Mathématiques en MP/Exercices/Feuille d'exercices 1

Voici une série d'exercices de mathématiques non directifs (une unique question) de niveau Mathématiques Spéciales (ou Supérieures pour quelques uns).

Exercice 1-1

Soit $E$ un ensemble de $13$ réels. Démontrer qu'il existe $x,y\in E$ tels que

$0<{\frac {x-y}{1+xy}}\leq 2-{\sqrt {3}}$.

Solution

Considérons l'image de $E$ par la fonction $\arctan$.

$\arctan(E)\subset \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ donc, d’après le principe des tiroirs, il existe $x,y\in E$ tels que $0\leq \arctan x-\arctan y\leq {\frac {\pi }{12}}$.

Par croissance de la fonction $\tan$ sur $\left[0,{\frac {\pi }{12}}\right]$, on a $0\leq \tan \left(\arctan x-\arctan y\right)\leq \tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=2-{\sqrt {3}}$.

Or $\tan \left(\arctan x-\arctan y\right)={\frac {\tan \left(\arctan x\right)-\tan \left(\arctan y\right)}{1+\tan \left(\arctan x\right)\tan \left(\arctan y\right)}}={\frac {x-y}{1+xy}}$.

 

Exercice 1-2

Calculer $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ln t\,\mathrm {d} t$.

Solution

D'après le théorème de convergence dominée (ou monotone),

$\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ln t\,\mathrm {d} t=\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{n}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\ln t\,\mathrm {d} t$.

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

${\begin{aligned}\int _{0}^{n}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\ln t\,\mathrm {d} t&=n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\ln \left(nu\right)\,\mathrm {d} u\\&=n\ln n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\,\mathrm {d} u+n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\ln u\,\mathrm {d} u\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}+n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\ln u\,\mathrm {d} u\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}+n\int _{0}^{1}x^{n}\ln \left(1-x\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-n\int _{0}^{1}x^{n}\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {x^{k}}{k}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-n\sum _{k=1}^{+\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n+k}}{k}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {n}{(n+k+1)k}}\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}\sum _{k=1}^{+\infty }{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n+k+1}}\right)}\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}\left(1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{n+1}}\right)\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}\left(\ln n+\gamma +o(1)\right)\\&=-\gamma +o(1),\end{aligned}}$

où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit que $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ln t\,\mathrm {d} t=-\gamma$.

Pour une variante, voir la réponse de Felix Marin (et le commentaire de Mark Viola) dans « Showing that $\gamma =-\int _{0}^{\infty }e^{-t}\log t\,dt$, where $\gamma$ is the Euler-Mascheroni constant », sur math.stackexchange.com.

 

Exercice 1-3

Quelle est la nature de la série de terme général $\sin \left(\pi \left(3+{\sqrt {5}}\right)^{n}\right)$ ?

Solution

Les réels $\alpha :=3+{\sqrt {5}}$ et $\beta :=3-{\sqrt {5}}$ sont les racines du polynôme $X^{2}-6X+4$.

La suite $u_{n}:=\alpha ^{n}+\beta ^{n}$ est à valeurs entières. En effet, $u_{0}=2$, $u_{1}=6$ et $u_{n+2}=6u_{n+1}-4u_{n}$.

Ainsi, $\left|\sin \left(\pi \alpha ^{n}\right)\right|=\left|\sin \left(\pi \left(u_{n}-\beta ^{n}\right)\right)\right|=\left|\sin \left(\pi \beta ^{n}\right)\right|\leq \pi \beta ^{n}$.

Or $0<\beta <1$. Par conséquent, la série est absolument convergente.

 

Exercice 1-4

Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.

Solution

Notons $A=\left\{x\in [0,1]\mid f(x)\leq x\right\}$.

$A$ est non vide car $f(1)\leq 1$.

Notons $a=\inf A$, et montrons que $f(a)=a$.

Tout d’abord, si $a=0$, alors $f(a)=a$, donc dans la suite, on suppose $a\neq 0$.

• Si $f(a)>a$, alors $a\not \in A$ et, par définition de la borne inférieure, il existe $b\in A$ tel que $b-a<f(a)-a$, c'est-à-dire $b<f(a)$.
  On a alors, par définition de $A$, $f(b)\leq b$ et par conséquent $f(b)<f(a)$.
  On a donc trouvé $a$ et $b$ tels que $a<b$ et $f(a)>f(b)$, ce qui contredit l'hypothèse $f$ croissante sur $[0,1]$.
• Si $f(a)<a$, alors $a\in A$. On a alors, quel que soit $b$ tel que $f(a)<b<a$, $b\not \in A$, donc $f(b)>b$ puis $f(b)>f(a)$.
  On a donc trouvé $a$ et $b$ tels que $b<a$ et $f(b)>f(a)$, ce qui contredit l'hypothèse $f$ croissante sur $[0,1]$.

On a ainsi l’existence de $a$ tel que $f(a)=a$, c'est-à-dire l’existence d'un point fixe.

 

Exercice 1-5

Soit $F(x)=\int _{-\pi }^{\pi }{\ln \left(x^{2}-2x\cos \theta +1\right)\,\mathrm {d} \theta }$. Montrer que $F$ est définie sur $\mathbb {R}$ puis calculer $F(x)$.

Solution

Jean-Louis Rouget, « Intégrales dépendant d’un paramètre », sur exo7, exercice 2

 

Exercice 1-6

Résoudre l'équation différentielle $y''+y=\cot x$ sur $\left]0,\pi \right[$.

Solution

Léa Blanc-Centi, « Équations différentielles », sur exo7, exercice 9

 

Exercice 1-7

Résoudre $y^{(4)}-y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=1,\,y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0$.

Solution

$y=a\operatorname {e} ^{x}+b\operatorname {e} ^{-x}+c\cos x+d\sin x$ avec $a+b+c=1,\,a-b+d=a+b-c=a-b-d=0$, c'est-à-dire $a=b={\frac {1}{4}},\,c={\frac {1}{2}},\,d=0$.

 

Exercice 1-8

On pose

$\forall x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \quad f(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {1}{t-\mathrm {E} (t)}}\right)$

où $\mathrm {E}$ désigne la fonction partie entière, puis

$F(x):=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Démontrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et que l'ensemble des points de discontinuité de $F'$ est $\mathbb {Z}$.

Indication (cf. Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet, 4^e partie) :

$\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}\sin ^{2}{\frac {1}{s}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{2}}$.

Solution

Clairement,

• en tout point $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$, $F$ est C¹ et $F'(x)=f(x)$ ;
• en tout point entier, $f$ n'a pas de limite.

La seule difficulté de cet exercice est donc de démontrer que $F$ est dérivable en tout point $n\in \mathbb {Z}$, c'est-à-dire que la limite suivante existe :

$F'(n)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}{\frac {1}{1+(n+s)^{2}}}\sin ^{2}{\frac {1}{s}}\,\mathrm {d} s$.

On remplace d'abord ce problème par celui de l'existence de $\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}{\frac {1}{1+n^{2}}}\sin ^{2}{\frac {1}{s}}\,\mathrm {d} s$ en remarquant que la différence est une limite nulle, car

${\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}\left|{\frac {1}{1+n^{2}}}-{\frac {1}{1+(n+s)^{2}}}\right|\sin ^{2}{\frac {1}{s}}\,\mathrm {d} s\leq {\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}{\frac {|2ns+s^{2}|}{(1+n^{2})(1+(n+s)^{2})}}\,\mathrm {d} s\leq {\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}2|n||s|+s^{2}\,\mathrm {d} s=|n||h|+{\frac {h^{2}}{3}}$.

Grâce à l'indication, on peut alors conclure :

$F'(n)={\frac {1}{2(1+n^{2})}}$.

Épilogue.

Ceci n'était qu'un premier exemple de fonction dérivée discontinue en une infinité de points (et accessoirement, positive). Pour une autre méthode, voir Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité#Exercice 3.

On pourra approfondir ce sujet en lisant :

• w:Dérivée#Discontinuités ;
• (en) « Discontinuous derivative. [duplicate] », sur math.stackexchange.com ;
• (en) « How discontinuous can a derivative be? », sur math.stackexchange.com.