Mécanique du point en référentiel non galiléen/Changement de référentiel en cinématique newtonienne du point

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Exposé du problème et terminologie

Exposé du problème

     Connaissant le mouvement d’un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un autre référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d’une part et
     Connaissant le mouvement d’un point $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ d'autre part,
     on cherche à déterminer le mouvement de ce même point $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$.

Terminologie

     De façon arbitraire on appelle :

• « référentiel absolu », noté $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le référentiel par rapport auquel on cherche le mouvement définitif de $\;M$,
• « référentiel d’entraînement », noté $\;{\mathcal {R}}$, le référentiel par rapport auquel le mouvement de $\;M\;$ est connu.

Point coïncident de M à l'instant t dans le référentiel d'entraînement

     On appelle « point coïncident de $\;M\;$ à l’instant $\;t\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$», le point lié à $\;{\mathcal {R}}\;$ qui occupe la même position que $\;M\;$ à l’instant $\;t\;$ et on le note «$\;M_{c,\,t}\;$».

     Signification de $\;M_{c,\,t}$ : À chaque instant $\;t$, $\;M\;$ passe par une position différente du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ et si nous supposons qu’à l’instant $\;t$, $\;M\;$ laisse une empreinte dans $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$empreinte évidemment fixe par rapport à ce référentiel${\big )}$, celle-ci matérialisera $\;M_{c,\,t}\;$ « point coïncident de $\;M\;$ à l’instant $\;t\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$».

     Signification de M c, t : $\;M_{c,\,t}$ est donc un point fixe du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, mais ce dernier se déplaçant par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, $\;M_{c,\,t}$ est mobile dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$.

     Autres définitions : On appelle « mouvement absolu de $\;M\;$», le mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$ $\;{\big (}$mouvement que l’on cherche${\big )}$,

     Autres définitions : On appelle « mouvement relatif de $\;M\;$», le mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$mouvement que l’on connaît${\big )}\;$ et

     Autres définitions : On appelle « mouvement d'entraînement de $\;M\;$», le mouvement absolu de $\;M_{c,\,t}\;$ c'est-à-dire le mouvement du point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$.

Grandeurs vectorielles absolues et relatives

     $\;O_{a}\;$ étant un point fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$ $\;{\big (}$par exemple l’origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big )}\;$ et

     $\;O\;\;$ étant un point fixe du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$par exemple l’origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}{\big )}$,

     on définit les grandeurs vectorielles absolues et relatives suivantes.

Grandeurs position, vitesse et accélération absolues

• Vecteur position absolue de $\;M$ : «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}\;$» fonction de $\;t\;$ soit «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}={\vec {r}}_{a}(t)\;$»,
• Vecteur vitesse absolue de $\;M$ : «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}\;$» fonction de $\;t\;$ défini par «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {r}}_{a}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» $\;{\big \{}$encore noté «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\;$»${\big \}}\;$ et
• Vecteur accélération absolue de $\;M$ : «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}\;$» fonction de $\;t\;$ défini par «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}_{a}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» $\;{\big \{}$encore noté «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\;$»${\big \}}$.

Grandeurs position, vitesse et accélération relatives

• Vecteur position relative de $\;M$ : «$\;{\overrightarrow {OM}}\;$» fonction de $\;t\;$ soit «$\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(t)\;$»,
• Vecteur vitesse relative de $\;M$ : «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}\;$» fonction de $\;t\;$ défini par «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {r}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$» $\;{\big \{}$encore noté «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}\;$»${\big \}}\;$ et
• Vecteur accélération relative de $\;M$ : «$\;{\vec {a}}_{r,\,M}\;$» fonction de $\;t\;$ défini par «$\;{\vec {a}}_{r,\,M}=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$» $\;{\big \{}$encore noté «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}\;$»${\big \}}$.

Grandeurs position, vitesse et accélération d'entraînement

     Préliminaire : Sachant que le mouvement d'entraînement de $\;M\;$ à un instant $\;t\;$ est le mouvement absolu de son point coïncident au même instant $\;t\;$ c'est-à-dire le mouvement absolu de $\;M_{c,\,t}\;$ et que la notion de mouvement nécessite de faire varier $\;t\;$ selon la définition de dérivée temporelle, nous indexons l'instant de coïncidence par «$\;_{0}\;$» de façon à le distinguer de l'instant repérant celui permettant de dériver temporellement ainsi nous écrirons que
     Préliminaire : Sachant que « le mouvement d'entraînement de $\;M\;$ à un instant $\;t_{0}\;$ est le mouvement absolu de son point coïncident au même instant $\;t_{0}\;$ c'est-à-dire le mouvement absolu de $\;M_{c,\,t_{0}}\;$»,
     Préliminaire : Sachant que la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle $\;{\vec {\zeta }}(t)\;$ étant définie à l'instant $\;t_{0}\;$ selon «$\;{\dfrac {d{\vec {\zeta }}}{dt}}(t_{0})=\lim _{t\,\rightarrow \,t_{0}}\left[{\dfrac {{\vec {\zeta }}(t)-{\vec {\zeta }}(t_{0})}{t-t_{0}}}\right]\;$».

• Vecteur position « d'entraînement » de $\;M\;$ $\;{\big (}$ou vecteur position absolue de $\;M_{c,\,t_{0}}\;$${\big )}$ : «$\;{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t_{0}}}}\;$» fonction de $\;t\;$ soit «$\;{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t_{0}}}}={\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t_{0}}}}(t)\;$» $\;{\big [}M_{c,\,t_{0}}\;$ étant un point fixe du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position relative du point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\overrightarrow {OM_{c,\,t_{0}}}}\;$» est un vecteur constant donc sans intérêt pour décrire un mouvement${\big ]}$,
• Vecteur vitesse d'entraînement de $\;M$ : «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}\;$», fonction de $\;t$, dont la valeur à l'instant $\;t_{0}\;$ est le vecteur vitesse absolue du point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t_{0}):={\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t_{0})=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t_{0}}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t_{0})\;$» $\;{\big \{}$la valeur pouvant encore être notée «$\;{\vec {V}}_{M_{c,\,t_{0}}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t_{0})\;$»${\big \}}\;$ et
• Vecteur accélération d'entraînement de $\;M$ : «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}\;$» fonction de $\;t\;$, dont la valeur à l'instant $\;t_{0}\;$ est le vecteur accélération absolue du point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ tel que $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t_{0}):={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t_{0})=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t_{0})=\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t_{0}}}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t_{0})\;$» $\;{\big \{}$la valeur pouvant encore être notée «$\;{\vec {a}}_{M_{c,\,t_{0}}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t_{0})\;$»${\big \}}$.

Erreur à ne pas commettre

     Le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ n'est a priori pas la dérivée temporelle du vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t_{0}$ en effet les définitions du 1^er et du 2^nd sont :

• «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t_{0}):={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t_{0})=\lim _{t\,\rightarrow \,t_{0}}\left\lbrace \left[{\dfrac {{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t)-{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t_{0})}{t-t_{0}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\right\rbrace \;$» alors que
• «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t_{0})=\lim _{t\,\rightarrow \,t_{0}}\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{e,\,M}(t)-{\vec {V}}_{e,\,M}(t_{0})}{t-t_{0}}}\right\rbrace :=\lim _{t\,\rightarrow \,t_{0}}\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)-{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t_{0})}{t-t_{0}}}\right\rbrace \;$»,

     « les deux n'étant égaux que si $\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ s'identifie à $\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t)\;$» c'est-à-dire si le point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$lequel est un point fixe de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ a le même mouvement absolu que le point coïncident de $\;M\;$ à un autre instant $\;t\neq t_{0}\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$lequel est aussi un point fixe de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ ou encore
                                                                                                                                     si deux points distincts fixes de $\;{\mathcal {R}}\;$ ont le même mouvement absolu c'est-à-dire si le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation relativement au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$.

     Remarques : Comme $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ est a priori ≠ de $\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$ sauf dans le cas d'un entraînement de translation, éviter de l'écrire a priori même dans ce dernier cas $\;\ldots$

     Remarques : Pour définir le mouvement d’entraînement de $\;M$, à une date $\;t_{0}$, il convient de figer $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ en la position qu’il y occupe à la date $\;t_{0}$ $\;{\big (}$c'est-à-dire de considérer l'empreinte de $\;M\;$ à cet instant dans $\;{\mathcal {R}}$, ce qui est le point coïncident $\;M_{c,\,t_{0}}{\big )}$, et de suivre, à partir de $\;t_{0}$, dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, ce point fixe de $\;{\mathcal {R}}$, on obtient alors les vecteurs vitesse et accélération absolues de ce point fixe de $\;{\mathcal {R}}$.

Cas du référentiel d'entraînement en translation par rapport au référentiel absolu

Introduction

Référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation quelconque par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec représentation de la trajectoire absolue de l'origine $\;O\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, $\;O_{a}\;$ étant l'origine du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$

     Le mouvement de translation du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ est caractérisé par celui d’un de ses points $\;{\big (}$par exemple celui de l’origine $\;O\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, voir ci-contre${\big )}\;$ et

     les vecteurs vitesse et accélération $\;{\big (}$absolues${\big )}\;$ de translation du référentiel d'entraînement sont notés au choix :

«$\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O,\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;$»
et «$\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {a}}_{O,\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)\;$» ;

     ces derniers représentent également les vecteurs vitesse et accélération d’entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, car le point coïncident de $\;M\;$ à la date $\;t\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, à savoir $\;M_{c,\,t}$, étant un point lié à $\;{\mathcal {R}}$, son mouvement absolu est celui de translation de $\;{\mathcal {R}}\;$ d'où le mouvement d'entraînement de $\;M\;$ est le mouvement absolu de $\;O$ :

«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t):={\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;$» et
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t):={\vec {a}}_{a,\,O}(t)\;$».

     Remarques : A priori la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle $\;{\vec {A}}(t)\;$ dépend du référentiel dans lequel est effectuée la dérivation mais cette propriété devient fausse si on effectue la dérivation dans deux référentiels en translation l'un par rapport à l'autre
     Remarques : en effet toute direction d'un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation par rapport à un autre référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ se déplace, dans ce dernier, parallèlement à elle-même et, en particulier, le trièdre des trois vecteurs de base lié à $\;{\mathcal {R}}$ ; ces derniers sont donc constants dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, et on les confondra le plus souvent avec les trois vecteurs de base liés à $\;{\mathcal {R}}_{a}$ $\;{\big (}$sur le schéma ci-dessus, cela n’a toutefois pas été fait${\big )}$ ; quand on réalise l’identification entre la base de $\;{\mathcal {R}}\;$ et celle de $\;{\mathcal {R}}_{a}$, une même grandeur vectorielle $\;{\vec {A}}(t)\;$ a donc les mêmes composantes dans les deux systèmes de bases et par suite a donc même dérivée temporelle dans les deux référentiels (C.Q.F.D.).

     Remarques : Dans le cas où le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, il est donc inutile de spécifier le référentiel de dérivation.

Lien entre vecteurs position absolue et relative

     Le lien entre le vecteur position absolue de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)\;$» et son vecteur position relative au même instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» est

«$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O}}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t),\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$».

Lien entre vecteurs vitesse absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des vitesses)

     Pour obtenir le lien entre le vecteur vitesse absolue de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$» et son vecteur vitesse relative au même instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$», il suffit de dériver temporellement la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ soit «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» ou, étant donné que $\;{\mathcal {R}}\;$ est en mouvement de translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et que la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle est indépendante du référentiel dans lequel la dérivation s'effectue pourvu que les référentiels soient en translation l'un relativement à l'autre $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et par suite

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t),\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$».

Loi de composition newtonienne des vitesses pour le référentiel d'entraînement en translation par rapport au référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement de translation relativement au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des vitesses d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{e,\,M}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t):={\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;$» est le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» étant respectivement les vecteurs vitesses absolue et relative de $\;M\;$ au même instant $\;t$.

Lien entre vecteurs accélération absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des accélérations)

     Pour obtenir le lien entre le vecteur accélération absolue de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$» et son vecteur accélération relative au même instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$», il suffit de dériver temporellement la relation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ soit «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,O}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» ou, étant donné que $\;{\mathcal {R}}\;$ est en mouvement de translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et que la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle est indépendante du référentiel dans lequel la dérivation s'effectue pourvu que les référentiels soient en translation l'un relativement à l'autre $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» et par suite

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$».

Loi de composition newtonienne des accélérations pour le référentiel d'entraînement en translation par rapport au référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement de translation relativement au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des accélérations d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t):={\vec {a}}_{a,\,O}(t)\;$» est le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» étant respectivement les vecteurs accélérations absolue et relative de $\;M\;$ au même instant $\;t$.

Particularité

     Comme les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivent respectivement $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{e,\,M}(t):={\vec {V}}_{a,\,O}(t)\\{\vec {a}}_{e,\,M}(t):={\vec {a}}_{a,\,O}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dans le cas où le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ est en mouvement de translation relativement au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous en déduisons que les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ sont indépendants du point $\;M\;$ considéré, le mouvement d'entraînement est donc, à un instant fixé, le même quel que soit le point considéré.

Cas du référentiel d'entraînement en rotation par rapport au référentiel absolu autour d'un axe fixe de ce dernier

Introduction

Référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ en rotation quelconque par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec représentation de la trajectoire absolue de l'origine $\;O\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, $\;O_{a}\;$ étant l'origine du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;\Delta \;$ l'axe fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ autour duquel $\;{\mathcal {R}}\;$ tourne

     Le mouvement de rotation du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, rotation autour de l'axe $\;\Delta$, fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, est caractérisé par le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)$ $\;{\big [}$noté, en absence d'ambiguïté, $\;{\vec {\Omega }}(t){\big ]}$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ ;

     le mouvement de rotation du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ définit le mouvement absolu de $\;M_{c,\,t}$, point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ et par suite le mouvement d'entraînement de $\;M$, celui-ci étant donc un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de rayon $\;H_{M}M_{c,\,t}\;$ dans lequel $\;H_{M}\;$ est le projeté orthogonal de $\;M_{c,\,t}\;$ sur $\;\Delta$ $\;{\big [}$c'est-à-dire encore le centre du cercle décrit par $\;M_{c,\,t}{\big ]}\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$ ;

     appelant $\;A\;$ un point fixe de l'axe $\;\Delta$, le vecteur vitesse absolue de $\;M_{c,\,t}$, point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, s'écrit, à l'instant $\;t'$, selon «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t')={\vec {\Omega }}(t')\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t')\;$» $\Rightarrow$ le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'obtient par

«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t):={\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)\;$»
ou encore «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» ;

           appelant A un point fixe de l'axe Δ, le vecteur accélération absolue de $\;M_{c,\,t}$, point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, s'écrit, à l'instant $\;t'$, selon «$\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t')=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t')-\Omega ^{2}(t')\;{\overrightarrow {H_{M}M_{c,\,t}}}(t')\;$» $\Rightarrow$ le vecteur accélération d'entraînement du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'obtient par

«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t):={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-\Omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M_{c,\,t}}}(t)\;$»
ou encore «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-\Omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$».

     Remarques : Le plus souvent on choisit l'origine $\;O\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$ et on identifie $\;A\;$ à $\;O$, ce qui permet de réécrire les vecteurs vitesse et accélération d’entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big [}$avec $\;H_{M}\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big ]}$, selon «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» et «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)-\Omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» ;

     Remarques : De plus on peut choisir $\;{\big [}$choix $\;\left({\mathfrak {a}}\right){\big ]}\;$ la direction du vecteur de base cartésienne $\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$ du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ sur l’axe de rotation $\;\Delta$,
                             Remarques : De plus on peut choisir le vecteur de base cartésienne $\;{\vec {u}}_{z}\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, confondu avec $\;{\vec {u}}_{z_{a}}$,
                             Remarques : De plus on peut choisir l’origine $\;O_{a}\;$ du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ sur l’axe de rotation $\;\Delta$ et
                             Remarques : De plus on peut choisir l’origine $\;O\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, confondue avec $\;O_{a}$.

Lien entre vecteurs position absolue et relative

     Le lien entre le vecteur position absolue de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)\;$» et son vecteur position relative au même instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» est

«$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O}}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t),\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$».

     Remarque : Avec le choix particulier $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$, le lien entre le vecteur position absolue de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ et son vecteur position relative au même instant $\;t\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\;$».

Lien entre vecteurs vitesse absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des vitesses)

Énoncé de la loi de composition newtonienne des vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Loi de composition newtonienne des vitesses pour le référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement de rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des vitesses d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» sont respectivement les vecteurs vitesses absolue et relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» $\;{\big [}$avec $\;A\;$ point fixe de $\;\Delta {\big ]}\;$ étant le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t$.

Démonstration

     On cherche donc à déterminer le vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$» en fonction du vecteur vitesse relative de $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et pour cela on part de la relation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ que l’on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$ ; on obtient

     «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;\;\left({\mathcal {2}}'\right)\;$», relation dans laquelle il reste à expliciter le 2^ème terme du 2^ème membre et pour cela nous utilisons les composantes $\;\left\lbrace x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\right\rbrace \;$ du vecteur position relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» dans la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ d'où

     «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\begin{array}{c c c}(A)\!\!&&\!\!\\\overbrace {{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}} \!\!&+&\!\!\underbrace {x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \\\!\!&&\!\!(B)\end{array}}\;$» dans laquelle on reconnaît

• en $\;(A)\;$ correspondant à «$\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», le vecteur vitesse relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» car ce regroupement de termes s'obtient par dérivation temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ en considérant $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ comme des vecteurs constants, ce qui est réalisé lorsque la dérivation temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ est faite dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et
• en $\;(B)\;$ correspondant à «$\;x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$», la dérivée temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ en considérant $\;\left\lbrace x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\right\rbrace \;$ figées à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire ne variant pas lors de la dérivation par rapport au temps dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, ce qui est réalisé pour la dérivation temporelle dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ du vecteur position relative «$\;{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}(t')\;$» du point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ soit «$\;x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')\;$» ;

     reportant les deux interprétations de $\;(A)\;$ et $\;(B)\;$ dans la relation $\;\left({\mathfrak {2}}'\right)$, on obtient «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t):={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» ou, en regroupant le 1^er et 3^ème termes du 2^nd membre $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)$ $=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d\left({\overrightarrow {O_{a}O}}+{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}\right)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$» d'où finalement

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t):={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$».

     Sachant que $\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ est la valeur prise à l'instant $\;t\;$ par le vecteur vitesse d'entraînement $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à la date $\;t$, $\;{\big [}$«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t):={\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$»${\big ]}$ on en déduit l'expression du vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en fonction des vecteurs vitesse relative et vitesse d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t$,

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» ou encore
«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$»,
$\;A\;$ étant un point fixe de l'axe $\;\Delta \;$ et
$\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée de $\;{\mathcal {R}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$.

     Remarque : Cette démonstration utilisant la base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement semble être « non intrinsèque » mais en fait
     Remarque : la décomposition de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ dans la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ n'a été introduite que pour mieux expliquer la façon de dériver une grandeur vectorielle par rapport au temps dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le résultat étant «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t):=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$», c'est-à-dire que
     Remarque : pour dériver, par rapport au temps, une grandeur vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, on fait la somme de la dérivée temporelle de cette grandeur $\;{\vec {A}}(M)\;$ dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$ ${\big [}$la mobilité de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ étant seule prise en compte${\big ]}\;$ et de la dérivée temporelle de la valeur de $\;{\vec {A}}(M_{c,\,t})\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}M\;$ étant maintenant figé dans $\;{\mathcal {R}}$, la mobilité de son point coïncident à l'instant $\;t\;$ «$\;M_{c,\,t}\;$» dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ étant seule prise en compte${\big ]}\;$ soit «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}(M)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t):=\left[{\dfrac {d{\vec {A}}(M)}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {A}}(M_{c,\,t})}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» ;

     Remarque : ainsi, comme il aurait été possible d'exposer la démonstration sans aucune référence à une quelconque base, la démonstration peut être qualifiée d'« intrinsèque » $\;{\big (}$son aspect « non intrinsèque » n'étant en fait qu'apparent${\big )}$.

Démonstration « purement » non intrinsèque

     Le début de la démonstration « purement » non intrinsèque est identique à celle qui précède, qualifiée d'« intrinsèque » $\;{\big (}$l'aspect « non intrinsèque » de cette dernière n'étant qu'une apparence${\big )}\;$ mais il est néanmoins rappelé pour plus de clarté :

     on part de la relation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ que l’on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et on obtient

     «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;\;\left({\mathcal {2}}'\right)\;$», relation dans laquelle il reste à expliciter le 2^ème terme du 2^ème membre et pour cela on utilise les composantes $\;\left\lbrace x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\right\rbrace \;$ du vecteur position relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» dans la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ d'où

     «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\begin{array}{c c c}(A)\!\!&&\!\!\\\overbrace {{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}} \!\!&+&\!\!\underbrace {x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \\\!\!&&\!\!(B)\end{array}}\;$» dans laquelle

• on reconnaît en $\;(A)\;$ correspondant à «$\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», le vecteur vitesse relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» car ce regroupement de termes s'obtient par dérivation temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ en considérant $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ comme des vecteurs constants, ce qui est réalisé lorsque la dérivation temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ est faite dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et

Référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ en rotation quelconque par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec représentation de la trajectoire absolue de l'origine $\;O\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, $\;O_{a}\;$ étant l'origine du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;\Delta \;$ l'axe fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ autour duquel $\;{\mathcal {R}}\;$ tourne, les 3^èmes vecteurs de bases cartésiennes des repères associés aux référentiels d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ et absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ étant choisis $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ de même sens orientant ce dernier

• pour évaluer $\;(B)\;$ correspondant à «$\;x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$», on explicite les dérivées temporelles évaluées dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\left\lbrace \left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace \;$» en particularisant les bases cartésiennes des repères associés aux référentiels d'entraînement $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ et absolu $\;\left({\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{z_{a}}\right)\;$ pour faciliter l'exposé $\;{\Big [}{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}$ $={\vec {u}}_{\Delta }\;$ ce dernier orientant l'axe $\;\Delta$, l'angle orienté $\;{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{x}(t)\right\rbrace }}\;$ noté $\;\theta (t)\;$ étant tel que $\;{\dot {\theta }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overline {\Omega }}(t){\Big ]}$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
  $\;\succ \;$dans le repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}(t)\;$ est dans le plan fixe $\;\left(A\,,\,{\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\right)\;$ avec $\;A\;$ projeté orthogonal de $\;O\;$ sur l'axe $\;\Delta$, c'est une fonction de $\;\theta \;$ lequel est fonction de $\;t\;$ d'où, par dérivation de fonction composée, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{d\theta }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel « le 1^er facteur du 2^ème membre correspondant à la dérivée d'un vecteur unitaire du plan fixe $\;\left(A\,,\,{\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\right)\;$ de $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ par rapport à l’angle qu’il fait avec une direction fixe de ce plan c'est-à-dire $\;{\vec {u}}_{x_{a}}\;$ est égal au vecteur unitaire de ce plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur unitaire dérivé » soit «$\;{\vec {u}}_{y}(t)\;$» d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {u}}_{y}(t)\;{\dot {\theta }}(t)$ $={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\;$» ou encore, la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ étant orthonormée directe, «$\;{\vec {u}}_{y}(t)\;$ est égal à $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\overline {\Omega }}(t)\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\right]\;$» soit, avec $\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\;$» ; $\;\succ \;$dans le repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}(t)\;$ est dans le plan fixe $\;\left(A\,,\,{\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\right)$, c'est une fonction de $\;\theta \;$ lequel est fonction de $\;t\;$ d'où, par dérivation de fonction composée, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{d\theta }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel « le 1^er facteur du 2^ème membre correspondant à la dérivée d'un vecteur unitaire du plan fixe $\;\left(A\,,\,{\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\right)\;$ de $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ par rapport à l’angle qu’il fait avec une direction fixe de ce plan c'est-à-dire $\;{\vec {u}}_{y_{a}}\;$ est égal au vecteur unitaire de ce plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur unitaire dérivé » soit «$\;-{\vec {u}}_{x}(t)\;$» d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=-{\vec {u}}_{x}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=$ $-{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\;$» ou encore, la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ étant orthonormée directe, «$\;-{\vec {u}}_{x}(t)\;$ est égal à $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\right]\;$» soit, avec $\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\;$» ; $\;\succ \;$enfin, avec le choix particulier des vecteurs de base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ ne dépend pas de $\;t\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {0}}\;$» d'une part, d'autre part $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ étant colinéaires «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {0}}\;$», on peut donc écrire, dans le cadre de ce choix, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {0}}={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$» soit, en généralisant à toute base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)\;$» ; reportant, dans $\;(B)$, les évaluations précédemment déterminées de $\;\left\lbrace \left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace \;$ on obtient «$\;x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=$ $x(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\right]+y(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\right]+z(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\right]={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)+y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$» en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit finalement «$\;x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ;

     enfin, reportant les expressions de $\;(A)\;$ et de $\;(B)\;$ dans la relation $\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ on obtient «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ou, le point $\;O\;$ ayant un mouvement circulaire absolu d'axe $\;\Delta \;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$, on a «$\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO}}(t)\;$» soit, en regroupant les 1^er et 3^ème termes du 2^ème membre de l'expression de «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$», «$\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)=$ ${\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AO}}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\right]\;$» en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$, soit finalement

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» ou,
en reconnaissant dans le 2^ème terme du 2^ème membre le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$».

     Remarque : La démonstration « non intrinsèque » aurait pu être plus simplifiée encore en adoptant le choix $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ c'est-à-dire, en plus de ce qu'on a fait comme choix concernant l'identification des trois vecteurs unitaires $\;{\vec {u}}_{z}$, $\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, choisir $\;O\;$ et $\;O_{a}\;$ confondus sur $\;\Delta \;$ $\Rightarrow$ $\;A$, le projeté orthogonal de $\;O\;$ sur $\;\Delta$, étant alors confondu avec $\;O$ ;

     Remarque : le lien entre les vecteurs positions absolue et relative de $\;M\;$ étant alors «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)+y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» la relation $\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ obtenue par dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ donne «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\begin{array}{c c c}(A)\!\!&&\!\!\\\overbrace {{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}} \!\!&+&\!\!\underbrace {x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \\\!\!&&\!\!(B)\end{array}}\;$» ;

     Remarque : l'évaluation de «$\;\left\lbrace \left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace \;$» étant identique à celle déjà effectuée sans identifier $\;O\;$ et $\;O_{a}$, à savoir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\;$», «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=$ ${\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\;$» et «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\bigg \{}$permettant aussi d'écrire $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}{\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left(B\right)\;\;{\overset {\ldots }{=}}\;\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» et

     Remarque : l'interprétation de $\;\left(A\right)\;$ étant la même, à savoir «$\;\left(A\right)\;\;{\overset {\ldots }{=}}\;\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» on en déduit

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$», ce dernier terme s'identifiant à «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$».

En complément, formule de dérivation vectorielle

     La formule de dérivation vectorielle permet d'exprimer la dérivée temporelle d'un champ vectoriel défini en un point $\;M\;$ mobile «$\;{\vec {A}}(M)\;$» dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ connaissant
     La formule de dérivation vectorielle permet d'exprimer la dérivée temporelle du champ vectoriel «$\;{\vec {A}}(M)\;$» dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ en mouvement relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ et
     La formule de dérivation vectorielle permet d'exprimer le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$ du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ à l'instant $\;t$ ;

     si cette formule est d'un usage fréquent en Sciences de l'ingénieur, elle l'est nettement moins en Physique et doit être considérée comme un complément dans ce domaine $\;\ldots$

Énoncé

Formule de dérivation vectorielle

      Considérant un champ vectoriel «$\;{\vec {A}}(M)\;$» défini en $\;M\;$ point mobile d'un espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}\;$ à trois dimensions et connaissant la dérivée temporelle de ce champ vectoriel dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)\;$», le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ étant en mouvement relativement à un autre référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$, la dérivée temporelle du champ vectoriel «$\;{\vec {A}}(M)\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)\;$» se détermine par la formule de dérivation vectorielle ci-dessous «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\vec {A}}(M_{t})\;$»,
«$\;M_{t}\;$» étant la position occupée par le point $\;M\;$ à l'instant $\;t$.

Démonstration

     Préliminaire : Nous ferons la démonstration dans le cas où le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ est en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$ et
     Préliminaire : nous admettrons que la formule de dérivation vectorielle reste applicable quand le mouvement de $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ est quelconque c'est-à-dire composé d'une translation et d'une rotation autour d'un axe passant par un point quelconque de $\;{\mathcal {R}}_{1}$.

     Remarque : Pour démontrer la formule de dérivation vectorielle dans ce cas particulier nous utilisons la formule de composition newtonienne des vitesses, formellement nous procédons à « formule de composition newtonienne des vitesses » $\Rightarrow$ « formule de dérivation vectorielle », ceci étant possible parce que la formule de composition newtonienne des vitesses a été démontrée indépendamment de la formule de dérivation vectorielle ;
     Remarque : nous ne pourrions utiliser la formule de dérivation vectorielle pour démontrer la formule de composition newtonienne des vitesses que si nous démontrions la 1^re sans utiliser la 2^nde c'est-à-dire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{formule de dérivation vectorielle démontrée sans référence}}\\{\text{à la formule de composition newtonienne des vitesses}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ « formule de composition newtonienne des vitesses » mais, comme ce n'est pas ce qui est fait dans le cadre de ce cours d'où, en restant dans ce cadre, ${\cancel {{\text{« formule de dérivation vectorielle »}}\Rightarrow {\text{« formule de composition newtonienne des vitesses »}}}}$.

     Exposé de la démonstration : Soit le point mobile $\;P\;$ défini selon «$\;{\overrightarrow {O_{1}P}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {A}}(M_{t})\;$» avec «$\;O_{1}\;$ un point fixe de $\;{\mathcal {R}}_{1}$ $\;{\big (}$baptisé référentiel d'entraînement${\big )}\;$ et $\;M_{t}\;$ la position occupée par le point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$», effectuant la dérivée temporelle du vecteur position relative de $\;P\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{2}$ $\;{\big (}$baptisé référentiel absolu${\big )}\;$ nous obtenons

     Exposé de la démonstration : «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)\;{\widehat {=}}\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{1}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d\left({\overrightarrow {O_{2}P}}-{\overrightarrow {O_{2}O_{1}}}\right)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{2}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{2}O_{1}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{1}}(t)\;$» $\;{\big (}O_{2}\;$ point fixe de $\;{\mathcal {R}}_{2}{\big )}\;$ puis,

     Exposé de la démonstration : utilisant la formule de composition newtonienne des vitesses appliquée aux points $\;P\;$ et $\;O_{1}$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}{\vec {V}}_{a,\,P}(t)\!\!&=&\!\!{\vec {V}}_{r,\,P}(t)\!\!&+&\!\!{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\overrightarrow {BP}}(t)\\{\vec {V}}_{a,\,O_{1}}(t)\!\!&=&\!\!{\cancel {{\vec {V}}_{r,\,O_{1}}(t)}}\!\!&+&\!\!{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\overrightarrow {BO_{1}}}(t)\end{array}}\right\rbrace$, $\;B\;$ étant un point fixe de l'axe $\;\Delta$, nous en déduisons

     Exposé de la démonstration : «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)\;{\widehat {=}}\;\left[{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\overrightarrow {BP}}(t)\right]-\left[{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\overrightarrow {BO_{1}}}(t)\right]={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {BP}}(t)-{\overrightarrow {BO_{1}}}(t)\right]\;$» en effectuant une factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$ dans les deux produits vectoriels, ou «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)\;{\widehat {=}}\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{1}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{1}P}}(t)\;$» soit,

     Exposé de la démonstration : en réinjectant «$\;{\overrightarrow {O_{1}P}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {A}}(M_{t})\;$», «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\vec {A}}(M_{t})\;$» C.Q.F.D..

Applications

     Préliminaire : On rappelle que la formule de dérivation vectorielle est applicable pour tout mouvement du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ même si nous ne l'avons démontré que dans le cas où ce mouvement est une rotation autour d'un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{2}\;\ldots$

     $\;\succ \;$ Si le mouvement du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ est une translation, le vecteur rotation instantanée est $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)={\vec {0}}\;$ et par suite «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)\;$», nous retrouvons que la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle est indépendante du référentiel dans lequel cette dérivation est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres.

     $\;\succ \;$ Appelant «$\;\left({\vec {u}}_{x_{1}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{1}}\,,\,{\vec {u}}_{z_{1}}\right)\;$» la base cartésienne du repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$, la dérivée temporelle de chacun de ces vecteurs de base dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ étant nulle $\;{\big (}$ces vecteurs étant constants dans $\;{\mathcal {R}}_{1}{\big )}\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x_{1}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)={\vec {0}}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y_{1}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)={\vec {0}}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z_{1}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;$» nous en déduisons la dérivée temporelle de chacun de ces vecteurs de base dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ dans le cas où le mouvement de $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ se fait avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x_{1}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\vec {u}}_{x_{1}}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y_{1}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\vec {u}}_{y_{1}}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z_{1}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\vec {u}}_{z_{1}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

     $\;\succ \;$ Dans le cas où le mouvement du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ se fait avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$, la dérivée temporelle de ce dernier est indépendante du référentiel dans lequel la dérivation est effectuée car «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{2}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)\;{\cancel {+\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)\wedge {\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{1}/{\mathcal {R}}_{2}}(t)}}\;$» C.Q.F.D..

Lien entre vecteurs accélération absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des accélérations)

Démonstration non intrinsèque

     Cette démonstration est qualifiée de « non intrinsèque » car elle utilise une base cartésienne «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$» du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ ainsi qu'une base cartésienne «$\;\left({\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{z_{a}}\right)\;$» du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ sans que la loi de composition newtonienne des accélérations obtenue en soit dépendante.

     On cherche à déterminer le vecteur accélération absolue du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$» en fonction du vecteur accélération relative de $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» et pour cela on part de la relation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ que l’on dérive une 1^re fois par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, ceci donnant la relation $\;\left({\mathfrak {2}}'\right)$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « démonstration (de la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;\;\left({\mathcal {2}}'\right)\;$» puis

     on utilise la décomposition de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ dans la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {2}}'\right)$ en explicitant la dérivation temporelle dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\begin{array}{c c c}(A)\!\!&&\!\!\\\overbrace {{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}} \!\!&+&\!\!\underbrace {x(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \\\!\!&&\!\!(B)\end{array}}\;\;\left({\mathcal {3}}\right)\;$» $\;{\big [}$voir le paragraphe « démonstration (de la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ enfin

     on dérive la relation $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et on obtient

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\begin{array}{c c c}(A_{2})\!\!&&\!\!\\\overbrace {{\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}} \!\!&+&\!\!\underbrace {{\dot {x}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {y}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {z}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \\\!\!&&\!\!(AB)\end{array}}+\cdots$
$\cdots \;{\begin{array}{c c c}(BA)\!\!&&\!\!\\\overbrace {{\dot {x}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {y}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {z}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \!\!&+&\!\!\underbrace {x(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{x}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{y}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{z}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \\\!\!&&\!\!(B_{2})\end{array}}\;\;\left({\mathcal {3}}'\right)\;$»,

     ou encore, en remarquant que les regroupements de termes $\;(AB)\;$ et $\;(BA)\;$ sont les mêmes, on peut réécrire la relation $\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;$ selon

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\begin{array}{c c c c c}(A_{2})\!\!&&\!\!(\alpha )=(AB)+(BA)\!\!&&\!\!\\\overbrace {{\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}} \!\!&+&\!\!\overbrace {2\left\lbrace {\dot {x}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {y}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {z}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace } \!\!&+&\!\!\underbrace {x(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{x}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{y}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{z}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)} \\\!\!&&\!\!&&\!\!(B_{2})\end{array}}\;$»

      dans laquelle on reconnaît :

• en $\;(A_{2})\;$ correspondant à «$\;{\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», le vecteur accélération relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» car ce regroupement de termes s'obtient par dérivation seconde temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ en considérant $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ comme des vecteurs constants, ce qui est réalisé lorsque la dérivation seconde temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ est faite dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}={\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$»,
• en $\;(B_{2})\;$ correspondant à «$\;x(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{x}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{y}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{z}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$», la dérivée seconde temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ en considérant $\;\left\lbrace x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\right\rbrace \;$ figées à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire ne variant pas lors de la dérivation seconde par rapport au temps dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, ce qui est réalisé pour la dérivation seconde temporelle dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ du vecteur position relative «$\;{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}(t')\;$» du point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ soit «$\;x(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{x}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')+y(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{y}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')+z(t)\,\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{z}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')=\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')\;$» et
• en $\;(\alpha )\;$ correspondant à «$\;2\left\lbrace {\dot {x}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {y}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {z}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace \;$» dans laquelle on remplace « chaque dérivée temporelle $\;\left\lbrace \left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace \;$» par « son évaluation en fonction du vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ et du vecteur de base dérivé » soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où, la réécriture du regroupement $\;(\alpha )\;$ après factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$, «$\;2\left\lbrace {\dot {x}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {y}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {z}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace =2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$» soit enfin, en reconnaissant dans l'expression entre crochets «$\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», le vecteur vitesse relative du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» «$\;2\left\lbrace {\dot {x}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {y}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+{\dot {z}}(t)\,\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace =2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;

     reportant les trois interprétations de $\;(A_{2})$, $\;(B_{2})\;$ et $\;(\alpha )\;$ dans la relation $\;\left({\mathfrak {3}}'\right)$, on obtient «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t):={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)+\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ou, en regroupant le 1^er et 3^ème termes du 2^nd membre $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d^{2}\left({\overrightarrow {O_{a}O}}+{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}\right)}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t}}}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$» d'où finalement

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t):={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$».

     Sachant que $\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ est la valeur prise à l'instant $\;t\;$ par le vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à la date $\;t$, $\;{\big [}$«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t):={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$»${\big ]}$ on en déduit l'expression du vecteur accélération absolue du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en fonction des vecteurs accélération relative, accélération d'entraînement et d'une 3^ème accélération «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» dite complémentaire $\;{\big (}$ou de Coriolis${\big )}\;$ de $\;M\;$ au même instant $\;t$,

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» ou encore
«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-\Omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\right]+\left[2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]\;$»,
$\;A\;$ étant un point fixe de l'axe $\;\Delta$, $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta \;$ et
$\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée de $\;{\mathcal {R}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$.

     Remarque : On peut retrouver l’expression intrinsèque du vecteur accélération d’entraînement de $\;M\;$ à l’instant $\;t\;$ en explicitant la somme «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})\;$» à l'aide de l'évaluation des dérivées premières temporelles dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ des vecteurs de base cartésienne «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$» du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ c'est-à-dire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{x}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\right]\\\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{y}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\right]\\\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{z}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» après réinjection de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore, après utilisation d'une des formules du double produit vectoriel, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{x}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{x}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\\\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{y}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{y}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\\\left[{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{z}}{dt^{2}}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{z}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où, en explicitant $\;(B_{2})$,

«$x(t)\,\left\lbrace {\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{x}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\right\rbrace +y(t)\,\left\lbrace {\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{y}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\right\rbrace +z(t)\,\left\lbrace {\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{z}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right\rbrace$»

     Remarque : puis, en développant chaque produit « facteur $\times$ expression entre accolades correspondante » suivi d'un regroupement des termes semblables selon trois expressions différentes

«$\;{\begin{array}{c c c}(a)\!\!&&\!\!(b)\\\overbrace {\left\lbrace {\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]\right\rbrace } \!\!&+&\!\!\overbrace {\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)\right\rbrace } \cdots \end{array}}$ ${\begin{array}{c}\cdots \;\underbrace {-\left\lbrace {\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)+{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)+{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right\rbrace } \\(c)\end{array}}\;$»

     Remarque : ou enfin, en faisant les factorisations vectorielles, scalaires ou classiques adéquates dans chaque expression $\;(a)$, $\;(b)\;$ et $\;(c)\;$ on en déduit :

• en factorisant vectoriellement $\;(a)\;$ à gauche par $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\;$, «${\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)+y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]$» soit «$\;(a)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$»,
• en factorisant $\;(b)\;$ d'abord classiquement par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ ce qui permet d'obtenir $\;(b)\;$ sous la forme «${\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)=$ $\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]\right\rbrace {\vec {\Omega }}(t)\;$»,
        en factorisant (b) ensuite scalairement par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]\right\rbrace {\vec {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)+y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]\,{\vec {\Omega }}(t)\;$» soit «$\;(b)=\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)\;$» et
• en factorisant classiquement $\;(c)\;$ par $\;{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;$, «$\;-\left\lbrace {\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)+{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)+{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right\rbrace =-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)+y(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}(t)\right]$» soit «$\;(c)=-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ;

     Remarque : à ce stade on peut écrire «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» soit encore, $\;O\;$ ayant un mouvement absolu circulaire autour de l'axe $\;\Delta \;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{O}O}}(t)\;$» avec $\;A\;$ un point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;H_{O}\;$ le projeté orthogonal de $\;O\;$ sur $\;\Delta$, «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})=$ ${\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{O}O}}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ou, après regroupement de termes,

«$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{O}M}}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)\;$»
avec $\;A\;$ un point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;H_{O}\;$ le projeté orthogonal de $\;O\;$ sur $\;\Delta$ ;

Cas d'un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec représentation de la trajectoire absolue de l'origine $\;O\;$ du repère associé à $\;{\mathcal {R}}$, $\;A\;$ et $\;H_{M}\;$ étant respectivement les projetés orthogonaux de $\;O\;$ et de $\;M\;$ sur $\;\Delta$

     Remarque : faisant enfin le choix représenté ci-contre «$\;A\;$ point fixe de $\;\Delta \;$ choisi en $\;H_{O}\;$ projeté orthogonal de $\;O\;$ sur $\;\Delta \;$» et rappelant que «$\;H_{M}\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta \;$», la somme «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})\;$» se réécrit, avec $\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ dans lequel $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ est le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta$, selon «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {AM}}(t)+\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{M}}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle les deux derniers termes se simplifient selon «$\;-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {AM}}(t)+\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{M}}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)={\cancel {-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {AH_{M}}}(t)}}\;-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;{\cancel {+\;\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{M}}}(t)\right]{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}}=-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» et

     Remarque : finalement la somme «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})\;$» se réécrivant «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+(B_{2})={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» et s'identifiant au vecteur accélération d'entraînement «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$» du point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, on retrouve effectivement l’expression intrinsèque du vecteur accélération d'entraînement «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$»

«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» avec
$\;A\;$ point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta$.

Démonstration intrinsèque

     Cette démonstration est qualifiée d'« intrinsèque » car elle n'utilise aucune base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ ni aucune base cartésienne du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, elle est donc plus « élégante » mais plus « délicate » $\;{\Bigg \{}$en particulier une erreur à éviter est d'écrire que $\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$ est égale à $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ alors que nous avons vu dans le paragraphe « grandeurs position, vitesse et accélération d'entraînement (erreur à ne pas commettre) » que $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ est $\;\neq \left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t){\Bigg \}}$.

     Pour obtenir le vecteur accélération absolue du point $\;M\;$ on dérive temporellement la loi de composition newtonienne des vitesses dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» et on obtient «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$» dans laquelle il reste à expliciter $\;\left\lbrace \left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\,,\,\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\right\rbrace$ :

• Pour évaluer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» on introduit le point mobile $\;P\;$ défini selon «$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» avec «$\;O\;$ l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$, d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;{\widehat {=}}$ $\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d\left({\overrightarrow {O_{a}P}}-{\overrightarrow {O_{a}O}}\right)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$» $\;{\big (}O_{a}\;$ étant l'origine du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big )}\;$ puis
  Pour évaluer                                   on applique la loi de composition newtonienne des vitesses aux points $\;P\;$ et $\;O\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{a,\,P}(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}(t)\\{\vec {V}}_{a,\,O}(t)={\cancel {{\vec {V}}_{r,\,O}(t)\;+}}\;{\vec {V}}_{e,\,O}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$ d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)$ $\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O}(t)\;$» et, en explicitant les vecteurs vitesses d'entraînement de $\;P\;$ et $\;O\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{e,\,P}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\\{\vec {V}}_{e,\,O}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}A\;$ étant un point fixe de l'axe $\;\Delta {\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O}(t)$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}(t)-{\overrightarrow {AO}}(t)\right]\;$» après factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)\;$» d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)\;$» soit
  Pour évaluer                                   en réinjectant «$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» d'où finalement «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;
• pour évaluer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» on injecte l'expression du vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» $\;{\big (}A\;$ étant un point fixe de l'axe $\;\Delta {\big )}\;$ ce qui donne «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)$ $={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;$» dans lequel «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$ se réécrit $\;\left[{\dfrac {d\left({\overrightarrow {O_{a}M}}-{\overrightarrow {O_{a}A}}\right)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;{\cancel {-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)}}=$ ${\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$» d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;$ selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$» puis
  Pour évaluer                                   on applique la loi de composition newtonienne des vitesses au point $\;M\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;$ d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$» ou encore, en utilisant l'une des formules du double produit vectoriel, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)$ $={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {AM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;$» dans lequel la somme des deux derniers termes se réécrit «$\;\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {AM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {AM}}(t)=$ $\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{M}}}(t)\right]{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\left[{\overline {AH_{M}}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\right]={\cancel {{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overline {AH_{M}}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overline {AH_{M}}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}}-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)=-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» $\;{\big (}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big )}\;$ d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» soit finalement, en reconnaissant dans la somme du 1^er et 3^ème termes le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$», «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;

     en reportant les expressions des deux dérivées temporelles précédemment déterminées dans la relation $\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$ on obtient

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$»,
le 2^ème terme du 2^ème membre définissant le vecteur accélération de Coriolis $\;{\big (}$ou complémentaire${\big )}\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$
soit «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$».

Énoncé de la loi de composition newtonienne des accélérations lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Loi de composition newtonienne des accélérations pour le référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement de rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des accélérations d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» sont respectivement les vecteurs accélérations absolue et relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» étant le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t$,
$\;{\big [}$avec $\;A\;$ point fixe quelconque de $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big ]}\;$ ainsi que
«$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» étant le vecteur accélération de Coriolis $\;{\big (}$ou complémentaire${\big )}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
$\;{\big [}$avec $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ le vecteur vitesse relative de $\;M\;$ au même instant $\;t{\big ]}$.

Remarques

     $\;\succ \;$Retenir que dans le cas d’une rotation du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, un 3^ème vecteur accélération dit « de Coriolis $\;{\big (}$ou complémentaire${\big )}\;$» du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» doit être ajouté aux deux autres vecteurs accélérations relative et d'entraînement du même point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ pour obtenir le vecteur accélération absolue de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, le vecteur accélération de Coriolis «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» étant défini relativement

• au vecteur rotation instantanée «$\;{\vec {\Omega }}(t)\;$» du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et
• au vecteur vitesse relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$»,

          ceci ayant pour conséquence l'« inexistence du vecteur accélération de Coriolis $\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$»

• si le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation « pure » par rapport au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ou
• si le point $\;M\;$ étudié est lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big [}$c'est-à-dire est sans vitesse relative $\;\forall \;t{\big ]}\;$ ;

          bien sûr, l’expression du « vecteur accélération de Coriolis $\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» doit être connue «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$».

     $\;\succ \;$Il n’y a pas de nouvel effort de mémoire à faire pour retenir l’expression du vecteur accélération d’entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» $\;{\big (}A\;$ étant un point fixe de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big )}$, il suffit, en effet, de connaître le mouvement d’entraînement de $\;M$, « mouvement circulaire d’axe $\;\Delta \;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ » et de se rappeler l’expression intrinsèque du vecteur accélération d’un point en mouvement circulaire.

Cas particulier d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel absolu

     Le cas particulier d'un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ en rotation « uniforme » autour d'un axe fixe $\;\Delta \;$ du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec « un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ constant égal à $\;{\vec {\Omega }}_{0}\;$» est très important car se présentant très fréquemment, il a comme particularité

• le vecteur vitesse d'entraînement d'un point $\;M\;$ quelconque à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}_{0}\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» de norme $\;\Vert {\vec {V}}_{e,\,M}(t)\Vert \;$ indépendante de $\;t\;$ mais dépendante de $\;M$ $\;{\big (}A\;$ étant un point fixe de $\;\Delta {\big )}$, avec «$\;\Vert {\vec {V}}_{e,\,M}(t)\Vert =\Vert {\vec {\Omega }}_{0}\Vert \;r\;$» $\;r\;$ étant la distance séparant $\;M\;$ de l'axe $\;\Delta$,
• le vecteur accélération d'entraînement d'un point $\;M\;$ quelconque à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» « axipète » de norme $\;\Vert {\vec {a}}_{e,\,M}(t)\Vert \;$ indépendante de $\;t\;$ mais dépendante de $\;M$ $\;{\big (}H_{M}\;$ étant le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta {\big )}$, avec «$\;\Vert {\vec {a}}_{e,\,M}(t)\Vert =\Vert {\vec {\Omega }}_{0}\Vert ^{2}\;r\;$» $\;r=H_{M}M\;$ étant la distance séparant $\;M\;$ de l'axe $\;\Delta$ et
• le vecteur accélération de Coriolis d'un point $\;M\;$ quelconque à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{0}\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ne dépendant pas explicitement de $\;t\;$ mais implicitement par l'intermédiaire du mouvement relatif de $\;M$.

     Remarque : Il faut avoir le réflexe de justifier l’expression de $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ par référence au mouvement d’entraînement particulier de $\;M$ $\;{\bigg [}$ce dernier étant circulaire uniforme, le vecteur accélération d’entraînement est centripète relativement à $\;H_{M}$, le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta$, de la forme «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$», vous ne devez pas donner l’expression plus générale de $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ dans le cas d’une rotation non uniforme autour d'un axe fixe pour y faire ensuite $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t{\bigg ]}$.

Loi de composition newtonienne des vitesses pour le référentiel d'entraînement en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{0}\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des vitesses d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» sont respectivement les vecteurs vitesses absolue et relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}_{0}\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» $\;{\big [}$avec $\;A\;$ point fixe de $\;\Delta {\big ]}\;$ étant le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t$.

Loi de composition newtonienne des accélérations pour le référentiel d'entraînement en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{0}\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des accélérations d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» sont respectivement les vecteurs accélérations absolue et relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» étant le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t$,
$\;{\big [}$avec $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta {\big ]}\;$ ainsi que
«$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{0}\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» étant le vecteur accélération de Coriolis $\;{\big (}$ou complémentaire${\big )}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
$\;{\big [}$avec $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ le vecteur vitesse relative de $\;M\;$ au même instant $\;t{\big ]}$.

Généralisation, référentiel d'entraînement en mouvement quelconque par rapport au référentiel absolu

Introduction

     Dans le cas général, le mouvement d’un solide $\;{\big (}$par exemple le référentiel d’entraînement $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ par rapport à un référentiel fixé $\;{\big (}$par exemple le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big )}\;$ est la composition

• d’une translation caractérisée par le mouvement d’un de ses points $\;{\big (}$par exemple $\;O$, l'origine du repère associé au référentiel d’entraînement $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ et
• d’une rotation instantanée autour d’un axe passant par ce point $\;\Delta _{O}\;$ caractérisée par le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\;$.

     Ainsi le mouvement d’entraînement d’un point $\;M$, mobile dans le référentiel d’entraînement $\;{\mathcal {R}}$, étant le mouvement absolu de son point coïncident à la date $\;t\;$ «$\;M_{c,\,t}\;$», on peut en déduire les expressions

• du vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ à la date $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\;{\Big [}$car «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}(t)\;$ d'une part et $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;:=\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ d'autre part »${\Big ]}\;$ ainsi que
• du vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ à la date $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$ », $\;H_{M}\;$ étant le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta _{O}$ $\;{\bigg [}$car «$\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t')$ $={\vec {a}}_{a,\,O}(t')+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}\!(t')\wedge {\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}(t')-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t')\;{\overrightarrow {H_{M}M_{c,\,t}}}(t')\;$ d'une part et $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;:=\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ d'autre part »${\bigg ]}$.

Généralisation de la loi de composition newtonienne des vitesses

     La loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas d'un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation ou en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ se généralise sans modification dans le cas où $\;{\mathcal {R}}\;$ est en mouvement quelconque relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}$, seul le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ prend une forme propre au mouvement.

Loi de composition newtonienne des vitesses pour le référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement quelconque dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ composé d'une translation de vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ et d'une rotation autour d'un axe $\;\Delta _{O}\;$ passant par $\;O\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des vitesses d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» sont respectivement les vecteurs vitesses absolue et relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» étant le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t$.

     Démonstration : La démonstration est semblable à celle exposée au paragraphe « démonstration (de la loi de composition newtonienne des vitesses quand le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe) » plus haut dans le chapitre $\;{\big (}$démonstration qualifiée d'« intrinsèque », son caractère « non intrinsèque » n'étant qu'apparent${\big )}$, les grandes lignes étant

• on dérive temporellement dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O}}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\;{\big (}O_{a}\;$ étant l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$»,
• on décompose $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ dans la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et on explicite la dérivée temporelle de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}+x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$»,
  $\;\succ \;$la somme des trois 1^ers termes du 2^ème membre définissant le vecteur vitesse relative du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et
  $\;\succ \;$la somme des trois derniers termes du 2^ème membre étant aussi égale à la dérivée temporelle dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ du vecteur position relative du point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}\;$» $\;{\big (}M_{c,\,t}\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ soit «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)$ $:=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$»,
• ensuite on en déduit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t):={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{c,,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M_{c,,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=$ ${\vec {V}}_{a,\,M_{c,,t}}(t)\;$» d'où «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t):={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{a,\,M_{c,,t}}(t)\;$»,
• enfin, sachant que «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,,t}}(t):={\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$», on en déduit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» ;

     Démonstration : on peut retrouver l'expression de $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ à partir de «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,,t}}(t')={\vec {V}}_{a,\,O}(t')+x_{c,\,t}(t')\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')+y_{c,\,t}(t')\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')+z_{c,\,t}(t')\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')\;$» dans lequel on utilise les explicitations $\;{\big (}$admises${\big )}\;$ des dérivées temporelles dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ des vecteurs de base cartésienne du repère associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')={\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t')\wedge {\vec {u}}_{x}(t')\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')={\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t')\wedge {\vec {u}}_{y}(t')\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t')={\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t')\wedge {\vec {u}}_{z}(t')\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où, après leur injection dans l'expression de $\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t')\;$ et factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t')\;$ dans les termes adéquats, «${\vec {V}}_{a,\,M_{c,,t}}(t')={\vec {V}}_{a,\,O}(t')+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t')\wedge \left[x_{c,\,t}(t')\;{\vec {u}}_{x}(t')+y_{c,\,t}(t')\;{\vec {u}}_{y}(t')+z_{c,\,t}(t')\;{\vec {u}}_{z}(t')\right]$» soit finalement «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,,t}}(t')={\vec {V}}_{a,\,O}(t')+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t')\wedge {\overrightarrow {OM_{c,\,t}}}(t')\;$» $\Rightarrow$ avec «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,,t}}(t):={\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$», «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$».

Généralisation de la loi de composition newtonienne des accélérations

     La loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas d'un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ se généralise sans modification dans le cas où $\;{\mathcal {R}}\;$ est en mouvement quelconque relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}$, seul le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ prend une forme propre au mouvement.

Loi de composition newtonienne des accélérations pour le référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu

     Quand le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ a un mouvement quelconque dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ composé d'une translation de vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ et d'une rotation autour d'un axe $\;\Delta _{O}\;$ passant par $\;O\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\;$ à l'instant $\;t$, la loi de composition newtonienne des accélérations d'un point $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» sont respectivement les vecteurs accélérations absolue et relative de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» étant
le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ au même instant $\;t$,
$\;{\big [}$avec $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta _{O}{\big ]}\;$ ainsi que
«$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$»
le vecteur accélération de Coriolis $\;{\big (}$ou complémentaire${\big )}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t$,
$\;{\big [}$avec $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ le vecteur vitesse relative de $\;M\;$ au même instant $\;t{\big ]}$.

     Démonstration : La démonstration est semblable à celle exposée au paragraphe « démonstration intrinsèque (de la loi de composition newtonienne des accélérations quand le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe) » plus haut dans le chapitre, les grandes lignes étant

• on dérive, dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ est en mouvement quelconque dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ composé d'une translation de vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}O\;$ étant l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ et d'une rotation autour d'un axe $\;\Delta _{O}\;$ passant par $\;O\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\;$ au même instant $\;t$, soit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;\;\left({\mathfrak {5}}\right)\;$» puis
• pour évaluer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» on introduit le point mobile $\;P\;$ défini selon «$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;{\widehat {=}}\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=$ ${\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;\;\left({\mathfrak {5}}'\right)\;$» $\;{\big (}O_{a}\;$ étant l'origine du repère associé au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big )}\;$ puis
  Pour évaluer                                   on applique la loi de composition newtonienne des vitesses aux points $\;P\;$ et $\;O\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{a,\,P}(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}(t)\\{\vec {V}}_{a,\,O}(t)={\cancel {{\vec {V}}_{r,\,O}(t)\;+}}\;{\vec {V}}_{e,\,O}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {5}}'\right)\;$ d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)$ $\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O}(t)\;$» et, en explicitant les vecteurs vitesses d'entraînement de $\;P\;$ et $\;O\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {V}}_{e,\,P}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)\\{\vec {V}}_{e,\,O}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit «$\;{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O}(t)$ $={\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)\;$» d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {5}}'\right)\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)\;$» soit
  Pour évaluer                                   en réinjectant «$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» d'où finalement «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;
• pour évaluer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$» on injecte l'expression du vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ce qui donne «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)$ $={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;\;\left({\mathfrak {5}}''\right)\;$» dans lequel «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)\;$ se réécrit $\;\left[{\dfrac {d\left({\overrightarrow {O_{a}M}}-{\overrightarrow {O_{a}O}}\right)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=$ ${\vec {V}}_{a,\,M}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O}(t)\;$» d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {5}}''\right)\;$ selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t)\wedge \left[{\vec {V}}_{a,\,M}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O}(t)\right]\;$» puis
  Pour évaluer                                   on applique la loi de composition newtonienne des vitesses au point $\;M\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{a,\,O}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O}(t)$ $={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ${\overset {\text{report}}{\underset {{\text{dans}}\,({\mathfrak {5}}'')}{\Rightarrow }}}$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}(t)\wedge \left[{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\right]\;$» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\right]\;$» puis l'une des formules du double produit vectoriel «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+\left[{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$», dans lequel la somme des deux derniers termes se réécrit «$\;\left[{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {OM}}(t)=\left[{\overline {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\;{\overline {OH_{M}}}(t)\right]{\overline {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\left[{\overline {OH_{M}}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\right]{\overset {\cdots }{\;=\;}}-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» $\;{\big (}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta _{O}{\big )}\;$ d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» soit finalement, en reconnaissant dans la somme des deux 1^ers et 4^ème termes le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {a}}_{a,\,O}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$», «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;

     en reportant les expressions des deux dérivées temporelles précédemment déterminées dans la relation $\;\left({\mathfrak {5}}\right)\;$ on obtient

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$» C.Q.F.D.,
le 2^ème terme du 2^ème membre définissant le vecteur accélération de Coriolis $\;{\big (}$ou complémentaire${\big )}\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$
soit «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» C.Q.F.D..