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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Introduction aux mathématiques : Applications Introduction aux mathématiques/Applications », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
E
{\displaystyle E}
et
F
{\displaystyle F}
deux ensembles.
Dans pareil cas, on dit que
E
{\displaystyle E}
est l'ensemble de départ ou la source de
f
{\displaystyle f}
,
F
{\displaystyle F}
l'ensemble d'arrivée ou le but de
f
{\displaystyle f}
,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
le graphe de
f
{\displaystyle f}
.
Pour un
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
, l'unique
y
{\displaystyle y}
de la définition est appelé image de
x
{\displaystyle x}
par
f
{\displaystyle f}
, noté
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
. On note souvent
f
:
E
→
F
,
x
↦
f
(
x
)
{\displaystyle f:E\rightarrow F,\,x\mapsto f(x)}
.
Deux applications sont donc égales ssi elles ont même source, même but et même graphe.
Dans les cas particulier où
F
=
R
{\displaystyle F=\mathbb {R} }
(resp
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
) on parle de fonction numérique (resp: complexe ). Si
E
=
N
{\displaystyle E=\mathbb {N} }
on parle de suite d'éléments de
F
{\displaystyle F}
.
On appelle identité de
E
{\displaystyle E}
, l’application
i
d
E
:
E
→
E
,
x
↦
x
{\displaystyle id_{E}:E\rightarrow E,\,x\mapsto x}
.
Soit
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\rightarrow F}
une application et
A
⊂
E
{\displaystyle A\subset E}
.
Définitions : restriction, corestriction
On appelle restriction de
f
{\displaystyle f}
à
A
{\displaystyle A}
, notée
f
|
A
{\displaystyle f_{|A}}
, l’application
f
|
A
:
A
→
F
,
x
↦
f
(
x
)
{\displaystyle f_{|A}:A\rightarrow F,\,x\mapsto f(x)}
.
Soit maintenant
B
⊂
F
{\displaystyle B\subset F}
telle que
∀
x
∈
E
,
f
(
x
)
∈
B
{\displaystyle \forall x\in E,f(x)\in B}
.
On appelle alors corestriction de
f
{\displaystyle f}
à
B
{\displaystyle B}
l’application
f
|
B
:
E
→
B
,
x
↦
f
(
x
)
{\displaystyle f^{|B}:E\rightarrow B,\,x\mapsto f(x)}
.
Soit
E
′
{\displaystyle E'}
un sur-ensemble de
E
{\displaystyle E}
, on appelle prolongement de
f
{\displaystyle f}
à
E
′
{\displaystyle E'}
toute application
g
:
E
′
→
F
{\displaystyle g:E'\rightarrow F}
telle que
∀
x
∈
E
,
f
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in E,f(x)=g(x)}
.
Pour plus de détails sur cette section, voir le chapitre « Composition » de la leçon « Opérations sur les fonctions » .
Soient
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\rightarrow F}
et
g
:
F
→
G
{\displaystyle g:F\rightarrow G}
deux applications. On définit alors l'application composée de
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
par
g
∘
f
:
E
→
G
,
x
↦
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g\circ f:E\rightarrow G,\,x\mapsto g(f(x))}
.
Ainsi la notation
h
∘
g
∘
f
{\displaystyle h\circ g\circ f}
est sans ambiguité.
Injections, surjections et bijections
modifier
Pour plus de détails sur toute cette section, voir le chapitre « Injection, surjection, bijection » de la leçon « Application (mathématiques) » .
Soient
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\to F}
une application et
y
∈
F
{\displaystyle y\in F}
.
Exemple : pour
f
:
R
→
R
,
x
↦
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}}
, le réel
−
2
{\displaystyle -2}
n'a pas d'antécédent alors que
2
{\displaystyle 2}
en a deux.
Définition : injections, surjections, bijections
Exercice :
Restreindre l’application
f
{\displaystyle f}
de l'exemple précédent au départ et/où à l'arrivée pour la rendre injective/surjective/bijective.
Soit
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\rightarrow F}
une bijection. Pour tout
y
∈
F
{\displaystyle y\in F}
, on note
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle f^{-1}(y)}
l'unique
x
∈
E
/
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle x\in E/f(x)=y}
. Ceci permet de définir une application
f
−
1
:
F
→
E
,
y
↦
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle f^{-1}:F\rightarrow E,\,y\mapsto f^{-1}(y)}
. On appelle cete application bijection réciproque de
f
{\displaystyle f}
.
On a clairement les deux égalités
f
∘
f
−
1
=
Id
F
{\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {Id} _{F}}
et
f
−
1
∘
f
=
Id
E
{\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {Id} _{E}}
. Réciproquement :
Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :
ou bien le faire à la main : à
y
{\displaystyle y}
fixé dans
F
{\displaystyle F}
, on montre qu’il existe un seul et unique antécédent ;
ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avère être la bijection réciproque).
Définitions et notations : familles, suites
Soit
I
{\displaystyle I}
et
E
{\displaystyle E}
deux ensembles.
On appelle famille d'éléments de
E
{\displaystyle E}
indexée par
I
{\displaystyle I}
toute application
f
:
I
→
E
{\displaystyle f:I\rightarrow E}
.
On note plus volontiers
f
i
{\displaystyle f_{i}}
que
f
(
i
)
{\displaystyle f(i)}
pour
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
— on préfère également
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
à
f
:
I
→
E
{\displaystyle f:I\rightarrow E}
.
Plusieurs cas de figure se présentent parfois :
Si l'index
I
{\displaystyle I}
est fini (au sens intuitif du terme), la famille est dite finie .
Si
I
=
N
{\displaystyle I=\mathbb {N} }
, on parle de suite d'élément de
E
{\displaystyle E}
.
Si
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
, on appelle sous-famille de la famille
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
, la restriction de
f
{\displaystyle f}
à
J
{\displaystyle J}
.
Pour une famille
(
A
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}
d'éléments de
P
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}
, on pose
⋂
i
∈
I
A
i
:=
{
x
∈
E
/
∀
i
∈
I
,
x
∈
A
i
}
{\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}:=\{x\in E/\forall i\in I,x\in A_{i}\}}
, l'intersection des
A
i
{\displaystyle A_{i}}
,
⋃
i
∈
I
A
i
:=
{
x
∈
E
/
∃
i
∈
I
/
x
∈
A
i
}
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}:=\{x\in E/\exists i\in I/x\in A_{i}\}}
, leur réunion .
Définition : partition
Soit
E
{\displaystyle E}
un ensemble.
On appelle partition de
E
{\displaystyle E}
toute partie, P , de
P
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}
vérifiant :
∀
A
∈
P
,
A
≠
∅
{\displaystyle \forall A\in P,\,A\neq \emptyset }
,
∀
A
,
B
∈
P
,
A
≠
B
⇒
A
∩
B
=
∅
{\displaystyle \forall A,B\in P,\ A\neq B\Rightarrow A\cap B=\emptyset }
,
⨆
A
∈
P
A
=
E
{\displaystyle \bigsqcup _{A\in P}A=E}
.
Exemple : une partition évidente de E est
{
A
,
A
c
}
{\displaystyle \{A,A^{c}\}}
valable pour tout
A
⊂
E
{\displaystyle A\subset E}
.
Soit
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\rightarrow F}
une application.
Pour
A
⊂
E
{\displaystyle A\subset E}
, on appelle image directe de
A
{\displaystyle A}
par
f
{\displaystyle f}
la partie de
F
{\displaystyle F}
, notée
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
et définie par
f
(
A
)
:=
{
y
∈
F
/
∃
x
∈
A
/
y
=
f
(
x
)
}
{\displaystyle f(A):=\{y\in F/\exists x\in A/y=f(x)\}}
. En particulier
f
(
E
)
{\displaystyle f(E)}
est appelé l'image de
f
{\displaystyle f}
.
Pour
B
⊂
F
{\displaystyle B\subset F}
, on appelle image réciproque de
B
{\displaystyle B}
par
f
{\displaystyle f}
la partie de
E
{\displaystyle E}
, notée
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
et définie par
f
−
1
(
B
)
:=
{
x
∈
E
/
f
(
x
)
∈
B
}
{\displaystyle f^{-1}(B):=\{x\in E/f(x)\in B\}}
.
Remarques :
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
est toujours envisageable, même si
f
{\displaystyle f}
n’est pas bijective
f
−
1
(
F
)
=
E
{\displaystyle f^{-1}(F)=E}
alors qu'en générale
f
(
E
)
≠
F
{\displaystyle f(E)\neq F}
. C'est le cas ssi
f
{\displaystyle f}
est surjective.
Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications
P
(
E
)
→
P
(
F
)
,
A
↦
f
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)\rightarrow {\mathcal {P}}(F),A\mapsto f(A)}
et
P
(
F
)
→
P
(
E
)
,
B
↦
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(F)\rightarrow {\mathcal {P}}(E),B\mapsto f^{-1}(B)}
en fonction de celles de
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\rightarrow F}
.
Soit
y
∈
F
{\displaystyle y\in F}
, les ensembles
f
−
1
(
{
y
}
)
=
{
x
∈
E
/
f
(
x
)
=
y
}
{\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\in E/f(x)=y\}}
sont appelés les fibres de
f
{\displaystyle f}
. Lorsque
f
{\displaystyle f}
est surjective, elles forment une partition de
E
{\displaystyle E}
, exercice dont on reparlera...
Remarques : Dire que
f
{\displaystyle f}
est
injective équivaut à dire que toute fibre de
f
{\displaystyle f}
a au plus un élément,
surjective équivaut à dire qu'aucune fibre de
f
{\displaystyle f}
n'est vide,
bijective équivaut à dire que toute fibre de
f
{\displaystyle f}
est réduite à un singleton.
'Preuve'
∀
x
∈
E
,
x
∈
f
−
1
(
⋂
i
∈
I
B
i
)
⇔
f
(
x
)
∈
⋂
i
∈
I
B
i
⇔
∀
i
∈
I
,
f
(
x
)
∈
B
i
⇔
∀
i
∈
I
,
x
∈
f
−
1
(
B
i
)
⇔
x
∈
⋂
i
∈
I
f
−
1
(
B
i
)
∀
x
∈
E
,
x
∈
f
−
1
(
⋃
i
∈
I
B
i
)
⇔
f
(
x
)
∈
⋃
i
∈
I
B
i
⇔
∃
i
∈
I
/
f
(
x
)
∈
B
i
⇔
∃
i
∈
I
/
x
∈
f
−
1
(
B
i
)
⇔
x
∈
⋃
i
∈
I
f
−
1
(
B
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in E,\,x\in f^{-1}(\bigcap _{i\in I}B_{i})&\Leftrightarrow f(x)\in \bigcap _{i\in I}B_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I,\,f(x)\in B_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I,\,x\in f^{-1}(B_{i})\\&\Leftrightarrow x\in \bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\\\forall x\in E,\,x\in f^{-1}(\bigcup _{i\in I}B_{i})&\Leftrightarrow f(x)\in \bigcup _{i\in I}B_{i}\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/f(x)\in B_{i}\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/x\in f^{-1}(B_{i})\\&\Leftrightarrow x\in \bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\end{aligned}}}
'Preuve'
∀
y
∈
F
,
y
∈
f
(
⋂
i
∈
I
A
i
)
⇔
∃
x
∈
⋂
i
∈
I
A
i
/
y
=
f
(
x
)
⇔
∃
x
∈
E
/
∀
i
∈
I
,
x
∈
A
i
et
y
=
f
(
x
)
⇒
∀
i
∈
I
,
∃
x
∈
A
i
/
y
=
f
(
x
)
⇒
∀
i
∈
I
,
y
∈
f
(
A
i
)
⇒
y
∈
⋂
i
∈
I
f
(
A
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall y\in F,\,y\in f(\bigcap _{i\in I}A_{i})&\Leftrightarrow \exists x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists x\in E/\forall i\in I,x\in A_{i}{\text{ et }}y=f(x)\\&\Rightarrow \forall i\in I,\exists x\in A_{i}/y=f(x)\\&\Rightarrow \forall i\in I,y\in f(A_{i})\\&\Rightarrow y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})\end{aligned}}}
On notera que l'interversion des quantificateurs ne donne qu'une implication, en effet « en haut » il y a un
x
{\displaystyle x}
commun a tous les indices
i
{\displaystyle i}
, tandis qu' « en bas » les
x
{\displaystyle x}
dépendent de l'indice ce qui est plus faible.
∀
y
∈
F
,
y
∈
f
(
⋃
i
∈
I
A
i
)
⇔
∃
x
∈
⋃
i
∈
I
A
i
/
y
=
f
(
x
)
⇔
∃
x
∈
E
∃
i
∈
I
/
x
∈
A
i
et
y
=
f
(
x
)
⇔
∃
i
∈
I
,
∃
x
∈
A
i
/
y
=
f
(
x
)
⇔
∃
i
∈
I
/
y
∈
f
(
A
i
)
⇔
y
∈
⋃
i
∈
I
f
(
A
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall y\in F,\,y\in f(\bigcup _{i\in I}A_{i})&\Leftrightarrow \exists x\in \bigcup _{i\in I}A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists x\in E\exists i\in I/x\in A_{i}{\text{ et }}y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists i\in I,\exists x\in A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/y\in f(A_{i})\\&\Leftrightarrow y\in \bigcup _{i\in I}f(A_{i})\end{aligned}}}