Discussion:Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow

Démonstration du premier théorème de Sylow

Bonsoir,

Je suis un peu mal à l'aise avec la démonstration du premier théorème de Sylow. Le principal point qui m'embête est que l'on donne l'impression que G est inclus dans $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ alors que c'est seulement un sous-groupe de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ qui est isomorphe à G.

Le deuxième point, moins gênant, est l'utilisation de la lettre H pour $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$, alors qu'on utilise le lemme dont l'énoncé contient aussi un H, mais le H de la démonstration du premier théorème de Sylow ne joue pas le rôle du H du lemme quand on fait appel à ce dernier. J'espère que c'est à peu près clair. :) Bien sûr, ceci est parfaitement légal mais un peu plus difficile à suivre qu'en donnant à H le même rôle que dans le lemme.

Comme je ne suis pas là juste pour critiquer, voici une rédaction qui me conviendrait :

Début d’un théorème

Premier théorème de Sylow

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. Il existe (au moins) un p-sous-groupe de Sylow de G.

Fin du théorème

(...)

Début d'une démonstration

Démonstration

Démontrons maintenant le premier théorème de Sylow. Par le théorème de Cayley, l'action de G sur lui-même par translation à gauche définit un morphisme injectif de G dans le groupe des permutations S(G). Si n est le cardinal de G, alors S(G) s'injecte dans $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$. G est donc isomorphe à un sous-groupe H de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$. La remarque préliminaire, avec $m=1$, donne l’existence d'un p-Sylow S de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$. Le lemme précédent permet d’en déduire l’existence d'un sous-groupe de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ conjugué à S, intersectant H selon un p-Sylow de H. On conclut en utilisant l'isomorphisme entre G et H.

Fin de la démonstration

(je n'impose rien évidemment, c'est juste une proposition)

Merci !

--Flo R. (discussion) 15 septembre 2018 à 22:11 (UTC)

Bonsoir Flo R.. Je ne m'étais pas connecté depuis votre message, je le trouve seulement maintenant. Ce n'est pas moi qui ai mis cette démonstration à l'aide d'espaces vectoriels, que je n'aime pas beaucoup. (J'ai mis dans les exercices une démonstration qui me plaît mieux.) Je n'aurai plus le temps d'examiner vos objections ce soir, je verrai cela demain matin. Marvoir (discussion) 16 septembre 2018 à 17:29 (UTC)

Bonjour Flo R.. Votre proposition me semble bonne. Il me semble que si on veut être tout à fait rigoureux, on doit encore prouver que S(G) s'injecte dans $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ (matrices de permutation), mais peu importe. En fait, ce qu'on utilise réellement dans la démonstration du premier théorème de Sylow, ce n'est pas le lemme dans toute sa force, mais cette conséquence du lemme : si G est un groupe fini ayant (au moins) un p-sous-groupe de Sylow, tout sous-groupe de G admet un p-sous-groupe de Sylow. On pourrait peut-être dégager cette conséquence du lemme pour alléger la démonstration du premier théorème de Sylow. Enfin, "intersectant" ne me semble pas du très bon français : ne pourrait-on pas mettre "coupant" ? Comme je l'ai dit, je n'aime pas beaucoup cette démonstration, qui demande tout un attirail de théorie des corps et d'algèbre linéaire (que j'ai d'ailleurs démontré dans des chapitres ultérieurs...) alors qu'il y a des démonstrations de pure théorie des groupes qui me semblent plus satisfaisantes (voir les exercices). Marvoir (discussion) 17 septembre 2018 à 07:54 (UTC)

Merci pour votre réponse. Je n'ai rien contre le fait le changer quelques formulations, effectivement ça ne ressemblait pas tout à fait aux vôtres (enfin, je crois). Ce que j'ai proposé, c'était le minimum qui ne me pose pas de problème mathématique. Les principales choses que l'on pourrait améliorer dans cette preuve et ce qui la précède, sont, à mon humble avis :

* définir l'entier $m$ (a priori, $m\geq 1$) ou carrément l'oublier car, sauf erreur, on ne se sert que du cas $m=1$ ici ;

* démontrer la formule donnant l'ordre de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ (un peu de travail ; je l'ai fait dans mes notes manuscrites en un petit peu plus d'une page à partir de connaissances niveau math sup : systèmes libres, rang d'une matrice = rang du système formé par les vecteurs colonnes, récurrence ; le seul truc qui déborde un peu, je crois, est que la matrice en question a ses coefficients dans $\mathbf {F} _{p}$ et non dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$) ;

* expliquer un peu plus en détail pourquoi l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans $\mathbf {F} _{p}$ et avec des 1 sur la diagonale est un p-Sylow de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ (pas grand-chose une fois qu'on a compris le point précédent, l'essentiel est de dire que $p$ ne divise pas $(p-1)(p^{2}-1)\dotsm (p^{n}-1)$ sinon, étant premier, il diviserait au moins l'un des facteurs et donc diviserait 1) ;

* expliquer pourquoi S(G) « s'injecte » dans $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ (assez facile, à une permutation $\sigma \in S_{n}$ on associe la matrice obtenue après permutation des colonnes de l'élément neutre de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$ par $\sigma$).

Voilà... effectivement, c'est un peu tristounet d'avoir des prérequis comme ça qui pour l'instant sont un peu balancés, mais comme vous dites, il y a l'autre preuve en exercice. Je n'ai pas eu le temps de la regarder en détail, mais j'ai vu qu'elle est elle aussi différente de la preuve que j'ai lue en premier, dans le livre de Georges et Marie-Nicole Gras (Algèbre fondamentale, arithmétique), qui est claire mais très technique, je trouve (il faut dire qu'ils démontrent de trois manières différentes, « pour le fun », une congruence un peu délicate, et qu'ils prouvent tous les théorèmes de Sylow dans la foulée).

--Flo R. (discussion) 17 septembre 2018 à 08:45 (UTC)

Pour la formule donnant l'ordre de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$, je l'ai démontrée dans le chapitre Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs (section 2, énoncé 5). Quand je l'ai fait, je n'avais pas présent à l'esprit que cette formule avait déjà été utilisée dans ce maudit chapitre sur les théorèmes de Sylow. On pourrait peut-être renvoyer ici au futur chapitre ?

J'ai aussi parlé des matrices de permutation au chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1...

Je n'ai pas lu le livre de G. et M.-N. Gras, mais je suppose que la démonstration qu'ils donnent est celle de Wielandt, qui est aussi donnée par Bourbaki.

Je vous suggère de faire comme vous l'entendez, vous êtes visiblement un contributeur sérieux. Marvoir (discussion) 17 septembre 2018 à 09:16 (UTC)

Merci, je vais voir ça quand je pourrai, probablement pas tout de suite. Pouvez-vous juste confirmer que l'idée semble bonne de se limiter au cas $m=1$ dans ce chapitre (le $m$ étant celui de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p^{m}})$) ?

Pour l'ordre de l'ordre de $GL_{n}(\mathbf {F} _{p})$, effectivement, la preuve que vous indiquez est la même que celle que j'ai faite de façon manuscrite, avec une rédaction plus concise. On peut probablement y envoyer le lecteur puisqu'il n'y a pas de cercle vicieux. Le principal inconvénient est qu'on ne peut pas faire de \ref précis ici comme en LaTeX, à ma connaissance (mais je connais très mal les possibilités du wiki, cela m'a peut-être juste échappé !).

--Flo R. (discussion) 17 septembre 2018 à 14:45 (UTC)

Si vous préférez qu'on se limite à la valeur 1 de m, je n'y ai pas d'objection.

Si je ne me trompe, la commande \ref ne fonctionne qu'à l'intérieur d'un même document LaTeX et les pages de Wikiversité ne sont pas des documents LaTeX. En wiki, il est possible de mettre un lien vers une section d'une autre page (exemple : Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow#Notes et références), mais je ne sais pas s'il est possible de faire plus précis que ça. Si vous voulez en savoir plus, vous pourriez peut-être consulter la salle café (via le lien ad hoc qu'on trouve dans la liste qui se trouve à gauche de chaque page). Marvoir (discussion) 17 septembre 2018 à 17:53 (UTC)

Merci pour vos conseils ; j'ai fait les modifications avec une référence comme vous venez de montrer, j'espère que la démonstration est un peu plus agréable à lire ainsi. Concernant la commande \ref de LaTeX, si je l'ai mentionnée, c'est parce que les \label avec qui elle travaille ont juste un rôle d'ancre et n'ont pas de raison de devenir invalides lors des évolutions du document, alors que les références en syntaxe wiki comme ci-dessus deviennent invalides si les titres changent, sauf s'il y a un mécanisme (que j'ignore) qui fouille toutes les pages du wiki pour adapter les références lorsqu'on renomme un titre. J'en doute, car ce n'est pas forcément évident pour un programme de détecter qu'on est en train de renommer tel titre précisément et non de réécrire toute une partie avec des nouveaux titres qui n'ont pas grand-chose à voir avec les anciens. Il faudrait un peu d'intelligence artificielle. :)

Concernant le fait que la commande \ref de LaTeX ne fonctionne qu'à l'intérieur d'un même document, c'est vrai, mais souvent les cours tels que celui-ci forment un seul et même (gros) document découpé en chapitres, auquel cas cette limitation est sans conséquence. Il y a aussi des packages LaTeX (xr, zref) permettant de faire l'analogue de \ref vers des documents externes, à condition d'avoir le .aux de ces documents. Je ne les ai jamais utilisés, mais il en est question dans cette discussion sur tex.stackexchange.com. Il semble y avoir une limitation au niveau de l'interaction avec hyperref, cela dit. C'est à peu près tout ce que j'en sais... Bonne soirée !

--Flo R. (discussion) 18 septembre 2018 à 22:31 (UTC)

OK. Marvoir (discussion) 19 septembre 2018 à 07:55 (UTC)

Bonjour,

S'il y a un quelconque problème avec les modifications que j'ai effectuées hier, je préfère que vous les annuliez plutôt que de laisser un malaise. Je peux aussi m'en charger moi-même, bien que la démarche me paraisse quelque peu étrange.

(ou alors j'interprète mal...)

--Flo R. (discussion) 19 septembre 2018 à 09:25 (UTC)

????? Vos modifications ne me posent aucun problème, c'est pour ça que j'ai dit "OK". Désolé si je vous ai donné l'impression qu'il y a un malaise. En revanche, je vais supprimer quelque chose comme "du moins dans l'état actuel du chapitre" : si on devait dire ça chaque fois qu'on renvoie à un autre chapitre, ce serait fastidieux pour le lecteur... Marvoir (discussion) 19 septembre 2018 à 10:12 (UTC)

D'accord, j'avais donc mal interprété. Pas de problème pour supprimer ce dont vous avez parlé. Merci.

--Flo R. (discussion) 19 septembre 2018 à 10:21 (UTC)

Premier théorème de Sylow, preuve du lemme

Bonjour,

Je suis à nouveau de passage... un petit peu. En relisant ce chapitre, il me semble avoir trouvé deux légères imperfections dans la preuve du lemme utilisé pour démontrer le premier théorème de Sylow :

• Je ne crois pas que l'on puisse dire, avec ces hypothèses, que $aSa^{-1}\cap H$ est un sous-groupe de S. En revanche, on peut dire que c'est un sous-groupe du p-groupe $aSa^{-1}$ et de H, donc un p-sous-groupe de H.
• La somme ne porte pas exactement « sur un ensemble de représentants des orbites » : si X est un ensemble de représentants des orbites, chaque élément de X est de la forme xS avec x dans G, et voilà « le » x utilisé dans la somme (pas de choix canonique, bien sûr). Il faudrait peut-être noter $(x_{1}S,\dotsc ,x_{n}S)$ un système de représentants des orbites de l'opération et écrire $\operatorname {Card} (G/S)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\operatorname {Card} (H)}{\mathrm {Card} (x_{i}Sx_{i}^{-1}\cap H)}}$ ou bien, avec ces mêmes $x_{1},\dotsc ,x_{n}$, noter $X=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}$ et garder la somme telle quelle.

Tout ceci sauf erreur, bien entendu. Encore merci pour ces cours et bonne soirée. :-)

--Flo R. (discussion) 31 août 2020 à 07:37 (UTC)

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt, c'est la première fois que je passe depuis votre message.

Je crois me souvenir que je n'ai pas contribué à cette démonstration (que je n'aime pas, comme je vous l'ai déjà dit) et je crois que je ne me suis jamais donné la peine de lire attentivement la façon dont elle est rédigée dans le cours.

Pour le premier point, vous avez raison. Il faudrait remplacer S par $aSa^{-1}$ dans les mots "comme sous-groupe de S".

Pour le second point, vous avez raison aussi et votre suggestion me semble tout à fait bonne. Je vous suggère donc de faire les deux corrections.

Content de vous revoir en pleine forme ! Marvoir (discussion) 2 septembre 2020 à 12:54 (UTC)

Bonjour Marvoir,

Votre délai de réponse ne me pose aucun problème : vous faites cela en bénévole — pour autant que je sache — et la vie en dehors de Wikiversité a ses contraintes que seule la personne concernée connaît. Un grand merci pour votre avis, j'ai donc effectué les changements. Pour la pleine forme, il faut le dire vite mais on fait ce qu'on peut... Je suis rassuré d'avoir eu votre réponse, en tout cas, car avec ce satané Covid, on n'est jamais sûr de rien. À bientôt, j'espère.

--Flo R. (discussion) 3 septembre 2020 à 12:27 (UTC)

Merci pour les corrections, c'est très bien. Marvoir (discussion) 3 septembre 2020 à 17:07 (UTC)

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