Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

Espaces et sous-espaces vectoriels
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Exercices no1
Leçon : Espace vectoriel
Chapitre du cours : Définitions

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Rang, dimension
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Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels
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  • désigne ou
  • E est un -espace vectoriel.

Être ou ne pas être un espace vectoriel ?

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1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de   ?

a.   (où   est un réel fixé)
b.  
c.  
d.  
e.  

2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de   ?

a. E2a = Ensemble des suites bornées
b. E2b = Ensemble des suites monotones
c. E2c = Ensemble des suites convergentes
d. E2d = Ensemble des suites arithmétiques

3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de   ?

a.  
b.  
c.  
d.  

4. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de   ?

a.   le sous-ensemble des matrices   vérifiant  
b.   le sous-ensemble des matrices   vérifiant  

Exercice 1-1

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Soient   et  .

  1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de  .
  2. Déterminer  .

Exercice 1-2

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Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que  .

Exercice 1-3

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Soient   et   deux sous-espaces vectoriels de  . Montrer que   est un sous-espace vectoriel de   (si et) seulement si   ou  .

Exercice 1-4

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Soient   et  .

Montrer que ces deux sous-espaces de   sont supplémentaires.

Exercice 1-5

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Soit  ,  . Montrer que les sous-espaces   et   sont supplémentaires dans  .

Exercice 1-6

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Soit   muni de la loi interne   définie par   et de la loi externe   définie par  .

Montrer que   est un  -espace vectoriel.

Exercice 1-7

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Soient   et   l'espace vectoriel des polynômes de degré  . On définit (pour tout réel  )

 .

Montrer que si   alors  . La somme est-elle directe ?

Exercice 1-8

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Soient   deux droites d'un même espace vectoriel. Montrer que si un vecteur non nul appartient à  , alors  .

Exercice 1-9

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Soient   et  .

  1. Déterminer l'ensemble des couples   tels que  .
  2. Même question pour les couples tels que  .

Déterminer des équations cartésiennes des sous-espaces vectoriels suivants :

  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •   ;

Exercice 1-10

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Soient   trois s.e.v. de  . On va comparer trois propriétés :

  •   ;
  •   ;
  •  .

a) Démontrer que   équivaut à  .

b) En déduire que   équivaut à  .

Voir aussi

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« Rechercher des exercices → L1 Algèbre, 106 Espace vectoriel », sur exo7