Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques

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Dans tout ce cours, $E$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel. On notera ${\mathcal {L}}_{2}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires sur $E$.

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Formes bilinéaires symétriques

Ensemble des formes bilinéaires

Définition

Soit $f\in {\mathcal {L}}_{2}(E)$ une forme bilinéaire sur $E$. On dit que $f$ est :

• symétrique si $\forall (x,y)\in E^{2}\quad f(x,y)=f(y,x)$ ;
• antisymétrique si $\forall (x,y)\in E^{2}\quad f(x,y)=-f(y,x)$.

On note :

• ${\mathcal {S}}_{2}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires symétriques sur $E$.
• ${\mathcal {A}}_{2}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires antisymétriques sur $E$.

Structure de S₂(E)

${\mathcal {S}}_{2}(E)$ et ${\mathcal {A}}_{2}(E)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans ${\mathcal {L}}_{2}(E)$.

Démonstration

L'application $S:{\mathcal {L}}_{2}(E)\to {\mathcal {L}}_{2}(E)$ définie par $S(f)(x,y)=f(y,x)$ est une symétrie vectorielle (c'est-à-dire que $S$ est linéaire et $S\circ S=\mathrm {id} _{{\mathcal {L}}_{2}(E)}$) et par définition, $\ker \left(S-\mathrm {id} _{{\mathcal {L}}_{2}(E)}\right)={\mathcal {S}}_{2}(E)$ et $\ker \left(S+\mathrm {id} _{{\mathcal {L}}_{2}(E)}\right)={\mathcal {A}}_{2}(E).$

 

Positivité

Définition

Soit $f\in {\mathcal {S}}_{2}(E)$. On dit que $f$ est :

• positive si $\forall x\in E\quad f(x,x)\geq 0$ ;
• définie positive si $\forall x\in E\setminus \{0\}\quad f(x,x)>0$.

On note :

• ${\mathcal {S}}_{2}^{+}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires symétriques positives sur $E$.
• ${\mathcal {S}}_{2}^{++}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur $E$.

Début d’un théorème

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit $f\in {\mathcal {S}}_{2}^{+}(E)$.

$\forall (x,y)\in E^{2},~f(x,y)^{2}\leq f(x,x)f(y,y)$

Si, de plus, $f$ est définie positive, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est une famille liée.

Fin du théorème

Démonstration

Pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, $f(x+\lambda y,x+\lambda y)=f(y,y)\lambda ^{2}+2f(x,y)\lambda +f(x,x)\geq 0$.

Si $f(y,y)=0$, alors $f(x,y)=0$ et l'inégalité est triviale. Si $f(y,y)\neq 0$ le discriminant réduit $\Delta ^{'}=f(x,y)^{2}-f(x,x)f(y,y)$ doit être négatif ou nul.

 

Formes quadratiques

Ensemble des formes quadratiques

Définition

Soit $f\in {\mathcal {S}}_{2}(E)$.

On définit la forme quadratique $Q$ associée à $f$ par $\forall x\in E\quad Q(x)=f(x,x)$

On note ${\mathcal {Q}}(E)$ l’ensemble des formes quadratiques sur $E$.

Remarques

• ${\mathcal {Q}}(E)$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.

• Toute forme quadratique $Q$ sur E est homogène de degré 2, c'est-à-dire que

  $\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad \forall x\in E\quad Q(\lambda x)=\lambda ^{2}Q(x)$.

On peut retrouver $f$ à partir de $Q$ :

Début d’un théorème

Formules de polarisation

Soient $f$ une forme bilinéaire symétrique et $Q$ la forme quadratique associée. Pour tout $(x,y)\in E^{2}$, on a :

$f(x,y)={\frac {Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2}}={\frac {Q(x+y)-Q(x-y)}{4}}$.

Fin du théorème

Corollaire

Une application $Q:E\to \mathbb {R}$ est une forme quadratique si et seulement si :

• $\forall x\in E\quad Q(2x)=4Q(x)$ ;
• l'application symétrique $h:E\times E\to \mathbb {R}$ définie par
  $h(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$
  est bilinéaire.

Faites ces exercices : Formes quadratiques.

Positivité

Définition

On dit qu'une forme quadratique est positive (respectivement : définie positive) si sa forme bilinéaire symétrique associée l'est.

Début d’un théorème

Inégalité de Minkowski (inégalité triangulaire)

Soit $Q$ une forme quadratique positive.

$\forall (x,y)\in E^{2}\quad {\sqrt {Q(x+y)}}\leq {\sqrt {Q(x)}}+{\sqrt {Q(y)}}$.

Si, de plus, $Q$ est définie positive, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est une famille positivement liée, c'est-à-dire si $y=0$ ou s'il existe un réel positif $\alpha$ tel que $x=\alpha y$.

Fin du théorème

Démonstration

Soient $f\in {\mathcal {S}}_{2}^{+}(E)$ associée à $Q$, et $(x,y)\in E^{2}$.

D’après Cauchy-Schwarz, $|f(x,y)|\leq {\sqrt {Q(x)}}{\sqrt {Q(y)}}$. Par conséquent :

$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2f(x,y)\leq Q(x)+Q(y)+2|f(x,y)|\leq Q(x)+Q(y)+2{\sqrt {Q(x)}}{\sqrt {Q(y)}}=\left({\sqrt {Q(x)}}+{\sqrt {Q(y)}}\right)^{2}$.

On a donc bien ${\sqrt {Q(x+y)}}\leq {\sqrt {Q(x)}}+{\sqrt {Q(y)}}$.

Si, de plus, $Q$ est définie positive, on a égalité si et seulement si $f(x,y)=|f(x,y)|={\sqrt {Q(x)}}{\sqrt {Q(y)}}$ c'est-à-dire si $f(x,y)\geq 0$ et $(x,y)$ est liée, ce qui équivaut à : $(x,y)$ est positivement liée.

 

Orthogonal d'une partie

Toutes les notions de cette section seront implicitement relatives à une forme bilinéaire symétrique fixée $f$ sur $E$.

Définitions

• Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux lorsque $f(x,y)=0$. On note alors $x\perp y$.
• Un vecteur $x$ est dit orthogonal à une partie $A$ (de $E$) lorsque $x\perp y$ pour tout $y\in A$. On note alors $x\perp A$.
• L'orthogonal d'une partie $A$ est la partie $A^{\bot }:=\{x\in E\mid x\perp A\}$.
• La partie $E^{\bot }$ est appelée le noyau de $f$.
• On dit que $f$ est non dégénérée si son noyau n'est pas réduit au vecteur nul.

Propriétés de l'orthogonal d'une partie

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$.

1. $A^{\bot }$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
2. $A\subset B\Rightarrow B^{\bot }\subset A^{\bot }$.
3. $A^{\bot }=(\operatorname {Vect} (A))^{\bot }$.

Démonstration

1. $A^{\bot }=\cap _{a\in A}\{a\}^{\bot }$ et $\{a\}^{\bot }=\ker f(a,\cdot )$.
2. Soit $x\in B^{\bot }$. On a $x\perp B$. En particulier, comme $A\subset B,~x\perp A$, donc $x\in A^{\bot }$.
3. D'après le point précédent, on a déjà $(\operatorname {Vect} (A))^{\bot }\subset A^{\bot }$.
   Réciproquement, si $x\in A^{\bot }$, c'est-à-dire si $A\subset \ker f(x,\cdot )$, alors $\operatorname {Vect} (A)\subset \ker f(x,\cdot )$, c'est-à-dire $x\in (\operatorname {Vect} (A))^{\bot }$.

 

Propriétés de l'orthogonal d'un sous-espace

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.

1. $(F+G)^{\bot }=F^{\bot }\cap G^{\bot }$.
2. $F^{\bot }+G^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$.
3. $F\subset (F^{\bot })^{\bot }$.

Démonstration

1. $(F+G)^{\bot }=(\operatorname {Vect} (F\cup G))^{\bot }=(F\cup G)^{\bot }=F^{\bot }\cap G^{\bot }$.
2. $F\cap G\subset F$ donc $F^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$. De même, $G^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$. Donc $F^{\bot }+G^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$.
3. $F\perp F^{\bot }$.

 

Début d’un théorème

Théorème : relation entre les dimensions de $F$ et $F^{\bot }$

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On suppose ici que $E$ est de dimension finie. Alors,

$\dim(F)+\dim(F^{\bot })=\dim(E)+\dim(F\cap E^{\bot })$.

Fin du théorème

Démonstration

Appliquons le théorème du rang à l'application $\Phi :F\to E^{*},\,x\mapsto f(x,\cdot )$ :

$\dim F=\dim \ker \Phi +\dim \operatorname {im} \Phi =\dim(F\cap E^{\bot })+\dim E-\dim(\operatorname {im} \Phi )^{\circ }=\dim(F\cap E^{\bot })+\dim E-\dim(F^{\bot })$.

 

→ Voir le cours sur les espaces euclidiens pour l’étude des formes bilinéaires symétriques et quadratiques en dimension finie, en particulier leur écriture matricielle.