Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

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     Ce chapitre ayant un support mathématique important a déjà été grandement introduit dans le chap.$16$ « Divers repérages d'un point dans l'espace » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Système de coordonnées cartésiennes

Voir le paragraphe « Repérage cartésien d'un point dans l'espace » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en particulier pour :

Choix d'un repère cartésien associé à la composante d'espace du référentiel d'étude

     Au « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}$, on associe un « repère cartésien » c.-à-d.

• une « origine » $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et
• une « base orthonormée » $\;{\big (}$usuellement directe , l'espace étant supposé orienté à droite ${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ également fixe dans $\;{\mathcal {R}}$.

Coordonnées cartésiennes d'un point

     Le vecteur position de $\;M\;$ se décompose dans la base cartésienne selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» dans laquelle «$\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$» définissent les « coordonnées cartésiennes du point $\;M\;$», $\;{\big (}$avec «$\;x\;$ son abscisse », «$\;y\;$ son ordonnée » et «$\;z\;$ sa cote »${\big )}$.

Système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires), base cylindrique liée au point repéré

Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en particulier pour :

Vue en perspective du repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'un point $\;M$

Principe du repérage cylindro-polaire d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Pour définir un repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point $\;M$, on conserve le repérage cartésien du projeté orthogonal $\;M_{z}\;$ de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et on modifie le repérage du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de $\;M\;$ sur le plan $\;(xOy)\;$ en le repérant, dans ce plan, par sa distance à $\;O\;$ et par l'angle que fait $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;\ldots$

Repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Vues projetées du repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les « coordonnées cylindro-polaires$\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ de $\;M\;$» sont «$\;(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$» avec

• «$\;\rho =\left\Vert {\overrightarrow {OM_{xy}}}\right\Vert \geqslant 0\;$» sa « coordonnée radiale » ,
• «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « coordonnée angulaire »  et
• «$\;z={\overline {OM_{z}}}\;$» sa « cote » ;

     On définit la « base cylindro-polaire$\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ liée à $\;M\;$», «$\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z})\;$» orthonormée directe $\;{\big (}$l'espace étant orienté à droite ${\big )}\;$ avec

• le 1^er vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {\overrightarrow {OM_{xy}}}{\rho }}\;$»,
• le 2^nd vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le plan $\;xOy\;$ directement $\;\perp \;$ au précédent »  $\;{\big (}$on peut encore le définir par «$\;{\vec {u}}_{\theta }$ $={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }\;$» ${\big )}\;$ et
• le 3^ème vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{z}\;$ identique au 3^ème vecteur de la base cartésienne ».

     Remarque : comme la base orthonormée cartésienne $\;({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})\;$ du plan $\;xOy$, la base orthonormée polaire $\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ permet d'exprimer tout vecteur du plan $\;xOy$, à la différence près que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Lien entre repérages cylindro-polaire (ou cylindrique) et cartésien

     Voir le paragraphe « lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big (}$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie l'étude $\;\ldots$

Système de coordonnées sphériques, base sphérique liée au point repéré

Voir le paragraphe « repérage sphérique d'un point dans l'espace » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en particulier pour :

Vue en perspective du repérage sphérique d'un point $\;M$

Principe du repérage sphérique d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Pour définir un repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point «$\;M\;\not \in \left(Oz\right)\;$», on définit le « demi-plan contenant l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et passant par $\;M$, appelé demi-plan méridien », repéré par l'angle qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence $\;\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right)\;$  ; la position du point $\;M\;$ est alors repérée dans ce demi-plan méridien par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ; dans ce cas le repérage sphérique utilise une longueur et deux angles ;

     si le point «$\;M\in \left(Oz\right)\;$», le « demi-plan méridien n'est pas défini $\;{\big [}$en fait tous les demi-plans contenant $\;\left(Oz\right)\;$ conviennent${\big ]}\;$» et on repère le point $\;M\;$ sur $\;\left(Oz\right)\;$ par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ${\big [}$cet angle valant $\;0\;$ si $\;M\;$ est du côté positif de l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;\pi \;$ s'il est du côté négatif${\big ]}$ ; dans ce cas un des angles restant indéfini, le repérage sphérique utilise une longueur et un angle.

Repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Vues projetées du repérage sphérique d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les « coordonnées sphériques de $\;M\;$» sont «$\;(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$» avec

• «$\;r=\left\Vert {\overrightarrow {OM}}\right\Vert \geqslant 0\;$» son « rayon $\;{\big (}$polaire${\big )}\;$» ,
• «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « colatitude »  et
• «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « longitude »  ;

     On définit la « base sphérique liée à $\;M\;$», «$\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$» orthonormée directe $\;{\big (}$l'espace étant orienté à droite ${\big )}\;$ avec

• le 1^er vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}\;$»,
• le 2^nd vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le demi-plan méridien directement $\;\perp \;$ au précédent »  et
• le 3^ème vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\perp \;$ au demi-plan méridien et orientant ce dernier » soit «$\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\;$» .

     Remarque : comme la base orthonormée cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho })\;$ du demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, la base orthonormée sphérique $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ de ce même demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, à la différence près que ces vecteurs de base sphérique dépendent de la colatitude $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cylindro-polaire sont constants pour un demi-plan méridien fixé.

Composantes sphériques du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base sphérique liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}\;$» .

Interprétation géographique du repérage sphérique de pôle et d'axe fixés

     Pour un « repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$», l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud $-$ pôle Nord » de la Terre,

• «$\;r\;$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », «$\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant »,
• «$\;\theta \;$ la colatitude » , «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud »,
• «$\;\varphi \;$ la longitude » et «$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire (ou cylindrique)

     Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cylindro-polaire quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big (}$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie l'étude $\;\ldots$

Lien entre repérages sphérique et cartésien

     Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez en aucun cas revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big (}$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie énormément l'étude $\;\ldots$

Composantes cartésiennes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

Composantes cartésiennes du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

     Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» a pour « composantes cartésiennes $\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$»
     Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}}\;$» a pour $\;{\big [}$s'identifiant aux coordonnées cartésiennes de $\;M{\big ]}$ ;

     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» l'est, de façon équivalente,
     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont encore
     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M\;$» ;

     pour déterminer les « deux équations cartésiennes scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$»  il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$

Tracé des deux surfaces $\;{\big (}$un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan${\big )}\;$ dont la parabole est l'intersection

     Voir l'exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$» traité dans le paragraphe « repérage paramétrique d'une courbe » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel on établit que
     Voir l'exemple «$\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$» étant l'intersection $\succ \;$d'un « cylindre parabolique $\;y=4\,x^{2}-1\;$ de génératrices $\;\parallel \;$ à l'axe $\;Oz\;$» et
     Voir l'exemple «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$» étant l'intersection $\succ \;$d'un « plan $\;z=4\,x+1\;$ $\parallel \;$ à l'axe $\;Oy\;$»
     Voir l'exemple «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$» est une « parabole » $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$.

Composantes cartésiennes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant par rapport à $\;t\;$ l'équation horaire vectorielle de $\;M\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit
     «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», les « composantes cartésiennes de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dot {x}}(t)\\V_{y}={\dot {y}}(t)\\V_{z}={\dot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
     «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}}\;$», la « norme du vecteur vitesse se calculant selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{x}^{2}(t)+V_{y}^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}\;$».

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$», le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dfrac {1}{2}}\\V_{y}=2\,t\\V_{z}=2\end{array}}\right\rbrace \;$»,
                                              Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {{\dfrac {1}{4}}+4\,t^{2}+4}}={\sqrt {{\dfrac {17}{4}}+4\,t^{2}}}\;$».

Composantes cartésiennes du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur accélération en dérivant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» par rapport à $\;t\;$ et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {V}}_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {V}}_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {V}}_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}={\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
les « composantes cartésiennes de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}={\dot {V}}_{x}(t)={\ddot {x}}(t)\\a_{y}={\dot {V}}_{y}(t)={\ddot {y}}(t)\\a_{z}={\dot {V}}_{z}(t)={\ddot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
la « norme du vecteur accélération se calculant selon $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{x}^{2}(t)+a_{y}^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprimant en $\;m\cdot s^{-2}\;$».

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$», le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}=0\\a_{y}=2\\a_{z}=0\end{array}}\right\rbrace \;$»,
                                              Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires il est donc constant, $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, et sa norme vaut «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =2\;$».

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

     Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ sous la forme «$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» a pour « composantes cylindro-polaires $\;\left(\rho ,\,0,\,z\right)\;$»
         Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{\big (}$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ sous la forme «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}}\;$» a pour ${\big [}\neq \;$des « coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$» de $\;M{\big ]}$ ;

     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» l'est, de façon équivalente,
     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =\rho (t)\\\theta =\theta (t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont encore
     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M\;$» ;

     pour déterminer les « deux équations cylindro-polaires scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$»  il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$

Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon" - ensemble de demi-droites $\;\parallel \;$ à $\;xOy\;$ issues d'un point de l'axe $\;z'z\;$ de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire $\;{\big (}$la cote étant fonction de cette dernière${\big )}$

     Exemple : soit le mouvement d'un point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont aussi les trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M$, nous nous proposons de déterminer la nature de la trajectoire en établissant ses deux équations cylindro-polaires ;

     Exemple : une 1^ère équation sans calcul «$\;\rho =R\;$ équation cylindro-polaire d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;R\;$» ;

     Exemple : une 2^ème équation s'obtient en éliminant $\;t\;$ entre les deux dernières équations paramétriques soit $\;t={\dfrac {\theta }{\omega }}\;$ que l'on reporte dans $\;z=v\;t\;$ donnant «$\;z={\dfrac {v}{\omega }}\;\theta \;$ équation cylindro-polaire d'une nappe en colimaçon »  ;

     Exemple : la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant d'équations cylindro-polaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\z=h\;{\dfrac {\theta }{2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;h=2\;\pi \;{\dfrac {v}{\omega }}\;$ constante » c.-à-d.
     Exemple : la trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ étant l'intersection d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et d'une « nappe en colimaçon » ${\big (}$voir ci-contre${\big )}$
     Exemple : la trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ est une hélice circulaire « droite » dont la constante $\;\vert h\vert \;$ définit le « pas de l'hélice » .

Repérage polaire de M_xy, base polaire qui lui est liée, dérivée de ses vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude

Notion de repérage polaire de M_xy, base polaire liée à M_xy

     Le « repérage de $\;M_{xy}$, projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;\left(xOy\right)\;$», utilisant les « coordonnées partielles $\;\left(\rho ,\,\theta \right)\;$» des coordonnées cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}$ $\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$ de $\;M$,
     Le « repérage de $\;\color {transparent}{M_{xy}}$, est appelé « repérage polaire de $\;M_{xy}\;$»,
     la « base partielle $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» de la base cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ liée à $\;M\;$ définit la « base polaire liée à $\;M_{xy}\;$».

Dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude

     Les « vecteurs de base polaires $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$ de $\;M_{xy}\;\left(\rho ,\,\theta \right)\;$» dépendant de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de $\;M_{xy}\;$, leur dérivée par rapport à cette dernière est a priori non nulle ;

     pour évaluer chacune d'elle on utilise leur décomposition dans la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r}{\vec {u}}_{\rho }\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,

     leur dérivée par rapport à $\;\theta \;$ donnant, compte-tenu du fait que les vecteurs de base cartésiennes sont constants d'une part et
     leur dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{\theta }\;$ donnant, compte-tenu du fait que la dérivée d'un $\;\sin()\;$ ou d'un $\;\cos()\;$ par rapport à son argument s'obtient en ajoutant $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à l'argument d'autre part,
     leur dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{\theta }\;$ donnant, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;$».

À retenir $\rightsquigarrow$ dérivées des vecteurs de base $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à $\;\theta$ :

«$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$»          et          «$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$» ;

     quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement $\;\perp \;$ au vecteur initial, ainsi
          $\succ \;$dérivant $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{x}$, on obtient $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$,
          $\succ \;$dérivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{y}$, on obtient $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$ ;
     on peut encore écrire $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan $\;\left(xOy\right)\;$ et orientant les angles de ce dernier${\big ]}$

«$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$»          et          «$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }\;$».

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» et les « vecteurs de base cylindro-polaires dépendant de $\;\theta \;$ fonction de $\;t\;$», on trouve les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}$ du vecteur vitesse en dérivant « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=\rho (t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» par rapport à $\;t$, avec «$\;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)={\dot {f}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$» soit
     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\rho }{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dfrac {dz}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis,
     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant on évalue $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)\;$ en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;$ soit
     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$» d'où finalement l'expression du vecteur vitesse en repérage cylindro-polaire
     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant les « composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l c r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{\rho }\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }\!\!&=&\!\!\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse axiale}}\;&V_{z}\!\!&=&\!\!{\dot {z}}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant la norme du vecteur vitesse se calculant selon «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{\rho }^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprimant en $\;m\cdot s^{-1}\;$».

     Exemple : mouvement de $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme »,
                                   Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cylindriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }=0\\V_{\theta }=R\;\omega \\V_{z}=v\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
                                   Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {R^{2}\;\omega ^{2}+v^{2}}}\;$» ou encore,
                                   Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques en introduisant le pas $\;\vert h\vert \;$ de l'hélice, «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\vert \omega \vert \;{\sqrt {R^{2}+{\dfrac {h^{2}}{4\,\pi ^{2}}}}}\;$» .

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cylindro-polaires dépendant de $\;\theta \;$ qui est fonction de $\;t$, on trouve les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}$ du vecteur accélération en dérivant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{\rho }(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+V_{\theta }(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» par rapport à $\;t\;$ en utilisant «$\;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)$ $={\dot {f}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$» ce qui nous conduit à
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» puis,
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant on évalue $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\;$ en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;$ soit
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=-{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$» , $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)\;$ évaluée précédemment valant «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ,
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant d'où une 1^ère expression du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$nécessitant un regroupement de termes${\big )}$
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$», ou
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant en regroupant les termes ayant même vecteur de base polaire, l'expression finale du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left[{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» ,
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant les « composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l c r c r}{\text{accélération radiale}}\;&a_{\rho }\!\!&=&\!\!{\ddot {\rho }}(t)\!\!&-&\!\!\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\\{\text{accélération orthoradiale}}\;&a_{\theta }\!\!&=&\!\!\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\!\!&+&\!\!2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{accélération axiale}}\;&a_{z}\!\!&=&\!\!{\ddot {z}}(t)\!\!&&\!\!\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant la norme du vecteur accélération se calculant selon «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{\rho }^{2}(t)+a_{\theta }^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprimant en $\;m\cdot s^{-2}\;$».

     Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;{\big (}$forme « semi-intégrée » ${\big )}$ : à partir de «$\;a_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$» on met «$\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\;$ en facteur » de façon à pouvoir reconnaître,
           Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;\color {transparent}{\big (}$forme « semi-intégrée »$\color {transparent}{\big )}$ : dans le facteur restant, la dérivée temporelle d'une fonction du temps soit «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\left[\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\;$»
           Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;\color {transparent}{\big (}$forme « semi-intégrée »$\color {transparent}{\big )}$ : dans laquelle on vérifie que le facteur entre crochets «$\;\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$ est égal à $\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$» d'où
           Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;\color {transparent}{\big (}$forme « semi-intégrée »$\color {transparent}{\big )}$ : la forme « semi-intégrée » de l'accélération orthoradiale «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$» .

     Exemple : mouvement de $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme »,
                                   Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cylindriques
                                   Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}a_{\rho }\!\!&=&\!\!{\cancel {{\ddot {\rho }}(t)}}\!\!&-&\!\!\rho ^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!-R\;\omega ^{2}\\a_{\theta }\!\!&=&\!\!{\cancel {\rho (t)\;{\ddot {\theta }}(t)}}\!\!&+&\!\!{\cancel {2\;{\dot {\rho }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}}\!\!&=&\!\!0\\a_{z}\!\!&=&\!\!{\cancel {{\ddot {z}}(t)}}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
                                   Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =R\;\omega ^{2}\;$» .

Détermination géométrique des composantes cartésiennes et cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse

Rappel de la notion de déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe ainsi que du lien entre vecteur déplacement élémentaire et vecteur vitesse

     La notion de vecteur déplacement élémentaire a déjà été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir du point $\;M\;$» du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
     La notion de vecteur déplacement élémentaire a été identifiée à celle du paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap.$15$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :

«$\;{\overrightarrow {dM}}\;$ est la différentielle du vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point $\;M\;$ décrivant la courbe soit $\;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$»  ;
le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ est tangent à la courbe en $\;M$, dans la mesure où $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$ .

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

     Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big (}$à savoir refaire${\big )}$ ;

à retenir «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$».

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

     Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big (}$à savoir refaire${\big )}$ ;

à retenir «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$».

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi «$\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}\;$», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse :

• en repérage cartésien «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {dx}{dt}}\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{dt}}\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}$ «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {d\rho }{dt}}\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

     Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big (}$à savoir refaire${\big )}$ ;

à retenir «$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» .

Équations horaires sphériques du mouvement du point repéré dans le référentiel d'étude

     L'équation horaire vectorielle du mouvement de $\;M\;$ repéré dans le référentiel d'étude étant «$\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ou, en utilisant la base sphérique liée à $\;M$ «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\right\rbrace \;$» , «$\;{\overrightarrow {OM}}=$ $r\;{\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;$» égal à la fonction vectorielle du temps «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» établissant que la connaissance de l'équation horaire du mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel d'étude
     L'équation horaire vectorielle du mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ est équivalente à celle des « trois équations horaires sphériques paramétriques de $\;M\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=r(t)\\\theta =\theta (t)\\\varphi =\varphi (t)\end{array}}\right\rbrace \;$» dans le référentiel d'étude,
     L'équation horaire vectorielle du mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ est équivalente à celle ces « trois équations horaires sphériques étant aussi les trois équations sphériques paramétriques de la trajectoire de $\;M\;$».

     Remarque : on rappelle que le vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude a pour composantes sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overline {OM}}_{r}=r=r(t)\\{\overline {OM}}_{\theta }=0\quad \;\forall \;t\\{\overline {OM}}_{\varphi }=0\quad \;\forall \;t\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d.
     Remarque : utilisant « uniquement la 1^ère équation horaire sphérique $\;r=r(t)\;$» du point mais
     Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques $\;\left\lbrace \theta =\theta (t)\,,\,\varphi =\varphi (t)\right\rbrace \;$» du point sont néanmoins nécessaires pour savoir dans quelle direction positionner le point à l'instant $\;t\;$
     Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques ${\big (}$celle de $\;{\vec {u}}_{r}$, $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ étant toujours colinéaire à $\;{\vec {u}}_{r}{\big )}$, ce qui nécessite de connaître «$\;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» $\;\ldots$

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi «$\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}\;$», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où

     l'expression du vecteur vitesse en repérage sphérique «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}={\dfrac {dr}{dt}}\;{\vec {u}}_{r}+r\;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» soit finalement

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» ,
les « composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse longitudale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
la « norme du vecteur vitesse se calculant selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$ et s'exprimant en $\;m\cdot s^{-1}\;$».

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente $\;30\,{\text{°}}\;$ par rapport aux parallèles $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une spirale de Poinsot" $\;{\big (}$en vert${\big )}$

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»
     Exemple : qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme » , le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ayant pour « composantes sphériques
     Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}={\cancel {\dot {r}}}\\V_{\theta }=r\;{\dot {\theta }}\\V_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, avec «$\;{\dot {\theta }}=-\omega \;$», «$\;{\dot {\varphi }}=-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;{\dfrac {-\omega }{2}}\;$» et «$\;\sin(\theta )=$
     Exemple : $\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)={\dfrac {2\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;$» dont on déduit finalement
     Exemple : mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ les « composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}=0\\V_{\theta }=-a\;\omega \\V_{\varphi }=a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$» et
     Exemple : mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a^{2}\;\omega ^{2}+a^{2}\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}}}={\dfrac {a}{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega =2\;a\;\omega \;$», c.-à-d.
     Exemple : mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ sa norme valant une constante, justifiant le caractère « uniforme » du mouvement.

Compléments : détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier, conséquences sur l'étude du mouvement du point en repérage sphérique

Détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier

     À partir de la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à revoir dans le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , on introduit celle de dérivées partielles d'une fonction vectorielle de deux variables indépendantes de la même façon c.-à-d. en figeant une variable et en dérivant la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière .

Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

Vues projetées du repérage sphérique d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;$» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” et
• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» en utilisant la « décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$» selon «$\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$», suivi de l'utilisation de «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )=$ ${\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;$», les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

     Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;$» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” et
• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» en utilisant la « décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$» selon «$\;{\vec {u}}_{\theta }=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$», suivi de l'utilisation de «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;$», les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

     Voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi

     «$\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» en utilisant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” soit «$\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» suivi de la « décomposition du 1^er vecteur de base cylindro-polaire, vecteur du demi-plan méridien, dans la base sphérique de ce demi-plan à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{r},\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\;$» selon «$\;{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$».

Obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point

     Le vecteur position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$», on obtient son vecteur vitesse au même instant $\;t\;$ par
     Le vecteur position de $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» ;

     la « détermination de $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$ s'établit en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées » dans laquelle la 1^ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes soit «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$» dans laquelle on utilise «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

«$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$» ;
le report dans l'expression du vecteur vitesse du point $\;M\;$ nous conduit à
«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$»  ;
les « composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse longitudale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
la « norme du vecteur vitesse se calculant selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$ et s'exprimant en $\;m\cdot s^{-1}\;$».

Quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point

     Préliminaire : les composantes sphériques du vecteur accélération ne doivent « JAMAIS être utilisées de votre propre chef » car beaucoup trop compliquées .

     Le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;$», on obtient son vecteur accélération au même instant $\;t\;$ en dérivant temporellement $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ soit

«${\displaystyle \;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\ddot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\$