Mécanique du point en référentiel non galiléen/Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen

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Introduction : Recherche d'une relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) pour un référentiel non galiléen

Démonstration de la propriété caractérisant tout référentiel galiléen relativement à un référentiel galiléen de référence

Propriété caractérisant tout référentiel galiléen relativement à un référentiel galiléen de référence

     Tout référentiel $\;{\mathcal {R}}$, « animé par rapport à un référentiel galiléen de référence $\;{\mathcal {R}}_{g}$, d’un mouvement de translation rectiligne uniforme », est lui même « galiléen ».

     Démonstration : Pour définir la translation de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{g}$, il suffit de se donner le mouvement, dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, d'un point fixe de $\;R$, par exemple celui de l'origine $\;O\;$ du repère associé à $\;R$, de vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, «$\;{\vec {V}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$ noté encore $\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$» et de vecteur accélération au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, «$\;{\vec {a}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$ noté encore $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$».

     Démonstration : Rappel : Une conséquence du mouvement d’ensemble de translation de tous les points fixes de $\;{\mathcal {R}}\;$ est que tout bipoint lié à $\;{\mathcal {R}}\;$ garde une direction fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ et, par suite, que la base cartésienne du repère associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ peut être identifiée à celle du repère associé à $\;R_{g}$ $\;{\big (}$les axes cartésiens de l’un pouvant être choisis $\;\parallel \;$ à ceux de l’autre${\big )}$.

     Démonstration : Utilisation de la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas d'un entraînement de translation : «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» dans laquelle $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ et $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement les référentiels absolu et d'entraînement, «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t):={\vec {a}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$» étant le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ et $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)=$ ${\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» respectivement les vecteurs accélérations absolue et relative de $\;M\;$ au même instant $\;t$ $\;{\big (}$c'est-à-dire les vecteurs accélérations de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ et $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ soit finalement

«$\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t):={\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$».

     Démonstration : Conséquence d'un entraînement de translation rectiligne uniforme : Comme «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t):={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$» on en déduit «$\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;M\;$».

     Démonstration : Application du p.f.d.n. au point matériel M : $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ étant galiléen on peut appliquer le p.f.d.n. à un « point matériel $\;M\left(m\right)\;$ quelconque » soumis à un « système de n'importe quelles forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» et on en déduit que le vecteur accélération du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à savoir «$\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$» se détermine par r.f.d.n. soit «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$».

     Démonstration : Établissement du caractère galiléen du référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{g}$ : Pour établir que le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est galiléen, il faut démontrer que la r.f.d.n. s'y applique à «$\;M\left(m\right)\;$» soumis au « système de forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» et pour cela, on utilise d'une part l'invariance des forces par changement de référentiel ainsi que la constance de la masse d'un point et d'autre part «$\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;\;\forall \;t\;$» conséquence de la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas de $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation rectiligne uniforme relativement à $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ d'où

« dans $\;{\mathcal {R}}\;$ la r.f.d.n. s'applique à $\;M\;$ soumis au système de forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» car
«$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$» ${\overset {{\mathcal {R}}\,{\text{en transl. rect.}}}{\underset {{\text{unif. dans}}\,{\mathcal {R}}_{g}}{\Rightarrow }}}$ «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$»
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Downarrow$
                                                                            «$\;{\mathcal {R}}\;$ est galiléen ».

But recherché pour obtenir une r.f.d.n. applicable dans un référentiel non galiléen

     Préliminaire : Nous nous limiterons aux cas où le référentiel non galiléen étudié est en translation $\;{\big (}$non rectiligne ou rectiligne non uniforme${\big )}\;$ ou en rotation autour d'un axe fixe $\;\Delta \;$ relativement à tout référentiel galiléen $\;{\big [}$mais le résultat obtenu pourra être généralisé sans difficulté à un référentiel non galiléen en entraînement quelconque relativement à tout référentiel galiléen${\big ]}$.

     Voulant étudier le « mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$» soumis à un « système de forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» dans le « référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » c'est-à-dire n’étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}$,

     nous cherchons à trouver sous quelle forme doit être modifiée la r.f.d.n. pour qu'elle devienne applicable dans un référentiel non galiléen c'est-à-dire obtenir le 1^er membre de «$\;{\overrightarrow {\text{?}}}=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$».

     Pour cela on applique la r.f.d.n. à «$\;M\left(m\right)\;$» soumis au « système de forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» dans le « référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen » soit «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» puis

     Pour cela on utilise la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas d'un entraînement de translation $\;{\big (}$non rectiligne ou rectiligne non uniforme${\big )}\;$ ou de rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen «$\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}{\text{si }}{\mathcal {R}}\;{\text{en translation }}/\;{\mathcal {R}}_{g},\!\!&\!\!{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\\{\text{si }}{\mathcal {R}}\;{\text{en rotation }}\;\;\;\;/\;{\mathcal {R}}_{g},\!\!&\!\!{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\\\!\!&\!\!A\;{\text{point fixe de }}\Delta \;{\text{et }}H_{M}\;{\text{projeté orthogonal de }}M\;{\text{sur }}\Delta \end{array}}\right\rbrace \;$ le vecteur accélération d'entraînement du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}{\text{si }}{\mathcal {R}}\;{\text{en translation }}/\;{\mathcal {R}}_{g},\!\!&\!\!{\vec {a}}_{c,\,M}(t)={\vec {0}}\\{\text{si }}{\mathcal {R}}\;{\text{en rotation }}\;\;\;\;/\;{\mathcal {R}}_{g},\!\!&\!\!{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\wedge {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\!(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ le vecteur accélération de Coriolis de $\;M\;$ au même instant $\;t\;$», loi de composition newtonienne des accélérations que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ d'où

«$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=m\left[{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\right]=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» ;

     Pour cela on voit que, pour atteindre le but poursuivi, il suffit de transposer les deux derniers termes du 2^ème membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ dans le 1^er membre de façon à conserver uniquement le 2^ème membre souhaité «$\;m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» ce qui donne la relation $\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$ ci-dessous :

«$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)-m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$».

     Conclusion : Il est possible d’obtenir une r.f.d.n. applicable à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen de la forme «$\;\sum \limits _{\mathit {l}}{\overrightarrow {({\text{action}})_{\mathit {l}}}}=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$», mais il faut, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» existant dans tous les référentiels $\;{\big (}$car invariantes par changement de ces derniers${\big )}$, ajouter deux termes, homogènes à des forces, «$\;\left\lbrace -m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\,,\,-m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\right\rbrace \;$» liés au caractère non galiléen du référentiel $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$et par suite n’existant que dans un tel référentiel${\big )}$, que l'on nommera « pseudo-forces d’inertie ».

Pseudo-forces d'inertie (traduisant le caractère non galiléen du référentiel)

Pseudo-forces d'inertie d'entraînement

     La pseudo-force d'inertie d'entraînement agissant sur le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ apparaît dès lors que le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est non galiléen, que son entraînement relativement à un référentiel galiléen soit une translation ou une rotation autour d'un axe fixe $\;{\big [}$ou encore un mouvement quelconque${\big ]}$.

Cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen

Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en translation (non rectiligne ou rectiligne non uniforme) par rapport à tout référentiel galiléen

     Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est non galiléen en translation $\;{\big (}$non rectiligne ou rectiligne non uniforme${\big )}\;$ par rapport à un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen quelconque, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» s'exerçant sur $\;M\;$ il faut ajouter la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$».

     Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en translation $\;{\big (}$non rectiligne ou rectiligne non uniforme${\big )}\;$ relativement à tout galiléen ne dépend pas de la position du point $\;M$ $\;{\big (}$par contre elle dépend a priori du temps $\;t{\big )}$.

     Exemple : Si $\;{\mathcal {R}}\;$ est une voiture freinant en ligne droite par rapport au sol $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ supposé galiléen, le vecteur accélération de la voiture par rapport au sol $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ est dirigée en sens contraire du mouvement et la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente dans l'habitacle ou sur tout objet y séjournant est dirigée dans le sens du mouvement $\;{\big (}$ainsi une personne sans ceinture de sécurité sera-t-elle propulsée vers l'avant de la voiture${\big )}\;\ldots$

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier

Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen

     Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» s'exerçant sur $\;M\;$ il faut ajouter, entre autres, la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=m\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» avec
$\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}=cste\;$ la vitesse angulaire de rotation de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour de $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ et
$\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta$.

     Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, est centrifuge relativement à $\;H_{M}\;$ et dépend de la position du point $\;M$ $\;{\big [}$en étant de norme $\;\propto \;$ à la distance de $\;M\;$ à l'axe $\;\Delta {\big ]}$ $\;{\big (}$par contre sa norme ne dépend pas explicitement du temps $\;t{\big )}$.

     Exemple : Si $\;{\mathcal {R}}\;$ est un manège en rotation uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe par rapport au sol $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ supposé galiléen, la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente sur le manège ou sur tout objet y reposant hors de l'axe est centrifuge $\;{\big (}$ainsi une personne présente sur le manège sera-t-elle propulsée vers l'extérieur du manège${\big )}\;\ldots$

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation non uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier

Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen

     Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» s'exerçant sur $\;M\;$ il faut ajouter, entre autres, la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-m\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+m\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée à l'instant $\;t\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour de $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$,
$\;A\;$ un point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta$.

     Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, a deux composantes dont l'une est orthoradiale, l'autre étant centrifuge relativement à $\;H_{M}\;$, sa norme dépendant de la position du point $\;M$ $\;{\big (}$et explicitement du temps $\;t{\big )}$.

     Exemple : Si $\;{\mathcal {R}}\;$ est un manège en phase de freinage autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe par rapport au sol $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ supposé galiléen, la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente sur le manège ou sur tout objet y reposant hors de l'axe a une composante orthoradiale dans le sens de rotation et une autre centrifuge $\;{\big (}$ainsi une personne présente sur le manège sera-t-elle propulsée simultanément vers l'avant et vers l'extérieur du manège${\big )}\;\ldots$

En complément, cas d'un référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu galiléen

Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque relativement à un référentiel galiléen

     Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque relativement à un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, entraînement composé d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$ $\;{\big (}O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ et d'une rotation autour d'un axe $\;\Delta _{O}\;$ passant par $\;O\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» s'exerçant sur $\;M\;$ il faut ajouter, entre autres, la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)-m{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$»
avec $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta _{O}$.

Pseudo-forces d'inertie de Coriolis

     La pseudo-force d'inertie de Coriolis agissant sur le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ apparaît dès lors que le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est non galiléen à entraînement rotatif relativement à un référentiel galiléen $\;{\big [}$ou à entraînement quelconque avec une composante rotative${\big ]}$, elle n'intervient donc pas quand le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est en translation « pure » relativement à tout référentiel galiléen.

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier

Pseudo-force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen

     Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» s'exerçant sur $\;M\;$ et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)$ $=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=m\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» s'appliquant à $\;M\;$ spécifiquement dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}=$ $cste\;$ étant la vitesse angulaire de rotation de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour de $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big )}$, il faut ajouter, spécifiquement dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la pseudo-force d'inertie de Coriolis s'appliquant à $\;M\;$ «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\wedge \;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\!(t)\;$» avec
$\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$ le vecteur rotation instantanée de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour de $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ tel que
$\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)={\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big (}{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta {\big )}\;$ et
$\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\!(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

     Propriété : Pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis soit non nulle, il faut que le point $\;M\;$ qui la subit dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier $\Rightarrow$ elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation non uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier

Pseudo-force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen

     Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» s'exerçant sur $\;M\;$ et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)$ $=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-m\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+m\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\!(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» s'appliquant à $\;M\;$ spécifiquement dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\Big [}A\;$ étant un point fixe de $\;\Delta$, $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$ le vecteur rotation instantanée de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour de $\;\Delta$, $\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)=$ ${\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour de $\;\Delta$ $\;{\big (}{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta {\big )}\;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\Big ]}$, il faut ajouter, spécifiquement dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la pseudo-force d'inertie de Coriolis s'appliquant à $\;M\;$ «${\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\wedge \;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\!(t)$» avec
$\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\!(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

     Propriété : Comme précédemment, pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis soit non nulle, il faut que le point $\;M\;$ qui la subit dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier $\Rightarrow$ elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

En complément, cas d'un référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu galiléen

Pseudo-force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque dans un référentiel galiléen

     Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque relativement à un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, entraînement composé d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$ $\;{\big (}O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ et d'une rotation autour d'un axe $\;\Delta _{O}\;$ passant par $\;O\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» s'exerçant sur $\;M\;$ et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)$ $=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)-m{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}(t)\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)\;$» s'appliquant à $\;M\;$ spécifiquement dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\Big [}{\overline {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)=$ ${\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}\;$ étant la vitesse angulaire de rotation de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour de $\;\Delta _{O}$ $\;{\big (}{\vec {u}}_{\Delta _{O}}\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta _{O}{\big )}\;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta _{O}{\Big ]}$, il faut ajouter, spécifiquement dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la pseudo-force d'inertie de Coriolis s'appliquant à $\;M\;$ «${\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{O},\,{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\wedge \;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\!(t)$» avec
$\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\!(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

     Propriété : Là encore, pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis soit non nulle, il faut que le point $\;M\;$ qui la subit dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier $\Rightarrow$ elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

Relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) dans un référentiel non galiléen

Début d’un théorème

Relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) dans un référentiel non galiléen

     Le mouvement d'un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, soumis aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$», se détermine en appliquant à $\;M\;$ la r.f.d.n. à l'instant $\;t$ «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» avec,
s'exerçant sur $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$» la pseudo-force d'inertie d'entraînement
        s'exerçant sur M à l'instant t dans le référentiel R non galiléen, «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» la pseudo-force d'inertie de Coriolis,
«$\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» étant le vecteur accélération du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

Fin du théorème

     Commentaires : $\;\succ \;$Le 2^nd membre de la r.f.d.n. ci-dessus se réécrit «$\;m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$ dans lequel $\;{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ est le vecteur quantité de mouvement newtonien de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ».

     Commentaires : $\;\succ \;$Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis n'existant pas est considérée comme nulle et la r.f.d.n. se réécrit « dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation par rapport à tout galiléen $\;R_{g}$, $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ avec $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$».

     Remarques : $\;\succ \;$Les deux formes ci-dessus de la r.f.d.n. dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\\\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» peuvent être étendues à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.

     Remarques : $\;\succ \;$Les deux formes de r.f.d. dans un référentiel non galiléen ne sont applicables qu'en dynamique newtonienne, elles deviennent généralement inapplicables en dynamique relativiste car pour établir la 1^re forme «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» on a utilisé la loi de composition newtonienne des accélérations, loi non applicable en cinématique relativiste $\;\ldots \;$ Aussi, dès lors qu'un référentiel $\;{\mathcal {R}}$, dans le cadre de la dynamique relativiste, devient non galiléen, on ne fait pas l'étude dans ce référentiel mais on maintient celle-ci dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen $\;{\Bigg \{}$on rappelle que la seule forme de r.f.d. applicable en dynamique relativiste dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen est «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$» avec $\;{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)=m\;\gamma _{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ le vecteur quantité de mouvement relativiste de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, «$\;\gamma _{M/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$» étant le facteur de Lorentz du point dans $\;R_{g}{\Bigg \}}\;$ $\;\ldots$

Théorèmes du moment cinétique (vectoriel et scalaire) du point dans un référentiel non galiléen

Énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel du point applicable dans un référentiel non galiléen

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel du point dans un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, et en prenant pour origine des moments un point $\;O\;$ fixe dans $\;R$, le moment vectoriel des «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]\;$» est lié au moment cinétique vectoriel de ce dernier relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$ à l’instant $\;t\;$ «$\;\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$» par la relation : «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$» est le moment vectoriel de la pseudo-force d'inertie d'entraînement et
«$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;$» est le moment vectoriel de la pseudo-force d'inertie de Coriolis,
pseudo-forces s'exerçant toutes deux sur $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

Fin du théorème

     Commentaire : Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis n'existant pas est considérée comme nulle et le théorème du moment cinétique vectoriel se réécrit « dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation par rapport à tout galiléen $\;R_{g}$, $\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;$ avec $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$».

     Remarques : $\;\succ \;$Le théorème du moment cinétique vectoriel dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ n'est, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne $\;{\big [}$la justification de cette affirmation est faite dans le paragraphe « démonstration du théorème du moment cinétique vectoriel du point applicable dans un référentiel non galiléen » de ce chapitre${\big ]}$.

     Remarques : $\;\succ \;$Le théorème du moment cinétique vectoriel dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.

Démonstration du théorème du moment cinétique vectoriel du point applicable dans un référentiel non galiléen

     Partant de la r.f.d.n. appliquée, dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ soumis aux «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$», «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$» dans laquelle $\;{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ est la quantité de mouvement du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$» et «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=$ $-m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» les pseudo-forces d'inertie respectivement d'entraînement et de Coriolis s'exerçant sur $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen,
          Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche chaque membre de l'équation par $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$ $\;{\big [}$dans lequel $\;O\;$ est un point fixe du référentiel d'étude non galiléen $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ et on obtient, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle «$\;\sum \limits _{k}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}(M)\right]+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ;

     dans la mesure où $\;O\;$ est choisi fixe dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, on vérifie que le 2^nd membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$», est aussi la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit «$\;\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;$» avec $\;\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ en effet :

          dans la mesure où O est choisi fixe dans le référentiel non galiléen R,$\;\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$ dans laquelle, $\;O\;$ étant un point fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ est le vecteur position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ et par suite «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}(t)\;$» le vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «$\;{\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)}{m}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)}{m}}\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;$» soit «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;$» ;

     on vérifie que le 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, «$\;\sum \limits _{k}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}(M)\right]+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;$» est égal à la somme des vecteurs moments des «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» appliquées à $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ et des pseudo-forces d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$» et de Coriolis «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;$» s'exerçant toutes deux sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, soit «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;$» ;

     on en déduit le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\;M\;$ relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen sous la forme

«$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;$ avec $\;O\;$ un point fixe de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ».

Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire du point dans un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, et repérant les moments scalaires par rapport à un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;R$ $\;{\big (}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant $\;\Delta {\big )}$, le moment scalaire des «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}(M)\right\rbrace \;$» appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]\;$» est lié au moment cinétique scalaire de ce dernier relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$ à l’instant $\;t\;$ «$\;\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$» par la relation : «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O\,\in \,\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» est le moment scalaire de la pseudo-force d'inertie d'entraînement et
«$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O\,\in \,\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» est le moment scalaire de la pseudo-force d'inertie de Coriolis,
pseudo-forces s'exerçant toutes deux sur $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

Fin du théorème

     Commentaire : Si le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis n'existant pas est considérée comme nulle et le théorème du moment cinétique scalaire se réécrit « dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation par rapport à tout galiléen $\;R_{g}$, $\;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;$ avec $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}\!(t)\;$».

     Remarques : $\;\succ \;$Le théorème du moment cinétique scalaire dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ n'est, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne $\;{\big [}$la justification de cette affirmation est faite dans le paragraphe « démonstration du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen » de ce chapitre${\big ]}$.

     Remarques : $\;\succ \;$Le théorème du moment cinétique scalaire dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.

Démonstration du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen

     Choisissant un point origine $\;O\;$ fixe sur l'axe fixe $\;\Delta \;$ du référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, on peut appliquer au point matériel $\;M\left(m\right)\;$ le théorème du moment cinétique vectoriel relativement au point origine $\;O\;$ fixe du référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;$» dans laquelle $\;\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$ est le moment cinétique vectoriel du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace \;$ étant l'ensemble des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées au point $\;M$, $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ et $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;$ les pseudo-forces d'inertie respectivement d'entraînement et de Coriolis s'exerçant sur $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta \;$ et on obtient, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle utilisée dans le membre de gauche et du caractère constant de $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ utilisée dans le membre de droite «$\;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace +{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }$ $={\dfrac {d\left\lbrace \left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace }{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ;

     dans la mesure où $\;O\;$ est choisi sur $\;\Delta$, on vérifie que le 2^nd membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, «$\;{\dfrac {d\left\lbrace \left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace }{dt}}(t)\;$», est aussi la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de $\;M\;$ par rapport à $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, soit «$\;{\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)=\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\\{\text{si }}\;O\;\in \;\Delta \end{array}}\right\rbrace$ ;

          dans la mesure où O est choisi sur Δ, on vérifie que le 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, «$\;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace +{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» est égal à la somme des moments scalaires des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées à $\;M\;$ et des pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis s'exerçant sur $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$, tous les moments scalaires étant évalués par rapport à $\;\Delta \;$ soit «$\;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace +{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]$» ;

     on en déduit le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel $\;M\;$ relativement à un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ sous la forme

«$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;$ si $\;\Delta \;$ est un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ».

Statique d'un point dans un référentiel non galiléen

1^re condition nécessaire (C.N.) d'équilibre relatif d'un point dans un référentiel non galiléen

     L’équilibre relatif d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen se traduit par les deux conditions suivantes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\\{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!1^{\text{ère}}\;{\text{C.N. d'équilibre}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en utilisant la 1^re condition, la réécriture de la 1^re C.N. d’équilibre relatif

«$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle
$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace \;$ est l'ensemble des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées au point $\;M\;$ et
$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

     Remarques : La 1^re C.N. d’équilibre relatif dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$» peut être étendue à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement nulle.

     Remarques : On observe que la pseudo-force d'inertie de Coriolis ne jouant aucun rôle dans cette 1^re C.N. d’équilibre relatif, celle-ci est formellement identique quel que soit l'entraînement du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen par rapport au référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}$ $\;{\big [}$translation, rotation uniforme $\;{\big (}$ou non${\big )}\;$ relativement à un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ ou encore mouvement quelconque${\big ]}$, cette identité n'étant que formelle car l'explicitation de la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ dépend du type d'entraînement.

2^ème condition nécessaire (C.N.) d'équilibre relatif d'un point dans un référentiel non galiléen

     L’équilibre relatif d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen se traduisant par les deux conditions $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\vec {0}}\;\;\forall \;t\\{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!2^{\text{ème}}\;{\text{C.N. d'équilibre}}\end{array}}\right\rbrace \;$ dans lesquelles $\;O\;$ est un point fixe du référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, soit, en utilisant la 1^re condition, la réécriture de la 2^ème C.N. d’équilibre relatif

«$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {0}}\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;O\;{\text{fixe dans }}{\mathcal {R}}\;$» dans laquelle
$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace \;$ est l'ensemble des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées au point $\;M\;$ et
$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

     Remarques : Cette 2^ème C.N. d’équilibre relatif dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est équivalente à la 1^re tant qu'on s'intéresse à l'équilibre relatif d'un point matériel $\;M$, cela résulte du fait que le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à $\;M\;$ dans un référentiel non galiléen est équivalent à la r.f.d.n. appliqué au même point $\;M\;$ dans le même référentiel non galiléen.

     Remarques : La 2^ème C.N. d’équilibre relatif dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {0}}\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;O\;{\text{fixe dans }}{\mathcal {R}}\;$» peut être étendue à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement nulle.

     Remarques : On observe que la pseudo-force d'inertie de Coriolis ne jouant aucun rôle dans cette 2^ème C.N. d’équilibre relatif, celle-ci est formellement identique quel que soit l'entraînement du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen par rapport au référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}$ $\;{\big [}$translation, rotation uniforme $\;{\big (}$ou non${\big )}\;$ relativement à un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ ou encore mouvement quelconque${\big ]}$, cette identité n'étant que formelle car l'explicitation de la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ dépend du type d'entraînement.

Théorème de la puissance cinétique du point dans un référentiel non galiléen

Énoncé du théorème de la puissance cinétique du point applicable dans un référentiel non galiléen

Début d’un théorème

Théorème de la puissance cinétique du point dans un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la puissance cinétique d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ est égale à la somme des puissances des «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right\rbrace \;$» appliquées au point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ et de la puissance de la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$», soit «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» avec
«$\;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» et «$\;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» les puissances instantanées
développées par la force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ et la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen
$\;{\big [}{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}$,
ainsi que «$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}}{2\;m}}(t)\;$» l'énergie cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen,
$\;{\big [}{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant le vecteur quantité de mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}$.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de la puissance cinétique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable sous la forme ci-dessus quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nulle quel que soit l'entraînement.

     Remarques : $\;\succ \;$Le théorème de la puissance cinétique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ n'est, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne $\;{\big [}$la justification de cette affirmation est faite dans le paragraphe « démonstration du théorème de la puissance cinétique du point applicable dans un référentiel non galiléen » de ce chapitre${\big ]}$.

     Remarques : $\;\succ \;$Le théorème de la puissance cinétique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.

Démonstration du théorème de la puissance cinétique du point applicable dans un référentiel non galiléen

     L’expression du théorème de la puissance cinétique applicable à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, c'est-à-dire encore la « puissance cinétique du point $\;M\;$ $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » soit, en cinétique newtonienne du point $\;M$, $\;{\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {m}{\cancel {2}}}\;{\cancel {2}}\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\cdot \left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ car, en cinétique newtonienne du point $\;M$, $\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;m\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)$ ;

     on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d.n. applicable dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et écrite sous la forme «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$» par $\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans le membre de gauche et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite, «$\;\sum \limits _{k}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\right]+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» ;

     dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right\rbrace \;$ appliquées au point $\;M\;$ et par les pseudo-forces d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ et de Coriolis $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen dans laquelle la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]=$ ${\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=\left[-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» est nulle quel que soit l'entraînement, nullité justifiée par utilisation de la « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » exposée dans le chap.$7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;

     en conclusion le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel $\;M\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen s'écrit «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$».

Théorème de l'énergie cinétique du point dans un référentiel non galiléen

Théorème de l'énergie cinétique du point sous forme élémentaire dans un référentiel non galiléen

     Le travail élémentaire d'une force ou pseudo-force sur la durée élémentaire $\;dt\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ où cette force ou pseudo-force développe la puissance $\;{\mathcal {P}}(t)$, noté usuellement $\;\delta W\;$, étant défini selon «$\;\delta W={\mathcal {P}}(t)\;dt\;$» $\;{\big [}$avec pour unité de travail le joule de symbole $\;J$, $\;1\;J=1\;W\times 1\;s{\big ]}$,

     le théorème de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sous sa forme élémentaire dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen se déduit

     du théorème de la puissance cinétique du point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen en multipliant ce dernier par $\;dt\;$ et
            du théorème de la puissance cinétique du point M dans le référentiel R non galiléen en utilisant la définition de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable $\;dK_{M/{\mathcal {R}}}={\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;dt\;$,

     d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sous sa forme élémentaire dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique du point sous sa forme élémentaire dans un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la variation élémentaire d'énergie cinétique «$\;dK_{M/{\mathcal {R}}}\;$» d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ est égale à la somme des travaux élémentaires des «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right\rbrace \;$» appliquées au point $\;M\;$ sur le même intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et du travail élémentaire de la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$», soit «$\;\sum \limits _{k}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=dK_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» avec
«$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}$» et «$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}$»
les travaux élémentaires développés par la force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ et la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$
sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen
$\;{\bigg \{}\left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}\;$ étant le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\bigg \}}$,
ainsi que «$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}}{2\;m}}(t)\;$» l'énergie cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen,
$\;{\big [}{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant le vecteur quantité de mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}$.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, le travail élémentaire développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nul quel que soit l'entraînement $\;{\big (}$car la puissance développée par cette pseudo-force dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est nulle${\big )}$.

     Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=dK_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.

Théorème de l'énergie cinétique du point sur une durée finie dans un référentiel non galiléen

     Le travail d'une force ou pseudo-force sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ où cette force ou pseudo-force développe, à partir de l'instant $\;t\;$ sur une durée $\;dt$, un travail élémentaire $\;\delta W(t)\;$, noté usuellement $\;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}$, étant défini comme la somme continue de tous ces travaux élémentaires sur cet intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ c'est-à-dire «$\;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W(t)\;$»,

     le théorème de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sous l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen se déduit

     du théorème de l'énergie cinétique de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen sous forme élémentaire à partir de $\;t\;$ sur une durée $\;dt$, en formant la somme continue, membre à membre, de ce dernier et
                 du théorème de l'énergie cinétique dd M dans R non galiléen sous forme élémentaire à partir de t sur une durée dt, en utilisant $\;\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}=K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{f})-K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}dK_{M/{\mathcal {R}}}(t)$,

     d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sur une durée finie dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique du point sur une durée finie dans un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude non galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la variation d'énergie cinétique d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ «$\;\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}=K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{f})-K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})\;$» est égale à la somme des travaux des «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right\rbrace \;$» appliquées au point $\;M\;$ sur le même intervalle $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ et du travail de la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ sur $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ dans le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$», soit «$\;\sum \limits _{k}W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]+W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}\;$» avec
«$\;W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{f}}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}$» et
«$\;W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{f}}{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}$»
les travaux développés par la force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ et la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$
sur l'intervalle $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen
$\;{\bigg \{}\left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}\;$ étant le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\bigg \}}$,
ainsi que «$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}}{2\;m}}(t)\;$» l'énergie cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen,
$\;{\big [}{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant le vecteur quantité de mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}$.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, le travail développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nul quel que soit l'entraînement $\;{\big (}$car le travail élémentaire développé par cette pseudo-force dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est nul sur tout l'intervalle de durée finie${\big )}$.

     Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]+W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.

Théorème de la variation de l'énergie mécanique du point dans un référentiel non galiléen

Énergie mécanique du point soumis à un (ou plusieurs) champ(s) de force conservatif(s) dans un référentiel non galiléen

     Présupposé : Dans ce chapitre nous ne considérons l'éventuel caractère conservatif d'une force que si celle-ci ne dépend pas explicitement du temps dans le référentiel considéré.

     Préliminaire : Une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ étant dite « conservative » ssi son travail de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ «$\;W_{M_{1}\,{\overset {\mathcal {T}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;$» est indépendant de la trajectoire $\;{\mathcal {T}}\;$ suivi par le point $\;M\;$ qui subit la force ou
     Préliminaire : Une force « F(M) » étant dite « conservative » ssi son travail élémentaire «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» est une différentielle de fonction énergétique du point $\;M\;$ qui subit la force,

     Préliminaire : il est possible de définir l'énergie potentielle du point $\;M\;$ dans le champ de cette force conservative «$\;U_{\vec {F}}(M)\;$» comme la fonction scalaire du point telle que sa différentielle s'identifie à l'opposé du travail élémentaire de la force «$\;dU_{\vec {F}}(M)=-\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;$» $\;{\big (}\Rightarrow \;$ fonction définie sans autre exigence à une constante additive près${\big )}\;$ ou
       Préliminaire : il est possible de définir l'énergie potentielle du point « M » dans le champ de cette force conservative « U_F(M) » comme la fonction scalaire du point telle que son gradient s'identifie à l'opposé de la force «$\;{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[U_{\vec {F}}\right](M)$ $=-{\vec {F}}(M)\;$» $\;{\big (}\Rightarrow \;$ fonction définie sans autre exigence à une constante additive près${\big )}$,

     Préliminaire : l'unicité de cette fonction nécessitant de préciser l'endroit où celle-ci s'annule $\;{\big (}$endroit appelé « référence de l'énergie potentielle »${\big )}$.

Énergie mécanique d'un point matériel soumis à un (ou plusieurs) champ(s) de force conservatif(s) dans un référentiel non galiléen

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, l'énergie mécanique, à l'instant $\;t$, d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ soumis au(x) champ(s) de ${\big (}$vraie${\big )}$ force conservatif(s) «$\;{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,{\text{cons.}}}(M)\;$» « dérivant » ${\big (}$individuellement${\big )}$ de l'énergie potentielle du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;U_{{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M)\;$» est notée «$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$» et définie, à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, selon «$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{\mathit {l}}U_{{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}}{2\;m}}(t)\;$» est l'énergie cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen
$\;{\big [}{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ et $\;{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant respectivement la vitesse et la quantité de mouvement de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}$.

     Remarque : A priori une force « conservative dans un référentiel galiléen » peut être « non conservative dans un référentiel non galiléen $\;{\big (}$au sens où le caractère conservatif n'est considéré que pour une force ne dépendant pas explicitement du temps${\big )}\;$» $\;{\Big \{}$exemple, le poids d'un point matériel $\;m\;{\vec {g}}\;$
     Remarque : est, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen, une force conservative « dérivant » de l'énergie potentielle du point dans le référentiel terrestre $\;U_{\text{pes.}}(M)=m\;g\;z_{M}\;$ avec $\;z_{M}\;$ l'altitude de $\;M$, la référence de l'énergie potentielle étant choisie sur le sol terrestre alors que,
     Remarque : n'est pas, dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ tournant autour d'un axe horizontal $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, à vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}=cste$, une force conservative $\;{\big (}$au sens où le caractère conservatif n'est considéré que pour une force ne dépendant pas explicitement du temps${\big )}\;$ car l'expression du poids de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\Big [}$avec $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right)\;$ la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ orientant $\;\Delta$ et $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant vertical ascendant, ainsi que $\;\left({\vec {u}}_{x_{\mathcal {R}}}\,,\,{\vec {u}}_{z_{\mathcal {R}}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right)\;$ la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel tournant $\;{\mathcal {R}}$, l'angle entre $\;{\vec {u}}_{x_{\mathcal {R}}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{x}\;$ valant, à l'instant $\;t$, «$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{x_{\mathcal {R}}}\right)}}={\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\;$» avec choix de C.I., cette valeur étant aussi celle de «$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{z_{\mathcal {R}}}\right)}}\;$»${\big ]}\;$ est $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{z}=$ $\sin \!\left({\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;{\vec {u}}_{x_{\mathcal {R}}}+\cos \!\left({\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;{\vec {u}}_{z_{\mathcal {R}}}\;$ d'où «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;\sin \!\left({\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;{\vec {u}}_{x_{\mathcal {R}}}-m\;g\;\cos \!\left({\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;{\vec {u}}_{z_{\mathcal {R}}}\;$» c'est-à-dire à composantes cartésiennes dépendant explicitement du temps $\;t\;$ donc sortant du cadre des forces conservatives étudiées dans ce chapitre${\Big \}}$.

Énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique du point dans un référentiel non galiléen

Début d’un théorème

Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, la somme des travaux des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors du déplacement sur sa trajectoire $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$» et de la « pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ lors du même déplacement sur $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$» c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;$» est égale à la « variation de l'énergie mécanique du point $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$» c'est-à-dire à la variation de $\;E_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ calculée entre les instants associés aux positions $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}$ $=E_{m/{\mathcal {R}}}(M_{2})-E_{m/{\mathcal {R}}}(M_{1})\;$», soit encore «$\;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » avec
le travail de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force non conservative $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}$»
et celui de la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ également dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}$» ainsi que
«$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» et «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» sont respectivement les énergies
cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et potentielle de $\;M\;$
dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, le travail développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nul quel que soit l'entraînement.

     Démonstration : Appliquant, entre un instant initial $\;t_{1}\;$ et un instant final $\;t_{2}$, le théorème de l’énergie cinétique au point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen en distinguant

• les «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives » $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ dont on utilise le caractère conservatif dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative notée $\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M)\;$
• des «$\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives » $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)$,

     Démonstration : cela donne $\;\sum \limits _{j}W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}\;$ dans laquelle on remplace le travail de chaque $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative en fonction de l'énergie potentielle dont elle dérive $\;W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{1})-U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{2})=-\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\;$ d'où la 1^re somme du 1^er membre du théorème de l'énergie cinétique $\;\sum \limits _{j}W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\sum \limits _{j}\left[-\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]=-\Delta \!\left[\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]\;$ dont on déduit la réécriture du théorème de l'énergie cinétique sous la forme $\;-\Delta \!\left[\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]+\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}\;$ soit enfin, en transposant les termes d'énergies potentielles $\;{\big (}\Rightarrow \;$ un changement de signe${\big )}$, $\;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\Delta \!\left[K_{M/{\mathcal {R}}}+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ compte-tenu de la définition de l'énergie mécanique du point $\;M\;$ dans le champ des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen C.Q.F.D..

     Remarque : Le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.

Début d’un théorème

Théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, la somme des travaux élémentaires des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors du déplacement élémentaire sur sa trajectoire $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ de $\;{\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}\;$ et de la « pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ lors du même déplacement élémentaire sur $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen de $\;{\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}\;$» c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;$» est égale à la « variation élémentaire, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, de l'énergie mécanique $\;E_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ du point $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$» c'est-à-dire «$\;dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$», soit encore «$\;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » avec
le travail élémentaire de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force non conservative $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]={\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}$»
et celui de la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ également dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}$» ainsi que
«$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» et «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» sont respectivement les énergies
cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et potentielle de $\;M\;$
dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, le travail élémentaire développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nul quel que soit l'entraînement.

     Démonstration : Ce n'est qu'un cas particulier du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen car la différentielle de l'énergie mécanique définie mathématiquement selon «$\;dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}={\dot {E}}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t)\;dt\;$» s'écrit aussi, en restant dans le cadre de la physique où l'élément différentiel est aussi petit que possible, «$\;dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}$ $=E_{m/{\mathcal {R}}}(M_{t+dt})-E_{m/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$».

     Remarque : Le théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.

Début d’un théorème

Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, la somme des puissances développées par les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ et par la « pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;$» est égale à la « puissance mécanique, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, $\;{\dot {E}}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ du point $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$», soit mathématiquement «$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dot {E}}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » avec
la puissance développée de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force non conservative $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]={\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)$»
et celui de la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ également dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)$»
$\;{\big [}$avec $\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}\;$
ainsi que «$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» et «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» sont respectivement les énergies
cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et potentielle de $\;M\;$
dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de la puissance mécanique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nulle quel que soit l'entraînement.

     Démonstration : Il suffit de diviser les deux membres du théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen car la différentielle de l'énergie mécanique étant définie mathématiquement selon «$\;dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}={\dot {E}}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t)\;dt\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dot {E}}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\;$» et le travail élémentaire $\;\delta W\;$ développé par une force ou une pseudo-force pendant une durée élémentaire $\;dt\;$ étant définie relativement à la puissance $\;{\mathcal {P}}(t)\;$ développée, à l'instant $\;t$, par cette force ou pseudo-force selon «$\;\delta W={\mathcal {P}}(t)\;dt\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}(t)={\dfrac {\delta W}{dt}}\;$».

     Remarques : Le théorème de la puissance mécanique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dot {E}}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$» peut être étendu à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.

     Remarque : « Le théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$» est la « forme locale » $\;{\big \{}$écrite à un instant $\;t{\big \}}\;$ associée à la « forme intégrée » « le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$» $\;{\big \{}$écrite sur un intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ ou, sous forme élémentaire, sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]{\big \}}$.

La pseudo-force d’inertie d’entraînement définie dans un référentiel non galiléen peut-elle être conservative ?

     Sachant qu'en général, une pseudo-force d'inertie d'entraînement définie dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen dépend explicitement du temps $\;{\big [}$ce qui est le cas si $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation relativement à un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen avec une accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\neq {\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ ou en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\neq {\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ ou encore en mouvement quelconque${\big ]}\;$ celle-ci n'est pas conservative dans le cadre où le caractère conservatif d'une force n'est envisagé que si celle-ci ne dépend pas explicitement du temps ;

     nous ne chercherons l'éventuel aspect conservatif d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement définie dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen que si celle-ci ne dépend pas explicitement du temps c'est-à-dire si l'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen est

• une translation rectiligne uniformément accélérée de vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ ou
• une rotation uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$.

Cas d'un référentiel d'entraînement en translation rectiligne uniformément accélérée relativement au référentiel absolu galiléen

     Si le référentiel d’entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen de vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\neq {\vec {0}}\;$ noté $\;{\vec {a}}_{0}$, un point quelconque $\;M\;$ a pour vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{0}\;$ et est soumis, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{0}\;$» $\;{\big [}$on note que cette pseudo-force d’inertie d'entraînement ne dépend pas explicitement de $\;t\;$ et qu'elle est aussi indépendante de $\;M$, elle est donc $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}{\big ]}$ ;

     cette pseudo-force d'entraînement est conservative dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen car son travail élémentaire dans ce référentiel est une différentielle de fonction scalaire de $\;M\;$ en effet son travail élémentaire dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen s'écrit «$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=-m\;{\vec {a}}_{0}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/{\mathcal {R}}}=-d\left[m\;{\vec {a}}_{0}\cdot {\overrightarrow {OM}}\right]_{/{\mathcal {R}}}$» dans la mesure où $\;m\;{\vec {a}}_{0}\;$ est un vecteur constant dans $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big [}O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;{\big (}$par exemple l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big )}{\big ]}$ ;

     définissant l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, notée «$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$», par «$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=-dU_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$» on en déduit son expression

«$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M}=m\;{\vec {a}}_{0}\cdot {\overrightarrow {OM}}\;$» avec référence en $\;O\;$ point fixe de $\;{\mathcal {R}}$.

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier

     Si le référentiel d’entraînement $\;{\mathcal {R}}\;$ est en rotation uniforme autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ noté $\;{\vec {\Omega }}_{0}$, un point quelconque $\;M\;$ a pour vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}=-{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}\;$ avec $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta \;$ et est soumis, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}\;$» $\;{\big [}$on note que cette pseudo-force d’inertie d'entraînement ne dépend pas explicitement de $\;t\;$ mais qu'elle dépend de $\;M$, elle est de plus « axifuge »${\big ]}$ ;

     cette pseudo-force d'entraînement est conservative dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen car son travail élémentaire dans ce référentiel est une différentielle de fonction scalaire de $\;M\;$ en effet son travail élémentaire dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, explicité en utilisant le repérage cylindro-polaire du point $\;M\;$ d'axe $\;\Delta$ $\;{\big (}$orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big )}\;$ et de pôle $\;O\in \Delta \;$ du repère associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, les coordonnées cylindro-polaires de $\;M\;$ étant «$\;\left(r_{\mathcal {R}}\,,\,\theta _{\mathcal {R}}\,,\,\delta \right)\;$» et la base cylindro-polaire lié à $\;M\;$ «$\;\left({\vec {u}}_{r_{\mathcal {R}}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{\mathcal {R}}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right)\;$», s'écrit «$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/{\mathcal {R}}}=m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;r_{\mathcal {R}}\;{\vec {u}}_{r_{\mathcal {R}}}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/{\mathcal {R}}}=m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;r_{\mathcal {R}}\;dr_{\mathcal {R}}\;$» car $\;{\overrightarrow {dM}}_{/{\mathcal {R}}}=$ $dr_{\mathcal {R}}\;{\vec {u}}_{r_{\mathcal {R}}}+r\;d\theta _{\mathcal {R}}\;{\vec {u}}_{\theta _{\mathcal {R}}}+d\delta \;{\vec {u}}_{\Delta }$, soit encore «$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;r_{\mathcal {R}}^{\,2}\right]\;$», $\;r_{\mathcal {R}}\;dr_{\mathcal {R}}\;$ étant la différentielle de $\;{\dfrac {r_{\mathcal {R}}^{\,2}}{2}}+{\text{cste}}\;$ donc de $\;{\dfrac {r_{\mathcal {R}}^{\,2}}{2}}$ ;

     définissant l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, notée «$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$», par «$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=-dU_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$» on en déduit son expression

«$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M}=-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;r_{\mathcal {R}}^{\,2}\;$» avec référence sur l'axe $\;\Delta \;$ et
«$\;r_{\mathcal {R}}=H_{M}M\;$» $\;{\big (}H_{M}\;$ étant le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big )}$.

Énergie mécanique du point soumis à un champ de forces conservatives et un champ d'inertie d'entraînement conservatif dans un référentiel non galiléen (énergie mécanique « généralisée »)

     Rappel de présupposé : Dans ce chapitre nous ne considérons l'éventuel caractère conservatif d'une force ou de la pseudo-force d'inertie d'entraînement que si celles-ci ne dépendent pas explicitement du temps dans le référentiel considéré.

Énergie mécanique d'un point matériel soumis à un champ de pseudo-force d'inertie d'entraînement conservatif ainsi qu'à un (ou plusieurs) champ(s) de force conservatif(s) dans un référentiel non galiléen

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, l'énergie mécanique, à l'instant $\;t$, d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ soumis au champ de pseudo-force d'inertie d'entraînement conservatif «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$» « dérivant » de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement de $\;M\;$ «$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$» et au(x) champ(s) de ${\big (}$vraie${\big )}$ force conservatif(s) «$\;{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,{\text{cons.}}}(M)\;$» « dérivant » ${\big (}$individuellement${\big )}$ de l'énergie potentielle du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;U_{{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M)\;$» est notée «$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$» et définie, à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, selon «$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{\mathit {l}}U_{{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})+U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}}{2\;m}}(t)\;$» est l'énergie cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen
$\;{\big [}{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ et $\;{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant respectivement la vitesse et la quantité de mouvement de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}$.

     Remarques : L'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\;$ soumis à un champ de pseudo-force d'inertie d'entraînement conservatif ainsi qu'à un $\;{\big (}$ou plusieurs${\big )}\;$ champ(s) de force conservatif(s) dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est encore appelée « énergie mécanique généralisée de $\;M\;$ dans le $\;{\big (}$ou les${\big )}\;$ champ(s) de force conservatif(s) du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ».

     Remarques : L'énergie mécanique généralisée de $\;M\;$ dans le $\;{\big (}$ou les${\big )}\;$ champ(s) de force conservatif(s) du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$» est liée à l'énergie mécanique de $\;M\;$ dans le $\;{\big (}$ou les${\big )}\;$ champ(s) de force conservatif(s) du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$» et à l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement de $\;M\;$ «$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$» par

«$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)+U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$».

Théorème de la variation de l'énergie mécanique « généralisée » du point dans un référentiel non galiléen

Début d’un théorème

Théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, la somme des travaux des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors du déplacement sur sa trajectoire $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$» c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]\;$» est égale à la « variation de l'énergie mécanique généralisée du point $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$» c'est-à-dire à la variation de $\;{E'}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ calculée entre les instants associés aux positions $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;\Delta {E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}=$ ${E'}_{m/{\mathcal {R}}}(M_{2})-{E'}_{m/{\mathcal {R}}}(M_{1})\;$», soit encore «$\;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\Delta {E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » avec
le travail de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force non conservative $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}$» ainsi que
«$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})+U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$», «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» et «$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» sont respectivement les énergies
cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen,
potentielle de $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et
potentielle d'inertie d'entraînement de $\;M\;$ associée au caractère conservatif de la pseudo-force d'inertie $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}$.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, le travail développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nul quel que soit l'entraînement.

     Démonstration : Appliquant, entre un instant initial $\;t_{1}\;$ et un instant final $\;t_{2}$, le théorème de la variation de l'énergie mécanique au point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, cela donne $\;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ dans laquelle on remplace le travail de la pseudo-force d'inertie d'entraînement conservative en fonction de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement dont elle dérive $\;W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=U_{{\text{in.}}\,e,\,M}(M_{1})-U_{{\text{in.}}\,e,\,M}(M_{2})=-\Delta U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$ d'où, par remplacement dans le théorème de la variation de l'énergie mécanique, on déduit la réécriture de ce théorème sous la forme $\;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]-\Delta U_{{\text{in.}}\,e,\,M}=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ soit enfin, en transposant le terme d'énergie potentielle d'inertie d'entraînement $\;{\big (}\Rightarrow \;$ un changement de signe${\big )}$, $\;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\Delta \!\left[E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}+U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\Delta {E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ compte-tenu de la définition de l'énergie mécanique généralisée du point $\;M\;$ dans le champ des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen C.Q.F.D..

Début d’un théorème

Théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, la somme des travaux élémentaires des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors du déplacement élémentaire sur sa trajectoire $\;{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}\;$ de $\;{\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}\;$ c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]\;$» est égale à la « variation élémentaire, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, de l'énergie mécanique généralisée $\;{E'}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ du point $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$» «$\;d{E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$», soit «$\;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=d{E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » avec
le travail élémentaire de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force non conservative $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]={\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}$» ainsi que
«$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})+U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$», «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» et «$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» sont respectivement les énergies
cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen,
potentielle de $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et
potentielle d'inertie d'entraînement de $\;M\;$ associée au caractère conservatif de la pseudo-force d'inertie $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}$.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, le travail élémentaire développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nul quel que soit l'entraînement.

     Démonstration : Ce n'est qu'un cas particulier du théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen car la différentielle de l'énergie mécanique généralisée définie mathématiquement selon «$\;d{E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}={\dot {E'}}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t)\;dt\;$» s'écrit aussi, en restant dans le cadre de la physique où l'élément différentiel est aussi petit que possible, «$\;d{E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}$ $={E'}_{m/{\mathcal {R}}}(M_{t+dt})-{E'}_{m/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$».

Début d’un théorème

Théorème de la puissance mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen

     Dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen, la somme des puissances développées par les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ appliquées à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]\;$» est égale à la « puissance mécanique généralisée, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen $\;{\big (}$c'est-à-dire la dérivée temporelle de l'énergie mécanique généralisée${\big )}\;$ ${\dot {E'}}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ du point $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$», soit mathématiquement «$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]={\dot {E'}}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » avec
la puissance développée de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force non conservative $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
«$\;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]={\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)$»
$\;{\big [}$avec $\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big ]}\;$
ainsi que «$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})+U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» dans laquelle
«$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$», «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» et «$\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» sont respectivement les énergies
cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen,
potentielle de $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et
potentielle d'inertie d'entraînement de $\;M\;$ associée au caractère conservatif de la pseudo-force d'inertie $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}$.

Fin du théorème

     Commentaire : Le théorème de la puissance mécanique généralisée dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un référentiel galiléen, la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis étant nulle quel que soit l'entraînement.

     Démonstration : Il suffit de diviser les deux membres du théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen car la différentielle de l'énergie mécanique généralisée étant définie mathématiquement selon «$\;d{E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}={\dot {E'}}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t)\;dt\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dot {E'}}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {d{E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\;$» et le travail élémentaire $\;\delta W\;$ développé par une force pendant une durée élémentaire $\;dt\;$ étant définie relativement à la puissance $\;{\mathcal {P}}(t)\;$ développée, à l'instant $\;t$, par cette force selon «$\;\delta W={\mathcal {P}}(t)\;dt\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}(t)=$ ${\dfrac {\delta W}{dt}}\;$».

     Remarque : « Le théorème de la puissance mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$» est la « forme locale » $\;{\big \{}$écrite à un instant $\;t{\big \}}\;$ associée à la « forme intégrée » « le théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$» $\;{\big \{}$écrite sur un intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ ou, sous forme élémentaire, sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]{\big \}}$.

Point matériel conservatif dans un référentiel non galiléen

Point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen

     Un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est dit « à mouvement conservatif dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen » ssi

• il n'est soumis qu'à des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces conservatives dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ou
• les éventuelles $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces non conservatives dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ne travaillent pas,

     la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen étant « conservative » ou
« non conservative » mais ne travaillant pas.

Avec pseudo-force d'inertie d'entraînement non conservative

     Considérant un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ « à mouvement conservatif dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen tel que la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est non conservative et ne travaille pas », nous en déduisons, par application du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point dans un référentiel non galiléen, la conservation de l'énergie mécanique du point dans le référentiel d'étude non galiléen soit

«$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=cste\;\;\forall \;t\;$» avec
«$\;E_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» dans laquelle

     «$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» et «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» sont respectivement l'énergie cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

Avec pseudo-force d'inertie d'entraînement conservative

     Considérant un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ « à mouvement conservatif dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen tel que la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est conservative et dérive de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement $\;U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;$», nous en déduisons, par application du théorème de la variation d'énergie mécanique généralisée d'un point dans un référentiel non galiléen, la conservation de l'énergie mécanique généralisée du point dans le référentiel d'étude non galiléen soit

«$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=cste\;\;\forall \;t\;$» avec
«$\;{E'}_{m\,/{\mathcal {R}}}(M,\,t)=K_{M/{\mathcal {R}}}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})+U_{{\text{in.}}\,e,\,M_{t}}\;$» dans laquelle

     «$\;K_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$» et «$\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{t})\;$» sont respectivement l'énergie cinétique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen et l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force conservative $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\;$ de $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen.

En complément, autres formes intégrées de la dynamique du point matériel en référentiel non galiléen

     La distinction entre « forme locale de la dynamique du point matériel » et forme intégrée associée de cette dynamique du point matériel a été introduite, en ce qui concerne la dynamique en référentiel galiléen, dans le paragraphe « différence entre “ forme locale de la dynamique ” et “ forme intégrée associée à cette forme locale ” » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », cette distinction se prolonge, sans difficulté apparente, dans le cadre de la dynamique du point matériel en référentiel non galiléen.

1^re autre forme intégrée : R.f.d.n. sous forme intégrée

     Partant de la r.f.d.n. appliquée au point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$»,

• on multiplie de part et d'autre par $\;dt\;$ d’où $\;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;dt\;$ ou $\;\sum \limits _{k}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;dt\right]+\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;dt\right]+\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;dt\right]=d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}=$ $m\;d{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}\;$ dans laquelle chaque terme entre crochets du membre de gauche «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;dt\;$», «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;dt\;$» ou «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;dt\;$» définit respectivement une grandeur élémentaire de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force considérée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis $\;{\Big \{}$appelée impulsion élémentaire de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis et notée respectivement $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]$, $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;$ ou $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;$${\Big \}}$, la relation obtenue définissant « le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire applicable dans un référentiel non galiléen » réécrit selon «$\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}=m\;d{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}$» puis
• on intègre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace ={\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=m\left[{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\right]\;$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales $\;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=m\left[{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\right]\;$ dans laquelle chaque terme de la somme du membre de gauche «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;$», «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]dt\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=$ $\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt\;$» définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$ $\;{\Big \{}$appelée impulsion sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis et notée respectivement $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}\right]$, $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\;$ ou $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]{\Big \}}$, permettant de réécrire la relation obtenue et définissant « le théorème de l'impulsion sur une durée finie applicable dans un référentiel non galiléen » selon «$\sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]+{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]+{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]={\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=m\left[{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\right]$».

     Remarque : Le Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire applicable à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen trouve son intérêt, relativement à la forme locale associée « la r.f.d.n. dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen », quand l'une des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces ou la pseudo-force d'inertie d'entraînement est discontinue de 2^ème espèce $\;{\Big [}$discontinuité qui se manifeste par exemple dans la modélisation d'une $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force quand celle-ci est de collision $\Rightarrow$ parmi les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces, seules les forces de collision ont une impulsion élémentaire de norme non infiniment petite${\Big ]}$ ;

     Remarque : la pseudo-force d'inertie d'entraînement peut également être discontinue de 2^ème espèce dans le cas d'un entraînement de translation de $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ si le mouvement de $\;{\mathcal {R}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ est modifié, à l'instant de discontinuité de 2^ème espèce, par une collision de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur un objet fixe de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ $\;{\Big [}$exemple on étudie le mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans une voiture $\;{\big (}$référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big )}\;$ relativement au sol $\;{\big (}$référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen${\big )}\;$ et, à un instant $\;t_{0}$, la voiture entre en collision avec un arbre $\Rightarrow$ l'arbre exerce sur la voiture, dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, une force de collision discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ communiquant à la voiture, dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, une accélération discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ et par suite la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans le référentiel voiture $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ $\Rightarrow$ son impulsion élémentaire est de norme non infiniment petite${\Big ]}$ ;

     Remarque : la pseudo-force d'inertie de Coriolis ne peut, a priori, pas être discontinue de 2^ème espèce, en effet son expression, quand le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe d'un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, étant «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$», la pseudo-force ne pourrait être discontinue de 2^ème espèce que si l'un des facteurs l'était, ce qui n'est pas réalisable pour des vitesses ou des vitesses angulaires $\;\ldots$

     Conséquence de l'application, à un point matériel $\;M\left(m\right)$, du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire en référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen dans les cas suivants

• le point matériel $\;M\;$ subit une $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force de collision à l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion élémentaire $\;{\big (}$de norme non infiniment petite${\big )}\;$ «$\;{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}(t_{0})=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}(t_{0})\;{\vec {u}}\;$» $\;{\big [}{\vec {u}}\;$ étant le vecteur unitaire définissant la direction et le sens de la force de collision $\Rightarrow$ $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}(t_{0})\;$ est $\;>0{\big ]}$, les autres $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées à $\;M\;$ ayant une impulsion élémentaire de norme infiniment petite, l'étude du mouvement de $\;M\;$ étant faite dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen ne subissant aucune collision dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}$ $\;{\big [}$la collision étant entre $\;M\;$ et l'objet $\;\left(\Sigma \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big ]}$, la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\big (}$ainsi que l'éventuelle pseudo-force d'inertie de Coriolis${\big )}\;$ a une impulsion élémentaire de norme infiniment petite, et par suite
     l'application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire centrée en $\;t_{0}\;$ dans référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de norme infiniment petite et en observant que la variation élémentaire de quantité de mouvement de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen devant être, comme le 1^er membre, de norme non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter $\;d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}\;$, mais $\;{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})=\Delta {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})$, «$\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}(t_{0})\;{\vec {u}}=\Delta {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})=m\;\Delta {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})\;$» $\Rightarrow$ $\;\Delta {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})={\dfrac {I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}(t_{0})}{m}}\;{\vec {u}}\;$ soit
  une discontinuité de 1^re espèce du vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})={\dfrac {I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}(t_{0})}{m}}\;{\vec {u}}\;$» ou
• le point matériel $\;M\;$ subit des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces sans collision dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen en translation relativement à un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen mais, à l'instant $\;t_{0}$, le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ entrant en collision avec un objet suffisamment lourd pour que ce dernier puisse être considéré comme fixe dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ malgré la collision, le vecteur accélération de $\;{\mathcal {R}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$ «$\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$» a une discontinuité de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ $\Rightarrow$ la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$» étant aussi discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ est la seule force ou pseudo-force ayant une impulsion élémentaire de norme non infiniment petite «$\;{\vec {I}}_{{\text{in.}}\,e\,M}(t_{0})=I_{{\text{in.}}\,e\,M}(t_{0})\;{\vec {u}}\;$» $\;{\big [}{\vec {u}}\;$ étant le vecteur unitaire définissant la direction et le sens de la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\Rightarrow$ $\;I_{{\text{in.}}\,e\,M}(t_{0})\;$ est $\;>0{\big ]}$, toutes les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées à $\;M\;$ ayant une impulsion élémentaire de norme infiniment petite et par suite
     l'application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire centrée en $\;t_{0}\;$ dans référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de norme infiniment petite ainsi qu'en observant d'une part l'absence de pseudo-force d'inertie de Coriolis $\;{\big [}{\mathcal {R}}\;$ étant en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{g}{\big ]}\;$ et d'autre part que la variation élémentaire de quantité de mouvement de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen devant être, comme le 1^er membre, de norme non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter $\;d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}\;$, mais $\;{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})=\Delta {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})$, «$\;I_{{\text{in.}}\,e\,M}(t_{0})\;{\vec {u}}=\Delta {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})=m\;\Delta {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})\;$» $\Rightarrow$ $\;\Delta {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})={\dfrac {I_{{\text{in.}}\,e\,M}(t_{0})}{m}}\;{\vec {u}}\;$ soit
  une discontinuité de 1^re espèce du vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})={\dfrac {I_{{\text{in.}}\,e\,M}(t_{0})}{m}}\;{\vec {u}}\;$».

2^ème autre forme intégrée : Théorème du moment cinétique vectoriel sous forme intégrée

     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen relativement au point origine $\;O\;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$par exemple l'origine du repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=\left[{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;$»,

• on multiplie de part et d'autre par $\;dt\;$ d’où $\;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace dt=\left[{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;dt\;$ ou, en distribuant $\;dt\;$ à tous les termes de la somme du membre de gauche, $\;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace =d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ dans laquelle chaque terme entre accolades du membre de gauche «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\;$», «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\;$» ou «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\;$» définit respectivement une grandeur élémentaire du moment vectoriel de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force considérée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis $\;{\bigg [}$que l'on pourrait appelée impulsion élémentaire de moment vectoriel par rapport à $\;O\;$ de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis et notée respectivement $\;\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace$, $\;\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;$ ou $\;\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;$${\bigg ]}$, la relation obtenue définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique vectoriel sous forme élémentaire applicable dans un référentiel non galiléen » réécrit selon «$\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace =d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}\;$» puis
• on intègre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum \limits _{k}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \right]={\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales $\;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace ={\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;$ dans laquelle chaque terme de la somme du membre de gauche «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;$», «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]dt\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace$ $=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt\;$» définit une grandeur de moment vectoriel de force relativement à $\;O\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$ $\;{\bigg [}$que l'on pourrait appelée impulsion de moment vectoriel par rapport à $\;O\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis et notée respectivement $\;{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace$, $\;{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace \;$ ou $\;{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace {\bigg ]}$, permettant de réécrire la relation obtenue et définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique vectoriel sur une durée finie applicable dans un référentiel non galiléen » selon «$\sum \limits _{k}{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace +{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace +{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace ={\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})$».

     Remarque : Là encore la forme intégrée du théorème du moment cinétique vectoriel sous forme élémentaire applicable à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen trouve son intérêt, relativement à la forme locale associée « le théorème du moment cinétique vectoriel dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen », quand l'une des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces ou la pseudo-force d'inertie d'entraînement est discontinue de 2^ème espèce, en effet la définition du moment vectoriel de celle-ci par rapport à $\;O\;$ consistant à multiplier vectoriellement à gauche cette dernière par le vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ nécessairement continu, la discontinuité de 2^ème espèce de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force considérée ou de la pseudo-force d'inertie d'entraînement entraîne la discontinuité de 2^ème espèce de son moment vectoriel $\;{\Big [}$discontinuité qui se manifeste par exemple dans la modélisation d'une $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force quand celle-ci est de collision dont on déduit celle de son moment vectoriel $\Rightarrow$ parmi les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces, seules les forces de collision ont une impulsion élémentaire de moment vectoriel dont la norme n'est pas infiniment petite${\Big ]}$ ;

     Remarque : de même que précédemment pour que le moment vectoriel par rapport à $\;O\;$ de la pseudo-force d'inertie d'entraînement soit discontinu de 2^ème espèce il faut que celle-ci le soit ce qui est, entre autres, réalisé dans le cas d'un entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour d'un axe fixe $\;\Delta \;$ d'un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ si le mouvement de $\;{\mathcal {R}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ est modifié, à l'instant de discontinuité de 2^ème espèce, par un freinage brutal de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur l'axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ $\;{\bigg [}$exemple on étudie le mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sur un manège $\;{\big (}$référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big )}\;$ relativement au sol $\;{\big (}$référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen${\big )}\;$ et, à un instant $\;t_{0}$, le système entraînant le manège dans sa rotation est brutalement bloqué sur son arbre de rotation $\Rightarrow$ l'arbre exerce sur le manège, dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, un moment vectoriel de freinage brutal discontinu de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ communiquant au manège, dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, une accélération angulaire de rotation discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ et par suite la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans le référentiel manège $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ $\;{\bigg \{}$la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'écrivant $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=$ $-m\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)$ $\;{\big (}O\;$ étant un point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big )}\;$ a la même discontinuité que $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}(t){\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ l'impulsion élémentaire de son moment vectoriel par rapport à $\;O\;$ est de norme non infiniment petite${\bigg ]}$ ;

     Remarque : de même que la pseudo-force d'inertie de Coriolis ne pouvant, a priori, pas être discontinue de 2^ème espèce, son expression, quand le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe d'un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, étant «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$», celle-ci ne pourrait être discontinue de 2^ème espèce que si l'un des facteurs l'était, non réalisable pour des vitesses ou des vitesses angulaires, le moment vectoriel, par rapport à $\;O\;\in \;\Delta$, de la pseudo-force d'inertie de Coriolis ne peut non plus être discontinue de 2^ème espèce $\;\ldots$

3^ème autre forme intégrée : Théorème du moment cinétique scalaire sous forme intégrée

     Partant du théorème du moment cinétique scalaire appliqué au point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen relativement à un axe $\;\Delta \;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$par exemple un axe de direction fixe passant par l'origine $\;O\;$ du repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\;$»,

• on multiplie de part et d'autre par $\;dt\;$ d’où $\;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace dt={\dfrac {d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\;dt\;$ ou, en distribuant $\;dt\;$ à tous les termes de la somme du membre de gauche, $\;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace =d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}\;$ dans laquelle chaque terme entre accolades du membre de gauche «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\;$», «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\;$» ou «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\;$» définit respectivement une grandeur élémentaire du moment scalaire de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force considérée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis $\;{\bigg [}$que l'on pourrait appelée impulsion élémentaire de moment scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis et notée respectivement $\;\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace$, $\;\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;$ ou $\;\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;$${\bigg ]}$, la relation obtenue définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire applicable dans un référentiel non galiléen » réécrit selon «$\;\sum \limits _{k}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace =d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}\;$» puis
• on intègre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum \limits _{k}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \right]=\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales $\;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace =\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;$ dans laquelle chaque terme de la somme du membre de gauche «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;$», «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]dt\;$» ou «$\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace$ $=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt\;$» définit une grandeur de moment scalaire de force relativement à $\;\Delta \;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$ $\;{\bigg [}$que l'on pourrait appelée impulsion de moment scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis et notée respectivement $\;{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace$, $\;{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace \;$ ou $\;{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace {\bigg ]}$, permettant de réécrire la relation obtenue et définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sur une durée finie applicable dans un référentiel non galiléen » selon «$\sum \limits _{k}{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace +{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace +{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace =\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})$».

     Remarque : Là encore la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire applicable à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen trouve son intérêt, relativement à la forme locale associée « le théorème du moment cinétique scalaire dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen », quand l'une des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces ou la pseudo-force d'inertie d'entraînement est discontinue de 2^ème espèce, en effet la définition du moment scalaire de celle-ci par rapport à $\;\Delta \;$ consistant à multiplier vectoriellement à gauche cette dernière par le vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}$ $\;{\big (}O\;\in \;\Delta {\big )}\;$ nécessairement continu puis scalairement le résultat obtenu par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ orientant l'axe, la discontinuité de 2^ème espèce de la $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force considérée ou de la pseudo-force d'inertie d'entraînement entraîne la discontinuité de 2^ème espèce de son moment scalaire $\;{\Big [}$discontinuité qui se manifeste par exemple dans la modélisation d'une $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force quand celle-ci est de collision dont on déduit celle de son moment scalaire $\Rightarrow$ parmi les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces, seules les forces de collision ont une impulsion élémentaire de moment scalaire non infiniment petite${\Big ]}$ ;

     Remarque : de même que précédemment pour que le moment scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ de la pseudo-force d'inertie d'entraînement soit discontinu de 2^ème espèce il faut que celle-ci le soit ce qui est, entre autres, réalisé dans le cas d'un entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour d'un axe fixe $\;\Delta \;$ d'un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ si le mouvement de $\;{\mathcal {R}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ est modifié, à l'instant de discontinuité de 2^ème espèce, par un freinage brutal de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur l'axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ $\;{\bigg [}$exemple on étudie le mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sur un manège $\;{\big (}$référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen${\big )}\;$ en rotation relativement au sol $\;{\big (}$référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen${\big )}\;$ autour de $\;\Delta \;$ et, à un instant $\;t_{0}$, le système entraînant le manège dans sa rotation est brutalement bloqué sur son arbre de rotation $\Rightarrow$ l'arbre exerce sur le manège, dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, un moment scalaire de freinage brutal discontinu de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ communiquant au manège, dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$, une accélération angulaire de rotation discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ et par suite la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans le référentiel manège $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ $\;{\bigg \{}$la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'écrivant $\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=$ $-m\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)+m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)$ $\;{\big (}$avec $\;O\;$ point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big )}\;$ a la même discontinuité que $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}(t){\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ l'impulsion élémentaire de son moment scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ est non infiniment petite${\bigg ]}$ ;

     Remarque : de même que la pseudo-force d'inertie de Coriolis ne pouvant, a priori, pas être discontinue de 2^ème espèce, son expression, quand le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen est en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe d'un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, étant «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;$», celle-ci ne pourrait être discontinue de 2^ème espèce que si l'un des facteurs l'était, non réalisable pour des vitesses ou des vitesses angulaires, le moment scalaire, par rapport à $\;\Delta$, de la pseudo-force d'inertie de Coriolis ne peut non plus être discontinue de 2^ème espèce $\;\ldots$

     Conséquence de l'application, à un point matériel $\;M\left(m\right)$, de la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire en référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen dans les cas suivants

• le point matériel $\;M\;$ subit une $\;{\big (}$vraie${\big )}\;$ force de collision à l'instant $\;t_{0}\;$ d'impulsion élémentaire de moment scalaire $\;{\big (}$non infiniment petite${\big )}\;$ par rapport à un axe $\;\Delta \;$ «$\;{\mathcal {I}}\!\left[{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}\right](t_{0})\;$», les autres $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées à $\;M\;$ ayant une impulsion élémentaire de moment scalaire infiniment petite, l'étude du mouvement de $\;M\;$ étant faite dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen en rotation uniforme autour de l'axe $\;\Delta \;$ précédemment introduit et fixe d'un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen $\;{\big [}$donc $\;{\mathcal {R}}\;$ ne subit aucun freinage brutal dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}$, la collision étant entre $\;M\;$ et l'objet $\;\left(\Sigma \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big ]}$, la pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\big (}$ainsi que l'éventuelle pseudo-force d'inertie de Coriolis${\big )}\;$ a une impulsion élémentaire de moment scalaire infiniment petite, et par suite
     l'application de la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire centrée en $\;t_{0}\;$ dans référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de moment scalaire infiniment petites et en observant que la variation élémentaire du moment cinétique scalaire de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen devant être, comme le 1^er membre, non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter $\;d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}\;$, mais $\;\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})=\Delta \sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0})$, «$\,{\mathcal {I}}\!\left[{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}\right](t_{0})=\Delta \sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0})=J_{\Delta }(M)\;\Delta \Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})\,$» $\Rightarrow$ $\;\Delta \Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})={\dfrac {{\mathcal {I}}\!\left[{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}\right](t_{0})}{J_{\Delta }(M)}}\;$ soit
  une discontinuité de 1^re espèce de la vitesse angulaire de rotation de $\;M\;$ autour de $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;\Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-\Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})={\dfrac {{\mathcal {I}}\!\left[{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )\,\in \,{\mathcal {R}}}\right](t_{0})}{J_{\Delta }(M)}}\;$» ou
• le point matériel $\;M\;$ subit des $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces sans collision dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen en rotation autour de $\;\Delta \;$ fixe d'un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen mais, à l'instant $\;t_{0}$, le référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ subit un freinage brutal sur son axe de rotation fixe dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}$, le vecteur accélération d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}$ en la position occupée par $\;M\;$ «$\;{\vec {a}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}^{\,2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}(t)$ $\;{\big (}$avec $\;O\;$ point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;H_{M}\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta {\big )}\;$» a une discontinuité de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}$ $\;{\Bigg [}{\dfrac {d{\vec {\Omega }}_{\Delta ,\,{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}(t)\;$ étant discontinu de 2^ème espèce${\Bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen «$\;{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)=-m\;{\vec {a}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;$» étant aussi discontinue de 2^ème espèce centrée sur $\;t_{0}\;$ est la seule force ou pseudo-force ayant une impulsion élémentaire de moment scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ non infiniment petite «$\;{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})\;$», toutes les $\;{\big (}$vraies${\big )}\;$ forces appliquées à $\;M\;$ ainsi que l'éventuelle pseudo-force d'inertie de Coriolis ayant une impulsion élémentaire de moment scalaire infiniment petite et par suite
     l'application de la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire centrée en $\;t_{0}\;$ dans référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de moment scalaire infiniment petites ainsi qu'en observant que la variation élémentaire de moment cinétique scalaire de $\;M\;$ par rapport à $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen devant être, comme le 1^er membre, non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter $\;d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}\;$, mais $\;\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})=\Delta \sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0})$, «$\;{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})=\Delta \sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0})=J_{\Delta }(M)\;\Delta \Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})\,$» $\Rightarrow$ $\;\Delta \Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})={\dfrac {{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})}{J_{\Delta }(M)}}\;$ soit
  une discontinuité de 1^re espèce de la vitesse angulaire de rotation de $\;M\;$ autour de $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;\Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-\Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})={\dfrac {{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})}{J_{\Delta }(M)}}\;$».