Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle

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Dérivée de la fonction exponentielle

Rappel

La dérivée de la fonction $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ est elle-même :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp '(x)=\mathrm {e} ^{x}$.

Cette propriété est inhérente à la définition de $\exp$ comme solution d'une équation différentielle. Nous avons admis que cette définition de $\exp$ est équivalente à celle à partir du logarithme népérien.

Variations de la fonction exponentielle

Positivité de l'exponentielle

Début d’un théorème

Théorème

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp(x)>0$.

Fin du théorème

'Démonstration'

C'est une conséquence de la propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle.

 

Variations de la fonction exponentielle

Corollaire

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb {R}$.

En effet, $\exp '=\exp >0$. Le signe de la dérivée de la fonction exponentielle est toujours positif, donc la fonction est toujours croissante sur son ensemble de définition.

Limites aux bornes

Les deux propositions ci-dessous seront généralisées et démontrées au chapitre suivant.

Limite en + ∞

Proposition

$\lim _{x\to +\infty }\mathrm {e} ^{x}=+\infty$.

Limite en -∞

Proposition

$\lim _{x\to -\infty }\mathrm {e} ^{x}=0$.

Courbe représentative

Tangente remarquable

Propriété

Au point $(a,\mathrm {e} ^{a})$, la tangente a pour équation $y=\mathrm {e} ^{a}(x-a+1)$. En particulier au point $(0,1)$, la tangente a pour équation $y=x+1$. On peut donc donner une approximation affine de exp au voisinage de 0 : $\mathrm {e} ^{x}\approx x+1$.

'Démonstration'

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est: $y=\exp(a)+\exp '(a)(x-a)$, car : $\exp '(a)=\mathrm {e} ^{a}$.

 

Propriété

Graphiquement, la courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de toutes ses tangentes.

En particulier :

$\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>x+1$.

'Démonstration'

Montrons d'abord que $\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>x+1$, en étudiant la fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{x}-x-1$.

$f'(x)=\mathrm {e} ^{x}-1$ est du signe de $x$ (strictement) donc $f$ a un minimum (strict) en $0$.

Par conséquent, on a bien

$\forall x\neq 0\quad f(x)>f(0)=0$, c'est-à-dire $\mathrm {e} ^{x}>x+1$.

Par changement de variable, on en déduit que plus généralement,

$\forall t\neq a\quad \mathrm {e} ^{t-a}>t-a+1$, c'est-à-dire $\mathrm {e} ^{t}>\mathrm {e} ^{a}(t-a+1)$.