Fonctions convexes/Fonctions convexes dérivables

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Début d’un théorème

Théorème

Une fonction dérivable sur un intervalle réel $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa dérivée est croissante sur $I$.

Fin du théorème

Démonstration

Soient $a,b\in I$ tels que $a<b$.

• Supposons $f$ convexe.

  Soit $x\in \left]a,b\right[$. D’après l’inégalité des pentes (propriété 2), on a :

  ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}$

  En faisant tendre $x$ vers $a$, on obtient :

  $f'(a)\leqslant {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

  En faisant tendre $x$ vers $b$, on obtient :

  ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leqslant f'(b)$

  Par transitivité de la relation d’ordre, on en déduit :

  $f'(a)\leqslant f'(b)$,

  ce qui montre que $f'$ est croissante.

• Supposons $f'$ croissante.

  Soit $c\in \left]a,b\right[$.

  D’après le théorème des accroissements finis, il existe $a'\in \left]a,c\right[$ et $b'\in \left]c,b\right[$ tels que

  ${\frac {f(c)-f(a)}{c-a}}=f'(a')$ et ${\frac {f(b)-f(c)}{b-c}}=f'(b')$.

  Or (par croissance de $f'$) $f'(a')\leqslant f'(b')$, ce qui se traduit par :

  ${\frac {f(c)-f(a)}{c-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(c)}{b-c}}$.

  La troisième inégalité des pentes est donc démontrée, ce qui prouve que $f$ est convexe.

 

Début de l'exemple

Exemples

D'après ce critère :

• la fonction exponentielle, $\exp$, est convexe car sa dérivée, $\exp$, est croissante ;
• la fonction logarithme, $\ln$, est concave car sa dérivée, $x\mapsto {\frac {1}{x}}$, est décroissante sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.

Fin de l'exemple

Corollaire

Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle réel $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur $I$.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du théorème et du fait (appliqué à $f'$) que sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive.

 

Début de l'exemple

Exemple

Pour tout réel $p\geq 1$, fonction puissance $p$-ième, $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{p}$, est convexe.

Fin de l'exemple

Propriété 12

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est convexe sur $I$ ;
2. pour tous $a,b\in I$ tels que $a<b$, $f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$ ;
3. pour tous $a,b\in I$ tels que $a>b$, $f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$ ;
4. pour tous $a,b\in I$, $f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$.

Démonstration

Pour tout $b\in I$, l’application :

$h_{b}:I\setminus \{b\}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {f(x)-f(b)}{x-b}}$

a pour dérivée

$h'_{b}:I\setminus \{b\}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {(x-b)f'(x)-f(x)+f(b)}{(x-b)^{2}}}$

donc cette dérivée en un point $a\in I\setminus \{b\}$ est positive si et seulement si :

$f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$.

Par conséquent, la condition 2 (resp. 3) équivaut à la croissance de $h_{b}$ sur l'intervalle $I\cap \left]-\infty ,b\right[$ (resp. $I\cap \left]b,+\infty \right[$) pour tout $b\in I$.

D'après la propriété 3, chacune de ces deux conditions équivaut à la convexité de $f$, donc la dernière aussi.

 

Propriété 13

Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes.

Démonstration

Soient $a,b\in I$. La tangente à la courbe au point $(a,f(a))$ a pour équation :

$y=f(a)+(x-a)f'(a)$.

Le point d'abscisse $b$ de cette tangente est donc en dessous du point de la courbe de même abscisse si et seulement si $f(a)+(b-a)f'(a)\leqslant f(b)$.

On conclut grâce à la propriété 12.

 

Début de l'exemple

Exemples

On peut démontrer directement que la courbe est :

• au-dessus de ses tangentes pour la fonction exponentielle (convexe) ;
• en dessous pour la fonction logarithme (concave).

Fin de l'exemple