Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré

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Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
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Chapitre no 5
Leçon : Changement de variable en calcul intégral
Chap. préc. :Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique
Chap. suiv. :Calcul de primitives
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Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
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En mettant ax2 + bx + c sous forme canonique et à l’aide d’un changement de variable élémentaire, on se ramène au calcul d’une intégrale d’une fonction sous l’une des formes suivantes :

.

Le changement de variable est choisi de façon à tirer parti de l'une des identités trigonométriques suivantes (circulaires ou hyperboliques, au choix), respectivement, dans chacun des trois cas :

  •  ;
  •  ;
  • .

Premier cas : Modifier

Si l'intégrale est de la forme

 ,

on peut poser :

 .


On a alors :

  •   ;
  •  .

On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme

 .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un autre changement de variable possible est de poser :

 .


On a alors :

  •   ;
  •  .

On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme

 .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Deuxième cas : Modifier

Si l'intégrale est de la forme

 ,

on peut poser :

 .


On a alors :

  •   ;
  •  .

On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme

 .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un autre changement de variable possible est de poser

 .


On a alors :

  ;
  •  .

On se ramène ainsi au calcul d’une intégrale de la forme :

 .

Troisième cas : Modifier

Si l'intégrale est de la forme

 ,

on peut poser :

 .


On a alors :

  •   ;
  •  .

On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme

 .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Un autre changement de variable possible est de poser :

 .


On a alors :

  •   ;
  •  .

On se ramène ainsi au calcul d'une intégrale de la forme

 .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple