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Introduction aux mathématiques : Applications Introduction aux mathématiques/Applications », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient E {\displaystyle E} et F {\displaystyle F} deux ensembles.
Dans pareil cas, on dit que
E {\displaystyle E} est l'ensemble de départ ou la source de f {\displaystyle f} ,
F {\displaystyle F} l'ensemble d'arrivée ou le but de f {\displaystyle f} ,
Γ {\displaystyle \Gamma } le graphe de f {\displaystyle f} .Pour un x ∈ E {\displaystyle x\in E} , l'unique y {\displaystyle y} de la définition est appelé image de x {\displaystyle x} par f {\displaystyle f} , noté f ( x ) {\displaystyle f(x)} . On note souvent f : E → F , x ↦ f ( x ) {\displaystyle f:E\rightarrow F,\,x\mapsto f(x)} .
Deux applications sont donc égales ssi elles ont même source, même but et même graphe.
Dans les cas particulier où F = R {\displaystyle F=\mathbb {R} } (respC {\displaystyle \mathbb {C} } ) on parle de fonction numérique (resp: complexe ). Si E = N {\displaystyle E=\mathbb {N} } on parle de suite d'éléments de F {\displaystyle F} .
On appelle identité de E {\displaystyle E} , l’application i d E : E → E , x ↦ x {\displaystyle id_{E}:E\rightarrow E,\,x\mapsto x} .
Restrictions, prolongements
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Soit f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F} une application et A ⊂ E {\displaystyle A\subset E} .
Définitions : restriction, corestriction
On appelle restriction de f {\displaystyle f} à A {\displaystyle A} , notée f | A {\displaystyle f_{|A}} , l’application f | A : A → F , x ↦ f ( x ) {\displaystyle f_{|A}:A\rightarrow F,\,x\mapsto f(x)} .
Soit maintenant B ⊂ F {\displaystyle B\subset F} telle que ∀ x ∈ E , f ( x ) ∈ B {\displaystyle \forall x\in E,f(x)\in B} .
On appelle alors corestriction de f {\displaystyle f} à B {\displaystyle B} l’application f | B : E → B , x ↦ f ( x ) {\displaystyle f^{|B}:E\rightarrow B,\,x\mapsto f(x)} .
Soit E ′ {\displaystyle E'} un sur-ensemble de E {\displaystyle E} , on appelle prolongement de f {\displaystyle f} à E ′ {\displaystyle E'} toute application g : E ′ → F {\displaystyle g:E'\rightarrow F} telle que ∀ x ∈ E , f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \forall x\in E,f(x)=g(x)} .
Pour plus de détails sur cette section, voir le chapitre « Composition » de la leçon « Opérations sur les fonctions » .
Soient f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F} et g : F → G {\displaystyle g:F\rightarrow G} deux applications. On définit alors l'application composée de f {\displaystyle f} et g {\displaystyle g} par g ∘ f : E → G , x ↦ g ( f ( x ) ) {\displaystyle g\circ f:E\rightarrow G,\,x\mapsto g(f(x))} .
Ainsi la notation h ∘ g ∘ f {\displaystyle h\circ g\circ f} est sans ambiguité.
Injections, surjections et bijections
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Pour plus de détails sur toute cette section, voir le chapitre « Injection, surjection, bijection » de la leçon « Application (mathématiques) » .
Soient f : E → F {\displaystyle f:E\to F} une application et y ∈ F {\displaystyle y\in F} .
Exemple : pour f : R → R , x ↦ x 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}} , le réel − 2 {\displaystyle -2} n'a pas d'antécédent alors que 2 {\displaystyle 2} en a deux.
Définition : injections, surjections, bijections
Exercice :
Restreindre l’application f {\displaystyle f} de l'exemple précédent au départ et/où à l'arrivée pour la rendre injective/surjective/bijective.
Stabilité par composition
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Bijection réciproque
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Soit f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F} une bijection. Pour tout y ∈ F {\displaystyle y\in F} , on note f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} l'unique x ∈ E / f ( x ) = y {\displaystyle x\in E/f(x)=y} . Ceci permet de définir une application f − 1 : F → E , y ↦ f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}:F\rightarrow E,\,y\mapsto f^{-1}(y)} . On appelle cete application bijection réciproque de f {\displaystyle f} .
On a clairement les deux égalités f ∘ f − 1 = Id F {\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {Id} _{F}} et f − 1 ∘ f = Id E {\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {Id} _{E}} . Réciproquement :
Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :
ou bien le faire à la main : à y {\displaystyle y} fixé dans F {\displaystyle F} , on montre qu’il existe un seul et unique antécédent ;
ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avère être la bijection réciproque).
Définitions et notations : familles, suites
Soit I {\displaystyle I} et E {\displaystyle E} deux ensembles.
On appelle famille d'éléments de E {\displaystyle E} indexée par I {\displaystyle I} toute application f : I → E {\displaystyle f:I\rightarrow E} .
On note plus volontiers f i {\displaystyle f_{i}} que f ( i ) {\displaystyle f(i)} pour i ∈ I {\displaystyle i\in I} — on préfère également ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} à f : I → E {\displaystyle f:I\rightarrow E} .
Plusieurs cas de figure se présentent parfois :
Si l'index I {\displaystyle I} est fini (au sens intuitif du terme), la famille est dite finie .
Si I = N {\displaystyle I=\mathbb {N} } , on parle de suite d'élément de E {\displaystyle E} .
Si J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} , on appelle sous-famille de la famille ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} , la restriction de f {\displaystyle f} à J {\displaystyle J} . Pour une famille ( A i ) i ∈ I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} d'éléments de P ( E ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(E)} , on pose
⋂ i ∈ I A i := { x ∈ E / ∀ i ∈ I , x ∈ A i } {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}:=\{x\in E/\forall i\in I,x\in A_{i}\}} , l'intersection des A i {\displaystyle A_{i}} ,
⋃ i ∈ I A i := { x ∈ E / ∃ i ∈ I / x ∈ A i } {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}:=\{x\in E/\exists i\in I/x\in A_{i}\}} , leur réunion .
Définition : partition
Soit E {\displaystyle E} un ensemble.
On appelle partition de E {\displaystyle E} toute partie, P , de P ( E ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(E)} vérifiant :
∀ A ∈ P , A ≠ ∅ {\displaystyle \forall A\in P,\,A\neq \emptyset } ,
∀ A , B ∈ P , A ≠ B ⇒ A ∩ B = ∅ {\displaystyle \forall A,B\in P,\ A\neq B\Rightarrow A\cap B=\emptyset } ,
⨆ A ∈ P A = E {\displaystyle \bigsqcup _{A\in P}A=E} .
Exemple : une partition évidente de E est { A , A c } {\displaystyle \{A,A^{c}\}} valable pour tout A ⊂ E {\displaystyle A\subset E} .
Images directes et réciproques
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Soit f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F} une application.
Pour A ⊂ E {\displaystyle A\subset E} , on appelle image directe de A {\displaystyle A} par f {\displaystyle f} la partie de F {\displaystyle F} , notée f ( A ) {\displaystyle f(A)} et définie par f ( A ) := { y ∈ F / ∃ x ∈ A / y = f ( x ) } {\displaystyle f(A):=\{y\in F/\exists x\in A/y=f(x)\}} . En particulier f ( E ) {\displaystyle f(E)} est appelé l'image de f {\displaystyle f} .
Pour B ⊂ F {\displaystyle B\subset F} , on appelle image réciproque de B {\displaystyle B} par f {\displaystyle f} la partie de E {\displaystyle E} , notée f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} et définie par f − 1 ( B ) := { x ∈ E / f ( x ) ∈ B } {\displaystyle f^{-1}(B):=\{x\in E/f(x)\in B\}} .
Remarques :
f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} est toujours envisageable, même si f {\displaystyle f} n’est pas bijective
f − 1 ( F ) = E {\displaystyle f^{-1}(F)=E} alors qu'en générale f ( E ) ≠ F {\displaystyle f(E)\neq F} . C'est le cas ssi f {\displaystyle f} est surjective.Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications P ( E ) → P ( F ) , A ↦ f ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(E)\rightarrow {\mathcal {P}}(F),A\mapsto f(A)} et P ( F ) → P ( E ) , B ↦ f − 1 ( B ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(F)\rightarrow {\mathcal {P}}(E),B\mapsto f^{-1}(B)} en fonction de celles de f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F} .
Soit y ∈ F {\displaystyle y\in F} , les ensembles f − 1 ( { y } ) = { x ∈ E / f ( x ) = y } {\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\in E/f(x)=y\}} sont appelés les fibres de f {\displaystyle f} . Lorsque f {\displaystyle f} est surjective, elles forment une partition de E {\displaystyle E} , exercice dont on reparlera...
Remarques : Dire que f {\displaystyle f} est
injective équivaut à dire que toute fibre de f {\displaystyle f} a au plus un élément,
surjective équivaut à dire qu'aucune fibre de f {\displaystyle f} n'est vide,
bijective équivaut à dire que toute fibre de f {\displaystyle f} est réduite à un singleton. Quelques propriétés
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'Preuve'
∀ x ∈ E , x ∈ f − 1 ( ⋂ i ∈ I B i ) ⇔ f ( x ) ∈ ⋂ i ∈ I B i ⇔ ∀ i ∈ I , f ( x ) ∈ B i ⇔ ∀ i ∈ I , x ∈ f − 1 ( B i ) ⇔ x ∈ ⋂ i ∈ I f − 1 ( B i ) ∀ x ∈ E , x ∈ f − 1 ( ⋃ i ∈ I B i ) ⇔ f ( x ) ∈ ⋃ i ∈ I B i ⇔ ∃ i ∈ I / f ( x ) ∈ B i ⇔ ∃ i ∈ I / x ∈ f − 1 ( B i ) ⇔ x ∈ ⋃ i ∈ I f − 1 ( B i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in E,\,x\in f^{-1}(\bigcap _{i\in I}B_{i})&\Leftrightarrow f(x)\in \bigcap _{i\in I}B_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I,\,f(x)\in B_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I,\,x\in f^{-1}(B_{i})\\&\Leftrightarrow x\in \bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\\\forall x\in E,\,x\in f^{-1}(\bigcup _{i\in I}B_{i})&\Leftrightarrow f(x)\in \bigcup _{i\in I}B_{i}\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/f(x)\in B_{i}\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/x\in f^{-1}(B_{i})\\&\Leftrightarrow x\in \bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\end{aligned}}}
'Preuve'
∀ y ∈ F , y ∈ f ( ⋂ i ∈ I A i ) ⇔ ∃ x ∈ ⋂ i ∈ I A i / y = f ( x ) ⇔ ∃ x ∈ E / ∀ i ∈ I , x ∈ A i et y = f ( x ) ⇒ ∀ i ∈ I , ∃ x ∈ A i / y = f ( x ) ⇒ ∀ i ∈ I , y ∈ f ( A i ) ⇒ y ∈ ⋂ i ∈ I f ( A i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall y\in F,\,y\in f(\bigcap _{i\in I}A_{i})&\Leftrightarrow \exists x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists x\in E/\forall i\in I,x\in A_{i}{\text{ et }}y=f(x)\\&\Rightarrow \forall i\in I,\exists x\in A_{i}/y=f(x)\\&\Rightarrow \forall i\in I,y\in f(A_{i})\\&\Rightarrow y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})\end{aligned}}}
On notera que l'interversion des quantificateurs ne donne qu'une implication, en effet « en haut » il y a un x {\displaystyle x} commun a tous les indices i {\displaystyle i} , tandis qu' « en bas » les x {\displaystyle x} dépendent de l'indice ce qui est plus faible.
∀ y ∈ F , y ∈ f ( ⋃ i ∈ I A i ) ⇔ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ I A i / y = f ( x ) ⇔ ∃ x ∈ E ∃ i ∈ I / x ∈ A i et y = f ( x ) ⇔ ∃ i ∈ I , ∃ x ∈ A i / y = f ( x ) ⇔ ∃ i ∈ I / y ∈ f ( A i ) ⇔ y ∈ ⋃ i ∈ I f ( A i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall y\in F,\,y\in f(\bigcup _{i\in I}A_{i})&\Leftrightarrow \exists x\in \bigcup _{i\in I}A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists x\in E\exists i\in I/x\in A_{i}{\text{ et }}y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists i\in I,\exists x\in A_{i}/y=f(x)\\&\Leftrightarrow \exists i\in I/y\in f(A_{i})\\&\Leftrightarrow y\in \bigcup _{i\in I}f(A_{i})\end{aligned}}}