Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle

Matrice hermitienne
Image logo représentative de la faculté
Devoir no1
Cours : Algèbre linéaire

Devoir de niveau 15.


Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Matrice hermitienne
Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soit . L'objet de ce devoir est de décomposer en produit d'une matrice orthogonale (unique si est inversible) et d'une matrice (symétrique) positive (toujours unique, et inversible si l'est).

  1. Montrer que est symétrique et positive.
    Elle admet donc une unique racine carrée symétrique positive, que l'on notera .
  2. Montrer que si avec orthogonale et symétrique positive, alors .
  3. Si (donc aussi ) est inversible, montrer que la matrice est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
  4. En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer inversible.
  5. Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale telle que .

Autre point de vue et quelques compléments

Soit un espace euclidien de dimension . Soient des endomorphismes de dont les matrices respectives, dans une certaine base orthonormée, sont les matrices ci-dessus.

  1. Vérifier que et . En déduire que .
  2. En déduire qu'il existe une base orthonormée de telle que .
  3. On suppose dans cette question que est bijectif (donc aussi d'après 1).
    1. Déduire de l'exercice 1-3 de la leçon « Réduction des endomorphismes » que commutent si et seulement si commutent.
    2. Déduire de la question 2 une expression de en fonction de .
    3. Application : soit . Calculer les deux matrices et .
  4. On ne suppose plus que est bijectif, et l'on ordonne la base de la question 2 de telle sorte que soient non nuls et soient nuls.
    1. Comment faut-il choisir pour définir un endomorphisme orthogonal tel que  ? Un tel est-il unique ?
    2. Application : soit . Trouver deux matrices symétrique et orthogonale telles que .