Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites

Début de la boite de navigation du chapitre

Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Suites extraites
Icône de la faculté
Chapitre no 4
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Suites adjacentes
Chap. suiv. :Relations de comparaison

Exercices :

Convergence
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Approfondissement sur les suites numériques : Suites extraites
Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définitions et premières propriétés

modifier

Suites extraites

modifier

Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite :


Remarques
  1. On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice  , on a :  . Ce qui prouve que  .
  2. Si   sont deux extractrices, alors   est également une extractrice.
  3. L'exemple fondamental est donné par les deux suites  , qui sont les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.

Limites de suites extraites

modifier

Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Par contraposition, ce théorème équivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Vous démontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :


Remarque
Il est important de souligner qu'il ne suffit pas que les deux sous-suites   et   convergent pour que la suite   converge (comme le montre l'exemple précédent) : il faut qu'elles convergent vers la même limite.

Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de   est bornée et atteint ses bornes.

Début d’un théorème
Fin du théorème