Anneau (mathématiques)/Morphismes d'anneaux

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Définitions

Définition

Soient $(A,+,\cdot )$ et $(B,+,\cdot )$ deux anneaux ; on appelle :

• morphisme (ou homomorphisme) [d'anneaux] de $A$ dans $B$ toute application de $A$ dans $B$ qui est à la fois un morphisme de magmas (donc de groupes) de $(A,+)$ dans $(B,+)$ et un morphisme de magmas unifères (donc de monoïdes) de $(A,\cdot )$ dans $(B,\cdot )$ ;
• isomorphisme tout morphisme $\phi$ bijectif et tel que $\phi ^{-1}$ soit aussi un morphisme ;
• endomorphisme de $A$ tout morphisme de $A$ dans lui-même ;
• automorphisme de $A$ tout isomorphisme de $A$ dans lui-même.

Propriétés

Soit $\phi :A\to B$ un morphisme d'anneaux.

Propriétés immédiates

• $\phi (0_{A})=0_{B}$ ;
• $\forall a\in A\quad \phi (-a)=-\phi (a)$ ;
• $\phi$ est injectif si et seulement si son noyau — l'ensemble $\operatorname {Ker} \phi :=\phi ^{-1}(\{0_{B}\})$ — est réduit à $\{0_{A}\}$ ;
• si $\psi :B\to C$ est aussi un morphisme d'anneaux alors $\psi \circ \phi :A\to C$ est un morphisme d'anneaux, de noyau $\phi ^{-1}(\operatorname {Ker} \psi )$ ;
• si un élément $a$ est inversible dans $A$ alors $\phi (a)$ est inversible dans $B$ et son inverse est $\phi (a^{-1})$.

Démonstration

Voir « Morphisme de groupes » et, pour le dernier point, cet exercice corrigé.

 

Images directes et réciproques

1. L'image directe par $\phi$ de tout sous-anneau de $A$ est un sous-anneau de $B$.
2. L'image réciproque par $\phi$ de tout sous-anneau de $B$ est un sous-anneau de $A$.
3. Le noyau de $\phi$ (et plus généralement : l'image réciproque par $\phi$ de tout idéal bilatère de $\operatorname {Im} \phi$) est un idéal bilatère de $A.$

Démonstration

1. et 2. sont des conséquences immédiates des propriétés correspondantes pour les morphismes de magmas (et les morphismes de monoïdes).

3. Si $J$ est un idéal bilatère de $\operatorname {Im} \phi$ alors $\phi ^{-1}(J)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ (comme image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes). Il est de plus trivialement stable par produit à gauche ou à droite par les éléments de $A$.

 

Les idéaux bilatères sont aux anneaux ce que les sous-groupes distingués sont aux groupes, et vérifient les mêmes théorèmes de factorisation (voir le chapitre correspondant du cours sur les groupes) :

Début d’un théorème

Théorème de factorisation

Soient $I$ un idéal bilatère de $A$ inclus dans $\operatorname {Ker} \phi$ et $\pi :A\to A/I$ le morphisme canonique vers l'anneau quotient. Alors, il existe un unique morphisme ${\tilde {\phi }}:A/I\to B$ tel que $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi$.

$\operatorname {Im} {\tilde {\phi }}=\operatorname {Im} \phi$ et $\operatorname {Ker} {\tilde {\phi }}=\operatorname {Ker} \phi /I$.

Fin du théorème