Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe

Action de groupe
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Exercices no8
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Action de groupe

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Conjugaison, centralisateur, normalisateur
Exo suiv. :Produit direct et somme restreinte
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Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe
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Problème 1

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Soit G un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble X. Prouver que si G est commutatif, cette opération est simplement transitive[1]. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.)

Problème 2. (Lemme dit de Burnside)

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Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément g de G, désignons par F(g) le nombre des éléments de X fixés par g, c'est-à-dire le nombre des éléments x de X tels que gx = x.

a) Prouver le lemme dit de Burnside[2] :

 ,

où Ω désigne l’ensemble des orbites. (Indication : combien de fois un élément x de X est-il compté dans la somme ?)

b) Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments. Déduire du point a) qu’il existe au moins un élément de G qui ne fixe aucun élément de X.

Problème 3

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a) Soit G un groupe opérant à gauche sur un ensemble X, soient x et y deux points de X et g un élément de G tels que gx = y. Prouver que Stab(y) = g Stab(x) g-1. (Ceci montre que si deux éléments de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs sont conjugués dans G.)

b) Soient G un groupe, x et a des éléments de G et H un sous-groupe de G. Déduire de a) une nouvelle démonstration des relations   et   (démontrées dans les exercices de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur).

Problème 4

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Soient G un groupe fini non trivial et p le plus petit diviseur premier de l’ordre de G. Prouver que si H est un sous-groupe d'indice p de G, c’est un sous-groupe normal de G. (Indication : faire opérer G par translation à gauche sur l’ensemble G/H de ses classes à gauche modulo H.)

Problème 5

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Soit   un groupe agissant (par exemple à gauche) sur un ensemble   par   Soit   un sous-groupe de  ; notons   l'ensemble des points fixes de  , c'est-à-dire l'ensemble des éléments de   fixés par tout élément de   Prouver que pour tout élément   de   et tout élément   de  ,   appartient à   (de sorte que l'action   induit par restriction une action   de   sur  ).

Remarque. Nous reviendrons à cette action de   sur   dans un exercice sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside.

Problème 6

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Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour résoudre les deux questions suivantes.

  1. Un groupe d'ordre 35 opère sur un ensemble de 19 éléments en ne laissant fixe aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites ?
  2. Un groupe d'ordre 143 = 11×13 opère sur un ensemble de 108 éléments. Montrer qu'il existe un point fixe.

Problème 7

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Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour déterminer les ordres du groupe des rotations du cube et de celui du tétraèdre régulier. Même question pour leurs groupes d'isométries.

Problème 8

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  1. Faire l'inventaire des rotations du cube, sachant qu'il y en a 24 (en comptant l'identité).
  2. En déduire que ce groupe est isomorphe à S4.
  3. À l'aide du lemme « de Burnside » (voir supra), déterminer le nombre de façons de colorer les faces d'un cube à rotation près, avec au plus 3 couleurs à sa disposition.

Problème 9

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Soient G un groupe, H un sous-groupe et A un ensemble muni d'une action à droite de H. On considère l'action à droite de H sur A×G définie par

 

et l'on note   l'ensemble des orbites de cette action.

  1. Expliciter l'action naturelle (à droite) de G sur  .
  2. Soit T une transversale à droite de H dans G. Pour tout  , on note   le représentant de Hg dans T. Démontrer que l'application
     
    est bijective (on explicitera la bijection réciproque).
  3. Déterminer l'action de G sur A×(G/H) transportée (par cette bijection) de l'action sur  .
  4. En supposant T contient l'élément neutre 1 de G, quelle est l'action de H sur A×{H} obtenue par restriction ?

Problème 10

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Soit G un groupe d'ordre 60 qui a pour équation aux classes (pour l'action par conjugaison de G sur lui-même)

 .

Montrer que G est simple, en considérant les équations aux classes possibles pour ses sous-groupes normaux.

Remarque : le groupe alterné A5 est donc le seul groupe d'ordre 60 ayant cette équation aux classes.

Problème 11

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Décomposer l'ensemble   des matrices carrées d'ordre   à coefficients dans un corps   en orbites pour les opérations suivantes de   :

  1. multiplication à gauche ;
  2. multiplication à droite ;
  3. conjugaison.

Problème 12

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En méditant sur le théorème de Cayley, démontrer que tout groupe fini G se plonge dans un groupe où tous les éléments de G de même ordre deviennent conjugués.

Problème 13

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  1. Dénombrer le nombre de   cycles de   en utilisant une action de groupe.
  2. Utiliser le même raisonnement pour dénombrer le nombre de   cycles de  .


Notes et références

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  1. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 6, exemple 2; Paris, 1970, p. 58.
  2. Le lemme dit de Burnside fut en fait démontré en 1887 par Frobenius. Voir J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 58, n. 1.
  3. (en) Anthony W. Knapp, Basic Algebra, vol. 1, Springer, 2006 [lire en ligne], p. 163 .