Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables

Diagonalisation et sous-espaces stables
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Exercices no1
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chapitre du cours : Diagonalisabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables
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Exercice 1-1

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Soit   un endomorphisme d'un  -espace vectoriel  .

  1. Montrer que tout sous-espace de   engendré par une famille de vecteurs propres pour   est stable (par  ).
  2. On suppose que   est diagonalisable. Déduire de la question précédente qu'alors, tout sous-espace de   admet un supplémentaire stable.
  3. On suppose maintenant que   et que tout sous-espace stable de   admet un supplémentaire stable. Montrer qu'alors,   est diagonalisable.
  4. Soit   de matrice   dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces stables par   et en déduire que tout sous-espace stable de   admet un supplémentaire stable, bien que   ne soit pas diagonalisable.

Exercice 1-2

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Soit   un endomorphisme d'un espace vectoriel   avec   et   stables par  . On note   et   les restrictions de   à ces deux sous-espaces.

  1. Soit   un scalaire. On note  ,   et   les sous-espaces correspondants (propres ou nuls) de  ,   et  . Démontrer que  .
  2. En déduire que si   est diagonalisable alors   et   le sont aussi.
  3. En déduire (en utilisant l'exercice précédent) que :
    La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.

Exercice 1-3

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  1. Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel E. Vérifier que si u est diagonalisable et si chacun de ses sous-espaces propres est stable par v, alors u et v commutent (c'est-à-dire que  ).
  2. Vérifier que si deux endomorphismes u et v d'un espace vectoriel commutent alors chacun des sous-espaces propres pour v est stable par u.
  3. En déduire, par récurrence et à l'aide du résultat de l'exercice 2, que pour tout entier n ≥ 1 :
    Si n endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel commutent deux à deux, alors ils sont simultanément diagonalisables
    (c'est-à-dire qu'il existe une base de l'espace dont les vecteurs sont propres pour tous ces endomorphismes).
  4. En déduire que dans Mk(K) (pour tout corps K et tout entier naturel k), toute famille (non nécessairement finie) de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable (c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible   telle que pour chaque matrice   de la famille,   soit diagonale).

Exercice 1-4

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Sur le K-espace vectoriel   des suites à valeurs dans K, on définit pour tout   l'endomorphisme   par : pour toute suite  , la suite   est celle dont le n-ième terme vaut   et les autres sont nuls.

  1. Montrer que les   (pour  ) commutent deux à deux.
  2. Montrer que chaque   est diagonalisable.
  3. Identifier les suites qui sont propres pour tous les   à la fois.
  4. En déduire que les   ne sont pas simultanément diagonalisables.

Exercice 1-5

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Soit  . Résoudre dans   l'équation

 .
  1. Si   et   sont deux matrices de   (où   est un corps arbitraire) telles que  , donner des exemples de sous-espaces de   stables à la fois par   et par  .
  2. Déterminer toutes les matrices carrées réelles   d'ordre   telles que  , où  .

Exercice 1-6

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Soit  .

  1. Soit   un vecteur propre pour A, pour une valeur propre  . Montrer que le  -sous-espace   de   est A-stable.
  2. En déduire que   possède un sous-espace A-stable de dimension 1 ou 2 (il en est donc de même pour tout endomorphisme d'un  -espace vectoriel de dimension finie).
  3. En supposant que  , montrer que   est une base de   et donner la matrice de   dans cette base.

Exercice 1-7

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Soient   un  -e.v. et   tel que  .

  1. Montrer que   est diagonalisable.
  2. Montrer que   est un isomorphisme et calculer   en fonction de  .
  3. Calculer   en fonction de  . Peut-on calculer   en fonction de   ?

Exercice 1-8

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Déterminer tous les s.e.v. non triviaux de   stables par l'endomorphisme   de matrice   dans la base canonique.

Exercice 1-9

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Soient   et  . Pour tout   on pose

 .

Vérifier que   est un endomorphisme de  , puis déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.

Mêmes questions pour  .