Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable

**Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 21
Chap. préc. :	Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
Chap. suiv. :	Portrait de phase d'un système dynamique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Notion d'échelon d'amplitude A, discontinuité de 1^ère espèce modifier

Variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K modifier

Tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur

\;K\;

et d'une source de tension parfaite de f.e.m.

\;E\;

lors de la fermeture de

\;K

, modélisation en échelon de tension d'amplitude

\;E

Soit $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E$ », $\;K\;$ étant dans l'état suivant « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}K\;{\text{fermé pour}}\qquad \;t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\K\;{\text{se fermant pour}}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\K\;{\text{ouvert pour}}\qquad t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ dans lequel $\;\delta t\;$ est la durée de fermeture de l'interrupteur »^[1] ;

pendant la petite durée $\;\delta t\;$ que dure la fermeture de $\;K$ , $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ varie de façon continue et très rapidement de $\;0\;$ à $\;E\;$ ^[2], voir diagramme horaire ci-contre $\;{\big (}$ en rouge sur le schéma ${\big )}$ .

Modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E modifier

On modélise la tension $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ précédente, en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$ , en une fonction $\;e(t)$ , discontinue en $\;t=0$ , appelée « échelon de tension d'amplitude ${\underline {\;E}}\;$ » définie selon

«

\;e(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;

», voir diagramme horaire ci-dessus

\;{\big (}

en bleu sur le schéma

{\big )}

;

cet échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ a donc une discontinuité en $\;t=0\;$ correspondant au « saut fini $\;\Delta e(0)=e(0^{+})-e(0^{-})=E\;$ ».

Discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E modifier

L'échelon de tension $\,e(t)\;$ d'amplitude $\;E\;$ est « discontinu de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ » car il est continu à gauche et à droite de $\;t=0\;$ avec des limites finies distinctes soit

«

\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{t\rightarrow 0^{+}}e(t)=e(0^{+})=E\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{t\rightarrow 0^{-}}e(t)=e(0^{-})=0\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;e(0^{-})\neq e(0^{+})\right\rbrace \;

» ;

on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension en $\;t=0\;$ par son saut (fini) à la traversée de $\;t=0\;$ défini par

«

\;\Delta e(0)=e(0^{+})-e(0^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;

» égal à l'amplitude

\;E\;

de l'échelon.

Échelon décentré de tension d'amplitude E modifier

L'échelon de tension centré sur l'instant $\;t_{0}\;$ d'amplitude $\;E\;$ noté $\,e_{t_{0}}(t)\;$ est défini, par rapport à l'échelon de tension $\,e(t)\;$ de même amplitude $\;E\;$ en faisant un changement d'origine des temps selon

«

\;e_{t_{0}}(t)=e(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\0\;\,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;

»,
il est donc discontinu de 1^ère espèce en

\;t=t_{0}\;

car il est continu à gauche et à droite de

\;t=t_{0}\;

avec des limites finies distinctes soit
«

\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}^{+}}e_{t_{0}}(t)=e_{t_{0}}(t_{0}^{+})=e(0^{+})=E\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}^{-}}e_{t_{0}}(t)=e_{t_{0}}(t_{0}^{-})=e(0^{-})=0\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;e_{t_{0}}(t_{0}^{-})\neq e_{t_{0}}(t_{0}^{+})\right\rbrace \;

» ;

on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon décentrée de tension en $\;t=t_{0}\;$ par son saut (fini) à la traversée de $\;t=t_{0}\;$ défini par

«

\;\Delta e_{t_{0}}(t_{0})=e_{t_{0}}(t_{0}^{+})-e_{t_{0}}(t_{0}^{-})=e(0^{+})-e(0^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;

» égal à l'amplitude

\;E\;

de l'échelon.

Discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière modifier

Exemple de graphe d'une fonction

\;f(x)\;

discontinue de 1^ère espèce en

\;x=x_{0}

Soit une fonction scalaire réelle $\;f\;$ d'une variable réelle $\;x\;$ continue sur les intervalles $\;\left]{\mathfrak {a}}\,,\,x_{0}\right[\;$ et $\;\left]x_{0}\,,\,{\mathfrak {b}}\right[\;$ avec $\;{\mathfrak {a}}<{\mathfrak {b}}\;$ ^[3], nous disons que

« la fonction

\;f(x)\;

est discontinue de 1^ère espèce en

\;x=x_{0}\;

»
si «

\;f(x)\;

est continue à gauche et à droite de

\;x_{0}\;

sans l'être en

\;x_{0}\;

» c'est-à-dire
si «

\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}^{+})\in \mathbb {R} \\\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R} \end{array}}\;{\text{avec }}\;f(x_{0}^{-})\neq f(x_{0}^{+})\right\rbrace \;

»^[4] ;

on caractérise la discontinuité de 1^ère espèce de la fonction $\;f(x)\;$ en $\;x=x_{0}\;$ par son saut (fini) à la traversée de $\;x=x_{0}\;$ défini par

«

\;\Delta f(x_{0})=f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R} ^{*}\;

»^[5].

Échelon unité (ou fonction d'Heaviside) modifier

L'« échelon unité^[6] $\;{\big (}$ ou fonction d'Heaviside^[7] ${\big )}\;$ » est défini par

«

\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;

»,
il est discontinu de 1^ère espèce en

{\underline {\;t=0}}

,
le saut fini à cet instant étant «

\;\Delta Y(0)=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1\;

».

Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand $\;\delta t\rightarrow 0$ , de la fonction $\;Y_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow 1\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » dans laquelle « $\;\delta t\;$ représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de $\;0\;$ à $\;1$ »^[8] $\;\ldots \;$

Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré $\;{\big (}$ ou fonction d'Heaviside^[7] décentrée ${\big )}\;$ selon

«

\;Y_{t_{0}}(t)=Y(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\0\;\,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;

»,
discontinu(e) de 1^ère espèce en

{\underline {\;t=t_{0}}}

,
le saut fini à cet instant étant «

\;\Delta Y_{t_{0}}(t_{0})=Y_{t_{0}}(t_{0}^{+})-Y_{t_{0}}(t_{0}^{-})=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1\;

».

Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside^[7] : soit un échelon de tension $\;e(t)\;$ d'amplitude $\;E$ , nous pouvons le réécrire sous la forme « $\;e(t)=E\;\;Y(t)\;$ »^[9].

Exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité modifier

Soit une grandeur permanente $\;G\;$ que l'on impose à partir de l'instant $\;t=0$ , cela revient à « créer, à l'instant $\;t=0$ , un échelon $\;g(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'amplitude $\;G\;$ » défini selon « $\;g(t)=G\;\;Y(t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}G\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$ ».

     Exemples de mécanique : $\succ \;$ on cherche à pousser un véhicule tombé en panne à l’aide d'une force horizontale permanente $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}$ , l'instant de début de la poussée étant choisi comme instant initial, cela revient à
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$ $\;\bullet \;$ « créer, à l'instant $\;t=0$ , un échelon de force $\;{\vec {f}}(t)=f(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'amplitude vectorielle $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}\;$ » défini selon « $\;{\vec {f}}(t)={\vec {F}}\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$ » ou,
     Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$ $\;\bullet \;$ « créer, à l'instant $\;t=0$ , un échelon de composante horizontale de force $\;f(t)\;$ d'amplitude $\;F\;$ » défini selon « $\;f(t)=F\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}F\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$ » $\;{\big [}$ obtenu en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ l'échelon de force $\;{\vec {f}}(t)=f(t)\;{\vec {u}}_{x}{\big ]}$ .

Exemples de mécanique : $\succ \;$ Il existe aussi des cas où une force non permanente $\;{\vec {F}}(t)\;$ existe à partir d'un instant particulier que nous supposerons choisi comme instant initial, dans ces conditions on pourrait utiliser la fonction d'Heaviside^[7]^,^[10] pour exprimer que cette force est nulle avant l'instant $\;t=0\;$ bien que ce ne soit pas un échelon de force qui soit créé, cela donnerait

«

\;{\vec {f}}(t)={\vec {F}}(t)\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}(t)\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\quad \;\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;

» comme l'exemple

Exemples de mécanique : $\color {transparent}{\succ }\;$ d'un corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial qui subit, à partir de cet instant, la réaction du sol $\;{\vec {R}}(t)$ , laquelle pourrait être réécrite^[10] sous la forme

«

\;{\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)\;\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {R}}(t)\;{\text{pour }}t>0\\{\vec {0}}\quad \;\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;

».

Bien sûr on pourrait trouver des exemples d'échelon dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique $\;\ldots$

« Dérivée 1^ère » d'un échelon d'amplitude A, pic de Dirac et discontinuité de 2^ème espèce modifier

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K modifier

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur

\;K\;

et d'une source de tension parfaite de f.e.m.

\;E\;

lors de la fermeture de

\;K

, modélisation en pic de Dirac^[11] d'impulsion

\;E

À partir de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ » on obtient « $\;e_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}E\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow E\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » dans laquelle $\;\delta t\;$ représente la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de $\;0\;$ à $\;E\;$ ^[12] et sa dérivée temporelle « $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\big (}$ voir le diagramme horaire ci-dessus en rouge ${\big )}$ .

Propriétés de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K modifier

     L'aire $\;{\mathcal {A}}(O)\;$ de la surface comprise entre le « pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ et l'axe des temps »^[13] se définissant par « $\;{\mathcal {A}}(O)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;dt\;$ »^[14]
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}(O)}\;$ se réécrit, compte-tenu de la nullité de la fonction $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ sur les intervalles $\;\left]-\infty \,,\,-{\dfrac {\delta t}{2}}\right[\;$ et $\;\left]{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,+\infty \right[$ , selon « $\;{\mathcal {A}}(O)=\displaystyle \int _{-{\frac {\delta t}{2}}}^{\frac {\delta t}{2}}{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;dt\;$ »
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}(O)}\;$ ce qui s'intègre simplement en « $\;{\mathcal {A}}(O)=\left[e_{\text{réel}}(t)\right]_{-{\frac {\delta t}{2}}}^{\frac {\delta t}{2}}=e_{\text{réel}}\!\left({\dfrac {\delta t}{2}}\right)-e_{\text{réel}}\!\left(-{\dfrac {\delta t}{2}}\right)=E-0\;$ » soit finalement

l'« aire sous le pic de

\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)

valant

\;E\;

»
« quelle que soit la durée

\;\delta t\;

de variation de

\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;

».

Modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E modifier

     De même que l'on modélise $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ en un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$ , obtenant ainsi une nouvelle fonction continue et dérivable à l'exception de l'instant de fermeture de l'interrupteur, on cherche à
     De même que l'on modéliser $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$ , ce qui, ayant pour conséquence une limite infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur ^[15], conduirait à « une fonction nulle partout à l'exception de $\;t=0\;$ où cette fonction ne pourrait être définie car ayant une limite infinie » ;
     De même que l'on de plus, en modélisant $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ par la fonction nulle partout à l'exception de $\;t=0\;$ où elle ne serait pas définie, la propriété de « l'aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ égale à $\;E\;$ » n'aurait plus aucune signification $\;\ldots$

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur

\;K\;

et d'une source de tension parfaite de f.e.m.

\;E\;

lors de la fermeture de

\;K

, modélisation en pic de Dirac^[11] d'impulsion

\;E

Aussi cherchant à maintenir la propriété d'« aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ égale à $\;E\;$ » il convient de maintenir la notion de pic dans la définition de la modélisation de ${\underline {\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;}}$ quand ${\underline {\;\delta t\rightarrow 0}}$ , mais le pic tendant vers $\;\infty$ , la modélisation ne peut plus être une fonction $\;\ldots$

On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution »^[16] dont les propriétés prolongent celles des fonctions $\;{\big (}$ comme la dérivation ou l'intégration^[17] ${\big )}$ $\;\ldots$

La modélisation de « $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ quand $\;\delta t\rightarrow 0\;$ » conduit à une « distribution de Dirac »^[11] que les physiciens appellent « pic de Dirac d'impulsion $\;E\;$ »^[18] devant correspondre à

«

\;{\dot {e}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>0\\+\infty \;{\text{ pour }}t=0\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<0\end{array}}\right.\;

»^[19]

\;{\big (}

voir ci-contre le diagramme en bleu

{\big )}\;

avec la propriété d'
« aire sous le pic

\;\infty \;

égale à

\;E\;

» soit «

\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}(t)\;dt=E\;

»^[20] ou «

\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {e}}(t)\;dt=E\;

»^[21].

Discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E modifier

Une fonction $\;f\;$ du temps $\;t$ , continue en tout instant à l'exception de ${\underline {\;t=0}}$ , est dite « discontinue de 2^ème espèce en ${\underline {\;t=0}}\;$ »^[22] « si l'une au moins des limites de ${\underline {\;f(t)\;}}$ à gauche ou à droite de ${\underline {\;t=0}}$ , n'existe pas ou est infinie » ;

la modélisation de la fonction « $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ quand $\;\delta t\rightarrow 0\;$ » conduisant à une « distribution de Dirac^[11]^,^[16] que nous appelons pic de Dirac^[11] d'impulsion $\;E\;$ »^[18] devant correspondre à

«

\;{\dot {e}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>0\\+\infty \;{\text{ pour }}t=0\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<0\end{array}}\right.\;

»^[19] pour laquelle,

s'il s'agissait d'une fonction on constaterait « un saut infini à gauche de $\;t=0\;$ ainsi qu'à droite de $\;t=0\;$ »^[23], nous dirons, par abus, que

le « pic de Dirac^[11] d'impulsion

\;E

»^[18] est discontinu de 2^ème espèce en

{\underline {\;t=0}}\;

^[24].

Un autre exemple de distribution : pic de Dirac décentré de tension d'impulsion E modifier

Le « pic de Dirac^[11] de tension centré sur l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion $\;E\;$ » noté « $\,{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;$ »^[25] est défini, par rapport au « pic de Dirac^[11] de tension de même impulsion $\;E\;$ » noté « $\,{\dot {e}}(t)\;$ »^[19] en faisant un changement d'origine des temps selon

«

\;{\dot {e}}_{t_{0}}(t)={\dot {e}}(t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t>t_{0}\\+\infty \;{\text{ pour }}t=t_{0}\\0\quad \;\;\,{\text{ pour }}t<t_{0}\end{array}}\right.\;

»^[19] avec la propriété d'
« aire sous le pic

\;\infty \;

égale à

\;E\;

» soit «

\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;dt=E\;

»^[26] ou «

\;\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;dt=E\;

»^[27].

Pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou « fonction » d'Heaviside) modifier

Le « pic de Dirac^[11] d'impulsion unité^[28] » doit correspondre à

«

\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;

»^[29], avec la propriété d'
« aire sous le pic

\;\infty \;

égale à

\;1\;

» soit «

\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=1\;

»^[30] ou «

\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\;dt=1\;

»^[31].

Nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac^[11] d'impulsion unité »^[18] est discontinu de 2^ème espèce en ${\underline {\;t=0}}\;$ ^[24].

Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité « $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$ » comme « limite, quand $\;\delta t\rightarrow 0$ , de la fonction $\;Y_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow 1\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » dans laquelle $\;\delta t\;$ représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de $\;0\;$ à $\;1$ , nous procédons de même « à partir de la dérivée temporelle de cette dernière
Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité « $\;\color {transparent}{Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{pour}}\;t>0\\0\;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.}\;$ » comme « limite, quand $\;\color {transparent}{\delta t\rightarrow 0}$ , de la fonction $\;{\dot {Y}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » et obtenons, quand $\;\delta t\rightarrow 0$ , « $\;\delta (t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right.\;$ » ;

Propriétés : le fait que « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}Y_{\text{réel}}(t)=Y(t)\\\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}{\dot {Y}}_{\text{réel}}(t)=\delta (t)\end{array}}\right\rbrace \;$ » avec l'« aire sous le pic $\;\infty \;$ de $\;\delta \;$ égale à l'amplitude de $\;Y\;$ » conduit à

« définir la dérivée temporelle^[32] de l'échelon unité » par « le pic de Dirac d'impulsion unité » soit
«

\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;

»^[32].

Propriétés : Si on utilise « $\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$ » et la généralisation de l'intégration au sens des distributions, on retrouve alors le fait que l'« aire sous le pic $\;\infty \;$ » est bien égale à $\;1\;$ en effet

«

\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {Y}}(t)\;dt=\left[Y(t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}=Y(0^{+})-Y(0^{-})=1-0=1\;

»^[33].

     Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac^[11] centré à l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion unité » selon « $\;\delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;{\text{pour}}\;t>t_{0}\\+\infty \;{\text{pour }}\;t=t_{0}\\0\;\quad \,{\text{pour}}\;t<t_{0}\end{array}}\right.\;$ »,
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion unité » discontinu de 2^ème espèce en ${\underline {\;t=t_{0}}}\;$ et
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ d'impulsion unité » s'identifiant à la dérivée temporelle de l'échelon unité centré à l'instant $\;t_{0}\;$ ^[24] soit « $\;\delta _{t_{0}}(t)={\dot {Y_{t_{0}}}}(t)\;$ ».

Réécriture d'un pic de Dirac^[11] de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac^[11] d'impulsion unité : soit un pic de Dirac^[11] de tension $\;{\dot {e}}(t)\;$ d'impulsion $\;E$ , nous pouvons le réécrire
Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : sous la forme « $\;{\dot {e}}(t)=E\;\;\delta (t)\;$ »^[34],

Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : en effet l'échelon de tension $\;e(t)\;$ d'amplitude $\;E\;$ ayant été réécrit selon « $\;e(t)=E\;\;Y(t)\;$ »^[35] et le pic de Dirac^[11] de tension $\;{\dot {e}}(t)\;$ d'impulsion $\;E$ pouvant être considéré comme la dérivée temporelle $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ de $\;e(t)\;$ ^[36], nous en déduisons « $\;{\dot {e}}(t)=E\;\;{\dot {Y}}(t)\;$ »^[37] soit le résultat énoncé compte-tenu de « $\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$ ».

Exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité modifier

Soit une grandeur permanente $\;G\;$ que l'on impose à partir de l'instant $\;t=0$ , cela revenant à « créer un échelon $\;g(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'amplitude $\;G\;$ » défini selon « $\;g(t)=G\;\;Y(t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}G\;{\text{pour }}t>0\\0\;\,{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$ », on obtient, « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent »^[32], le « pic de Dirac^[11] $\;{\dot {g}}(t)\;$ de la grandeur $\;g\;$ d'impulsion $\;G\;$ »^[38] soit

«

\;{\dot {g}}(t)=G\;\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour }}t>0\\+\infty \;{\text{pour }}t=0\\0\quad \;\;{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;

» avec la propriété d'
« aire sous le pic

\;\infty \;

valant

\;G\;

» soit «

\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {g}}(t)\,dt=G\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt=G\;

»^[39].

     Exemple de mécanique : un véhicule $\;B\;$ sans frein heurte un autre véhicule $\;A\;$ à l'arrêt $\;{\big (}$ l'instant de collision est choisi comme instant initial ${\big )}$ , le choc étant très intense et durant très peu de temps, la force de collision horizontale que le véhicule $\;B\;$ exerce sur le véhicule $\;A$ , peut être matérialisée par
     Exemple de mécanique : un « pic de Dirac^[11] $\;{\vec {F}}_{A\leftarrow B}(t)=F_{A\leftarrow B}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ de force, d'impulsion vectorielle $\;{\vec {I}}_{A\leftarrow B}=I_{A\leftarrow B}\;{\vec {u}}_{x}$ », défini selon « $\;{\vec {F}}_{A\leftarrow B}(t)={\vec {I}}_{A\leftarrow B}\;\;\delta (t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {0}}\quad {\text{pour }}t>0\\{\vec {\infty }}\;\,{\text{pour }}t=0\\{\vec {0}}\quad {\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$ » ou,
     Exemple de mécanique : en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}$ , un « pic de Dirac^[11] $\;F_{A\leftarrow B}(t)\;$ de composante horizontale de force, d'impulsion $\;I_{A\leftarrow B}\;$ », défini selon « $\;F_{A\leftarrow B}(t)=I_{A\leftarrow B}\;\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour }}t>0\\+\infty \;{\text{pour }}t=0\\0\quad \;\;{\text{pour }}t<0\end{array}}\right.\;$ », avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ valant $\;I_{A\leftarrow B}\;$ » soit « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }F_{A\leftarrow B}(t)\,dt=$ $I_{A\leftarrow B}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt=I_{A\leftarrow B}\;$ »^[39]^,^[40].

Bien sûr on pourrait trouver des exemples de pic de Dirac^[11] dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique $\;\ldots$

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation modifier

Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial modifier

Soit une « excitation^[41] $\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$ » dans laquelle « $\;E_{1}\;$ et $\;E_{2}\;$ sont des constantes de même dimension que $\;e(t)\;$ », les « cœfficients multiplicateurs $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ étant respectivement une constante sans dimension et une autre exprimée en $\;s\;$ ^[42] », nous admettrons que

«

\;e(t)\;

est discontinue en

\;t=0\;

du numéro d'espèce égal au plus grand numéro d'espèce de discontinuité de ses composants »
soit ici «

\;e(t)\;

discontinue de 2^ème espèce si

\;\beta \neq 0\;

» et
soit ici «

\;\color {transparent}{e(t)}\;

discontinue de 1^ère espèce si

\;\beta =0\;

».

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation modifier

Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre en $\;y(t)\;$ suivante « $\;{\dot {y}}(t)+k\;y(t)=e(t)\;$ » pour laquelle l'excitation^[41] « $\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$ » est

discontinue de 2^ème espèce « si $\;\beta \neq 0\;$ » et
discontinue de 1^ère espèce « si $\;\beta =0\;$ » $\;{\big (}\alpha \;$ étant nécessairement $\;\neq 0\;$ sinon l'équation différentielle serait homogène ${\big )}$ ;

nous admettrons que la discontinuité de l'excitation^[41] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
nous admettrons que ce dernier $\;\searrow \;$ de un lorsque l’ordre de la dérivée $\;\searrow \;$ de un $\;{\big (}$ pour simplifier nous dirons qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue ${\big )}\;$ soit :

« si $\;\beta \neq 0\;$ », l'excitation^[41] étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 1^ère « $\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce » et
« si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle « $\;y(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce »,
« si $\;\beta =0\;$ », l'excitation^[41] étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 1^ère « $\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce » et
« si $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle « $\;y(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue ».

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation modifier

Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ suivante « $\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)\;$ » pour laquelle l'excitation^[41] « $\;e(t)=\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)\;$ » est

discontinue de 2^ème espèce « si $\;\beta \neq 0\;$ » et
discontinue de 1^ère espèce « si $\;\beta =0\;$ » ${\big (}\alpha \;$ étant nécessairement $\;\neq 0\;$ sinon l'équation différentielle serait homogène ${\big )}$ ;

nous admettrons que la discontinuité de l'excitation^[41] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
nous admettrons que ce dernier $\;\searrow \;$ de un lorsque l’ordre de la dérivée $\;\searrow \;$ de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint $\;{\big (}$ pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée ${\big )}\;$ soit :

« si $\;\beta \neq 0\;$ », l'excitation^[41] étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 2^nde « $\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce », la dérivée 1^ère « $\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce » et
« si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle « $\;y(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue »,
« si $\;\beta =0\;$ », l'excitation^[41] étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 2^nde « $\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce », la dérivée 1^ère « $\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue » et
« si $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle « $\;y(t)\;$ est encore discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue ».

« Dérivée seconde » d'un échelon d'amplitude A (ou « dérivée 1^ère » d'un pic de Dirac d'impulsion A) et conséquence sur la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène lors de la présence d'un tel terme dans l'excitation modifier

Dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation modifier

     Nous avons modélisé la « tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ ^[43] »
     Nous avons modélisé en considérant cette dernière comme une fonction continûment dérivable à variation rapide sur une durée $\;\delta t\;$ entourant l'instant $\;0\;$ ^[44] et
     Nous avons modélisé en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ pour définir les notions mathématiques d'« échelon »^[45] et de « discontinuité de 1^ère espèce »^[46], puis

nous avons formé la dérivée 1^ère temporelle de cette fonction $\;{\big (}$ ce qui est parfaitement justifié mathématiquement si la fonction est de classe $\;C^{\,1}\;$ ^[47] ${\big )}\;$ et
nous avons modélisé cette dérivée 1^ère en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0$ , ceci nous conduisant aux notions mathématiques de « pic de Dirac^[11] »^[48] et de « discontinuité de 2^ème espèce »^[49], ces deux notions pouvant être définies « directement » ^[50] en mathématiques, ce qui justifie a posteriori la méthode utilisée ;

     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente à « la dérivée 2^nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur $\;K\;$ et d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ ^[43] » $\;{\big (}$ dérivée 2^nde temporelle parfaitement définie si la fonction est de classe $\;C^{\,2}\;$ ^[51] ${\big )}\;$
     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente en faisant tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ mais $\;\ldots$
     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente les notions « limites » que nous obtenons ne sont pas définies directement mathématiquement $\;{\big (}$ tout au moins à ma connaissance ${\big )}$ , il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ double pic de Dirac^[11] inversé ” et “ discontinuité de 3^ème espèce ” comme un moyen pratique de traiter le cas réel correspondant à une durée de fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ excessivement petite mais non nulle $\;{\big [}$ utiliser ces notions « limites » non définies mathématiquement se justifie car les résultats obtenus sont les mêmes que ceux que nous obtiendrions en travaillant avec les fonctions réelles de classe $\;C^{\,2}\;$ ^[51] et en faisant tendre, après tout calcul, $\;\delta t\;$ vers $\;0{\big ]}$ .

Évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et « modélisation » modifier

À partir de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur $\;K\;$ et source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ lors de la fermeture de $\;K\;$ » on a obtenu

« $\;e_{\text{réel}}(t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}E\,\qquad \;{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\0\nearrow E\;{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\0\;\qquad \,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » dans laquelle $\;\delta t\;$ est la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de $\;0\;$ à $\;E\;$ ^[52] $\;{\big [}$ voir paragraphe « variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ , puis,
sa dérivée 1^ère temporelle « $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=0\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,0\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » que l'on suppose dérivable^[53] $\;{\big [}$ voir paragraphe « dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ , et enfin,

Dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur

\;K\;

et d'une source de tension parfaite de f.e.m.

\;E\;

lors de la fermeture de

\;K

en dérivant une nouvelle fois, sa dérivée 2^nde temporelle « $\;{\ddot {e}}_{\text{réel}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t>{\dfrac {\delta t}{2}}\\\nearrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]{\dfrac {\delta t}{4}}\,,\,{\dfrac {\delta t}{2}}\right]\\{\text{très faible valeur}}<0\qquad \qquad \,{\text{pour }}t={\dfrac {\delta t}{4}}\\\searrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\delta t}{4}}\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t=0\\\searrow \;{\text{très rapidement jusqu'à }}0\;\;{\text{pour }}\;t\in \left]-{\dfrac {\delta t}{4}}\,,\,0\right[\\{\text{très grande valeur}}\qquad \qquad \quad \;\,{\text{pour }}t=-{\dfrac {\delta t}{4}}\\\nearrow \;{\text{très rapidement depuis }}\;0\;\;\,{\text{pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {\delta t}{2}}\,,\,-{\dfrac {\delta t}{4}}\right[\\0\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\,{\text{pour }}t<-{\dfrac {\delta t}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ »^[54] $\;{\big (}$ voir le diagramme horaire ci-contre en rouge ${\big )}$ .

En faisant « tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ », $\succ \;$ la fonction « $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ a été modélisée en $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ » avec « $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace \;$ l'échelon unité $\;{\big (}$ ou fonction d'Heaviside^[7] ${\big )}$ , discontinu(e) de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ » $\;{\big [}$ voir paragraphe « modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ , puis

En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$ », $\succ \;$ la fonction dérivée 1^ère temporelle « $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ a été modélisée en $\;E\;\delta (t)\;$ » avec « $\;\delta (t)\;$ le pic de Dirac^[11] d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[42], discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ » $\;{\bigg [}$ le pic de Dirac^[11] d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;{\dot {Y}}(t)\;$ ^[55] de l'échelon unité $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace$ , discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ avec la propriété d'« aire sous le pic $\;\infty \;$ égale à un » correspondant à l'intégrale^[55]^,^[14] « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt=1\;$ » ${\bigg ]}$ $\;{\big \{}$ de ce qui précède nous pouvons déduire que « la modélisation de $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ en $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ » $\Rightarrow$ « la modélisation de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ en $\;{\dot {e}}(t)=E\;{\dot {Y}}(t)=E\;\delta (t)\;$ » ${\big \}}$ $\;{\big [}$ voir paragraphe « modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ , et enfin

En faisant « tendre $\;\color {transparent}{\delta t}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}\;$ », $\succ \;$ la fonction dérivée 2^nde temporelle « $\;{\ddot {e}}_{\text{réel}}(t)\;$ se modélise en $\;E\;{\dot {\delta }}(t)\;$ » avec « $\;{\dot {\delta }}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{pour }}\;t>0\\-\infty \;\;\,{\text{pour }}\;t=0^{+}\\0\qquad {\text{pour }}\;t=0\\+\infty \;\;\,{\text{pour }}\;t=0^{-}\\0\qquad {\text{pour }}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[56] que nous baptiserons “ double pic de Dirac^[11] inversé ”^[57] de discontinuité que nous qualifierons “ de 3^ème espèce en $\;t=0\;$ ”^[58] » $\;{\Bigg [}$ le “ double pic de Dirac^[11] inversé ”^[57] s'identifiant à la dérivée 1^ère temporelle $\;{\dot {\delta }}(t)\;$ ^[55] du « pic de Dirac^[11] d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;\;{\text{pour}}\;t>0\\+\infty \;{\text{pour}}\;t=0\\0\quad \;\;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace$ , discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ » et à la dérivée 2^nde temporelle $\;{\ddot {Y}}(t)\;$ ^[55] de l'« échelon unité $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si }}t\in \left]0\,,\,+\infty \right[\\0\;{\text{si }}t\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace$ , discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ » avec la propriété d'« aire sous le “ double pic de Dirac^[11] inversé ”^[57] égale à zéro » correspondant à l'intégrale^[55]^,^[14] « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {\delta }}(t)\;dt=0\;$ »^[59] ${\Bigg ]}$ .

Retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre sachant que l'excitation est “ discontinue de 3^ème espèce ” en t = 0 modifier

Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ « $\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)\;$ » où l'excitation^[41] « $\;e(t)=$ $\alpha \;E_{1}\;Y(t)+\beta \;E_{2}\;\delta (t)+\gamma \;E_{3}\;{\dot {\delta }}(t)\;$ » $\;{\big (}$ avec $\;\alpha \;$ sans unité, $\;\beta \;$ en $\;s\;$ et $\;\gamma \;$ en $\;s^{2}{\big )}\;$ est

“ discontinue de 3^ème espèce ”^[58] « si $\;\gamma \neq 0\;$ »,
discontinue de 2^ème espèce « si $\;\gamma =0\;$ avec $\;\beta \neq 0\;$ » et
discontinue de 1^ère espèce « si $\;\gamma =0\;$ et $\;\beta =0\;$ » $\;{\big (}\alpha \;$ étant nécessairement $\;\neq 0\;$ sinon l'équation différentielle serait homogène ${\big )}$ ;

nous admettrons que la discontinuité de l'excitation^[41] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
nous admettrons que ce dernier $\;\searrow \;$ de un lorsque l’ordre de la dérivée $\;\searrow \;$ de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint $\;{\big (}$ pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0^ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée ${\big )}\;$ soit :

« si $\;\gamma \neq 0\;$ », l'excitation^[41] étant “ discontinue de 3^ème espèce ”^[58], la dérivée 2^nde « $\;{\ddot {y}}(t)\;$ est “ discontinue de 3^ème espèce ”^[58] », la dérivée 1^ère « $\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce » et
« si $\;\color {transparent}{\gamma \neq 0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle $\;y(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce,
« si $\;\gamma =0\;$ avec $\;\beta \neq 0\;$ », l'excitation^[41] étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée 2^nde « $\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce », la dérivée 1^ère « $\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce » et
« si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle « $\;y(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue »,
« si $\;\gamma =0\;$ et $\;\beta =0\;$ », l'excitation^[41] étant discontinue de 1^ère espèce, la dérivée 2^nde « $\;{\ddot {y}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce », la dérivée 1^ère « $\;{\dot {y}}(t)\;$ est discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue » et
« si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ et $\;\color {transparent}{\beta =0}\;$ »,la solution générale de l'équation différentielle « $\;y(t)\;$ est encore discontinue de 0^ème espèce c'est-à-dire continue ».

Notes et références modifier

↑ En pratique cette durée est toujours petite.
↑ Nous supposerons de plus que la fonction ainsi définie est de classe suffisamment élevée pour n'avoir aucun souci de dérivabilité et ceci à n'importe quel ordre $\;{\big (}$ toutefois, pour ce chapitre, la classe $\;C^{\,2}\;$ suffira ${\big )}$ .
↑ Les bornes $\;{\mathfrak {a}}\;$ et $\;{\mathfrak {b}}\;$ pouvant être simultanément ou non $\;-\infty \;$ et $\;+\infty$ .
↑ C.-à-d. que d'une part, les limites à gauche et à droite sont finies et d'autre part, elles doivent être différentes pour que la fonction ne soit pas continue en $\;x_{0}$ .
↑ Raison pour laquelle « la discontinuité de 1^ère espèce » est encore appelée « discontinuité de saut fini ».
↑ Forme raccourcie pour dire « échelon d'amplitude unité ».
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 et ^7,4 Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom $\;{\big (}$ encore appelée échelon ou marche ${\big )}\;$ utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ Même démarche que pour passer $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ à $\;e(t)\;$ dans le paragraphe « modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans le chapitre.
↑ L'intérêt de cette réécriture est que « la grandeur tension et donc son unité » se retrouve dans le cœfficient multiplicateur $\;E$ , la fonction d'Heaviside étant sans unité.
↑ ^10,0 et ^10,1 Mais en pratique on n'utilise pas la fonction d'Heaviside car cela engendrerait une complication au lieu d'une simplification ; on préfère considérer les deux cas $\;t<0\;$ et $\;t>0$ .
↑ ^11,00 ^11,01 ^11,02 ^11,03 ^11,04 ^11,05 ^11,06 ^11,07 ^11,08 ^11,09 ^11,10 ^11,11 ^11,12 ^11,13 ^11,14 ^11,15 ^11,16 ^11,17 ^11,18 ^11,19 ^11,20 ^11,21 ^11,22 ^11,23 ^11,24 ^11,25 et ^11,26 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ On suppose la fonction $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ de classe $\;C^{\,2}\;$ pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais dans ce paragraphe il suffirait qu'elle soit de classe $\;C^{\,1}$ .
↑ Par abus on appellera cette aire l'« aire sous le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)$ ».
↑ ^14,0 ^14,1 et ^14,2 Voir la notion d'« intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet si « on remplace le pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)$ et son voisinage non nul » par « un rectangle d'aire égale à l’aire sous le pic », le rectangle étant de « largeur $\;\delta t\;$ » doit être de « hauteur $\;{\dfrac {E}{\delta t}}\;$ » et quand « on fait tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ » $\;{\big (}$ c'est-à-dire quand la largeur du rectangle tend vers $\;0{\big )}$ , la « hauteur $\;{\dfrac {E}{\delta t}}\;$ doit tendre vers $\;\infty \;$ » pour que l'aire soit conservée ;
or « le remplacement du pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)$ et de son voisinage non nul » par « un rectangle d'aire égale à l'aire sous le pic » correspond nécessairement à une « hauteur de pic de $\;{\dot {e}}_{\text{réel}}(t)$ $\;>\;$ à la hauteur du rectangle » $\;{\big (}$ car « la présence de parties du voisinage moins proche du pic » $\;<\;$ à « la hauteur du rectangle » nécessite « la présence de parties du voisinage proche du pic ainsi que du pic lui-même » $\;>\;$ à « la hauteur du rectangle » ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ « un pic tendant vers $\;\infty \;$ quand $\;\delta t\rightarrow 0\;$ ».
↑ ^16,0 et ^16,1 Encore appelée « fonction généralisée » par les anglicistes $\;{\big [}$ mais cette théorie ayant été finalisée par Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XX^ème siècle qui reçut, pour cela, la médaille Fields en $\;1950$ , on utilise, en France, préférentiellement le terme « distribution » ${\big ]}$ ;
la théorie des distributions étant au moins de niveau $\;BAC+5\;$ nous ne l'aborderons pas ici.
↑ Liste non exhaustive.
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 et ^18,3 En fait la distribution de Dirac pour les mathématiciens est notée $\;\delta \;$ et correspond au « pic de Dirac d'impulsion $\;1\;$ » des physiciens, le « pic de Dirac d'impulsion $\;E\;$ » de ces derniers est donc « $\;E\;$ fois la distribution de Dirac des mathématiciens » soit « $\;E\;\delta \;$ ».
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 et ^19,3 Pour l'instant, $\;{\dot {e}}(t)\;$ n'est qu'une notation pour le pic de Dirac de tension d'impulsion $\;E$ , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ c'est-à-dire $\;e(t)=E\;\;Y(t)\;$ considérée comme distribution $\;{\big (}$ on rappelle qu'une fonction échelon n'est pas dérivable en $\;t=0\;$ d'où la nécessité de la considérer comme distribution ${\big )}$ .
↑ Attention $\;{\dot {e}}(t)\;$ étant une distribution, « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}(t)\;dt\;$ » nécessite de définir l'intégrale $\;{\big (}$ généralisée ${\big )}\;$ d'une distribution $\;\ldots$
Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe $\;C^{\,2}\;$ comme l'est $\;e_{\text{réel}}(t)$ , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions $\;\ldots$
↑ $\;{\dot {e}}(t)\;$ étant nulle sur les intervalles $\;\left]-\infty \,,\,0\right[\;$ et $\;\left]0\,,\,+\infty \right[$ .
↑ Encore appelée « discontinuité essentielle » voir l'article de wikipédia sur les « discontinuités de 1^ère ou 2^ème espèces ».
↑ Respectivement défini par « $\;{\dot {e}}(0)-{\dot {e}}(0^{-})\;$ valant $\;+\infty \;$ » et par « $\;{\dot {e}}(0^{+})-{\dot {e}}(0)\;$ valant $\;-\infty \;$ ».
↑ ^24,0 ^24,1 et ^24,2 La signification nécessitant qu'une « fonction » puisse avoir une valeur infinie dans son domaine de valeurs $\;{\big (}$ ce qui n'est pas car quand une fonction admet une limite infinie lorsque la variable tend vers une certaine valeur, cette dernière est placée hors du domaine de définition de la fonction et par conséquent la valeur infinie est hors de son domaine de valeurs ${\big )}\;$ et, en admettant ceci,
Le signification nécessitant d'observer un saut infini à gauche et à droite $\;{\big (}$ on comprend mieux ainsi l'autre nom de « fonction généralisée » donnée à une « distribution » résultant, entre autres, d'autoriser des valeurs infinies pour les fonctions généralisées ${\big )}$ .
↑ Pour l'instant, $\;{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;$ n'est qu'une notation pour le pic de Dirac décentré de tension d'impulsion $\;E$ , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon décentré de tension d'amplitude $\;E\;$ c'est-à-dire $\;e_{t_{0}}(t)=E\;\;Y_{t_{0}}(t)\;$ considérée comme distribution $\;{\big (}$ on rappelle qu'une fonction échelon décentrée n'est pas dérivable en $\;t=t_{0}\;$ d'où la nécessité de la considérer comme distribution ${\big )}$ .
↑ Attention $\;{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;$ étant une distribution, « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;dt\;$ » nécessite de définir l'intégrale $\;{\big (}$ généralisée ${\big )}\;$ d'une distribution $\;\ldots$
Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe $\;C^{\,2}\;$ comme l'est $\;e_{\text{réel}}(t-t_{0})$ , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions $\;\ldots$
↑ $\;{\dot {e}}_{t_{0}}(t)\;$ étant nulle sur les intervalles $\;\left]-\infty \,,\,t_{0}\right[\;$ et $\;\left]t_{0}\,,\,+\infty \right[$ .
↑ Ou simplement « pic de Dirac » ou encore « distribution de Dirac » ou enfin, par abus, « fonction $\;{\big (}$ sous-entendu généralisée ${\big )}\;$ de Dirac ».
↑ S'il s'agissait d'une fonction on constaterait donc un saut infini à gauche de $\;t=0\;$ ainsi qu'à droite de $\;t=0$ , respectivement défini par « $\;\delta (0)-\delta (0^{-})\;$ valant $\;+\infty \;$ » et par « $\;\delta (0^{+})-\delta (0)\;$ valant $\;-\infty \;$ ».
↑ Attention $\;\delta (t)\;$ étant une distribution, « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;dt\;$ » nécessite de définir l'intégrale $\;{\big (}$ généralisée ${\big )}\;$ d'une distribution $\;\ldots$
Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe $\;C^{\,2}\;$ comme l'est $\;Y_{\text{réel}}(t)$ , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre $\;\delta t\;$ vers $\;0\;$ et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions $\;\ldots$
↑ $\;\delta (t)\;$ étant nulle sur les intervalles $\;\left]-\infty \,,\,0\right[\;$ et $\;\left]0\,,\,+\infty \right[$ .
↑ ^32,0 ^32,1 et ^32,2 Dérivée temporelle au sens des distributions, qui s'identifie à la dérivée temporelle au sens des fonctions pour les valeurs de variable où la fonction est dérivable mais ajoute une définition pour celles où la fonction n'est pas dérivable, voir non définie.
↑ Rappelons qu'il s'agit d'un abus d'écriture non correct au sens des fonctions mais dont les résultats obtenus sont les mêmes que ceux nous obtiendrions au sens des distributions $\;\ldots$
↑ L'intérêt de cette réécriture est que « la grandeur tension et donc son unité » se retrouve dans le cœfficient multiplicateur $\;E$ , le pic de Dirac d'impulsion unité étant en $\;s^{-1}$ .
↑ Voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » plus haut dans le chapitre.
↑ Selon la même démarche que celle exposée dans ce paragraphe pour lier le pic de Dirac d'impulsion unité et l'échelon unité.
↑ $\;E\;$ étant une constante.
↑ Le pic de Dirac de grandeur $\;g\;$ est bien homogène à un taux horaire de grandeur $\;g\;$ car le pic de Dirac d'impulsion unité s'exprime en $\;s^{-1}$ .
↑ ^39,0 et ^39,1 Intégrale temporelle au sens des distributions, qui s'identifie à l'intégrale temporelle au sens des fonctions pour les valeurs de variable où la fonction est intégrable mais ajoute une définition pour celles où la fonction est infinie en y étant discontinue de 2^ème espèce, voire non définie.
↑ Nous verrons dans le paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » du chap. $15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », que « $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,dt\;$ définit l'impulsion de la force $\;{\vec {F}}(t)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ ».
↑ ^41,00 ^41,01 ^41,02 ^41,03 ^41,04 ^41,05 ^41,06 ^41,07 ^41,08 ^41,09 ^41,10 ^41,11 ^41,12 et ^41,13 L'excitation d'une équation différentielle linéaire hétérogène est le 2^nd membre de l'équation écrite en y mettant exclusivement les termes indépendant de la fonction cherchée, tous les termes dépendant de cette dernière étant dans le 1^er membre, voir le paragraphe « équation différentielle linéaire » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
l'excitation dépendant de la forme sous laquelle l'équation différentielle linéaire est écrite $\;{\big [}$ donc du choix du cœfficient du terme de la dérivée du plus grand ordre ${\big ]}$ , nous choisissons préférentiellement d'appeler « excitation » le 2^nd membre de l'équation différentielle normalisée $\;{\big [}$ c'est-à-dire quand le cœfficient du terme de la dérivée du plus grand ordre est choisi égal à $\;1{\big ]}$ .
↑ ^42,0 et ^42,1 On rappelle que le pic de Dirac d'impulsion unité s'exprime en $\;s^{-1}$ .
↑ ^43,0 et ^43,1 Choisi comme instant $\;0$ .
↑ Voir paragraphe « variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir paragraphe « modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans ce chapitre.
↑ C.-à-d. fonction continûment dérivable jusqu'à l'ordre un.
↑ Voir paragraphe « modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir paragraphe « discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » plus haut dans ce chapitre.
↑ C.-à-d., pour la notion de pic de Dirac, sans passage à la limite de la dérivée temporelle 1^ère d'une fonction à variation rapide mais en tant que distribution et,
C.-à-d., pour la discontinuité de 2^ème espèce en tant que discontinuité avec un saut non défini ou infini.
↑ ^51,0 et ^51,1 C.-à-d. fonction continûment dérivable jusqu'à l'ordre deux.
↑ On suppose la fonction $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ de classe $\;C^{\,2}\;$ pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais pour la dérivée 1^ère il suffit qu'elle soit de classe $\;C^{\,1}$ .
↑ D'où la nécessité que la fonction $\;e_{\text{réel}}(t)\;$ soit de classe $\;C^{\,2}$ .
↑ Nous avons supposé les intervalles de $\;\nearrow \;$ et $\;\searrow \;$ de même durée pour simplifier l'exposé mais ceci n'est pas indispensable.
↑ ^55,0 ^55,1 ^55,2 ^55,3 et ^55,4 Au sens des distributions.
↑ S'exprimant en $\;s^{-2}$ , l'unité du pic de Dirac étant la $\;s^{-1}$ .
↑ ^57,0 ^57,1 et ^57,2 Appellation personnelle, ne correspondant à aucune nomenclature mathématique, les mathématiciens l'appellent simplement « dérivée du pic de Dirac ».
↑ ^58,0 ^58,1 ^58,2 et ^58,3 Appellation personnelle dont le seul but est de réaliser une échelle des discontinuités, ce type de discontinuité en $\;t=0\;$ correspondant à une valeur finie pour $\;t=0\;$ et des valeurs infinies opposées quand la variable s'approche de $\;0\;$ par la gauche ou par la droite n'étant pas définie en mathématiques $\;\ldots$
↑ En effet $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {\delta }}(t)\;dt=\left[\delta (t)\right]_{-\infty }^{+\infty }=0\;$ correspondant à l'aire positive sous le 1^er pic compensée par l'aire négative sous le 2^ème pic inversé ;
plus généralement $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\dot {\delta }}(t)\;\phi (t)\;dt=-{\dot {\phi }}(0)\;$ voir l'article « dérivée du pic de Dirac » de wikipédia pour plus de détails.