Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable

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Notion d'échelon d'amplitude A, discontinuité de 1^ère espèce

Variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

Tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$, modélisation en échelon de tension d'amplitude $\;E$

     Soit $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E$ », $\;K\;$ étant dans l'état suivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}K\;{\text{fermé pour}}\qquad \;t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\K\;{\text{se fermant pour}}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\K\;{\text{ouvert pour}}\qquad t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ dans lequel $\;\delta t\;$ est la durée de fermeture de l'interrupteur »  ;

     pendant la petite durée $\;\delta t\;$ que dure la fermeture de $\;K$, $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ varie de façon continue et très rapidement de $\;0\;$ à $\;E\;$, voir diagramme horaire ci-contre $\;{\big (}$en rouge sur le schéma${\big )}$.

Modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E

     On modélise la tension $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ précédente, en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$, en une fonction $\;e(t)$, discontinue en $\;t=0$, appelée « échelon de tension d'amplitude${\underline {\;E}}\;$» définie selon

«$\;e(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$», voir diagramme horaire ci-dessus $\;{\big (}$en bleu sur le schéma${\big )}$ ;

     cet échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ a donc une discontinuité en $\;t=0\;$ correspondant au « saut fini $\;\Delta e(0)=e(0^{+})-e(0^{-})=E\;$».

Discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E

     L'échelon de tension $\,e(t)\;$ d'amplitude $\;E\;$ est « discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0\;$» car il est continu à gauche et à droite de $\;t=0\;$ avec des limites finies distinctes soit

«$\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{t\rightarrow 0^{+}}e(t)=e(0^{+})=E\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{t\rightarrow 0^{-}}e(t)=e(0^{-})=0\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;e(0^{-})\neq e(0^{+})\right\rbrace \;$» ;

     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension en $\;t=0\;$ par son saut (fini) à la traversée de $\;t=0\;$ défini par

«$\;\Delta e(0)=e(0^{+})-e(0^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;$» égal à l'amplitude $\;E\;$ de l'échelon.

Échelon décentré de tension d'amplitude E

     L'échelon de tension centré sur l'instant $\;t_{0}\;$ d'amplitude $\;E\;$ noté $\,e_{t_{0}}(t)\;$ est défini, par rapport à l'échelon de tension $\,e(t)\;$ de même amplitude $\;E\;$ en faisant un changement d'origine des temps selon

«$\;e_{t_{0}}(t)=e(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\0\;\,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;$»,
il est donc discontinu de 1^ère espèce en $\;t=t_{0}\;$ car il est continu à gauche et à droite de $\;t=t_{0}\;$ avec des limites finies distinctes soit
«$\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}^{+}}e_{t_{0}}(t)=e_{t_{0}}(t_{0}^{+})=e(0^{+})=E\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}^{-}}e_{t_{0}}(t)=e_{t_{0}}(t_{0}^{-})=e(0^{-})=0\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;e_{t_{0}}(t_{0}^{-})\neq e_{t_{0}}(t_{0}^{+})\right\rbrace \;$» ;

     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon décentrée de tension en $\;t=t_{0}\;$ par son saut (fini) à la traversée de $\;t=t_{0}\;$ défini par

«$\;\Delta e_{t_{0}}(t_{0})=e_{t_{0}}(t_{0}^{+})-e_{t_{0}}(t_{0}^{-})=e(0^{+})-e(0^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;$» égal à l'amplitude $\;E\;$ de l'échelon.

Discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière

Exemple de graphe d'une fonction $\;f(x)\;$ discontinue de 1^ère espèce en $\;x=x_{0}$

     Soit une fonction scalaire réelle $\;f\;$ d'une variable réelle $\;x\;$ continue sur les intervalles $\;\left]{\mathfrak {a}}\,,\,x_{0}\right[\;$ et $\;\left]x_{0}\,,\,{\mathfrak {b}}\right[\;$ avec $\;{\mathfrak {a}}<{\mathfrak {b}}\;$, nous disons que

« la fonction $\;f(x)\;$ est discontinue de 1^ère espèce en $\;x=x_{0}\;$»
si «$\;f(x)\;$ est continue à gauche et à droite de $\;x_{0}\;$ sans l'être en $\;x_{0}\;$» c.-à-d.
si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}^{+})\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;f(x_{0}^{-})\neq f(x_{0}^{+})\right\rbrace \;$»  ;

     on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de la fonction $\;f(x)\;$ en $\;x=x_{0}\;$ par son saut (fini) à la traversée de $\;x=x_{0}\;$ défini par

«$\;\Delta f(x_{0})=f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;$» .

Échelon unité (ou fonction d'Heaviside)

     L'« échelon unité $\;{\big (}$ou fonction d'Heaviside ${\big )}\;$» est défini par

«$\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$»,
il est discontinu de 1^ère espèce en${\underline {\;t=0}}$,                                                                                          
le saut fini à cet instant étant «$\;\Delta Y(0)=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1\;$».                                                                                

     Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand $\;\delta t\rightarrow 0$, de la fonction $\;Y_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow 1\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle «$\;\delta t\;$ représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de $\;0\;$ à $\;1$» $\;\ldots \;$

     Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré $\;{\big (}$ou fonction d'Heaviside décentrée${\big )}\;$ selon

«$\;Y_{t_{0}}(t)=Y(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\0\;\,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;$»,
discontinu(e) de 1^ère espèce en${\underline {\;t=t_{0}}}$,
le saut fini à cet instant étant «$\;\Delta Y_{t_{0}}(t_{0})=Y_{t_{0}}(t_{0}^{+})-Y_{t_{0}}(t_{0}^{-})=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1\;$».

     Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside  : soit un échelon de tension $\;e(t)\;$ d'amplitude $\;E$, nous pouvons le réécrire sous la forme «$\;e(t)=E\;\;Y(t)\;$» .

Exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité

     Soit une grandeur permanente $\;G\;$ que l'on impose à partir de l'instant $\;t=0$, cela revient à « créer, à l'instant $\;t=0$, un échelon $\;g(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'amplitude $\;G\;$» défini selon «$\;g(t)=G\;\;Y(t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}G\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$».

     Exemples de mécanique : $\succ \;$on cherche à pousser un véhicule tombé en panne à l’aide d'une force horizontale permanente $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}$, l'instant de début de la poussée étant choisi comme instant initial, cela revient à
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\bullet \;$« créer, à l'instant $\;t=0$, un échelon de force $\;{\vec {f}}(t)=f(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'amplitude vectorielle $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}\;$» défini selon «$\;{\vec {f}}(t)={\vec {F}}\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» ou,
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\bullet \;$« créer, à l'instant $\;t=0$, un échelon de composante horizontale de force $\;f(t)\;$ d'amplitude $\;F\;$» défini selon «$\;f(t)=F\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}F\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» $\;{\big [}$obtenu en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ l'échelon de force $\;{\vec {f}}(t)=f(t)\;{\vec {u}}_{x}{\big ]}$.

     Exemples de mécanique : $\succ \;$Il existe aussi des cas où une force non permanente $\;{\vec {F}}(t)\;$ existe à partir d'un instant particulier que nous supposerons choisi comme instant initial, dans ces conditions on pourrait utiliser la fonction d'Heaviside pour exprimer que cette force est nulle avant l'instant $\;t=0\;$ bien que ce ne soit pas un échelon de force qui soit créé, cela donnerait

«$\;{\vec {f}}(t)={\vec {F}}(t)\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}(t)\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\quad \;\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» comme l'exemple

     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$d'un corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial qui subit, à partir de cet instant, la réaction du sol $\;{\vec {R}}(t)$, laquelle pourrait être réécrite sous la forme

«$\;{\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {R}}(t)\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\quad \;\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$».

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples d'échelon dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique $\;\ldots$

« Dérivée 1^ère » d'un échelon d'amplitude A, pic de Dirac et discontinuité de 2^ème espèce

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$, modélisation en pic de Dirac d'impulsion $\;E$

     À partir de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$» on obtient «$\;e_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow E\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle $\;\delta t\;$ représente la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de $\;0\;$ à $\;E\;$ et sa dérivée temporelle «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}$voir le diagramme horaire ci-dessus en rouge${\big )}$.

Propriétés de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K

     L'aire $\;{\mathcal {A}}(O)\;$ de la surface comprise entre le « pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ et l'axe des temps » se définissant par «$\;{\mathcal {A}}(O)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;dt\;$»
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}(O)}\;$ se réécrit, compte-tenu de la nullité de la fonction $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ sur les intervalles $\;\left]-\infty \,,\,-{\dfrac {\delta t}{2}}\right[\;$ et $\;\left]{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,+\infty \right[$, selon «$\;{\mathcal {A}}(O)=\displaystyle \int _{-{\frac {\delta t}{2}}}^{\frac {\delta t}{2}}{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;dt\;$»
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}(O)}\;$ ce qui s'intègre simplement en «$\;{\mathcal {A}}(O)=\left[e_{\text{réel}}(t)\right]_{-{\frac {\delta t}{2}}}^{\frac {\delta t}{2}}=e_{\text{réel}}\!\left({\dfrac {\delta t}{2}}\right)-e_{\text{réel}}\!\left(-{\dfrac {\delta t}{2}}\right)=E-0\;$» soit finalement

l'« aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)$ valant $\;E\;$»
« quelle que soit la durée $\;\delta t\;$ de variation de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$».

Modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E

     De même que l'on modélise $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ en un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$, obtenant ainsi une nouvelle fonction continue et dérivable à l'exception de l'instant de fermeture de l'interrupteur, on cherche à
     De même que l'on modéliser $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$, ce qui, ayant pour conséquence une limite infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur , conduirait à « une fonction nulle partout à l'exception de $\;t=0\;$ où cette fonction ne pourrait être définie car ayant une limite infinie » ;
     De même que l'on de plus, en modélisant $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ par la fonction nulle partout à l'exception de $\;t=0\;$ où elle ne serait pas définie, la propriété de « l'aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ égale à $\;E\;$» n'aurait plus aucune signification $\;\ldots$

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$, modélisation en pic de Dirac d'impulsion $\;E$

     Aussi cherchant à maintenir la propriété d'« aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ égale à $\;E\;$» il convient de maintenir la notion de pic dans la définition de la modélisation de${\underline {\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;}}$quand${\underline {\;\delta t\rightarrow 0}}$, mais le pic tendant vers $\;\infty$, la modélisation ne peut plus être une fonction $\;\ldots$

     On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » dont les propriétés prolongent celles des fonctions $\;{\big (}$comme la dérivation ou l'intégration ${\big )}$ $\;\ldots$

     La modélisation de «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ quand $\;\delta t\rightarrow 0\;$» conduit à une « distribution de Dirac » que les physiciens appellent « pic de Dirac d'impulsion $\;E\;$» devant correspondre à

«$\;{\dot {e}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>0\\+\infty \;{\text{ pour }}t=0\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» $\;{\big (}$voir ci-contre le diagramme en bleu${\big )}\;$ avec la propriété d'
« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à $\;E\;$» soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}(t)\;dt=E\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {e}}(t)\;dt=E\;$» .

Discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E

     Une fonction $\;f\;$ du temps $\;t$, continue en tout instant à l'exception de${\underline {\;t=0}}$, est dite « discontinue de 2^ème espèce en${\underline {\;t=0}}\;$» « si l'une au moins des limites de${\underline {\;f(t)\;}}$à gauche ou à droite de${\underline {\;t=0}}$, n'existe pas ou est infinie » ;

     la modélisation de la fonction «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ quand $\;\delta t\rightarrow 0\;$» conduisant à une « distribution de Dirac que nous appelons pic de Dirac d'impulsion $\;E\;$» devant correspondre à

«$\;{\dot {e}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>0\\+\infty \;{\text{ pour }}t=0\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» pour laquelle,

     s'il s'agissait d'une fonction on constaterait « un saut infini à gauche de $\;t=0\;$ ainsi qu'à droite de $\;t=0\;$» , nous dirons, par abus, que

le « pic de Dirac d'impulsion $\;E$ » est discontinu de 2^ème espèce en${\underline {\;t=0}}\;$.

Un autre exemple de distribution : pic de Dirac décentré de tension d'impulsion E

     Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion $\;E\;$» noté «$\,{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;$» est défini, par rapport au « pic de Dirac de tension de même impulsion $\;E\;$» noté «$\,{\dot {e}}(t)\;$» en faisant un changement d'origine des temps selon

«$\;{\dot {e}}_{t_{0}}(t)={\dot {e}}(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>t_{0}\\+\infty \;{\text{ pour }}t=t_{0}\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<t_{0}\end{array}}\right.\;$» avec la propriété d'
« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à $\;E\;$» soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;dt=E\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;dt=E\;$» .

Pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou « fonction » d'Heaviside)

     Le « pic de Dirac d'impulsion unité  » doit correspondre à

«$\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$» , avec la propriété d'
« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à $\;1\;$» soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=1\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\;dt=1\;$» .

     Nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac d'impulsion unité » est discontinu de 2^ème espèce en${\underline {\;t=0}}\;$.

     Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «$\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$» comme « limite, quand $\;\delta t\rightarrow 0$, de la fonction $\;Y_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow 1\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle $\;\delta t\;$ représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de $\;0\;$ à $\;1$, nous procédons de même « à partir de la dérivée temporelle de cette dernière
     Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «$\;\color {transparent}{Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.}\;$» comme « limite, quand $\;\color {transparent}{\delta t\rightarrow 0}$, de la fonction $\;{\dot {Y}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» et obtenons, quand $\;\delta t\rightarrow 0$, «$\;\delta (t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$» ;

     Propriétés : le fait que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}Y_{\text{réel}}(t)=Y(t)\\\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}{\dot {Y}}_{\text{réel}}(t)=\delta (t)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec l'« aire sous le pic $\;\infty \;$ de $\;\delta \;$ égale à l'amplitude de $\;Y\;$» conduit à

« définir la dérivée temporelle de l'échelon unité » par « le pic de Dirac d'impulsion unité » soit
«$\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$» .

     Propriétés : Si on utilise «$\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$» et la généralisation de l'intégration au sens des distributions, on retrouve alors le fait que l'« aire sous le pic $\;\infty \;$» est bien égale à $\;1\;$ en effet

«$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {Y}}(t)\;dt=\left[Y(t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1-0=1\;$» .

     Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion unité » selon «$\;\delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\+\infty \;{\text{pour }}\;t=t_{0}\\0\;\quad \,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;$»,
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion unité » discontinu de 2^ème espèce en${\underline {\;t=t_{0}}}\;$ et
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion unité » s'identifiant à la dérivée temporelle de l'échelon unité centré à l'instant $\;t_{0}\;$ soit «$\;\delta _{t_{0}}(t)={\dot {Y_{t_{0}}}}(t)\;$».

     Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : soit un pic de Dirac de tension $\;{\dot {e}}(t)\;$ d'impulsion $\;E$, nous pouvons le réécrire
                Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : sous la forme «$\;{\dot {e}}(t)=E\;\;\delta (t)\;$» ,

                Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : en effet l'échelon de tension $\;e(t)\;$ d'amplitude $\;E\;$ ayant été réécrit selon «$\;e(t)=E\;\;Y(t)\;$» et le pic de Dirac de tension $\;{\dot {e}}(t)\;$ d'impulsion $\;E$ pouvant être considéré comme la dérivée temporelle $\;{\big (}$au sens des distributions${\big )}\;$ de $\;e(t)\;$, nous en déduisons «$\;{\dot {e}}(t)=E\;\;{\dot {Y}}(t)\;$» soit le résultat énoncé compte-tenu de «$\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$».

Exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité

     Soit une grandeur permanente $\;G\;$ que l'on impose à partir de l'instant $\;t=0$, cela revenant à « créer un échelon $\;g(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'amplitude $\;G\;$» défini selon «$\;g(t)=G\;\;Y(t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}G\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$», on obtient, « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent » , le « pic de Dirac $\;{\dot {g}}(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'impulsion $\;G\;$» soit

«$\;{\dot {g}}(t)=G\;\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour }}t>0\\+\infty \;{\text{pour }}t=0\\0\quad \;\;{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» avec la propriété d'
« aire sous le pic $\;\infty \;$ valant $\;G\;$» soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {g}}(t)\,dt=G\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt=G\;$» .

     Exemple de mécanique : un véhicule $\;B\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;A\;$ à l'arrêt $\;{\big (}$l'instant de collision est choisi comme instant initial${\big )}$, le choc étant très intense et durant très peu de temps, la force de collision horizontale que le véhicule $\;B\;$ exerce sur le véhicule $\;A$, peut être matérialisée par
     Exemple de mécanique : un « pic de Dirac $\;{\vec {F}}_{A\leftarrow B}(t)=F_{A\leftarrow B}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ de force, d'impulsion vectorielle $\;{\vec {I}}_{A\leftarrow B}=I_{A\leftarrow B}\;{\vec {u}}_{x}$», défini selon «$\;{\vec {F}}_{A\leftarrow B}(t)={\vec {I}}_{A\leftarrow B}\;\;\delta (t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {0}}\quad {\text{pour }}t>0\\{\vec {\infty }}\;\,{\text{pour }}t=0\\{\vec {0}}\quad {\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$» ou,
     Exemple de mécanique : en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}$, un « pic de Dirac $\;F_{A\leftarrow B}(t)\;$ de composante horizontale de force, d'impulsion $\;I_{A\leftarrow B}\;$», défini selon «$\;F_{A\leftarrow B}(t)=I_{A\leftarrow B}\;\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour }}t>0\\+\infty \;{\text{pour }}t=0\\0\quad \;\;{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$», avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ valant $\;I_{A\leftarrow B}\;$» soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }F_{A\leftarrow B}(t)\,dt=$ $I_{A\leftarrow B}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt=I_{A\leftarrow B}\;$» .

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples de pic de Dirac dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique $\;\ldots$

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial

     Soit une « excitation $\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$» dans laquelle «$\;E_{1}\;$ et $\;E_{2}\;$ sont des constantes de même dimension que $\;e(t)\;$», les « cœfficients multiplicateurs $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ étant respectivement une constante sans dimension et une autre exprimée en $\;s\;$ », nous admettrons que

«$\;e(t)\;$ est discontinue en $\;t=0\;$ du numéro d'espèce égal au plus grand numéro d'espèce de discontinuité de ses composants »
soit ici «$\;e(t)\;$ discontinue de 2^ème espèce si $\;\beta \neq 0\;$» et
soit ici «$\;\color {transparent}{e(t)}\;$ discontinue de 1^ère espèce si $\;\beta =0\;$».     

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre en $\;y(t)\;$ suivante «$\;{\dot {y}}(t)+k\;y(t)=e(t)\;$» pour laquelle l'excitation «$\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$» est

• discontinue de 2^ème espèce « si $\;\beta \neq 0\;$» et
• discontinue de 1^ère espèce « si $\;\beta =0\;$» $\;{\big (}\alpha \;$ étant nécessairement $\;\neq 0\;$ sinon l'équation différentielle serait homogène${\big )}$ ;

     nous admettrons que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons que ce dernier $\;\searrow \;$ de un lorsque l’ordre de la dérivée $\;\searrow \;$ de un $\;{\big (}$pour simplifier nous dirons qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue${\big )}\;$ soit :

• « si $\;\beta \neq 0\;$», l'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce » et
  « si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce »,
• « si $\;\beta =0\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce » et
  « si $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue ».

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ suivante «$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)\;$» pour laquelle l'excitation «$\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$» est

• discontinue de 2^ème espèce « si $\;\beta \neq 0\;$» et
• discontinue de 1^ère espèce « si $\;\beta =0\;$» ${\big (}\alpha \;$ étant nécessairement $\;\neq 0\;$ sinon l'équation différentielle serait homogène${\big )}$ ;

     nous admettrons que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons que ce dernier $\;\searrow \;$ de un lorsque l’ordre de la dérivée $\;\searrow \;$ de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint $\;{\big (}$pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée${\big )}\;$ soit :

• « si $\;\beta \neq 0\;$», l'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce », la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce » et
  « si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue »,
• « si $\;\beta =0\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce », la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue » et
  « si $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$ est encore discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue ».

« Dérivée seconde » d'un échelon d'amplitude A (ou « dérivée 1^ère » d'un pic de Dirac d'impulsion A) et conséquence sur la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène lors de la présence d'un tel terme dans l'excitation

Dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation

     Nous avons modélisé la « tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ »
     Nous avons modélisé en considérant cette dernière comme une fonction continûment dérivable à variation rapide sur une durée $\;\delta t\;$ entourant l'instant $\;0\;$ et
     Nous avons modélisé en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ pour définir les notions mathématiques d'« échelon » et de « discontinuité de 1^ère espèce » , puis

     nous avons formé la dérivée 1^ère temporelle de cette fonction $\;{\big (}$ce qui est parfaitement justifié mathématiquement si la fonction est de classe $\;C^{\,1}\;$${\big )}\;$ et
     nous avons modélisé cette dérivée 1^ère en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$, ceci nous conduisant aux notions mathématiques de « pic de Dirac  » et de « discontinuité de 2^ème espèce » , ces deux notions pouvant être définies « directement »  en mathématiques, ce qui justifie a posteriori la méthode utilisée ;

     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente à « la dérivée 2^nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ » $\;{\big (}$dérivée 2^nde temporelle parfaitement définie si la fonction est de classe $\;C^{\,2}\;$${\big )}\;$
     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ mais $\;\ldots$
     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente les notions « limites » que nous obtenons ne sont pas définies directement mathématiquement $\;{\big (}$tout au moins à ma connaissance${\big )}$, il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ double pic de Dirac inversé ” et “ discontinuité de 3^ème espèce ” comme un moyen pratique de traiter le cas réel correspondant à une durée de fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ excessivement petite mais non nulle $\;{\big [}$utiliser ces notions « limites » non définies mathématiquement se justifie car les résultats obtenus sont les mêmes que ceux que nous obtiendrions en travaillant avec les fonctions réelles de classe $\;C^{\,2}\;$ et en faisant tendre, après tout calcul, $\;\delta t\;$ vers $\;0{\big ]}$.

Évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et « modélisation »

     À partir de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$» on a obtenu

• «$\;e_{\text{réel}}(t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}E\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow E\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle $\;\delta t\;$ est la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de $\;0\;$ à $\;E\;$ $\;{\big [}$voir paragraphe « variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, puis,
• sa dérivée 1^ère temporelle «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on suppose dérivable $\;{\big [}$voir paragraphe « dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, et enfin,

Dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K$

• en dérivant une nouvelle fois, sa dérivée 2^nde temporelle «$\;{\ddot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\nearrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]{\dfrac {\delta t}{4}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très faible valeur}}<0\qquad \qquad \,{\text{pour }}t={\dfrac {\delta t}{4}}\\\searrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{4}}\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t=0\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]-{\dfrac {\delta t}{4}}\,,\,0\right[\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=-{\dfrac {\delta t}{4}}\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,-{\dfrac {\delta t}{4}}\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}$voir le diagramme horaire ci-contre en rouge${\big )}$.

     En faisant « tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$», $\succ \;$la fonction «$\;e_{\text{réel}}(t)\;$ a été modélisée en $\;e(t)=E\;Y(t)\;$» avec «$\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace \;$ l'échelon unité $\;{\big (}$ou fonction d'Heaviside ${\big )}$, discontinu(e) de 1^ère espèce en $\;t=0\;$» $\;{\big [}$voir paragraphe « modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, puis

     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$», $\succ \;$la fonction dérivée 1^ère temporelle «$\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ a été modélisée en $\;E\;\delta (t)\;$» avec «$\;\delta (t)\;$ le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$, discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$» $\;{\bigg [}$le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;{\dot {Y}}(t)\;$ de l'échelon unité $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace$, discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à un » correspondant à l'intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=1\;$»${\bigg ]}$ $\;{\big \{}$de ce qui précède nous pouvons déduire que « la modélisation de $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ en $\;e(t)=E\;Y(t)\;$» $\Rightarrow$ « la modélisation de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ en $\;{\dot {e}}(t)=E\;{\dot {Y}}(t)=E\;\delta (t)\;$»${\big \}}$ $\;{\big [}$voir paragraphe « modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, et enfin

     En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$», $\succ \;$la fonction dérivée 2^nde temporelle «$\;{\ddot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ se modélise en $\;E\;{\dot {\delta }}(t)\;$» avec «$\;{\dot {\delta }}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{pour }}\;t>0\\-\infty \;\;\,{\text{pour }}\;t=0^{+}\\0\qquad {\text{pour }}\;t=0\\+\infty \;\;\,{\text{pour }}\;t=0^{-}\\0\qquad {\text{pour }}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ que nous baptiserons “ double pic de Dirac inversé ” de discontinuité que nous qualifierons “ de 3^ème espèce en $\;t=0\;$”  » $\;{\Bigg [}$le “ double pic de Dirac inversé ” s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;{\dot {\delta }}(t)\;$ du « pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace$, discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$» et à la dérivée 2^nde temporelle $\;{\ddot {Y}}(t)\;$ de l'« échelon unité $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace$, discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$» avec la propriété d'« aire sous le “ double pic de Dirac inversé ” égale à zéro » correspondant à l'intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {\delta }}(t)\;dt=0\;$» ${\Bigg ]}$.

Retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre sachant que l'excitation est “ discontinue de 3^ème espèce ” en t = 0

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ «$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)\;$» où l'excitation «$\;e(t)=$ $\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)+\gamma \;E_{3}\;{\dot {\delta }}(t)\;$» $\;{\big (}$avec $\;\alpha \;$ sans unité, $\;\beta \;$ en $\;s\;$ et $\;\gamma \;$ en $\;s^{2}{\big )}\;$ est

• “ discontinue de 3^ème espèce ” « si $\;\gamma \neq 0\;$»,
• discontinue de 2^ème espèce « si $\;\gamma =0\;$ avec $\;\beta \neq 0\;$» et
• discontinue de 1^ère espèce « si $\;\gamma =0\;$ et $\;\beta =0\;$» $\;{\big (}\alpha \;$ étant nécessairement $\;\neq 0\;$ sinon l'équation différentielle serait homogène${\big )}$ ;

     nous admettrons que la discontinuité de l'excitation se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons que ce dernier $\;\searrow \;$ de un lorsque l’ordre de la dérivée $\;\searrow \;$ de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint $\;{\big (}$pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée${\big )}\;$ soit :

• « si $\;\gamma \neq 0\;$», l'excitation étant “ discontinue de 3^ème espèce ” , la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est “ discontinue de 3^ème espèce ”  », la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce » et
  « si $\;\color {transparent}{\gamma \neq 0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle $\;y(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce,
• « si $\;\gamma =0\;$ avec $\;\beta \neq 0\;$», l'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce », la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce » et
  « si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$»,la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue »,
• « si $\;\gamma =0\;$ et $\;\beta =0\;$», l'excitation étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 2^nde «$\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce », la dérivée 1^ère «$\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue » et
  « si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ et $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$»,la solution générale de l'équation différentielle «$\;y(t)\;$ est encore discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue ».