Discussion:Théorie des groupes/Exercices/Groupes alternés

Sous-groupes normaux de S₄

La façon dont j'ai prouvé que les sous-groupes normaux de S₄ sont 1, V, A₄ et S₄, où V désigne le sous-groupe

V = {1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)} de S₄,

me semble lourde. Si quelqu'un connaît ou trouve une démonstration plus élégante, merci d'avance de bien vouloir l'indiquer. Marvoir (discussion) 7 décembre 2016 à 08:49 (UTC)

Soit N un sous-groupe normal de S₄, donc réunion de classes de conjugaison. S'il est distinct de S₄, il ne contient pas les transpositions. S'il est aussi distinct de A₄, il ne contient pas les 3-cycles, donc pas non plus les 4-cycles car par exemple (123) = (1324)(1342), donc c'est le groupe trivial ou V. Anne, 13/07/2017

{{Notification|Anne Bauval}} Merci beaucoup. Pour ne pas usurper une place qui te revient dans l'historique, puis-je te demander de remplacer ma démonstration par la tienne ? Marvoir (discussion) 14 juillet 2017 à 07:27 (UTC)

{{Notif|Marvoir}} : Marvoir : Bah non, fais-le plutôt dans ton propre style. Si tu as tant de scrupules, tu n'as qu'à mettre "voir pdd" dans ton commentaire de diff. Anne Bauval (discussion) 15 juillet 2017 à 08:46 (UTC)

Groupe des rotations du cube (application du problème sur certains groupes d'ordre 24)

Bonjour,

Encore merci pour tous ces beaux raisonnements. Je crois que l'on peut déduire du problème 6 des exercices sur les actions de groupe et de la question c) du problème sur certains groupes d'ordre 24 que le groupe des rotations du cube est isomorphe à S₄ (oui, il y a d'autres méthodes). A priori, il suffit pour cela d'exhiber plusieurs sous-groupes d'ordre 3 et plusieurs sous-groupes d'ordre 8 du groupe des rotations du cube, puisqu'on a déjà vu dans le problème 6 des exercices sur les actions de groupes que le groupe des rotations du cube est d'ordre 24 (veuillez excuser mes pattes de mouche, il n'y a d'ailleurs aucune obligation de lecture ; j'imagine que tout cela est assez évident pour vous). En omettant les précisions sur les sous-groupes d'ordre 8 qui utilisent les notions de groupes diédraux et de produit semi-direct, cela pourrait même être fait à ce stade de la progression du cours. Tout ceci sauf erreur, bien entendu.

--Flo R. (discussion) 21 octobre 2018 à 09:23 (UTC)

Bonjour. Au risque de vous décevoir, je dois vous avouer que je ne connais pas la question des rotations du cube. Ce qui les concerne a été mis sur la page d'exercices sur les actions de groupe par Anne Bauval. Je suis trop occupé pour me plonger dans ces questions encore inconnues pour moi, donc il serait souhaitable que vous en parliez avec Anne Bauval. Ne sachant pas si elle passe régulièrement sur Wikiversité, je vais mettre un mot sur sa page de discussion à Wikipédia. Merci pour toutes vos interventions, vous êtes en train de devenir, avec Anne et moi, un des principaux contributeurs à ce cours. Marvoir (discussion) 21 octobre 2018 à 10:23 (UTC)

Bonjour Flo R. : j'ai modifié votre idée pour déduire cet isomorphisme dès le chapitre 8 (plutôt qu'ici au chapitre 13), en ajoutant une question dans Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe#Problème 7. Cordialement, Anne Bauval (discussion) 21 octobre 2018 à 12:50 (UTC)

Bonjour Anne Bauval : merci beaucoup à tous les deux pour vos réponses. Si je comprends bien l'argument que vous avez ajouté au problème 7 sur les actions de groupes, pour justifier que l'action du groupe des rotations du cube sur l'ensemble des quatre diagonales est fidèle, il faut se convaincre que parmi les 24 rotations exhibées, il n'y en a pas deux qui permutent les quatre diagonales du cube de la même manière ? Ou bien y a-t-il quelque chose qui m'a échappé ? Merci !

--Flo R. (discussion) 21 octobre 2018 à 14:39 (UTC)

Oui Flo R. : ou plus simplement : qu'aucune (à part l'identité) ne fixe les 4 diagonales : c'est vite vu car il n'y a qu'1 tiers de tour et 2 demi-tours (1 de chaque type) à examiner. Anne Bauval (discussion) 21 octobre 2018 à 15:53 (UTC)

Ah oui, bien-sûr, suis-je bête... On a affaire à un morphisme de groupes, donc pour s'assurer qu'il est injectif, il suffit de montrer que seule l'identité fixe les quatre diagonales. C'est effectivement très rapide, d'autant que comme vous le suggérez, il n'y a pas besoin de s'embêter avec les quarts de tour, car si l'un fixait les quatre diagonales, alors son carré, un des demi-tours que vous venez de mentionner, le ferait aussi. Merci beaucoup pour ces écaircissements !

--Flo R. (discussion) 21 octobre 2018 à 16:06 (UTC)