Mathématiques en MP/Exercices/Feuille d'exercices 1

Feuille d'exercices 1
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Exercices no1
Cours : Mathématiques en MP

Exercices de niveau 15.

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Voici une série d'exercices de mathématiques non directifs (une unique question) de niveau Mathématiques Spéciales (ou Supérieures pour quelques uns).

Exercice 1-1Modifier

Soit   un ensemble de   réels. Démontrer qu'il existe   tels que

 .

Exercice 1-2Modifier

Calculer  .

Exercice 1-3Modifier

Quelle est la nature de la série de terme général   ?

Exercice 1-4Modifier

Soit   croissante. Montrer que   admet un point fixe.

Exercice 1-5Modifier

Soit  . Montrer que   est définie sur   puis calculer  .

Exercice 1-6Modifier

Résoudre l'équation différentielle   sur  .

Exercice 1-7Modifier

Résoudre   avec les conditions initiales  .

Exercice 1-8Modifier

On pose

 

  désigne la fonction partie entière, puis

 .

Démontrer que   est dérivable sur   et que l'ensemble des points de discontinuité de   est  .

Indication (cf. Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet, 4e partie) :

 .