Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

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À ce niveau, il y a deux manières d’aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :

  • soit à partir de la fonction inverse
  • soit à partir de la fonction exponentielle
Définition du logarithme néperien
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Chapitre no 1
Leçon : Fonction logarithme
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Chap. suiv. :Propriétés algébriques du logarithme
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Nous allons présenter ces deux approches. Nous admettrons qu'elles sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Logarithme népérien et fonction inverse

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Cette section nécessite des connaissances sur les primitives. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


Problématique

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Si  , une primitive de   est   mais pour  , on n'a rien de tel.

On ne trouve pas de primitive de   parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur  , un théorème nous assure l’existence d’une primitive.

Définition de la fonction logarithme népérien

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Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif

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Logarithme népérien et exponentielle

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Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


Rappel : l'étude de la fonction exponentielle   (définie par   et  ) montre que c'est une bijection strictement croissante de   dans  . En particulier, son tableau de variations est le suivant :

 


Remarque
En particulier,  .

Exemples

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Calculer au centième près avec la calculatrice (utiliser la touche ln, et non log) :

 =

 =

 =

 =

 =