(
1
)
=
0
{\displaystyle \ln(1)=0}
.