Introduction aux mathématiques/Applications

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Applications
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Chapitre no 3
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chap. préc. :Notion d'ensemble
Chap. suiv. :Relations binaires
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Introduction aux mathématiques/Applications
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Graphes

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Soient   et   deux ensembles.


Dans pareil cas, on dit que

  •   est l'ensemble de départ ou la source de  ,
  •   l'ensemble d'arrivée ou le but de  ,
  •   le graphe de  .

Pour un  , l'unique   de la définition est appelé image de   par  , noté  . On note souvent  .
Deux applications sont donc égales ssi elles ont même source, même but et même graphe.
Dans les cas particulier où   (resp ) on parle de fonction numérique (resp: complexe). Si   on parle de suite d'éléments de  .
On appelle identité de  , l’application  .

Restrictions, prolongements

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Soit   une application et  .


Composition

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Pour plus de détails sur cette section, voir le chapitre « Composition » de la leçon « Opérations sur les fonctions ».

Soient   et   deux applications. On définit alors l'application composée de   et   par  .


Ainsi la notation   est sans ambiguité.

Injections, surjections et bijections

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Pour plus de détails sur toute cette section, voir le chapitre « Injection, surjection, bijection » de la leçon « Application (mathématiques) ».

Définitions

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Soient   une application et  .


Exemple : pour  , le réel   n'a pas d'antécédent alors que   en a deux.


Exercice : Restreindre l’application   de l'exemple précédent au départ et/où à l'arrivée pour la rendre injective/surjective/bijective.

Stabilité par composition

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Bijection réciproque

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Soit   une bijection. Pour tout  , on note   l'unique  . Ceci permet de définir une application  . On appelle cete application bijection réciproque de  .

On a clairement les deux égalités   et  . Réciproquement :



Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :

  • ou bien le faire à la main : à   fixé dans  , on montre qu’il existe un seul et unique antécédent ;
  • ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avère être la bijection réciproque).

Familles

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Exemple : une partition évidente de E est   valable pour tout  .

Images directes et réciproques

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Soit   une application.

Définition

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Pour  , on appelle image directe de   par   la partie de  , notée   et définie par  . En particulier   est appelé l'image de  .
Pour  , on appelle image réciproque de   par   la partie de  , notée   et définie par  .

Remarques :

  •   est toujours envisageable, même si   n’est pas bijective
  •   alors qu'en générale  . C'est le cas ssi   est surjective.

Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications   et   en fonction de celles de  .

Soit  , les ensembles   sont appelés les fibres de  . Lorsque   est surjective, elles forment une partition de  , exercice dont on reparlera...

Remarques : Dire que   est

  • injective équivaut à dire que toute fibre de   a au plus un élément,
  • surjective équivaut à dire qu'aucune fibre de   n'est vide,
  • bijective équivaut à dire que toute fibre de   est réduite à un singleton.

Quelques propriétés

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