Fonctions convexes/Exercices/Inégalité de Minkowski

Exercice 2-1

Soient un espace mesuré $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ et un réel $p\geq 1$.

Pour toute fonction mesurable $f:\Omega \to \mathbb {C}$ de puissance p-ième intégrable, on pose

$\|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}$.

Soient deux fonctions mesurables $f,g:\Omega \to \mathbb {C}$, de puissances p-ièmes intégrables. On souhaite démontrer l'inégalité de Minkowski :

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$.

1. Se ramener au cas où $f,g$ sont à valeurs dans $\mathbb {R} _{+}$ et $\|f\|_{p},\|g\|_{p}\neq 0$.
2. Déterminer alors $t\in [0,1]$ tel que ${\frac {f+g}{\|f\|_{p}+\|g\|_{p}}}=t{\frac {f}{\|f\|_{p}}}+(1-t){\frac {g}{\|g\|_{p}}}$.
3. Montrer qu'alors, $\left({\frac {f+g}{\|f\|_{p}+\|g\|_{p}}}\right)^{p}\leq t\left({\frac {f}{\|f\|_{p}}}\right)^{p}+(1-t)\left({\frac {g}{\|g\|_{p}}}\right)^{p}$.
4. Conclure.
5. En déduire la forme discrète de l'inégalité de Minkowski.

Solution

1. $\|f+g\|_{p}\leq \||f|+|g|\|_{p}$ et si par exemple $\|f\|_{p}=0$, on a immédiatement $\|f+g\|_{p}=\|g\|_{p}$.
2. $t={\frac {\|f\|_{p}}{\|f\|_{p}+\|g\|_{p}}}$.
3. La fonction puissance $p$-ième (définie sur $\mathbb {R} _{+}$) est convexe (cf. chapitre « Fonctions convexes dérivables »).
4. En intégrant l'inégalité précédente, on obtient $\left({\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f\|_{p}+\|g\|_{p}}}\right)^{p}\leq t+(1-t)=1$, cqfd.
5. En prenant comme espace mesurable $\mathbb {N}$ muni de la mesure de comptage, donc comme fonctions $f$ et $g$ deux suites $x$ et $y$ de complexes, on en déduit :

   $\left(\sum _{k}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$.