Ⅰ
donc
.
Ⅱ 1° D'après la formule de Taylor-Lagrange, il existe un réel
compris entre
et
tel que
.
- Puisque
,
.
- 2°
.
- D'après la question précédente, cette intégrale est positive et majorée par
.
- En divisant par
pour
puis en faisant tendre
vers
, on en déduit par encadrement que
est dérivable en tout réel
et
.
Ⅲ Changement de variable
.
Ⅳ D'après Ⅱ et Ⅲ,
(on aurait pu calculer plus directement la dérivée de
– sans passer par celle de
– en dérivant sous le signe d'intégration).
- Par conséquent,
donc
est constante, c'est-à-dire :

- donc (d'après Ⅰ)
,
- c'est-à-dire :
.