Soit
. L'objet de ce devoir est de décomposer
en produit d'une matrice orthogonale (unique si
est inversible) et d'une matrice (symétrique) positive (toujours unique, et inversible si
l'est).
- Montrer que
est symétrique et positive.
- Elle admet donc une unique racine carrée symétrique positive, que l'on notera
.
- Montrer que si
avec
orthogonale et
symétrique positive, alors
.
- Si
(donc aussi
) est inversible, montrer que la matrice
est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
- En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer
inversible.
- Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale
telle que
.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Matrice hermitienne
Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Corrigé
est clairement symétrique, et pour toute matrice colonne
,
.
- Si
avec
orthogonale et
symétrique, alors
, donc si de plus
est positive alors (par unicité de la racine carrée symétrique positive)
.
.
- Soit
une suite de matrices inversibles convergeant vers
, et
leurs décompositions polaires. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut supposer (quitte à extraire une sous-suite) que
converge. La limite
est alors orthogonale (par continuité de l'application
), et la limite
des
est symétrique positive (par continuité des applications
et, pour toute matrice colonne
,
).
- (On identifie ici tout endomorphisme de
avec sa matrice dans la base canonique.)
donc pour tout vecteur
,
(en particulier
et
ont même noyau). Par conséquent, il existe un isomorphisme isométrique
tel que pour tout
,
. Par somme directe avec un isomorphisme isométrique arbitraire entre les orthogonaux de
et
, on obtient la matrice
voulue.
Autre point de vue et quelques compléments
Soit
un espace euclidien de dimension
. Soient
des endomorphismes de
dont les matrices respectives, dans une certaine base orthonormée, sont les matrices
ci-dessus.
- Vérifier que
et
. En déduire que
.
- En déduire qu'il existe une base orthonormée
de
telle que
.
- On suppose dans cette question que
est bijectif (donc
aussi d'après 1).
- Déduire de l'exercice 1-3 de la leçon « Réduction des endomorphismes » que
commutent si et seulement si
commutent.
- Déduire de la question 2 une expression de
en fonction de
.
- Application : soit
. Calculer les deux matrices
et
.
- On ne suppose plus que
est bijectif, et l'on ordonne la base
de la question 2 de telle sorte que
soient non nuls et
soient nuls.
- Comment faut-il choisir
pour définir un endomorphisme orthogonal
tel que
? Un tel
est-il unique ?
- Application : soit
. Trouver deux matrices
symétrique et
orthogonale telles que
.
Solution
, en particulier
, donc
.
- Soit
une base orthonormée de
propre pour
,
avec
.
-
(d'après les questions 1 et 2 de l'exercice mentionné, puisque
et
sont diagonalisables et ont mêmes sous-espaces propres)
(en composant à droite par
)
.
.
donc
et
.
-
- On veut que les
forment une base orthonormée (pour que
soit orthogonal) et vérifient
c'est-à-dire
. Il faut donc prendre
donnés par cette formule, et choisir
de telle sorte que
soit une base orthonormée (ceci généralise le cas
de la question 3, mais pour
le choix n'est évidemment pas unique).
a pour noyau (comme
) le plan d'équation
, c'est-à-dire le plan
avec
. Par conséquent, la droite
doit être elle aussi stable par
, c'est-à-dire
doit être propre pour
. Effectivement, le calcul donne
. Donc
est la matrice qui envoie
sur
(comme
) et telle que
, d'où
. Pour
on a
. On cherche donc
orthogonale telle que
. La méthode générale serait de choisir une base orthonormée
de
puis de choisir
tels que
soit une base orthonormée et de déterminer
telle que
. Mais en remarquant que
n'est autre que le symétrique orthogonal de
par rapport au plan
, on peut choisir simplement pour
cette symétrie :
.