Changement de variable en calcul intégral/Calcul de primitives

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Par définition, on appelle primitive d'une fonction, une fonction qui, lorsqu'on la dérive, va redonner la fonction considérée. Cela étant dit, l’objet de ce chapitre n’est pas d'étudier la notion de primitive en général, mais de voir comment bénéficier du changement de variable pour calculer une primitive d'une fonction donnée.

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Lien intégrale-primitives

Pour pouvoir bénéficier, dans le calcul d'une primitive, des techniques vues dans les chapitres précédent, rappelons le théorème fondamental de l'analyse :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle réel $I$ et soit $a$ un élément de cet intervalle.

L'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$ est fonction $I\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Fin du théorème

Formule de changement de variable dans le calcul d'une primitive

Étudions ce que devient la formule de changement de variable vue au premier chapitre :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(u)\,\mathrm {d} u$.

Première méthode

En posant α = a et ß = x dans la formule précédente, on obtient :

$\int _{a}^{x}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (a)}^{\phi (x)}f(u)\,\mathrm {d} u$.

Supposons alors que nous ayons à calculer une primitive d'une fonction dépendant d'une variable t. Nous allons pouvoir bénéficier du changement de variable si cette fonction peut se mettre sous la forme f(φ(t))φ'(t) et si nous connaissons une primitive F de f car une primitive sera alors :

$\int _{a}^{x}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (a)}^{\phi (x)}f(u)\,\mathrm {d} u=F(\phi (x))-F(\phi (a))$.

Comme les différentes primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, nous retiendrons le terme F(ϕ(x)) comme étant une des primitives de f(ϕ(x))ϕ'(x).

Remarque

Il s'agit juste du théorème de dérivation des fonctions composées, $(F\circ \phi )'=(F'\circ \phi )\times \phi '$, qui a été l'un des deux ingrédients, au premier chapitre, pour démontrer le théorème de changement de variable en calcul intégral. Ce dernier n'est donc pas utile ici, pas plus que le théorème fondamental de l'analyse (le second ingrédient) ni l'hypothèse de continuité de f = F' et de ϕ'.

Abus d'écriture

Pour faciliter la rédaction, on utilise généralement un abus d'écriture (usuel pour les physiciens). Soit à calculer la primitive :

$\int _{a}^{x}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t$.

Si l’on observe les bornes d'intégration, on voit que a est la valeur où la primitive s'annule. Mais cette valeur n’est pas nécessaire si l’on cherche une primitive quelconque. On voit aussi que x est la variable que l’on peut sous-entendre. On pourra donc s'affranchir des bornes d'intégration pour noter une primitive, on notera simplement :

$\int f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t$.

Comme x ne figure plus dans l'expression, on peut remplacer t par x :

$\int f\left[\phi (x)\right].\phi '(x)\,\mathrm {d} x$.

On posera ensuite, par exemple, y = φ(x) et on en déduit dy = φ'(x)dx (différentielle au sens des physiciens).

Avec toutes ces conventions, si F est une primitive de f, on écrira le calcul de la primitive ainsi :

$\int f\left[\phi (x)\right].\phi '(x)\,\mathrm {d} x=\int f(y)\,\mathrm {d} y=F(y)=F\left(\phi (x)\right)$.

Exemple

Soit à calculer, sur l'intervalle ]-1, +∞[, une primitive de la fonction :

$x\longmapsto {\frac {\cos x}{1+\sin x}}$.

En posant y = sin(x) qui entraîne dy = cos(x)dx, on aura :

$\int {\frac {\cos x}{1+\sin x}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{1+y}}\,\mathrm {d} y=\ln(1+y)=\ln(1+\sin x)$.

Deuxième méthode

Reprenons la formule :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(u)\,\mathrm {d} u$.

Pour simplifier, nous supposerons cette fois que φ est bijective et nous appellerons φ^-1 sa bijection réciproque.

En posant α = φ^-1(a) et ß = φ^-1(x) dans la formule précédente, on obtient :

$\int _{\phi ^{-1}(a)}^{\phi ^{-1}(x)}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\phi ^{-1}(a))}^{\phi (\phi ^{-1}(x))}f(u)\,\mathrm {d} u$.

Qui se simplifie sous la forme :

$\int _{\phi ^{-1}(a)}^{\phi ^{-1}(x)}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(u)\,\mathrm {d} u$.

Nous appliquerons cette deuxième méthode si nous connaissons une primitive F de la fonction :

$t\longmapsto f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)$.

Alors, une primitive de f sera :

$\int _{a}^{x}f(u)\,\mathrm {d} u=\int _{\phi ^{-1}(a)}^{\phi ^{-1}(x)}f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=F(\phi ^{-1}(x))-F(\phi ^{-1}(a))$.

Une primitive plus simple de f est donc : F(φ^-1(x)).

Abus d'écriture

En réitérant l'abus d'écriture du paragraphe précédent, nous écrirons plus simplement :

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=\int f\left[\phi (t)\right].\phi '(t)\,\mathrm {d} t=F(t)=F(\phi ^{-1}(x))$.

Exemple

Soit à calculer, sur l'intervalle [-1, 1], une primitive de la fonction :

$x\longmapsto {\sqrt {1-x^{2}}}$.

Nous poserons :

$x=\phi (t)=\sin t$.

Nous voyons que φ est bijective de [-π/2, π/2] dans [-1, 1] et sa fonction réciproque est t = φ^-1(x) = arcsin(x).

Nous avons donc :

${\begin{aligned}\int {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x&=\int {\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\,\cos t\mathrm {d} t=\int \cos ^{2}t\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int \left(\cos(2t)+1\right)\mathrm {d} t={\frac {1}{4}}\sin(2t)+{\frac {t}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\sin t\cos t+{\frac {t}{2}}={\frac {1}{2}}\sin t{\sqrt {1-\sin ^{2}t}}+{\frac {t}{2}}\\&={\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x}{2}}.\end{aligned}}$