Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Séries et produits infinis formels

Séries et produits infinis formels
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Exercices no3
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Séries et produits infinis formels

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Approximation diophantienne et fractions continues
Exo suiv. :Résidus quadratiques
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Séries et produits infinis formels
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Exercice 3-1

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Quelle est la série génératrice du nombre de partitions de   en parties qui sont :

  1. paires et inférieures ou égales à   ?
  2. paires (resp. impaires) ?
  3. des carrés parfaits ?
  4. des nombres premiers ?
  5. distinctes ?
  6. des carrés parfaits distincts ?
  7. des nombres premiers distincts ?

Exercice 3-2

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Démontrer, à l'aide des séries génératrices, que :

  1. le nombre de partitions de   en parties distinctes est égal au nombre de ses partitions en parties impaires[1] ;
  2. le nombre de partitions de   dans lesquelles les parties paires sont en nombre pair moins celui où elles sont en nombre impair est égal à celui en parties distinctes impaires[2].

Exercice 3-3

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En raisonnant sur des diagrammes de Ferrers, démontrer que :

  1. pour tout  , il y a   partitions de   dans lesquelles chaque partie est supérieure ou égale à  , et autant dans lesquelles les deux plus grandes parties sont égales[3] ;
  2. pour tout  ,  . Indication : pour chaque   de   à  , transformer un diagramme d'une partition de   en un diagramme d'une partition de   en lui ajoutant une ligne[4].

Exercice 3-4

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Soit   l'ensemble des diagrammes de Ferrers des partitions de   en parties distinctes, chaque partition étant représentée par une suite de lignes de longueurs strictement décroissantes. On note   (resp.  ) le nombre de celles en un nombre pair (resp. impair) de parties.

On considère deux transformations   et  , définies partiellement de   dans   de la façon suivante :

  • pour  , soient   le nombre de points de la « base » (l'horizontale inférieure) et   le nombre de points de l'« oblique » (à 45 degrés en haut à droite) ;
  • on construit   en déplaçant la base en une oblique supplémentaire (le long des   points) ;
  • on construit   en déplaçant l'oblique en une base supplémentaire (sous les   points) ;
  • dans les deux cas, la transformation n'est autorisée que si le nouveau diagramme est encore un élément de  .
 
              
             
            
           
          
  1. Montrer que si   est tel que pour chaque  , une et une seule des deux opérations est autorisée, alors  .
  2. Montrer que   est autorisée si  , qu'elle ne l'est pas si  , et qu'elle l'est si   sauf, pour certains entiers   (à préciser), pour un élément particulier de   (à dessiner).
  3. Montrer que   est autorisée si  , qu'elle ne l'est pas si  , et qu'elle l'est si   sauf exception à préciser de même.
  4. En déduire le théorème des nombres pentagonaux[5] :   sauf si  , auquel cas cette différence vaut  .

Exercice 3-5

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À l'aide de la formule du triple produit de Jacobi, redémontrer le théorème des nombres pentagonaux :

 .

Exercice 3-6

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Déduire de la première identité d'Euler les deux identités suivantes[6] :

  1.   ;
  2.  .

Exercice 3-7

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  1. Déduire du triple produit de Jacobi la formule suivante :
     .
  2. En déduire une expression[7] sous forme de produit infini de  .
  3. En déduire aussi une expression[8] sous forme de série de  .

Exercice 3-8

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En affinant[9] la preuve de la majoration vue en cours :

  avec  ,

démontrer que

 .

Indication : montrer que pour  ,   et se souvenir que   pour  .

Exercice 3-9

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On pose

 .
  1. Quelle est l'interprétation combinatoire de   et   en termes de nombres de partitions ?
  2. Démontrer l'identité  .
  3. En déduire que   ( ).

Exercice 3-10

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(Apostol, exercice 7 p. 326 ; H&W, theorem 355-356.)

  1. À l'aide de la formule du triple produit de Jacobi, démontrer que :
    1.   ;
    2.  .
  2. À quoi correspond le coefficient de   dans le développement en série du produit formel   et dans celui de   ? (Justifier.)
  3. Quelle est l'interprétation combinatoire des égalités de la question 1, en termes de nombres de partitions ?

Notes et références

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  1. H & W, th. 344.
  2. Remarque due à Derrick Lehmer, d'après R. B. J. T. Allenby et Alan Slomson, How to Count: An Introduction to Combinatorics, 2011, 2e éd. [lire en ligne], p. 138-140 .
  3. Extrait de Allenby et Slomson 2011, p. 94. Remarque : on peut aussi le prouver à l'aide des séries génératrices.
  4. Extrait de Allenby et Slomson 2011, p. 93.
  5. Preuve due à Fabian Franklin, 1881.
  6. H & W, th. 345-346.
  7. Apostol, p. 326, l'appelle le théorème des nombres triangulaires de Gauss.
  8. Encore un théorème de Jacobi.
  9. Cette amélioration à peu de frais est attribuée par Apostol (p. 318) à Jacobus van Lint ((en) J. H. van Lint, Combinatorial Theory Seminar, coll. « LNM » (no 382), 1974 [lire en ligne], p. 34-36 ), qui l'a en réalité transcrite de (en) Komaravolu Chandrasekharan, Arithmetical Functions, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (no 167), 1970 [lire en ligne], p. 169-170 .
  10. Eric Weisstein, « Schur's Partition Theorem », sur MathWorld.