Fonctions convexes/Exercices/Inégalité de Minkowski

Inégalité de Minkowski
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Exercices no2
Leçon : Fonctions convexes

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sur l’inégalité de Jensen
Exo suiv. :Sommaire
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Exercice 2-1Modifier

Soient un espace mesuré   et un réel  .

Pour toute fonction mesurable   de puissance p-ième intégrable, on pose

 .

Soient deux fonctions mesurables  , de puissances p-ièmes intégrables. On souhaite démontrer l'inégalité de Minkowski :

 .
  1. Se ramener au cas où   sont à valeurs dans   et  .
  2. Déterminer alors   tel que  .
  3. Montrer qu'alors,  .
  4. Conclure.
  5. En déduire la forme discrète de l'inégalité de Minkowski.