Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination

Lever une indétermination
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Exercices no3
Leçon : Limites d'une fonction

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Limites de fractions rationnelles
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Limites d'une fonction/Exercices/Lever une indétermination
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FactoriserModifier

1. f est la fonction définie sur   par pour tout  .

a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers  .
b. Démontrer que pour tout réel  ,  .
c. En déduire la limite de f en  .

2. g est la fonction définie sur   par :

pour tout  .
a. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers  .
b. Démontrer que pour tout réel x,  .
c. En déduire la limite de f en  .

Utiliser l’expression conjuguéeModifier

g est la fonction définie sur   par :

 .
  1. Vérifier que l’on se trouve dans un cas d'indétermination quand x tend vers  .
  2. Multiplier et diviser   par son expression conjuguée  .
  3. Démontrer que pour tout réel   :
     .
  4. En déduire la limite de g en  .

Déterminer les limites en   de :

  1.  
  2.   ;
  3.  .

SimplifierModifier

ƒ est la fonction définie sur   par pour tout  .

  1. Quelle est la limite en 2 de la fonction   ? Peut-on donner directement la limite de ƒ en 2 ?
  2. Démontrer que pour tout réel x de D,  
  3. En déduire la limite de ƒ en 2.

Reconnaître un taux de variationModifier

g est la fonction définie sur   par pour tout  .

  1. Donner la limite en 0 de chacune des fonctions  .
  2. Peut-on alors donner directement la limite de g en 0 ?
  3. Reconnaître que l’expression de   est un taux de variation de la fonction cos. En déduire la limite de g en 0.

Règle simple de L'HôpitalModifier

(Pour des généralisations à un niveau plus avancé, voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Théorèmes sur la dérivation.)

  1. Soient   et   deux fonctions définies sur   et dérivables en  . Démontrer que si   et  , alors  .
  2. Appliquer cette règle pour calculer   et  .