Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable

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Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable
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Chapitre no 21
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
Chap. suiv. :Portrait de phase d'un système dynamique
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Notion d'échelon d'amplitude A, discontinuité de 1ère espèce

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Variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

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Tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur   et d'une source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  , modélisation en échelon de tension d'amplitude  

     Soit   la tension aux bornes de l'association série
   Soit   la tension aux bornes de « interrupteur   et source de tension parfaite de f.e.m.   » avec
                  Soit   la tension aux bornes de «  
                  Soit   la tension aux bornes de est la durée de fermeture de l'interrupteur » [1] ;

     pendant la petite durée   que dure la fermeture de  ,
     pendant la petite durée     varie de façon continue et très rapidement de   à  [2],
      pendant la petite durée   voir diagramme horaire ci-contre  en rouge sur le schéma .


Modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E

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     On modélise la tension   précédente, en faisant tendre   vers  ,
     On modélise la tension   précédente, en une fonction  , discontinue en , appelée « échelon de tension d'amplitude » définie selon « »,
     On modélise la tension   précédente, en une fonction  , discontinue en , appelée « voir diagramme horaire ci-dessus  en bleu sur le schéma  ;

     On modélise la tension   précédente, en une fonction  , discontinue en , appelée « cet échelon de tension d'amplitude   a donc une discontinuité en  correspondant au
        On modélise la tension   précédente, en une fonction  , discontinue en , appelée « cet échelon de tension d'amplitude   a donc « saut fini ».

Discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E

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     L'échelon de tension   d'amplitude   est « discontinu de 1ère espèce en » car il est
     L'échelon de tension   d'amplitude   est « discontinu à gauche et à droite de   avec des limites finies distinctes « » ;

     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension en  par son saut fini à la traversée de  défini par
     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension en  par « » égal à l'amplitude   de l'échelon.

Échelon décentré de tension d'amplitude E

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     L'échelon de tension centré sur l'instant   d'amplitude   noté   est défini, par rapport à l'échelon de tension   de même amplitude   en faisant un changement d'origine des temps selon

« »,

  L'échelon de tension centré sur l'instant   d'amplitude   noté   il est donc discontinu de 1ère espèce en  car il est
  L'échelon de tension centré sur l'instant   d'amplitude   noté   il est donc discontinu à gauche et à droite de   avec des limites finies distinctes
  L'échelon de tension centré sur l'instant   d'amplitude   noté   il est donc discontinu à gauche et à droite de   avec « » ;

     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon décentrée de tension en  par son saut fini à la traversée de  défini par
     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon décentrée de tension en  par « » égal à l'amplitude   de l'échelon.

Discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière

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Exemple de graphe d'une fonction   discontinue de 1ère espèce en  

     Soit une fonction scalaire réelle   d'une variable réelle   continue sur les intervalles   et   avec  [3],
     Soit « la fonction   est discontinue de 1ère espèce en » si «  est continue à gauche et à droite de   sans l'être en  »
« la fonction   est discontinue de 1ère espèce en » c.-à-d. si « » [4] ;

     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de la fonction en  par son saut fini à la traversée de  défini par
     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de la fonction en  par « ».

     Remarque : « la discontinuité de 1ère espèce » est encore appelée « discontinuité de saut fini ».




Échelon unité (ou fonction d'Heaviside)

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     L'« échelon unité [5]  ou fonction d'Heaviside [6] » est défini par « », il est
             L'« échelon unité  ou fonction d'Heaviside » est discontinu de 1ère espèce en , le saut fini à cet instant étant « ».

     Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand  , de la fonction  » dans laquelle
  Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand «  représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de   à  » [7]  

     Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré  ou fonction d'Heaviside [6] décentrée  selon « »,
       Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré discontinu(e) de 1ère espèce en , le saut fini à cet instant étant « ».

     Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside [6] : soit un échelon de tension   d'amplitude  , nous pouvons le réécrire sous la forme
      Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside : soit un échelon de tension « » [8].

Exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité

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     Soit une grandeur permanente   imposée à partir de  , cela revient à « créer, à l'instant  , un échelon   de la grandeur   d'amplitude  » défini selon
  Soit une grandeur permanente   imposée à partir de  , cela revient à « créer, à l'instant  , un échelon « ».

     Exemples de mécanique :  on cherche à pousser un véhicule tombé en panne à l’aide d'une force horizontale permanente  , l'instant de début de la poussée étant choisi comme instant initial,
     Exemples de mécanique :  cela revient à  « créer, à l'instant  , un échelon de force   d'amplitude vectorielle  » défini selon
  Exemples de mécanique :  cela revient à  « créer, à l'instant  , un échelon de force « » ou,
     Exemples de mécanique :  cela revient à  « créer, à l'instant  , un échelon de composante horizontale de force   d'amplitude  » défini selon
  Exemples de mécanique :  cela revient à  « créer, à l'instant  , un échelon de composante horizontale de force « »
     Exemples de mécanique :  cela revient à  « créer, à l'instant  , un échelon de composante horizontale de force  obtenu en projetant sur   l'échelon de force  .

     Exemples de mécanique :  Il y a aussi des cas où une force non permanente   existe à partir d'un instant particulier choisi comme instant initial, on pourrait alors utiliser la fonction d'Heaviside [6], [9]
     Exemples de mécanique :  Il y a aussi des cas où une force non permanente   existe à partir d'un instant particulier pour exprimer que cette force est nulle avant l'instant  
     Exemples de mécanique :  Il y a aussi des cas où une force non permanente   existe à partir d'un instant particulier bien que ce ne soit pas un échelon de force qui soit créé, cela donnerait
     Exemples de mécanique :  Il y a aussi des cas où une force non permanente   existe à partir d'un instant particulier « », exemple ci-après :
     Exemples de mécanique :  corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial, ce corps subit, à partir de cet instant, la réaction du sol  , qui pourrait être réécrite [9] sous la forme
   Exemples de mécanique :  corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial, ce corps subit, à partir de cet instant, la réaction du sol « ».

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples d'échelon dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que
     Bien sûr on pourrait trouver d'autres exemples dans le domaine électrique  

« Dérivée 1ère » d'un échelon d'amplitude A, pic de Dirac et discontinuité de 2ème espèce

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Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

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Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur   et d'une source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  , modélisation en pic de Dirac [10] d'impulsion  

     La tension aux bornes de l'association série « interrupteur   et source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  »
     La tension aux bornes de l'association série s'écrivant « » avec   durée de la variation
     La tension aux bornes de l'association série continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de   à  [11], on en déduit la forme de
     sa dérivée temporelle « »  diagramme horaire ci-contre en rouge .

Propriétés de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

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     L'aire   de la surface comprise entre le « pic de   et l'axe des temps »  ou plus simplement l'« aire sous le pic de   »  se définissant par « » [12]
     L'aire   se réécrit, compte-tenu de la nullité de la fonction   sur les intervalles   et  , selon « »
     L'aire   ce qui s'intègre simplement en « » soit finalement

l'« aire sous le pic de   valant  » « quelle que soit la durée   de variation de  ».

Modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E

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     Ayant modélisé   en un échelon de tension d'amplitude   en faisant tendre   vers     une nouvelle fonction continue et dérivable sauf à l'instant de fermeture de l'interrupteur,
      Ayant modélisé   en un échelon de tension d'amplitude   en faisant tendre   vers     une nouvelle fonction continue et dérivable sauf à instant de discontinuité de 1ère espèce,
     on cherche à modéliser   en faisant tendre   vers  , ce qui, ayant pour conséquence une limite infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur [13],
     on cherche à modéliser   en faisant tendre   vers  , ce qui, conduirait à « une fonction nulle partout à l'exception de   où elle ne pourrait être définie car ayant une limite infinie » ;
     mais modéliser   par la fonction nulle partout à l'exception de   où elle ne serait pas définie   la propriété de « l'aire sous le pic de   égale à  » sans signification sur le modèle !

 
Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur   et d'une source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  , modélisation en pic de Dirac [10] d'impulsion  

     Aussi cherchant à maintenir la propriété d'« aire sous le pic de   égale à  » il convient de
     Aussi cherchant à maintenir la notion de pic dans la définition de la modélisation de quand , mais
     Aussi cherchant à maintenir la notion le pic tendant vers  , la modélisation ne peut plus être une fonction  

     On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » [14] dont les propriétés  comme la dérivation ou l'intégration [15] 
           On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » dont les propriétés prolongent celles des fonctions  

     La modélisation de «  quand  » conduit à une « distribution de Dirac » [10] que les physiciens appellent
     La modélisation de «  quand  » conduit à une « pic de Dirac d'impulsion  » [16] devant correspondre à

« » [17]  voir ci-contre le diagramme en bleu  avec la propriété d'
« aire sous le pic   égale à  » soit « » [18] ou « » [19].


Discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E

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     Une fonction   du temps  , continue en tout instant à l'exception de , est dite
 Une fonction   du temps  , « discontinue de 2ème espèce en » [20] « si l'une au moins des limites de à gauche ou à droite de , n'existe pas ou est infinie » ;

     la modélisation de la fonction «  quand  » conduisant à une « distribution de Dirac [10], [14] que nous appelons pic de Dirac [10] d'impulsion  » [16] devant correspondre à

« » [17] pour laquelle,

     si cette modélisation était une fonction, nous constaterions une limite à gauche et à droite infinie ou encore
     si cette modélisation était une fonction, nous constaterions un saut infini à gauche de   «  valant  » et
     si cette modélisation était une fonction, nous constaterions un saut infini à droite de   «  valant  » ce qui vérifierait bien une discontinuité de 2ème espèce en  [21] d'où
     si cette modélisation était une fonction, nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac [10] d'impulsion   » [16] est discontinu de 2ème espèce en [22].

Un autre exemple de distribution : pic de Dirac décentré de tension d'impulsion E

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     Le « pic de Dirac [10] de tension centré sur l'instant   d'impulsion  » noté « » [23] est défini, par rapport au « pic de Dirac [10] de tension de même impulsion  » noté « » [17]
                 Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant   d'impulsion  » noté « » est défini, en faisant un changement d'origine des temps selon
            Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant   d'impulsion  » noté « » [17] avec la propriété d'« aire sous le pic   égale à  » soit
                        Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant   d'impulsion  » noté « » « » [24] ou « » [25].

Pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou « fonction » d'Heaviside)

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     Le « pic de Dirac [10] d'impulsion unité [26] » doit correspondre à « » [27], avec la propriété d'« aire sous le pic   égale à  » soit
                            Le « pic de Dirac d'impulsion unité » doit correspondre à « », avec la propriété d’« » [28] ou « » [29].

     Nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac [10] d'impulsion unité » [16] est discontinu de 2ème espèce en [22].

     Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité « » comme « limite, quand  , de la fonction  » dans laquelle
          Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité « » comme « limite, quand   représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de   à  ,
     Propriétés : nous procédons de même « à partir de la dérivée temporelle de cette dernière  » et
     Propriétés : nous obtenons, quand  , «  c.-à-d.  » ;

     Propriétés : le fait que « » avec l'« aire sous le pic   de   égale à l'amplitude de  »
        Propriétés : le fait que « » conduit à « définir la dérivée temporelle [30] de l'échelon unité » par « le pic de Dirac [10] d'impulsion unité » soit « » [30].

     Propriétés : Si on utilise « » et la généralisation de l'intégration au sens des distributions, on retrouve alors le fait que l'« aire sous le pic  » est bien égale à   en effet

« » [31].

     Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac [10] centré à l'instant   d'impulsion unité » selon « »,
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant   d'impulsion unité » discontinu de 2ème espèce en  et
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant   d'impulsion unité » s'identifiant à la dérivée temporelle de l'échelon unité centré à l'instant  [22] soit « ».

     Réécriture d'un pic de Dirac [10] de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac [10] d'impulsion unité : soit un pic de Dirac [10] de tension   d'impulsion  , nous pouvons le réécrire sous la forme
                     Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : soit un pic de Dirac de tension « » [32], en effet
                 Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : l'échelon de tension   d'amplitude   ayant été réécrit selon « » [33] et
                 Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : le pic de Dirac [10] de tension   d'impulsion   pouvant être considéré comme la
                      Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : le pic de Dirac de tension   dérivée temporelle  au sens des distributions  de  [34],
                 Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : d'où « » [35] soit le résultat énoncé compte-tenu de « ».

Exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité

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     Soit une grandeur permanente   imposée à partir de  , cela revenant à « créer, à l'instant  , un échelon   de la grandeur   d'amplitude  » défini selon
  Soit une grandeur permanente   imposée à partir de  , cela revenant à « créer, à l'instant  , un échelon « », on obtient,
     « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent » [30], le « pic de Dirac [10]   de la grandeur   d'impulsion  » [36] soit
               « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent », le « pic de Dirac « » avec la propriété d'« aire sous le pic   valant  » soit
                    « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent », le « pic de Dirac « » avec la propriété d’« » [37].

     Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt  l'instant de collision est choisi comme instant initial , le choc étant très intense et durant très peu de temps,
      Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt la force de collision horizontale que le véhicule   exerce sur le véhicule  , peut être matérialisée par
     Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt  un « pic de Dirac [10]   de force, d'impulsion vectorielle  »,
     Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt  défini selon « » ou, en projetant sur  ,
     Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt  un « pic de Dirac [10]   de composante horizontale de force, d'impulsion  »,
     Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt  défini selon « »,
     Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt  défini avec la propriété d'« aire sous le pic   valant  » soit
     Exemple de mécanique : un véhicule   sans frein heurte un autre véhicule   à l'arrêt  défini avec la propriété d’« » [37], [38].

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples de pic de Dirac [10] dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que
     Bien sûr on pourrait trouver d'autres exemples dans le domaine électrique  

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

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Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial

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     Soit une « excitation [39]  » dans laquelle «  et   sont des constantes de même dimension que  » et
           Soit une « excitation  » dans laquelle les « cœfficients multiplicateurs   et   respectivement une constante sans dimension et une autre exprimée en  [40] »,
     nous admettrons que « est discontinue en du numéro d'espèce égal au plus grand numéro d'espèce de discontinuité de ses composants », soit ici
     nous admettrons que «  discontinue de 2ème espèce si  » et
     nous admettrons que «  discontinue de 1ère espèce si  »  avec   nécessairement   sinon l'équation différentielle serait homogène .

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

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     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre en   « » pour laquelle l'excitation [39] « » est
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre en   « » pour laquelle l'excitation  discontinue de 2ème espèce « si  » et
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre en   « » pour laquelle l'excitation  discontinue de 1ère espèce « si  » [41] ;
     nous admettrons  que la discontinuité de l'excitation [39] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons  que le numéro d’espèce de discontinuité   de un simultanément à l’ordre de la dérivée  en considérant qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue [42] et
     nous admettrons  que le numéro d’espèce de discontinuité   de un simultanément à l’ordre de la dérivée  en considérant que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction [42]  soit :
     nous admettrons  « si  », l'excitation [39] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 1ère «  est discontinue de 2ème espèce » et
     nous admettrons  « si  », la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 1ère espèce »,
     nous admettrons  « si  », l'excitation [39] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 1ère «  est discontinue de 1ère espèce » et
     nous admettrons  « si  », la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

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     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en   « » où l'excitation [39] « » est
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en   « » où l'excitation  discontinue de 2ème espèce « si  » et
           Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en   « » où l'excitation  discontinue de 1ère espèce « si  » [41] ;
     nous admettrons  que la discontinuité de l'excitation [39] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité,
     nous admettrons  que le numéro d’espèce de discontinuité   de un simultanément à l’ordre de la dérivée  en considérant qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue [42] et
     nous admettrons  que le numéro d’espèce de discontinuité   de un simultanément à l’ordre de la dérivée  en considérant que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction [42] 
     nous admettrons  que le numéro d’espèce de discontinuité   de un à condition que le numéro zéro d’espèce de discontinuité ne soit pas atteint,
     nous admettrons  dans le cas contraire il y a stagnation du numéro d'espèce de discontinuité simultanément avec la   de l'ordre de la dérivée soit :
     nous admettrons  « si  », l'excitation [39] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 2nde «  est discontinue de 2ème espèce », la dérivée 1ère «  discontinue de 1ère espèce » et
     nous admettrons  « si  », la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue »,
     nous admettrons  « si  », l'excitation [39] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 2nde «  est discontinue de 1ère espèce », la dérivée 1ère «  discontinue de 0ème espèce c.-à-d.
           nous admettrons  « si  », l'excitation étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 2nde «  est discontinue de 1ère espèce », la dérivée 1ère «  continue » et
     nous admettrons  « si  », la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».

« Dérivée seconde » d'un échelon d'amplitude A (ou « dérivée 1ère » d'un pic de Dirac d'impulsion A) et conséquence sur la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène lors de la présence d'un tel terme dans l'excitation

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Dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation

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     Nous avons modélisé la « tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur   et d'une source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  [43] »
     Nous avons modélisé en considérant cette dernière comme une fonction continûment dérivable à variation rapide sur une durée   entourant l'instant  [44] et
     Nous avons modélisé en faisant tendre   vers   pour définir les notions mathématiques d'« échelon » [45] et de « discontinuité de 1ère espèce » [46], puis
     nous avons formé la dérivée 1ère temporelle de cette fonction  ce qui est parfaitement justifié mathématiquement si la fonction est de classe  [47]  et
     nous avons modélisé cette dérivée 1ère en faisant tendre   vers  , ceci nous conduisant aux notions mathématiques de « pic de Dirac [10] » [48] et de « discontinuité de 2ème espèce » [49],
    Nous avons modélisé  ces deux notions pouvant être définies « directement » [50] en mathématiques, ce qui justifie a posteriori la méthode utilisée  ;
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente
     nous allons appliquer à « la dérivée 2nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur   et d'une source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  [43] »
     nous allons appliquer à «  dérivée 2nde temporelle parfaitement définie si la fonction est de classe  [51] 
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente en faisant tendre   vers   mais  
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente les notions « limites » que nous obtenons ne sont pas définies directement mathématiquement  tout au moins à ma connaissance ,
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ double pic de Dirac [10] inversé ” et
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ discontinuité de 3ème espèce ”
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » comme un moyen pratique de traiter le cas réel correspondant à une durée de fermeture
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc considérer ces notions « limites » de l'interrupteur   excessivement petite mais non nulle
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc  utiliser ces notions « limites » non définies mathématiquement se justifie car les résultats obtenus sont ceux que nous aurions
     nous allons appliquer la méthode de modélisation précédente il faut donc  en travaillant avec les fonctions réelles de classe  [51] et en faisant tendre, après tout calcul,   vers  .

Évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et « modélisation »

modifier

     La tension aux bornes de l'association série « interrupteur   et source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  » étant
     La tension aux bornes de l'association série  « » [44] avec   durée de la variation continue, très rapide et dérivable de   de   à  [52],

     la dérivée 1ère temporelle de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur   et source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  » étant
     La tension aux bornes de l'association série  « » [53] que l'on suppose dérivable [54], nous en déduisons

     la dérivée 2nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur   et source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  » selon

 
Dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur   et d'une source de tension parfaite de f.e.m.   lors de la fermeture de  

     La tension aux bornes de l'association série  « » [55]  voir le
     La tension aux bornes de l'association série  « diagramme horaire ci-contre en rouge .

     En faisant « tendre   vers  »  la fonction «