Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

**Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 13
Chap. préc. :	Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
Chap. suiv. :	Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Contact d’un solide sur un autre dans le cas de « liaisons unilatérale ou bilatérale avec frottement »

Introduit une 1^ère fois dans le paragraphe « 3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéale (c.-à-d. sans frottement) ou non idéale (c.-à-d. avec frottement) » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Rappel : liaisons unilatérale ou bilatérale d’un solide sur un autre

Introduit une 1^ère fois dans le paragraphe « notions de liaisons unilatérale et bilatérale » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Liaison unilatérale

Voir aussi « liaison unilatérale » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ en contact éventuel avec le solide support $\;(\Sigma )\;$ peut être

en contact effectif, dans ce cas $\;(\Sigma )\;$ exerce des forces de contact sur $\;({\mathcal {S}})\;$ de résultante appelée « réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ » ^[1], cette dernière étant dirigée de $\;(\Sigma )\;$ vers $\;({\mathcal {S}})\;$ ou
« au-dessus de $\;(\Sigma )\;$ » ^[2] sans point de contact avec lui, dans ce cas « la réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ » ^[1] est nulle.

Liaison bilatérale

Voir aussi « liaison bilatérale » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est toujours en contact avec le solide support $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$ plus précisément constitué de deux solides supports « $\;(\Sigma _{\text{inf}})\;$ et $\;(\Sigma _{\text{sup}})\;$ » ${\big ]}\;$ guidant le solide $\;({\mathcal {S}})$ , l'un ou l'autre des solides supports de part et d'autre de $\;({\mathcal {S}})\;$ exerçant sur lui des forces de contact de résultante appelée « réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ » ^[1] pouvant avoir n'importe quelle direction $\;{\big (}$ et même être nulle ${\big )}$ .

Rappel : composantes normale et tangentielle de la réaction du support solide sur le système indéformable étudié

Voir aussi « composante normale de réaction et force de frottement solide » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Définissant $\;{\vec {n}}\;$ un vecteur unitaire normal au(x) support(s) solide(s) $\;(\Sigma )\;$ défini au « point d'application de la réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ » ^[3], point que nous appellerons par la suite « point de contact » ^[4], le sens de $\;{\vec {n}}\;$ étant choisi usuellement « vers l'extérieur du support solide $\;(\Sigma )\;$ en cas de liaison unilatérale » et dans un « sens arbitraire en cas de liaison bilatérale », nous notons :

$\;{\vec {R}}_{n}\;$ la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur la normale, soit « $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ » où « $\;R_{n}={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}\;$ » est appelée « composante normale de la réaction » et
$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur le plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact, soit « $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ » ^[5], où « $\;R_{\tau }={\vec {R}}\cdot {\vec {\tau }}\;$ » ^[5] est appelée « composante tangentielle de la réaction » $\;{\big (}$ ou encore « force de frottement solide » ${\big )}$ ;

on peut alors écrire «

\;{\vec {R}}=R_{n}\;{\vec {n}}+R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;

» avec
«

\;R_{n}\geqslant 0\;

en liaison unilatérale » et
«

\;R_{n}\;

de signe quelconque ^[6] en liaison bilatérale ».

Rappel : « liaison avec frottement solide »

Voir aussi « notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement) » ^[7] du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

La puissance développée par la réaction $\;{\vec {R}}\;$ que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel lié à $\;(\Sigma )\;$ s'écrit, avec $\;M\;$ point d'application de $\;{\vec {R}}$ , « $\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})={\vec {R}}\cdot {\vec {V}}_{M}$ $={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {V}}_{M}+{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {V}}_{M}\;$ » ^[8] ;

La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ que $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ exerce sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ or $\;{\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {V}}_{M}=0\;$ car, en cas de non glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ , $\;{\vec {V}}_{M}={\vec {0}}\;$ et,
La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ que $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ exerce sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ or $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {V}}_{M}=0}\;$ car, en cas de glissement, $\;{\vec {V}}_{M}\neq {\vec {0}}\;$ dans le plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ en $\;M\;$ donc $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}_{n}\;$ d'où au final

la puissance développée par la réaction $\;{\vec {R}}\;$ que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel lié à $\;(\Sigma )\;$ se réécrit, avec $\;M\;$ point d'application de $\;{\vec {R}}$ , selon « $\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})={\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {V}}_{M}\;$ » ^[9].

On dit que la liaison est « avec frottement » $\;{\big (}$ ou « non idéale » ou encore « non parfaite » ${\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$ en envisageant diverses situations de repos de $\;({\mathcal {S}})$ , on en trouve au moins une où $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est $\;\neq {\vec {0}}\;$ et
On dit que la liaison est « avec frottement » $\;\color {transparent}{\big (}$ ou « non idéale » ou encore « non parfaite » $\color {transparent}{\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$ dans tous les états de translation de $\;({\mathcal {S}})$ , $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est toujours $\;\neq {\vec {0}}$ ;

On dit que la liaison est « avec frottement » $\;\color {transparent}{\big (}$ ou « non idéale » ou $\;{\big (}$ ce qui est équivalent ${\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$ il existe des cas de repos de $\;({\mathcal {S}})\;$ où $\;{\vec {R}}\;$ est $\;\not \perp \;$ au plan tangent de $\;(\Sigma )\;$ en $\;M\;$ ^[10] et
On dit que la liaison est « avec frottement » $\;\color {transparent}{\big (}$ ou « non idéale » ou $\;\color {transparent}{\big (}$ ce qui est équivalent $\color {transparent}{\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$ dans l'hypothèse de translation de $\;({\mathcal {S}})$ , $\;{\vec {R}}\;$ est toujours $\;\not \perp \;$ au plan tangent de $\;(\Sigma )\;$ en $\;M$ .

Il est équivalent de définir une liaison « avec frottement » $\;{\big (}$ ou « non idéale » ou encore « non parfaite » ${\big )}\;$ comme une liaison telle que $\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})\neq 0\;$ en cas de mouvement de translation de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ .

Énoncé des lois empiriques de « Coulomb » du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement, cœfficients de frottement statique et dynamique caractérisant le contact

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb ^[11] » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est donc au repos sur le support solide $\;(\Sigma )\;$ avec, a priori, « présence d'une force de frottement solide » ^[12] et absence de glissement ;

     si une force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tend à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ tangentiellement à ce dernier suivant $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}\;$ ^[13],
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;(\Sigma )\;$ réagit en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ s’opposant à la mise en mouvement, c.-à-d.
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ une force de frottement solide $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\tau }}\;$ de même direction mais de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}$ ;
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ comme il n'y a pas glissement, $\;{\vec {R}}_{\tau }=-{\vec {F}}_{m}\;$ soit
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en choisissant le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ du plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact suivant la direction et le sens de $\;{\vec {F}}_{m}\;$ ^[14],
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ c.-à-d. tel que $\;{\vec {F}}_{m}=F_{m}\;{\vec {\tau }}\;$ avec $\;F_{m}>0\;$ et $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ où $\;R_{\tau }\;$ est la valeur algébrique de la « force de frottement solide » ^[15],
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ on déduit, de la condition de non glissement, « $\;R_{\tau }=-F_{m}<0\;$ » ;

     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\nearrow \Vert F_{m}\Vert =F_{m}$ , $\Rightarrow$ $\;R_{\tau }=-F_{m}<0\;$ telle que $\;\vert R_{\tau }\vert =\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =F_{m}\nearrow \;$ mais $\;\ldots \;$
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\color {transparent}{\nearrow \Vert F_{m}\Vert =F_{m}}$ , $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\vert R_{\tau }\vert =\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \;$ ne peut $\;\nearrow \;$ indéfiniment,
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\color {transparent}{\nearrow }$ , il existe une valeur de $\;F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ à partir de laquelle le glissement s'amorcera,
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\color {transparent}{\nearrow }$ , il existe cette force seuil définissant le « seuil d'adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ » ;

     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la composante normale de la réaction $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ s’oppose à la pénétration de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;(\Sigma )\;$ ^[16],
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration étant appelée « force pressante de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ » et notée $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ^[17] ;
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration comme il n'y a pas pénétration, $\;{\vec {R}}_{n}=-{\vec {F}}_{p}$ soit
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en choisissant le vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}\;$ au plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact en sens contraire de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas ou
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en choisissant le vecteur unitaire normal $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ au plan tangent à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ au point de contact de sens a priori arbitraire si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier ^[18] et,
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en posant $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ quel que soit le sens choisi pour $\;{\vec {n}}\;$ ^[19] ainsi que $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ où $\;R_{n}\;$ est la « réaction normale au support »,
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration on déduit, de la condition de non pénétration, « $\;R_{n}=F_{p}\;$ » avec,
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas, « $\;R_{n}>0\;$ » ou,
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est arbitraire, « $\;R_{n}>0\;$ si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ^[20] est contraire au sens de $\;{\vec {n}}\;$ » et
     si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est arbitraire, « $\;R_{n}<0\;$ si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ^[20] est dans le sens de $\;{\vec {n}}\;$ » ;

     supposant que la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tendant à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ tangentiellement à ce dernier ne modifie pas la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ ^[21],
     Supposant que la « $\;\nearrow \;$ de $\;F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ à $\;F_{p}\;$ constant » ^[22] entraîne une « $\;\nearrow \;$ de $\;\vert R_{\tau }\vert \;$ à $\;R_{n}\;$ constant » ^[23] et
           Supposant que la « $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ à $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ constant » entraîne un « démarrage du glissement pour une valeur critique $\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert \;$ de $\;\vert R_{\tau }\vert \;$ à $\;R_{n}\;$ constant »,
           Supposant que la « $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ à $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ constant » entraîne « le rapport de cette valeur critique $\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert \;$ sur $\;\vert R_{n}\vert \;$ » définissant le « cœfficient de frottement statique » noté $\;\mu _{s}\;$ soit
           Supposant que la « $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ à $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ constant » entraîne « $\;\mu _{s}={\dfrac {\vert R_{\tau ,\,c}\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$ sans unité et dépendant de l'adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ » encore égal à « $\;\mu _{s}={\dfrac {F_{m,\,c}}{\vert F_{p}\vert }}\;$ » ^[24].

1^er énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide sans glissement

Dans la mesure où

\;({\mathcal {S}})\;

reste en équilibre sur

\;(\Sigma )

, les composantes tangentielle

\;R_{\tau }\;

et normale

\;R_{n}\;

de la réaction

\;{\vec {R}}\;

de

\;(\Sigma )\;

sur

\;({\mathcal {S}})\;

sont liées par la loi empirique de Coulomb ^[11] du frottement solide sans glissement

\;\vert R_{\tau }\vert <\mu _{s}\;\vert R_{n}\vert \;

^[24] où

\;\mu _{s}>0\;

est le cœfficient de frottement statique caractérisant l'adhérence de

\;({\mathcal {S}})\;

sur

\;(\Sigma )

, la composante tangentielle

\;{\vec {R}}_{\tau }\;

étant toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire.

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement

Voir aussi « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb ^[11] » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;(\Sigma )\;$ par l'action d'une force tangentielle $\;{\vec {F}}_{m}\;$ suffisante pour faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ suivant $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ » ^[25], il s'en suit que

     Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;(\Sigma )\;$ réagit en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ ${\big [}$ en plus de la composante normale de la réaction $\;{\vec {R}}_{n}\;$ ^[26] ${\big ]}\;$
     Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ une « force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ s'opposant au mouvement »
     Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ une « ${\big [}$ c.-à-d. de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}{\big ]}$ ;

     Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement lors du glissement « le rapport $\;{\dfrac {\vert R_{\tau }\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$ reste constant » ^[27], constante positive définissant le « cœfficient de frottement dynamique » noté $\;\mu _{d}\;$
             Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement lors du glissement « le rapport $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau }\vert }\;$ reste constant », constante positive toujours $\;\lesssim \;$ au cœfficient de frottement statique $\;\mu _{s}\;$ c.-à-d. « $\;\mu _{d}\lesssim \mu _{s}\;$ »,
     Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement ainsi, quand il y a glissement « $\;{\dfrac {\vert R_{\tau }\vert }{\vert R_{n}\vert }}=\mu _{d}\;$ » sans unité et dépendant de la nature des deux solides en présence
     Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement ainsi, quand il y a glissement avec « $\;\mu _{d}\lesssim \mu _{s}={\dfrac {\vert R_{\tau ,\,c}\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$ » ${\big [}$ sans unité et dépendant de l'adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ « $\;\mu _{s}\;$ encore égal à $\;{\dfrac {F_{m,\,c}}{\vert F_{p}\vert }}\;$ » ^[28].

     Remarque : pour que le glissement démarre il est nécessaire de $\;F_{m}\;$ soit $\;>\;$ à $\;F_{m,\,c}$ ,
     Remarque : mais une fois le glissement amorcé $\;F_{m}\;$ peut devenir $\;<\;$ à $\;F_{m,\,c}$ sans que le glissement cesse ;
     Remarque : par contre si ce dernier s'arrête, il faudra de nouveau que $\;F_{m}\;$ soit $\;>\;$ à $\;F_{m,\,c}\;$ pour qu'il redémarre.

1^er énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide avec glissement

Dans la mesure où

\;({\mathcal {S}})\;

glisse sur

\;(\Sigma )

, les composantes tangentielle

\;R_{\tau }\;

et normale

\;R_{n}\;

de la réaction

\;{\vec {R}}\;

de

\;(\Sigma )\;

sur

\;({\mathcal {S}})\;

sont liées par la loi empirique de Coulomb ^[11] du frottement solide avec glissement

\;\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;\vert R_{n}\vert \;

^[27] où

\;\mu _{d}>0\;

est le cœfficient de frottement dynamique caractérisant le collé relativement au glissé de

\;({\mathcal {S}})\;

sur

\;(\Sigma )

, la composante tangentielle

\;{\vec {R}}_{\tau }\;

étant toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement effectif.

Approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique

Comme on l'a affirmé précédemment le cœfficient de frottement dynamique $\;\mu _{d}\;$ est toujours inférieur au cœfficient de frottement statique $\;\mu _{s}\;$ soit

\;\mu _{d}<\mu _{s}\;

mais,

dans les cas les plus fréquents, ces cœfficients restant proches, on peut alors « les confondre » ^[29]^, ^[30] et, dans ce cas, usuellement on pose

\;f=\mu _{d}\simeq \mu _{s}

.

Étude du démarrage du glissement d'un système indéformable sur un support solide dans le cas où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont suffisamment distincts

     Supposons le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ reposant initialement sur le plan support horizontal $\;(\Sigma )\;$ et
     supposons qu'on cherche à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ le long d'un axe horizontal $\;x'x\;$ du plan support $\;(\Sigma )\;$ dans le sens $\;+\;$ de cet axe
     supposons qu'on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ horizontale dirigée dans le sens $\;+\;$ de l'axe $\;x'x$ ;

     sur $\;({\mathcal {S}})\;$ s'exercent trois forces ^[31] : $\succ \;$ le poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ ${\big [}$ comme cette force est $\;\perp \;$ à $\;(\Sigma )\;$ elle s'identifie à la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ tendant à la pénétration de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ soit
            sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$ le poids de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant $\;{\big [}$ on choisit alors $\;{\vec {n}}$ , le vecteur unitaire normal à $\;(\Sigma )$ , dans le sens vertical ascendant
              sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$ le poids de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}\;$ vertical descendant $\;{\big (}$ pour que le sens de $\;{\vec {n}}\;$ soit dans le sens contraire de la force pressante ${\big )}\;$ et par suite
                sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$ le poids de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}\;$ vertical descendant « $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ » se réécrit « $\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}=-m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\;{\vec {n}}\;$ » avec « $\;F_{p}=m_{({\mathcal {S}})}\;g>0\;$ » ${\big ]}$ ,

            sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\succ \;$ la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;(\Sigma )$ , plus exactement le long de l'axe horizontal $\;x'x\;$ dans le sens $\;+\;$
            sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$ la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$ , ${\big [}$ on choisit alors $\;{\vec {\tau }}$ , le vecteur unitaire tangentiel à $\;(\Sigma )$ , dans le sens $\;+\;$ de $\;x'x\;$
            sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$ la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$ , $\;{\big (}$ pour que le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ soit dans le sens de l'éventuel glissement ${\big )}\;$ et par suite
              sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$ la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$ , « $\;{\vec {F}}_{m}=F_{m}\;{\vec {\tau }}\;$ » avec « $\;F_{m}>0\;$ » ${\big ]}\;$ et

sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\succ \;$ la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ de composantes normale « $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ » et tangentielle « $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ » ${\big (}$ encore appelée force de frottement solide ${\big )}$ ;

la composante normale de la réaction $\;{\vec {R}}_{n}\;$ compensant le poids nous en déduisons « $\;R_{n}=m_{({\mathcal {S}})}\;g>0\;$ » et,

      $\blacktriangleright \;$ tant que la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, la composante tangentielle de la réaction $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ compense alors $\;{\vec {F}}_{m}\;$ d'où
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, « $\;R_{\tau }=-F_{m}<0\;$ » ${\big (}$ la force de frottement solide dans le sens contraire
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, « $\;\color {transparent}{R_{\tau }=-F_{m}<0}\;$ » $\color {transparent}{\big (}$ la force de frottement solide du glissement possible ${\big )}$ ;
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, l'absence de glissement $\Rightarrow$ selon la loi empirique de Coulomb ^[11] de frottement solide sans glissement,
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, l'absence de glissement $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;\vert R_{\tau }\vert <\mu _{s}\;R_{n}\;$ » ^[32]^, ^[33] soit encore « $\;F_{m}<\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\;$ » d'où
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, la force motrice critique permettant la mise en mouvement de $\;({\mathcal {S}})\;$ est de norme « $\;F_{m,\,c}=\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\;$ » ;

      $\blacktriangleright \;$ notant $\;t=0\;$ l'instant où $\;F_{m}\;$ atteint sa valeur critique $\;F_{m,\,c}$ , le glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur le plan support horizontal $\;(\Sigma )\;$ commence alors à $\;t=0^{+}\;$
       $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$ , avec la composante normale de la réaction compensant toujours le poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ soit « $\;R_{n}=m_{({\mathcal {S}})}\;g>0\;$ » ^[34] et
       $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$ , avec la composante tangentielle de la réaction déterminée par la loi empirique de Coulomb ^[11] de frottement solide avec glissement
       $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$ , avec « $\;\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;R_{n}\;$ » ^[35]^, ^[33] ou encore « $\;\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\;$ » avec « $\;R_{\tau }<0\;$ »
                    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$ , avec « $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;R_{n}}\;$ » ${\big (}$ la force de frottement solide étant toujours dans le sens contraire du glissement effectif ${\big )}$ ,
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ la projection sur $\;{\vec {u}}_{x}={\vec {\tau }}\;$ du théorème du mouvement du C.D.I. ^[36] appliquée à $\;({\mathcal {S}})\;$ $\Rightarrow$ « $\;F_{m}+R_{\tau }=m_{({\mathcal {S}})}\;a_{({\mathcal {S}}),\,x}\;$ » ^[37] ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c l}F_{m}\!\!&=&\!\!F_{m,\,c}\!\!&=&\!\!\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\!\!&>&\!\!0\\R_{\tau }!\!&=&\!\!-\mu _{d}\;R_{n}\!\!&=&\!\!-\mu _{d}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\!\!&<&\!\!0\end{array}}\right\rbrace$ ,
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ on obtient l'équation différentielle du mouvement de glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ selon « $\;\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g-\mu _{d}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g=m_{({\mathcal {S}})}\;a_{({\mathcal {S}}),\,x}\;$ » soit finalement,
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ on obtient une accélération horizontale constante pour $\;({\mathcal {S}})\;$ égale à « $\;a_{({\mathcal {S}}),\,x}=\left(\mu _{s}-\mu _{d}\right)\,g>0\;$ » ;

$\blacktriangleright \;$ ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ a acquis une accélération non nulle dès $\;t=0^{+}$ , d'autant plus grande que $\;\mu _{s}-\mu _{d}\;$ l'est ^[38]
$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, ${\big [}$ le solide subit donc une accélération possédant une discontinuité de 1^ère espèce ^[39] à l'instant du démarrage ${\big ]}$ .

Angles limites de frottement statique et dynamique, autres énoncés des lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement

Voir aussi « expressions empiriques des lois de frottement solide de Coulomb ^[11] » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Inclinaison de la réaction que le support solide exerce sur le système indéformable étudié relativement à la normale au support solide au point d’application de la réaction

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb ^[11] » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Notant $\;\alpha \;$ ^[40] l'inclinaison de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement au vecteur unitaire $\;{\vec {n}}\;$ normal à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact de ce dernier avec $\;({\mathcal {S}})\;$ ^[18], on en déduit « $\;\tan(\alpha )={\dfrac {\vert R_{\tau }\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$ » ;

     si on cherche à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ à l'aide d’une force tangentielle $\;{\vec {F}}_{m}\;$ dont on fait $\;\nearrow \;$ la norme à partir de la valeur nulle et
     si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;({\mathcal {S}})\;$ reste en équilibre, il y a compensation entre $\;\blacktriangleright \;$ la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction avec $\;{\vec {F}}_{m}\;$ et
     si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, il y a compensation entre $\;\blacktriangleright \;$ la composante normale $\;{\vec {R}}_{n}\;$ de la réaction avec la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$
     si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, il y a compensation entre $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ la composante normale $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{n}}\;$ de la réaction avec ${\big [}{\vec {F}}_{p}\;$ étant très souvent due au poids de $\;({\mathcal {S}}){\big ]}$ ;

     si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;R_{n}\;$ reste constante $\;{\big (}$ réalisé si $\;F_{p}\;$ ne varie pas ${\big )}$ , l'angle $\;\alpha \nearrow \;$ simultanément avec la $\;\nearrow \;$ de $\;F_{m}$ , c.-à-d. que
     si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ reste constante $\;\color {transparent}{\big (}$ réalisé si $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ ne varie pas $\color {transparent}{\big )}$ , l'inclinaison de la réaction $\;{\vec {R}}\;$
     si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ reste constante $\;\color {transparent}{\big (}$ réalisé si $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ ne varie pas $\color {transparent}{\big )}$ , l'inclinaison par rapport à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact $\;\nearrow \;$
     si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ reste constante $\;\color {transparent}{\big (}$ réalisé si $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ ne varie pas $\color {transparent}{\big )}$ , l'angle $\;\color {transparent}{\alpha \nearrow }\;$ simultanément à la $\;\nearrow \;$ de $\;F_{m}\;$ ^[41].

Angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb ^[11] » et « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb ^[11] » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Tant que $\;F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ tentant de créer un glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ n'a pas atteint sa valeur critique $\;F_{m,\,c}\;$ correspondant au seuil d’adhérence, l'équilibre de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ perdure ; dans ce cas

l’inclinaison $\;\alpha \;$ de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ par rapport à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact est $\;<\;$ à une inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement statique » noté $\;\varphi _{s}$ , d'où
l’inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ par rapport à la normale à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ au point de contact est $\;\color {transparent}{<}\;$ à une inclinaison limite la condition de non glissement « $\;\alpha <\varphi _{s}\;$ »,

l’inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ par rapport à la normale à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ au point de contact est $\;\color {transparent}{<}\;$ à une inclinaison limite l'angle limite de frottement statique $\;\varphi _{s}\;$ étant lié au cœfficient de frottement statique $\;\mu _{s}\;$
l’inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ par rapport à la normale à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ au point de contact est $\;\color {transparent}{<}\;$ à une inclinaison limite l'angle limite de frottement stat par « $\;\varphi _{s}=\arctan(\mu _{s})\;$ » ^[42] ou « $\;\mu _{s}=\tan(\varphi _{s})\;$ » ^[43].

Pour que la mise en mouvement de $\;({\mathcal {S}})\;$ se produise, il faut que l'inclinaison $\;\alpha \;$ de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ relativement à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact atteigne la valeur limite $\;\varphi _{s}\;$ et,

     Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison $\;\alpha \;$ de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ relativement à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact
     Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ chute à une nouvelle inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement dynamique $\;\varphi _{d}\;$ »
     Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ chute à une nouvelle inclinaison limite d'où la condition de glissement « $\;\alpha =\varphi _{d}<\varphi _{s}\;$ »,

     Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ chute à une nouvelle inclinaison limite d'où l'angle limite de frottement dynamique $\;\varphi _{d}\;$ étant lié
     Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ chute à une nouvelle inclinaison limite d'où au cœfficient de frottement dynamique $\;\mu _{d}\;$ par
     Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ chute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement « $\;\varphi _{d}=\arctan(\mu _{d})\;$ » ^[42]^, ^[44]
Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ chute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement ou « $\;\mu _{d}=\tan(\varphi _{d})\;$ » ^[43].

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre

2^ème énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide sans glissement

Dans la mesure où

\;({\mathcal {S}})\;

reste en équilibre sur

\;(\Sigma )

, la réaction

\;{\vec {R}}\;

de

\;(\Sigma )\;

sur

\;({\mathcal {S}})\;

est inclinée, relativement à la normale à

\;(\Sigma )\;

en son point d'application, d'un angle non orienté

\;\alpha \;

selon la loi empirique de Coulomb ^[11] du frottement solide sans glissement «

\;\alpha <\varphi _{s}\;

» où

\;\varphi _{s}>0\;

est l'angle limite de frottement statique caractérisant l'adhérence de

\;({\mathcal {S}})\;

sur

\;(\Sigma )

, la réaction

\;{\vec {R}}\;

étant toujours dans « le plan contenant la normale et la direction du glissement susceptible de se produire, inclinée de sens contraire à ce dernier » ^[45].

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement

2^ème énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement solide avec glissement

Dans la mesure où

\;({\mathcal {S}})\;

glisse sur

\;(\Sigma )

, la réaction

\;{\vec {R}}\;

de

\;(\Sigma )\;

sur

\;({\mathcal {S}})\;

est inclinée, relativement à la normale à

\;(\Sigma )\;

en son point d'application, d'un angle non orienté

\;\alpha \;

selon la loi empirique de Coulomb ^[11] du frottement solide avec glissement «

\;\alpha =\varphi _{d}\;

» où

\;\varphi _{d}>0\;

est l'angle limite de frottement dynamique caractérisant le collé relativement au glissé de

\;({\mathcal {S}})\;

sur

\;(\Sigma )

, la réaction

\;{\vec {R}}\;

étant toujours dans « le plan contenant la normale et la direction du glissement effectif, inclinée de sens contraire à ce dernier » ^[46].

Notion de cône limite de frottement statique et de cône limite de frottement dynamique

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb ^[11] » et « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb ^[11] » du chap.

6

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Dans la mesure où $\;({\mathcal {S}})\;$ reste en équilibre sur $\;(\Sigma )$ , la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ étant inclinée relativement à la normale à $\;(\Sigma )\;$ en son point d’application $\;I\;$ d'un angle non orienté $\;\alpha <\varphi _{s}\;$ avec $\;\varphi _{s}\;$ angle limite de frottement statique, « reste strictement à l'intérieur d'un cône de révolution de sommet $\;I$ , d’axe “la normale à $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$ ” et de demi-angle au sommet $\;\varphi _{s}\;$ », cône appelé « cône limite de frottement statique » et caractérisant l’adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$ .

Dans la mesure où $\;({\mathcal {S}})\;$ glisse sur $\;(\Sigma )$ , la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ étant inclinée relativement à la normale à $\;(\Sigma )\;$ en son point d’application $\;I\;$ d'un angle non orienté $\;\alpha =\varphi _{d}\;$ avec $\;\varphi _{d}\;$ angle limite de frottement dynamique, « reste sur un cône de révolution de sommet $\;I$ , d’axe “la normale à $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$ ” et de demi-angle au sommet $\;\varphi _{d}\;$ », cône appelé « cône limite de frottement dynamique » et caractérisant le collé relativement au glissé de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$ .

De $\;\varphi _{d}<\varphi _{s}\;$ on déduit que le cône limite de frottement dynamique est inclus dans celui de frottement statique, la mise en mouvement se traduisant par le passage instantané de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ de la surface du cône limite de frottement statique ^[47] à celle du cône limite de frottement dynamique en restant dans un même demi-plan méridien ;

De $\;\color {transparent}{\varphi _{d}<\varphi _{s}}\;$ on déduit que lors d'un démarrage il y a donc un léger redressement instantané de $\;{\vec {R}}$ , l'inclinaison de cette dernière restant constante par la suite.

Remarque : dans les cas les plus fréquents où on peut confondre $\;\varphi _{d}\;$ et $\;\varphi _{s}$ , de valeur commune notée $\;\varphi \;$ et simplement appelée « angle limite de frottement », cet angle limite étant lié au cœfficient de frottement solide $\;f=\mu _{d}\simeq \mu _{s}\;$ par $\;\varphi =\arctan(f)\;$ ^[42] $\Leftrightarrow$ $\;\tan(\varphi )=f$ , les deux cônes limites de frottement statique et dynamique se confondent également et le cône commun est simplement appelé « cône limite de frottement ».

Méthode de traitement d’une liaison « unilatérale (ou bilatérale) » avec frottement

$\;{\mathfrak {1}}$ . Faire l'hypothèse d'équilibre de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ ,

$\;{\mathfrak {2}}$ . utiliser la C.N. ^[48] d’équilibre pour évaluer les composantes normale et tangentielle de la réaction ^[49] puis

$\;{\mathfrak {3}}$ . valider $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ l’hypothèse d'équilibre par vérification $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ de la loi empirique de Coulomb ^[11] du frottement sans glissement d’un solide sur un autre ^[32] ;

$\;{\mathfrak {4}}$ . dans le cas où l’hypothèse d’équilibre ne serait pas vérifiée, le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est alors en translation sur l'autre $\;(\Sigma )$ , faire l'hypothèse de glissement dans un sens,

$\;{\mathfrak {5}}$ . utiliser la loi empirique de Coulomb ^[11] du frottement avec glissement d’un solide sur un autre ^[35] pour exprimer la norme de la composante tangentielle de la réaction en fonction de celle de la composante normale puis

$\;{\mathfrak {6}}$ . utiliser le théorème du mouvement du C.D.I. ^[36]^, ^[37] pour en déduire, en tenant compte des C.I. ^[50] la vitesse de glissement du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$ dans les cas usuels où $\;(\Sigma )\;$ est plan, la norme de la composante normale de la réaction ^[49] ne dépend pas de la vitesse de glissement, ce qui simplifie fortement la détermination de cette dernière mais, dans les cas où $\;(\Sigma )\;$ n'est pas plan, la norme de la composante normale de la réaction ^[49] dépendant de la vitesse de glissement, la détermination de cette dernière se complique et peut même nécessiter une résolution numérique par calculateur $\;\ldots {\big ]}\;$ et enfin

$\;{\mathfrak {7}}$ . valider $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ le sens du glissement $\;{\big [}$ on rappelle que la vitesse doit être de sens contraire à la composante tangentielle de la réaction ${\big ]}$ ;

$\;{\mathfrak {8}}$ . dans le cas où le sens de glissement ne serait pas le bon, refaire le traitement en inversant le sens du glissement $\;\ldots$

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 et ^1,2 Il s'agit d'un abus usuellement utilisé pour parler de « vecteur réaction $\;\ldots$ »
↑ Plus précisément dans l'espace non occupé par $\;(\Sigma )$ .
↑ Le système des forces de contact que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;({\mathcal {S}})\;$ est le plus souvent équivalent à une force unique égale à la résultante des forces de contact à condition d'appliquer cette force unique en un point bien choisi définissant le « point d’application de la réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ ».
↑ Ceci, bien sûr, n'ayant de signification que s'il y a contact effectif $\;\ldots$
↑ ^5,0 et ^5,1 Pour l’instant $\;{\vec {\tau }}\;$ est simplement un vecteur unitaire du plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ défini au point de contact et choisi selon la direction de la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur le plan tangent, son sens étant encore, pour l’instant, arbitraire ; par suite ce dernier sera défini plus précisément $\;\ldots$
↑ Ou nulle dans des cas particuliers.
↑ Une « liaison non idéale » étant encore appelée « liaison non parfaite ».
↑ En utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ceci n'ayant de sens que si $\;{\vec {R}}\;$ existe c.-à-d. s'il y a contact entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )$ , toujours réalisé en liaison bilatérale mais conditionnel en liaison unilatérale.
↑ Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, la seule force pouvant engendrer un mouvement de la caisse c.-à-d. « son poids » étant $\;\perp \;$ au plan, l'équilibre de la caisse se traduit par le fait que la réaction du plan est opposée au poids c.-à-d. $\;\perp \;$ au plan que la liaison soit ou ne soit pas idéale, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où $\;{\vec {R}}\;$ est $\;\perp \;$ au plan, mais $\;\ldots$
Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, si on cherche à déplacer la caisse vers la droite sans y arriver $\;{\big (}$ ce qui n'est possible que si la liaison est avec frottement ${\big )}$ , elle est donc toujours en équilibre ce qui se traduit par l'existence d'une composante tangentielle de la réaction opposée à la force tangentielle exercée pour tenter de déplacer la caisse, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où $\;{\vec {R}}\;$ est $\;\not \perp \;$ au plan $\;\ldots$
↑ ^11,00 ^11,01 ^11,02 ^11,03 ^11,04 ^11,05 ^11,06 ^11,07 ^11,08 ^11,09 ^11,10 ^11,11 ^11,12 ^11,13 ^11,14 et ^11,15 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
↑ Laquelle peut accessoirement être nulle.
↑ À ce stade, le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ du plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact, choisi suivant la direction de la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur le plan tangent, mais de sens jusqu'à présent arbitraire, pourra maintenant être précisé ;
on choisira le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ dans le sens de la force qui pourrait créer le déplacement, ce qui est encore le sens de $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}\;$ c.-à-d. le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.
↑ C.-à-d. suivant la direction et le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.
↑ Plus exactement la valeur algébrique de la projection tangentielle de la force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }$ .
↑ Ceci dans le cas d'une liaison unilatérale sinon,
Ceci dans le cas d'une liaison bilatérale, $\;{\vec {R}}_{n}\;$ s’oppose à la pénétration de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;(\Sigma _{\text{sup}})\;$ ou $\;(\Sigma _{\text{inf}})\;$ suivant que le contact se fait sur l'un ou sur l'autre.
↑ Dans la mesure où le plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact est horizontal, la force pressante de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ est le plus souvent le poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ que la liaison soit unilatérale ou bilatérale $\;{\big [}$ dans ce dernier cas, il y a alors contact avec le support $\;(\Sigma _{\text{inf}}){\big ]}$ .
↑ ^18,0 et ^18,1 En se plaçant dans le cas le plus fréquent où le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne change pas $\;{\big (}$ comme cela se produit usuellement avec une liaison unilatérale ${\big )}$ , dans ce cas le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est aussi le sens contraire à la pénétration susceptible de se produire ;
En se plaçant dans le cas où le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut changer $\;{\big (}$ comme cela peut se produire avec une liaison bilatérale ${\big )}$ le sens de la pénétration susceptible de se produire étant a priori inconnu, le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est alors choisi arbitrairement $\;\ldots$
↑ Si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de sens contraire à celui de $\;{\vec {F}}_{p}$ , $\;F_{p}\;$ étant égale à $\;\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ ${\big (}$ cas usuel d'une liaison unilatérale ${\big )}\;$ on a $\;F_{p}>0\;$ mais
   si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale ${\big )}$ $\;\succ \;$ $\;F_{p}\;$ s'identifie à $\;\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ en étant alors $\;>0\;$ si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ c.-à-d.
   si le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;\color {transparent}{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$ $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ s'identifie à $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert }\;$ en étant alors $\;\color {transparent}{>0}\;$ de sens contraire à la pénétration susceptible de se produire,
   si le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;\color {transparent}{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale $\color {transparent}{\big )}$ $\;\succ \;$ $F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert <0$ si $\;{\vec {n}}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ c.-à-d.
   si le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;\color {transparent}{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert <0}$ si $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est dans le sens de la pénétration susceptible de se produire $\;\ldots$
↑ ^20,0 et ^20,1 C.-à-d. le sens de la pénétration susceptible de se produire.
↑ Ce n’est pas toujours le cas en particulier,
   si la surface de $\;(\Sigma )\;$ sur laquelle $\;({\mathcal {S}})\;$ est en contact n’est pas plane et que la force pressante est la composante du poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact, la normale changeant de direction avec la position du point de contact, la composante normale $\;F_{p}\;$ du poids varie mais
   simultanément dans la mesure où la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ susceptible d'engendrer un glissement est due au poids de $\;({\mathcal {S}})$ , sa composante tangentielle $\;F_{m}\;$ ${\big [}$ qui est aussi celle du poids de $\;({\mathcal {S}}){\big ]}\;$ varie aussi car la tangente change aussi de direction avec la position du point de contact d'où
   dans ce cas quand $\;{\vec {F}}_{m}\;$ varie, $\;{\vec {F}}_{p}\;$ varie simultanément $\;\ldots$ .
↑ On rappelle que $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ quel que soit le sens de $\;{\vec {n}}\;$ choisi et $\succ \;$ « $\;F_{p}=\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ » si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d.
   On rappelle que $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}}\;$ quel que soit le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ choisi et $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{F_{p}=\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert }\;$ » si le sens choisi de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ce qu'on choisit toujours si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas ${\big )}$
   On rappelle que $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}}\;$ quel que soit le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ choisi et $\succ \;$ « $\;F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ » si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d.
   On rappelle que $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}}\;$ quel que soit le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ choisi et $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert }\;$ » si le sens choisi de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ au sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de $\;{\vec {n}}\;$ qui est fait quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale ${\big )}$ .
↑
On rappelle que $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ quel que soit le sens de $\;{\vec {n}}\;$ $\;{\vec {n}}\;$ choisi et par suite, de la condition de non pénétration $\;R_{n}=F_{p}\;$ $\;R_{n}=F_{p}\;$ on tire
- $\;R_{n}=F_{p}=\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert =\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert \;$ si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ce qu'on choisit toujours si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas ${\big )}\;$ alors que
- $\;R_{n}=F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert =-\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert \;$ si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. au sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de $\;{\vec {n}}\;$ qui est fait quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale ${\big )}$ .
↑ ^24,0 et ^24,1 On rappelle que $\;{\vec {\tau }}\;$ étant choisi dans le sens de $\;{\vec {F}}_{m}$ , $\;F_{m}\;$ est $\;>0\;$ alors que $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ avec la condition de non glissement $\;R_{\tau }=-F_{m}\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{\tau }<0\;$ et
On rappelle que si $\;{\vec {n}}\;$ est choisi dans le sens contraire de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ quand le sens de cette dernière ne varie pas ${\big )}\;$ avec $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}$ , $\;F_{p}\;$ est $\;>0\;$ alors que $\;{\vec {R}}_{n}=$ $R_{n}\;{\vec {n}}\;$ avec la condition de non pénétration $\;R_{n}=F_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{n}>0\;$ ou
On rappelle que si $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de sens arbitraire $\;{\big (}$ quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier c.-à-d. essentiellement dans le cas d'une liaison bilatérale ${\big )}\;$ avec $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}$ , $\;F_{p}\;$ est $\;<0\;$ quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {n}}\;$ alors que $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ avec la condition de non pénétration $\;R_{n}=F_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{n}<0$ .
↑ Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ soit $\;\geqslant \;$ à $\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert$ , valeur critique à partir de laquelle l'équilibre n'est plus possible et
   Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ » c.-à-d. $\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert =\mu _{s}\;\vert R_{n}\vert \;$ avec
   Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ » c.-à-d. $\;\mu _{s}\;$ cœfficient de frottement statique et
   Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ » c.-à-d. $\;R_{n}\;$ composante normale de la réaction
   Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ » c.-à-d. $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ ${\big (}$ laquelle est $\;>0\;$ si le sens de la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne variant pas, celui du vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}\;$ est choisi contraire au sens de la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ et peut être $\;<0\;$ dans le cas où le sens de la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ variant, celui du vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire, $\;R_{n}\;$ étant alors $\;<0\;$ si le choix arbitraire coïncide avec le sens de $\;{\vec {F}}_{p}{\big )}$ ;
   il faut donc, pour qu'il y ait glissement, « $\;F_{m}\geqslant \mu _{s}\;\vert R_{n}\vert \;$ » ou « $\;F_{m}\geqslant \mu _{s}\;\vert F_{p}\vert \;$ » car $\;{\vec {F}}_{p}\;$ est opposée à $\;{\vec {R}}_{n}\;$ en cas de non glissement, avec $\;F_{p}=-{\vec {F}}_{p}\cdot {\vec {n}}\;$ soit plus précisément
         il faut donc, pour qu'il y ait glissement, « $\;\color {transparent}{F_{m}\geqslant \mu _{s}\;\vert R_{n}\vert }\;$ » ou « $\;\color {transparent}{F_{m}\geqslant }$ $\;F_{p}=\left\lbrace {\begin{array}{l l l l}\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \!\!&{\text{si sens de}}\;{\vec {n}}\!\!&{\text{contraire au sens de}}\;{\vec {F}}_{p}\!\!&{\text{(cas usuel d'une liaison unilatérale)}}\\\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \!\!&{\text{si sens (arbitraire) de}}\;{\vec {n}}\!\!&{\text{contraire au sens de}}\;{\vec {F}}_{p}\!\!&{\text{(cas possible d'une liaison bilatérale)}}\\-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \!\!&{\text{si sens (arbitraire) de}}\;{\vec {n}}\!\!&{\text{identique au sens de}}\;{\vec {F}}_{p}\!\!&{\text{(cas possible d'une liaison bilatérale)}}\end{array}}\right\rbrace$ .
↑ Celle-ci n’est opposée à la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big [}$ usuellement la composante normale du poids de $\;({\mathcal {S}}){\big ]}\;$ que si la surface de $\;(\Sigma )\;$ sur laquelle glisse $\;({\mathcal {S}})\;$ est plane, sinon la somme $\;{\vec {R}}_{n}+{\vec {F}}_{p}\;$ est a priori non nulle mais égale à $\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {a}}_{n,\,({\mathcal {S}})}=m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {a}}_{({\mathcal {S}})}\cdot {\vec {n}}\;$ ${\big [}$ attention, l'oubli de l'accélération normale est fréquente, on ne peut écrire $\;{\vec {R}}_{n}+{\vec {F}}_{p}={\vec {0}}\;$ que dans une translation rectiligne de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ , ce dernier étant alors nécessairement plan avec $\;{\vec {n}}\;\perp \;$ à ce plan ${\big ]}$ .
↑ ^27,0 et ^27,1 On rappelle que $\;R_{\tau }\;$ est $\;<0\;$ compte-tenu de $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ toujours de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ avec $\;{\vec {\tau }}\;$ choisi dans le sens de $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}$ ;
                    On rappelle que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;>0\;$ si, le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne variant pas, celui de $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;F_{p}>0$ ,
                    On rappelle que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;>0\;$ si, le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ variant, celui de $\;{\vec {n}}\;$ ${\big (}$ arbitraire ${\big )}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;F_{p}>0\;$ et
                    On rappelle que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;<0\;$ si, le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ variant, celui de $\;{\vec {n}}\;$ ${\big (}$ arbitraire ${\big )}\;$ est de même sens que $\;{\vec {F}}_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;F_{p}<0$ .
↑ Ou « $\;\mu _{s}\;$ encore égal à $\;{\dfrac {F_{m,\,c}}{\vert R_{n}\vert }}\;$ » car, dans ce cas critique, nous sommes en statique et par suite $\;\vert F_{p}\vert =\vert R_{n}\vert$ .
↑ C’est d'ailleurs ce qu'on a exposé au chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et c’est ce qu'on continuera à utiliser en dehors de ce chapitre $\;\ldots$
↑ On avait précédemment écrit $\;\mu _{d}\lesssim \mu _{s}\;$ pour englober l'approximation explicitée ici mais, avec suffisamment de précision, l'inégalité est stricte $\;\ldots$
↑ Il convient bien sûr d'ajouter un schéma de situation en représentant les forces appliquées $\;\ldots$
↑ ^32,0 et ^32,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^33,0 et ^33,1 $\;R_{n}\;$ étant ici $\;>0$ , $\;\vert R_{n}\vert =R_{n}$ .
↑ Le mouvement étant rectiligne il n'y a aucune accélération normale $\;\ldots$
↑ ^35,0 et ^35,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^36,0 et ^36,1 Centre D'Inertie.
↑ ^37,0 et ^37,1 Voir le paragraphe « énoncé du théorème (dynamique newtonienne) » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Dans l'approximation où on confond les deux cœfficients de frottement statique et dynamique, l'accélération acquise par le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est nulle, le glissement correspond donc à un mouvement rectiligne uniforme.
↑ Voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Angle non orienté.
↑ Cette $\;\nearrow \;$ de l'inclinaison de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ par rapport à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact simultanément à la $\;\nearrow \;$ de la norme de la force horizontale $\;{\vec {F}}_{m}\;$ imposée dans le but de créer un glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ n'est valable que s'il n'y a pas glissement $\;\ldots$
↑ ^42,0 ^42,1 et ^42,2 Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^43,0 et ^43,1 Obtenu en inversant.
↑ Comme $\;\mu _{d}<\mu _{s}\;$ et que la fonction $\;\arctan()\;$ est $\;\nearrow \;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , on vérifie bien que $\;\varphi _{d}<\varphi _{s}$ .
↑ C.-à-d. de même direction et de sens contraire à la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tentant de le créer.
↑ C.-à-d. de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ ${\big [}$ ou de même direction et de sens contraire à la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ ayant créé le glissement au démarrage $\;{\big (}$ mais non nécessairement de sens contraire à la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ à un autre instant car il se pourrait que celle-ci change de sens et devienne résistive, alors la réaction $\;{\vec {R}}\;$ restant inclinée de sens contraire au mouvement de glissement deviendrait inclinée dans le sens de $\;{\vec {F}}_{m}\;$ aux instants où cette dernière serait devenue résistive ${\big )}{\big ]}$ .
↑ La réaction $\;{\vec {R}}\;$ s'étant effectivement inclinée jusqu'à la surface latérale du cône limite de frottement statique lors du démarrage du glissement.
↑ Condition Nécessaire.
↑ ^49,0 ^49,1 et ^49,2 Dans le cas d'une liaison unilatérale il faut vérifier que le contact entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )\;$ n'est pas rompu c.-à-d. vérifier que le sens de la composante normale de la réaction va de $\;(\Sigma )\;$ vers $\;({\mathcal {S}})\;$ ou que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;>0\;$ avec $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal de sens choisi contraire au sens de la force pressante ;
si de plus il y a glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ , $\;R_{n}\;$ peut dépendre de la vitesse de glissement et la validation du maintien du contact $\;{\big (}R_{n}>0{\big )}\;$ peut nécessiter une discussion suivant la valeur de la vitesse de glissement $\;\ldots$
↑ Condition(s) Initiale(s).

Mécanique 1 (PCSI)

Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force

[abus_d'appellation_pour_réaction-1] 1,0 ^1,1 et ^1,2 Il s'agit d'un abus usuellement utilisé pour parler de « vecteur réaction $\;\ldots$ »

[2] Plus précisément dans l'espace non occupé par $\;(\Sigma )$ .

[3] Le système des forces de contact que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;({\mathcal {S}})\;$ est le plus souvent équivalent à une force unique égale à la résultante des forces de contact à condition d'appliquer cette force unique en un point bien choisi définissant le « point d’application de la réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ ».

[4] Ceci, bien sûr, n'ayant de signification que s'il y a contact effectif $\;\ldots$

[vecteur_unitaire_tangentiel-5] 5,0 et ^5,1 Pour l’instant $\;{\vec {\tau }}\;$ est simplement un vecteur unitaire du plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ défini au point de contact et choisi selon la direction de la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur le plan tangent, son sens étant encore, pour l’instant, arbitraire ; par suite ce dernier sera défini plus précisément $\;\ldots$

[6] Ou nulle dans des cas particuliers.

[7] Une « liaison non idéale » étant encore appelée « liaison non parfaite ».

[8] En utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[condition_de_validité_de_puissance_de_la_réaction-9] Ceci n'ayant de sens que si $\;{\vec {R}}\;$ existe c.-à-d. s'il y a contact entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )$ , toujours réalisé en liaison bilatérale mais conditionnel en liaison unilatérale.

[10] Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, la seule force pouvant engendrer un mouvement de la caisse c.-à-d. « son poids » étant $\;\perp \;$ au plan, l'équilibre de la caisse se traduit par le fait que la réaction du plan est opposée au poids c.-à-d. $\;\perp \;$ au plan que la liaison soit ou ne soit pas idéale, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où $\;{\vec {R}}\;$ est $\;\perp \;$ au plan, mais $\;\ldots$
Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, si on cherche à déplacer la caisse vers la droite sans y arriver $\;{\big (}$ ce qui n'est possible que si la liaison est avec frottement ${\big )}$ , elle est donc toujours en équilibre ce qui se traduit par l'existence d'une composante tangentielle de la réaction opposée à la force tangentielle exercée pour tenter de déplacer la caisse, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où $\;{\vec {R}}\;$ est $\;\not \perp \;$ au plan $\;\ldots$

[Coulomb-11] 11,00 ^11,01 ^11,02 ^11,03 ^11,04 ^11,05 ^11,06 ^11,07 ^11,08 ^11,09 ^11,10 ^11,11 ^11,12 ^11,13 ^11,14 et ^11,15 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.

[12] Laquelle peut accessoirement être nulle.

[13] À ce stade, le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ du plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact, choisi suivant la direction de la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur le plan tangent, mais de sens jusqu'à présent arbitraire, pourra maintenant être précisé ;
on choisira le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ dans le sens de la force qui pourrait créer le déplacement, ce qui est encore le sens de $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}\;$ c.-à-d. le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.

[14] C.-à-d. suivant la direction et le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.

[15] Plus exactement la valeur algébrique de la projection tangentielle de la force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }$ .

[16] Ceci dans le cas d'une liaison unilatérale sinon,
Ceci dans le cas d'une liaison bilatérale, $\;{\vec {R}}_{n}\;$ s’oppose à la pénétration de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;(\Sigma _{\text{sup}})\;$ ou $\;(\Sigma _{\text{inf}})\;$ suivant que le contact se fait sur l'un ou sur l'autre.

[17] Dans la mesure où le plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact est horizontal, la force pressante de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ est le plus souvent le poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ que la liaison soit unilatérale ou bilatérale $\;{\big [}$ dans ce dernier cas, il y a alors contact avec le support $\;(\Sigma _{\text{inf}}){\big ]}$ .

[choix_du_vecteur_unitaire_normal-18] 18,0 et ^18,1 En se plaçant dans le cas le plus fréquent où le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne change pas $\;{\big (}$ comme cela se produit usuellement avec une liaison unilatérale ${\big )}$ , dans ce cas le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est aussi le sens contraire à la pénétration susceptible de se produire ;
En se plaçant dans le cas où le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut changer $\;{\big (}$ comme cela peut se produire avec une liaison bilatérale ${\big )}$ le sens de la pénétration susceptible de se produire étant a priori inconnu, le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est alors choisi arbitrairement $\;\ldots$

[19] Si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de sens contraire à celui de $\;{\vec {F}}_{p}$ , $\;F_{p}\;$ étant égale à $\;\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ ${\big (}$ cas usuel d'une liaison unilatérale ${\big )}\;$ on a $\;F_{p}>0\;$ mais
si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale ${\big )}$ $\;\succ \;$ $\;F_{p}\;$ s'identifie à $\;\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ en étant alors $\;>0\;$ si le sens de $\;{\vec {n}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ c.-à-d.
si le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;\color {transparent}{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$ $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ s'identifie à $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert }\;$ en étant alors $\;\color {transparent}{>0}\;$ de sens contraire à la pénétration susceptible de se produire,
si le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;\color {transparent}{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale $\color {transparent}{\big )}$ $\;\succ \;$ $F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert <0$ si $\;{\vec {n}}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ c.-à-d.
si le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire $\;\color {transparent}{\big (}$ cas possible d'une liaison bilatérale $\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert <0}$ si $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ est dans le sens de la pénétration susceptible de se produire $\;\ldots$

[sens_de_Fp-20] 20,0 et ^20,1 C.-à-d. le sens de la pénétration susceptible de se produire.

[21] Ce n’est pas toujours le cas en particulier,
si la surface de $\;(\Sigma )\;$ sur laquelle $\;({\mathcal {S}})\;$ est en contact n’est pas plane et que la force pressante est la composante du poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact, la normale changeant de direction avec la position du point de contact, la composante normale $\;F_{p}\;$ du poids varie mais
simultanément dans la mesure où la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ susceptible d'engendrer un glissement est due au poids de $\;({\mathcal {S}})$ , sa composante tangentielle $\;F_{m}\;$ ${\big [}$ qui est aussi celle du poids de $\;({\mathcal {S}}){\big ]}\;$ varie aussi car la tangente change aussi de direction avec la position du point de contact d'où
dans ce cas quand $\;{\vec {F}}_{m}\;$ varie, $\;{\vec {F}}_{p}\;$ varie simultanément $\;\ldots$ .

[lien_de_Fp_et_de_sa_norme-22] On rappelle que $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ quel que soit le sens de $\;{\vec {n}}\;$ choisi et $\succ \;$ « $\;F_{p}=\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ » si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d.
On rappelle que $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}}\;$ quel que soit le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ choisi et $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{F_{p}=\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert }\;$ » si le sens choisi de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ce qu'on choisit toujours si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas ${\big )}$
On rappelle que $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}}\;$ quel que soit le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ choisi et $\succ \;$ « $\;F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ » si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d.
On rappelle que $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}}\;$ quel que soit le sens de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ choisi et $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert }\;$ » si le sens choisi de $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ au sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de $\;{\vec {n}}\;$ qui est fait quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale ${\big )}$ .

[lien_de_Rn_et_de_sa_norme-23] On rappelle que $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ quel que soit le sens de $\;{\vec {n}}\;$ choisi et par suite, de la condition de non pénétration $\;R_{n}=F_{p}\;$ on tire
$\;R_{n}=F_{p}=\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert =\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert \;$ si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ce qu'on choisit toujours si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas ${\big )}\;$ alors que

$\;R_{n}=F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert =-\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert \;$ si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. au sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de $\;{\vec {n}}\;$ qui est fait quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale ${\big )}$ .

[24] $\;R_{n}=F_{p}=\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert =\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert \;$ si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ce qu'on choisit toujours si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas ${\big )}\;$ alors que

[25] $\;R_{n}=F_{p}=-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert =-\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert \;$ si le sens choisi de $\;{\vec {n}}\;$ s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. au sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de $\;{\vec {n}}\;$ qui est fait quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale ${\big )}$ .

[signe_de_R_tau_et_de_Rn_sans_glissement-24] 24,0 et ^24,1 On rappelle que $\;{\vec {\tau }}\;$ étant choisi dans le sens de $\;{\vec {F}}_{m}$ , $\;F_{m}\;$ est $\;>0\;$ alors que $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ avec la condition de non glissement $\;R_{\tau }=-F_{m}\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{\tau }<0\;$ et
On rappelle que si $\;{\vec {n}}\;$ est choisi dans le sens contraire de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big (}$ quand le sens de cette dernière ne varie pas ${\big )}\;$ avec $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}$ , $\;F_{p}\;$ est $\;>0\;$ alors que $\;{\vec {R}}_{n}=$ $R_{n}\;{\vec {n}}\;$ avec la condition de non pénétration $\;R_{n}=F_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{n}>0\;$ ou
On rappelle que si $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de sens arbitraire $\;{\big (}$ quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier c.-à-d. essentiellement dans le cas d'une liaison bilatérale ${\big )}\;$ avec $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}$ , $\;F_{p}\;$ est $\;<0\;$ quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {n}}\;$ alors que $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ avec la condition de non pénétration $\;R_{n}=F_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{n}<0$ .

[25] Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ soit $\;\geqslant \;$ à $\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert$ , valeur critique à partir de laquelle l'équilibre n'est plus possible et
Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ » c.-à-d. $\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert =\mu _{s}\;\vert R_{n}\vert \;$ avec
Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ » c.-à-d. $\;\mu _{s}\;$ cœfficient de frottement statique et
Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ » c.-à-d. $\;R_{n}\;$ composante normale de la réaction
Il faut, pour qu'il y ait glissement, que $\;\color {transparent}{F_{m}={\vec {F}}_{m}\cdot {\vec {\tau }}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ soit $\;\color {transparent}{\geqslant }\;$ à $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,c}\vert }$ , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ » c.-à-d. $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ ${\big (}$ laquelle est $\;>0\;$ si le sens de la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne variant pas, celui du vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}\;$ est choisi contraire au sens de la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ et peut être $\;<0\;$ dans le cas où le sens de la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ variant, celui du vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de façon arbitraire, $\;R_{n}\;$ étant alors $\;<0\;$ si le choix arbitraire coïncide avec le sens de $\;{\vec {F}}_{p}{\big )}$ ;
il faut donc, pour qu'il y ait glissement, « $\;F_{m}\geqslant \mu _{s}\;\vert R_{n}\vert \;$ » ou « $\;F_{m}\geqslant \mu _{s}\;\vert F_{p}\vert \;$ » car $\;{\vec {F}}_{p}\;$ est opposée à $\;{\vec {R}}_{n}\;$ en cas de non glissement, avec $\;F_{p}=-{\vec {F}}_{p}\cdot {\vec {n}}\;$ soit plus précisément
il faut donc, pour qu'il y ait glissement, « $\;\color {transparent}{F_{m}\geqslant \mu _{s}\;\vert R_{n}\vert }\;$ » ou « $\;\color {transparent}{F_{m}\geqslant }$ $\;F_{p}=\left\lbrace {\begin{array}{l l l l}\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \!\!&{\text{si sens de}}\;{\vec {n}}\!\!&{\text{contraire au sens de}}\;{\vec {F}}_{p}\!\!&{\text{(cas usuel d'une liaison unilatérale)}}\\\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \!\!&{\text{si sens (arbitraire) de}}\;{\vec {n}}\!\!&{\text{contraire au sens de}}\;{\vec {F}}_{p}\!\!&{\text{(cas possible d'une liaison bilatérale)}}\\-\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \!\!&{\text{si sens (arbitraire) de}}\;{\vec {n}}\!\!&{\text{identique au sens de}}\;{\vec {F}}_{p}\!\!&{\text{(cas possible d'une liaison bilatérale)}}\end{array}}\right\rbrace$ .

[26] Celle-ci n’est opposée à la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ${\big [}$ usuellement la composante normale du poids de $\;({\mathcal {S}}){\big ]}\;$ que si la surface de $\;(\Sigma )\;$ sur laquelle glisse $\;({\mathcal {S}})\;$ est plane, sinon la somme $\;{\vec {R}}_{n}+{\vec {F}}_{p}\;$ est a priori non nulle mais égale à $\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {a}}_{n,\,({\mathcal {S}})}=m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {a}}_{({\mathcal {S}})}\cdot {\vec {n}}\;$ ${\big [}$ attention, l'oubli de l'accélération normale est fréquente, on ne peut écrire $\;{\vec {R}}_{n}+{\vec {F}}_{p}={\vec {0}}\;$ que dans une translation rectiligne de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ , ce dernier étant alors nécessairement plan avec $\;{\vec {n}}\;\perp \;$ à ce plan ${\big ]}$ .

[signe_de_R_tau_et_de_Rn_avec_glissement-27] 27,0 et ^27,1 On rappelle que $\;R_{\tau }\;$ est $\;<0\;$ compte-tenu de $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ toujours de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ avec $\;{\vec {\tau }}\;$ choisi dans le sens de $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}$ ;
On rappelle que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;>0\;$ si, le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne variant pas, celui de $\;{\vec {n}}\;$ est choisi de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;F_{p}>0$ ,
On rappelle que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;>0\;$ si, le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ variant, celui de $\;{\vec {n}}\;$ ${\big (}$ arbitraire ${\big )}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {F}}_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;F_{p}>0\;$ et
On rappelle que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;<0\;$ si, le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ variant, celui de $\;{\vec {n}}\;$ ${\big (}$ arbitraire ${\big )}\;$ est de même sens que $\;{\vec {F}}_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;F_{p}<0$ .

[28] Ou « $\;\mu _{s}\;$ encore égal à $\;{\dfrac {F_{m,\,c}}{\vert R_{n}\vert }}\;$ » car, dans ce cas critique, nous sommes en statique et par suite $\;\vert F_{p}\vert =\vert R_{n}\vert$ .

[29] C’est d'ailleurs ce qu'on a exposé au chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et c’est ce qu'on continuera à utiliser en dehors de ce chapitre $\;\ldots$

[30] On avait précédemment écrit $\;\mu _{d}\lesssim \mu _{s}\;$ pour englober l'approximation explicitée ici mais, avec suffisamment de précision, l'inégalité est stricte $\;\ldots$

[31] Il convient bien sûr d'ajouter un schéma de situation en représentant les forces appliquées $\;\ldots$

[loi_de_Coulomb_de_frottement_solide_sans_glissement-32] 32,0 et ^32,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre » plus haut dans ce chapitre.

[Rn_positive-33] 33,0 et ^33,1 $\;R_{n}\;$ étant ici $\;>0$ , $\;\vert R_{n}\vert =R_{n}$ .

[34] Le mouvement étant rectiligne il n'y a aucune accélération normale $\;\ldots$

[loi_de_Coulomb_de_frottement_solide_avec_glissement-35] 35,0 et ^35,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement » plus haut dans ce chapitre.

[C.D.I.-36] 36,0 et ^36,1 Centre D'Inertie.

[théorème_du_mouvement_du_C.D.I.-37] 37,0 et ^37,1 Voir le paragraphe « énoncé du théorème (dynamique newtonienne) » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[38] Dans l'approximation où on confond les deux cœfficients de frottement statique et dynamique, l'accélération acquise par le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est nulle, le glissement correspond donc à un mouvement rectiligne uniforme.

[39] Voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[40] Angle non orienté.

[41] Cette $\;\nearrow \;$ de l'inclinaison de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ par rapport à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact simultanément à la $\;\nearrow \;$ de la norme de la force horizontale $\;{\vec {F}}_{m}\;$ imposée dans le but de créer un glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ n'est valable que s'il n'y a pas glissement $\;\ldots$

[arctangente-42] 42,0 ^42,1 et ^42,2 Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[en_inversant-43] 43,0 et ^43,1 Obtenu en inversant.

[44] Comme $\;\mu _{d}<\mu _{s}\;$ et que la fonction $\;\arctan()\;$ est $\;\nearrow \;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , on vérifie bien que $\;\varphi _{d}<\varphi _{s}$ .

[45] C.-à-d. de même direction et de sens contraire à la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tentant de le créer.

[46] C.-à-d. de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ ${\big [}$ ou de même direction et de sens contraire à la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ ayant créé le glissement au démarrage $\;{\big (}$ mais non nécessairement de sens contraire à la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ à un autre instant car il se pourrait que celle-ci change de sens et devienne résistive, alors la réaction $\;{\vec {R}}\;$ restant inclinée de sens contraire au mouvement de glissement deviendrait inclinée dans le sens de $\;{\vec {F}}_{m}\;$ aux instants où cette dernière serait devenue résistive ${\big )}{\big ]}$ .

[47] La réaction $\;{\vec {R}}\;$ s'étant effectivement inclinée jusqu'à la surface latérale du cône limite de frottement statique lors du démarrage du glissement.

[C.N.-48] Condition Nécessaire.

[Maintien_du_contact-49] 49,0 ^49,1 et ^49,2 Dans le cas d'une liaison unilatérale il faut vérifier que le contact entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )\;$ n'est pas rompu c.-à-d. vérifier que le sens de la composante normale de la réaction va de $\;(\Sigma )\;$ vers $\;({\mathcal {S}})\;$ ou que $\;R_{n}={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {n}}\;$ est $\;>0\;$ avec $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal de sens choisi contraire au sens de la force pressante ;
si de plus il y a glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$ , $\;R_{n}\;$ peut dépendre de la vitesse de glissement et la validation du maintien du contact $\;{\big (}R_{n}>0{\big )}\;$ peut nécessiter une discussion suivant la valeur de la vitesse de glissement $\;\ldots$

[C.I.-50] Condition(s) Initiale(s).

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