Discussion:Applications techniques des nombres complexes

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Difficulté conceptuelle

Bonjour,

si je puis me permettre, il me semble que la principale difficulté avec les complexes est le fait de manipuler des nombres qui « n'existent pas », d'autant plus qu'au niveau 12, l'apprenant n'a en général pas encore une capacité d'abstraction très développée.

Il serait àmha intéressant de commencer par l'exemple de la résolution des équations du 3^e degré, qui permet de manipuler les complexes comme intermédiaires de calcul : on manipule un truc dont on ne connaît rien, mais ce n'est « pas grave » puisqu'au final il s'élimine on n'a que des réels. Ça permet d'introduire, par exemple, i comme une inconnue, comme un x que l’on manipule sans savoir ce que c’est et qui se simplifie.

Ou toute autre solution, mais il ne faudrait pas faire l'impasse sur cette difficulté conceptuelle.

Cdang 6 janvier 2009 à 09:15 (UTC)

Projet

Voici à quoi pourrait ressembler cette première leçon ; ce serait le chapitre 1, ce qui imposerait de décaler tous les autres…

Cdang 7 janvier 2009 à 15:51 (UTC)

« la principale difficulté avec les complexes est le fait de manipuler des nombres qui « n'existent pas », d'autant plus qu'au niveau 12, l'apprenant n'a en général pas encore une capacité d'abstraction très développée. »

Je suis tout à fait d'accord avec ceci. Aborder le nombre i pour trouver des solutions à une équation qui n'en a pas dans $\mathbb {R}$ comme x²+1=0 pour le mettre dans le § introductif, pourquoi pas ?

Cependant, je suis plutôt opposé à la présentation des équations du 3° degré dans l’introduction du nombre i, et ce pour plusieurs raisons :

• La leçon sur les complexes n’est pas de niveau 12, mais devrait être je pense de niveau 11 car est abordée dans certaines filières (en STI-G méca par exemple) dès la classe de première.
• Un certain nombre d'apprenants ont parfois déjà du mal avec les équations d'ordre 2. Je ne suis pas convaincu que pédagogiquement il soit efficace de sortir l'artillerie lourde.

J’ai parcouru ta page qui est certes intéressante et je trouve pas mal construite, mais je pense très peu adaptée à quelqu’un qui fait des débuts dans $\mathbb {C}$, d'autant plus qu'un certain nombre d’outils assez poussés (dont les étudiants n'ont souvent pas connaissance, par exemple les relations coefficients-racines) sont utilisés.

Je pense que cet article pourrait être gardé en annexe, car fournit une autre approche intéressante du nombre i, mais s'adresse plus à des personnes qui connaissent déjà bien les complexes et sauront comprendre la construction de la démarche assez fine qui est mise en œuvre ici. Xzapro4 _discuter 7 janvier 2009 à 17:57 (UTC)

je suis assez d'accord avec zxapro : s'il est intéressant de détailler l'histoire du troisième degré, je connais assez peu d'élèves de terminales capables d’aborder les nombres complexes par cette face nord. J'ajouterais que la difficulté de manipuler des nombres "qui n'existent pas" n’est pas la difficulté principale que rencontrent mes élèves. Ils ont plus de difficulté avec les aspects techniques (mise sous forme trigo, interprétations géométriques en termes de transformation, etc). En conséquence je suis davantage favorable à une annexe ou bien à une activité concernant le troisième degré, et à laisser l’ordre des chapitres tel quel.Nicostella ^[discut] 8 janvier 2009 à 08:56 (UTC)

Le peu que je me souvienne de l'explication du nombre complexe i était que les mathématiciens sont des personnes qui peuvent inventer quelque chose qui n'existe pas, mais tout en prouvant que cela est possible parce que les formules fonctionnent encore avec. Mais c’est que c’est bien plus tard (1, 2 ou 3 ans) que l’on trouve des applications concrètes ( surtout en physique appliquée) de ce qui au départ n'est que quelque chose qui serait une supposition. Et là dessus, il nous explique que l’on utilise une lettre (puisqu'on ne peut pas l'écrire sous forme de nombre) et que cette lettre représente un nombre imaginaire. Et c’est à partir du moment où j’ai pu comprendre grâce aux applications concrètes que j’ai compris la subtilité des complexes. Bref, c’est tout moi car je n'est jamais aimer faire des math pour faire de math. il est tellement facile de remplir des feuille entière pour expliquer pas grand chose, voir rien. Mais par contre quand on vois que cela peut devenir un outils pour résoudre des choses concrète et que derrière en faisant l’application concrète on obtient la même chose, là c’est tout de suite beaucoup plus facile de comprendre. Un peu comme les matrices pour résoudre des équations ou les transformées de Laplace pour tout ce qui est des fonctions de transfert des filtres passifs. Crochet.david 8 janvier 2009 à 09:32 (UTC)

Pour tout dire, c’est avec un TD de ce genre que le prof avait abordé le sujet quand j'étais en TC (c’était en 1990). On ne demande pas à l'apprenant de savoir résoudre une équation du 3^e degré, on lui montre juste que c’est possible, et pour que ce ne soit pas simplement une lecture passive, on lui fait faire quelques bouts de calcul — développement, factorisation, des trucs du genre (je ne développe pas complètement la méthode de Cardan, là, juste un bout pour un exemple précis).

« Il n'est de vent favorable que pour celui qui connaît son port » (Sénèque). Un lycéen est dans une démarche d'apprentissage sans trop se poser de question, donc bon on lui fait écrire des formules et résoudre des équations, il le fait et voilà ; ça continue comme ça jusqu'en prépa où on n'aborde que très succinctement le sens concret des choses.

Oui mais voilà, le cours ne s'adresse-t-il qu’à des lycéens ? Un adulte ayant déjà une expérience professionnelle et qui désirerait se remettre aux études a besoin de savoir d'où provient une notion et où elle mène, sinon il n'accrochera pas ; il n'a plus cette capacité du lycéen à se couler dans le moule. D'où la nécessité selon moi de présenter d'où viennent les complexes et où ils mènent, et ce de manière concrète, par exemple avec un TD du type de celui présenté.

TD qui peut bien sûr être modifié. On peut par exemple sucrer la partie sur l'obtention de l'équation réduite.

Cdang 8 janvier 2009 à 12:52 (UTC)

Voire, on peut même rester sur l'équation particulière « historique ». J’ai concocté : ici une version allégée avec une application plus numérique. Ça vous semble plus abordable ?

Cdang 9 janvier 2009 à 10:25 (UTC)

Bon, 10 jours sans remarque, « qui ne dit mot consent », j'intègre.

Cdang 19 janvier 2009 à 08:40 (UTC)