Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables
Exercice 1-1
modifierSoit un endomorphisme d'un -espace vectoriel .
- Montrer que tout sous-espace de engendré par une famille de vecteurs propres pour est stable (par ).
- On suppose que est diagonalisable. Déduire de la question précédente qu'alors, tout sous-espace de admet un supplémentaire stable.
- On suppose maintenant que et que tout sous-espace stable de admet un supplémentaire stable. Montrer qu'alors, est diagonalisable.
- Soit de matrice dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces stables par et en déduire que tout sous-espace stable de admet un supplémentaire stable, bien que ne soit pas diagonalisable.
- Soit un sous-espace engendré par une famille de vecteurs propres, de valeurs propres associées . Tout vecteur de s'écrit alors sous la forme (où est une partie finie de et les sont des scalaires) donc son image appartient à , car .
- Soient une partie génératrice de constituée de vecteurs propres, un sous-espace de , et une base de . D'après le théorème de la base incomplète, il existe un sous-ensemble tel que soit une base de . Le sous-espace engendré par est alors un supplémentaire de et — d'après la question 1 — est stable.
- Soient la somme des sous-espaces propres et un supplémentaire stable. Si était de dimension , la restriction de à aurait au moins une valeur propre dans donc contiendrait au moins un vecteur propre pour . C'est impossible puisqu'ils sont tous dans . Donc , c'est-à-dire , c'est-à-dire que est diagonalisable.
- (la rotation de dans ) n'a pas de vecteur propre c'est-à-dire pas de droite stable. Les seuls sous-espaces stables sont donc et . Chacun d'eux admet l'autre comme supplémentaire stable. Pourtant, n'est pas diagonalisable.
Exercice 1-2
modifierSoit un endomorphisme d'un espace vectoriel avec et stables par . On note et les restrictions de à ces deux sous-espaces.
- Soit un scalaire. On note , et les sous-espaces correspondants (propres ou nuls) de , et . Démontrer que .
- En déduire que si est diagonalisable alors et le sont aussi.
- En déduire (en utilisant l'exercice précédent) que :La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.
- On a évidemment . Réciproquement, montrons que tout vecteur appartient à . Soit sa décomposition selon la somme directe . Alors, se réécrit , ce qui donne deux décompositions d'un même vecteur selon la somme directe . Par unicité d'une telle décomposition, et , autrement dit : et . On a donc bien : .
- Notons et définissons de même et . D'après la question précédente, donc . Par conséquent, si est diagonalisable, c'est-à-dire si , alors donc est diagonalisable, et de même pour .
- Soient un endomorphisme diagonalisable d'un espace , et un sous-espace stable.
- D'après l'exercice 1, possède un supplémentaire stable.
- D'après la question précédente, la restriction de à est donc diagonalisable.
Exercice 1-3
modifier- Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel E. Vérifier que si u est diagonalisable et si chacun de ses sous-espaces propres est stable par v, alors u et v commutent (c'est-à-dire que ).
- Vérifier que si deux endomorphismes u et v d'un espace vectoriel commutent alors chacun des sous-espaces propres pour v est stable par u.
- En déduire, par récurrence et à l'aide du résultat de l'exercice 2, que pour tout entier n ≥ 1 :Si n endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel commutent deux à deux, alors ils sont simultanément diagonalisables(c'est-à-dire qu'il existe une base de l'espace dont les vecteurs sont propres pour tous ces endomorphismes).
- En déduire que dans Mk(K) (pour tout corps K et tout entier naturel k), toute famille (non nécessairement finie) de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable (c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible telle que pour chaque matrice de la famille, soit diagonale).
- Si u est diagonalisable, E est somme directe des sous-espaces propres , donc pour que , (il faut et) il suffit que , c'est-à-dire , c'est-à-dire est stable par v.
- Le sous-espace propre pour pour une valeur propre est stable par car c'est le noyau d'un endomorphisme qui commute avec : l'endomorphisme .
- Pour n = 1, la propriété est vraie. Pour n ≥ 1, supposons-la vraie à l'ordre n et montrons qu'elle l'est encore à l'ordre n + 1. Soient des endomorphismes diagonalisables de qui commutent, et soit la famille des sous-espaces propres pour . D'après la question précédente, chaque est stable par . Les restrictions à de commutent et (d'après l'exercice 2) sont diagonalisables. Par hypothèse de récurrence, il existe donc une base de constituée de vecteurs propres pour . Ces vecteurs sont également propres pour (pour la valeur propre ). La réunion des est alors constituée de vecteurs propres pour , et c'est une base de , ce qui termine la preuve par récurrence.
- Soit n le rang de cette famille, c'est-à-dire la dimension (inférieure ou égale à k2) du sous-espace vectoriel de Mk(K) qu'elle engendre, et soit une sous-famille constituant une base de ce sous-espace. Ces n matrices sont simultanément diagonalisables d'après la question précédente. Soit une matrice qui les diagonalise. Alors diagonalise aussi toutes leurs combinaisons linéaires, en particulier la famille toute entière.
Exercice 1-4
modifierSur le K-espace vectoriel des suites à valeurs dans K, on définit pour tout l'endomorphisme par : pour toute suite , la suite est celle dont le n-ième terme vaut et les autres sont nuls.
- Montrer que les (pour ) commutent deux à deux.
- Montrer que chaque est diagonalisable.
- Identifier les suites qui sont propres pour tous les à la fois.
- En déduire que les ne sont pas simultanément diagonalisables.
- Si , .
- est une projection, donc de valeurs propres 0 et 1, et de sous-espaces propres supplémentaires
- .
- Soient une suite non nulle propre pour tous les , et un indice tel que . Alors, donc le seul terme non nul de est . Réciproquement, soit une suite dont seul le m-ième terme est non nul. Alors, est propre pour tous les (avec la valeur propre 1 pour et 0 pour les autres ). Les suites propres pour tous les à la fois sont donc les suites qui n'ont qu'un terme non nul.
- Les suites propres pour tous les à la fois n'engendrent que le sous-espace des suites qui n'ont qu'un nombre fini de termes non nuls.
Exercice 1-5
modifierSoit . Résoudre dans l'équation
Notons .
Un simple calcul montre que .
Si est solution de l'équation, alors commute avec donc et sont diagonalisables dans une même base.
Les solutions sont donc les matrices , avec diagonale et .
Si est pair, il y a deux solutions : et .
Si est impair, l'unique solution est .
- Si et sont deux matrices de (où est un corps arbitraire) telles que , donner des exemples de sous-espaces de stables à la fois par et par .
- Déterminer toutes les matrices carrées réelles d'ordre telles que , où .
- , ou plus généralement et pour n'importe quel polynôme , et idem en remplaçant par .
- Dans la base , la matrice correspondant à est . D'après la question 1, la matrice correspondant à doit être (puisque , en particulier ) de la forme avec et . avec ou bien et , ou bien et . Dans les deux cas, la matrice correspondante est .
Exercice 1-6
modifierSoit .
- Soit un vecteur propre pour A, pour une valeur propre . Montrer que le -sous-espace de est A-stable.
- En déduire que possède un sous-espace A-stable de dimension 1 ou 2 (il en est donc de même pour tout endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie).
- En supposant que , montrer que est une base de et donner la matrice de dans cette base.
- donc et .
- ou .
- Si est lié, soit non nul tel que . Alors, donc , c'est-à-dire , si bien que , c'est-à-dire . Par contraposition, si alors est libre donc est une base de . La matrice de dans cette base est alors .
Exercice 1-7
modifierSoient un -e.v. et tel que .
- Montrer que est diagonalisable.
- Montrer que est un isomorphisme et calculer en fonction de .
- Calculer en fonction de . Peut-on calculer en fonction de ?
- Le polynôme minimal de divise donc est scindé à racines simples.
- pour , donc est un isomorphisme et .
- où est le reste de la division euclidienne de par , c'est-à-dire et , c'est-à-dire et (en particulier et ).
Exercice 1-8
modifierDéterminer tous les s.e.v. non triviaux de stables par l'endomorphisme de matrice dans la base canonique.
Soient un tel s.e.v., de dimension ou , et la restriction de à . Alors le polynôme minimal de est de degré et divise le polynôme caractéristique de , qui est . Donc ou , et .
Dans le premier cas, comme est la droite , est cette droite.
Dans le second cas, comme est le plan et , est ce plan.
Réciproquement, cette droite et ce plan sont bien stables par , puisqu'ils sont de la forme avec commutant à .
Exercice 1-9
modifierSoient et . Pour tout on pose
- .
Vérifier que est un endomorphisme de , puis déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.
est trivialement linéaire, et à première vue mais en fait, si le coefficient de dans est , celui de dans est , donc .
Si , c'est-à-dire , alors , c'est-à-dire avec (pour que soit bien un polynôme) entier compris entre et . Donc a valeurs propres et les sous-espaces propres associés sont les droites engendrées respectivement par les vecteurs .
Remarquons que , donc on a diagonalisé .
Mêmes questions pour .
est encore un endomorphisme de , pour les mêmes raisons que précédemment.
Si , c'est-à-dire , alors , c'est-à-dire avec (pour que soit bien un polynôme) entier de même parité que et compris entre et .
On obtient donc, là aussi, une diagonalisation de , avec valeurs propres distinctes pour , de droites propres associées engendrées respectivement par .