Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension

Rang, dimension
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Exercices no2
Leçon : Espace vectoriel
Chapitre du cours : Dimension

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Espaces et sous-espaces vectoriels
Exo suiv. :Sommaire
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Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension
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Exercice 2-1 : Lemme de Steinitz modifier

Démontrer que si v1, … , vm sont des vecteurs linéairement indépendants d'un espace vectoriel V engendré par w1, … , wn alors mn et, à permutation près des wk, l'ensemble {v1, … , vm, wm+1, … , wn} engendre V.

Exercice 2-2 modifier

Montrer que   est un sous-espace vectoriel de   et déterminer une base de  .

  1. Montrer que   est une base de  .
  2. En déduire que pour tous réels  ,   et  , il existe un unique polynôme   tel que  ,   et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle P(1)=w} .

Exercice 2-3 modifier

Soient   et  .

  1. Si  , où   est un polynôme de degré  ,  , montrer que   est une base de  .
  2. Si   est un polynôme de degré  , montrer que   est une base de  . Déterminer les composantes dans   du polynôme   défini par  , où   est un réel fixé.
  3. Montrer que   est une base de   et déterminer, pour tout  , les composantes de   dans  .

Exercice 2-4 modifier

Montrer que les vecteurs   et   forment une base de  . Pour tout vecteur   de  , donner (en fonction de   et  ) les coordonnées de   dans cette base.

Soient

 
  1. La famille   est-elle libre ? Est-elle génératrice de   ?
  2. Montrer que   est une base de  .
  3. La famille   est-elle libre ? Est-elle génératrice de   ?
  4. Déterminer les coordonnées du vecteur   dans la base  .

Exercice 2-5 modifier

Soit   le système d'équations  

Montrer que l'ensemble des solutions de   est un sous-espace vectoriel   de  . Déterminer la dimension et une base de  .

Montrer que   est un sous-espace vectoriel de  . Déterminer une base de   et la compléter en une base de  .

Exercice 2-6 modifier

Soient  ,  ,  ,   et  .

Donner une base du sous-espace vectoriel   de  .

Exercice 2-7 modifier

Soient (dans un espace vectoriel)   des vecteurs linéairement indépendants. Montrer que :

  1. les vecteurs  ,   et   sont linéairement indépendants ;
  2. les vecteurs  ,   et   sont linéairement dépendants.

Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou indépendants :

  1.   et   ;
  2.   et   ;
  3.   et   ;
  4.  ,   et   ;
  5.  ,   et  .

Pour quelles valeurs de   la famille de vecteurs   est-elle libre ?

Les systèmes de vecteurs suivants de   sont-ils libres ou liés ? Forment-ils une base de   ? Quelle est la dimension du sous-espace qu'ils engendrent ?

  1.  
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
  2.  
    1.  
    2.  
    3.  .

Exercice 2-8 modifier

Soient   et  .

Trouver la dimension et une base de  .

Donner des bases des espaces vectoriels :

  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •   ;
  •  .

Exercice 2-9 modifier

Dans  , soient   et   avec  ,  ,  ,   et    sont des paramètres fixés.

  1. A-t-on   ?
  2. A-t-on   ?
  3. Déterminer  .
  4. Est-ce que   est une base de   ?

Mêmes questions 1 à 3 pour

 

Exercice 2-10 modifier

Soient

 
 

Pour   de   à  , dire si la famille   est libre, si elle est génératrice de  , et si c'est une base de  .

Soient  . Quelle est la dimension de l'espace vectoriel   ? Soient

 
 

Pour   de   à  , dire si la famille   est libre, si elle est génératrice de  , et si c'est une base de  .

Exercice 2-11 modifier

Dans  , montrer que le sous-ensemble des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et préciser leurs dimensions.

Exercice 2-12 modifier

Soit A un anneau non nul (non forcément commutatif). Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

a) tout A-module à gauche est libre;
b) tout A-module à gauche non nul comprend au moins un vecteur libre;
c) A est un corps.

Indication : d'après l'exercice 19 de la page Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices, il suffit, pour prouver que A est un corps, de prouver que pour tout élément non nul   de A, il existe un élément   de A tel que  ; pour cela, on peut choisir un idéal à gauche maximal J de A et appliquer l'hypothèse b) au A-module à gauche A/J (puis faire preuve d'un peu d'astuce).

Exercice 2-13 modifier

Cet exercice n'est pas vraiment un exercice sur les espaces vectoriels. Il montre qu'une propriété importante des espaces vectoriels, l'équipotence des bases d'un même espace, n'est pas vraie pour tous les modules.

a) Soit A un anneau. On a vu que les deux lois de A (addition et multiplication) font de A un A-module à gauche, parfois noté   On dira ici « le A-module A ». Il est clair que ce module admet une base de cardinal 1, à savoir  

On suppose que ce module admet aussi une base de cardinal 2. Prouver que pour tout nombre naturel  , ce module admet une base à   éléments. (Indication : on peut raisonner par récurrence sur  )

b) Soit V un espace vectoriel, par exemple sur le corps   (Le fait que V soit un espace vectoriel et non un module sur un anneau plus général que   n'est pas vraiment important.) On suppose que V admet une base   (On peut par exemple prendre pour V la somme directe d'une famille infinie dénombrable de  -espaces vectoriels égaux à  ) L'ensemble End(V) des endomorphismes de V peut se munir d'une structure d'anneau, l'addition étant définie « point par point » :   et la multiplication étant la composition   des endomorphismes de V. Notons A = End(V) l'anneau ainsi défini. Le neutre multiplicatif de l'anneau A est l'endomorphisme identique   de V. Comme au point a), considérons le A-module à gauche A.

D'après un théorème du chapitre Module sur un anneau/Définitions (détermination d'un homomorphisme par ses valeurs en les éléments d'une base), il existe un et un seul endomorphisme   de V tel que

  pour tout   pair
et   pour tout   impair.

De même, il existe un et un seul endomorphisme   de V tel que

  pour tout   impair
et   pour tout   pair.

Prouver que   et   forment une base (à deux éléments) du A-module à gauche A. (D'après le point a), il en résulte que pour tout nombre naturel  , le A-module à gauche A admet une base à   éléments.)

Exercice 2-14 modifier

Soit  .

  1. Expliciter sa base canonique  .
  2. Soient  ,  . Déterminer la matrice   de   dans   et son déterminant. En déduire que   est une base de  .
  3. Pour  , trouver par deux méthodes différentes l'expression du polynôme   dans la base  .