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Devoir : Intégrale de DirichletIntégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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— Ⅰ —
Démontrer que l'intégrale impropre ∫ 0 + ∞ 1 − cos x x 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x} est absolument convergente.
À l'aide d'une intégration par parties, en déduire que l'intégrale de Dirichlet ∫ 0 + ∞ sin x x d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x} est convergente.
Retrouver ce résultat à l'aide de la règle d'Abel pour les intégrales .
Démontrer que ∫ 0 + ∞ sin x x d x = ∫ 0 + ∞ 1 − cos x x 2 d x = ∫ 0 + ∞ ( sin x x ) 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x} .
Solution
Cette intégrale est faussement impropre en 0 {\displaystyle 0} car lim x → 0 1 − cos x x 2 = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}} . En + ∞ {\displaystyle +\infty } , elle est absolument convergente car ∫ 1 + ∞ | 1 − cos x | x 2 d x ≤ ∫ 1 + ∞ 2 x 2 d x < + ∞ {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {|1-\cos x|}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{1}^{+\infty }{\frac {2}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x<+\infty } .
Pour 0 < ε < A {\displaystyle 0<\varepsilon <A} ,
∫ ε A sin x x d x = [ 1 − cos x x ] ε A + ∫ ε A 1 − cos x x 2 d x = 1 − cos A A − 1 − cos ε ε + ∫ ε A 1 − cos x x 2 d x → ε → 0 + , A → + ∞ 0 − 0 + ∫ 0 + ∞ 1 − cos x x 2 d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x&=\left[{\frac {1-\cos x}{x}}\right]_{\varepsilon }^{A}+\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1-\cos A}{A}}-{\frac {1-\cos \varepsilon }{\varepsilon }}+\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&\;{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0^{+},A\to +\infty }]{}}0-0+\int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}
Donc l'intégrale de Dirichlet est convergente (non absolument : cf. Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1 ).
L'intégrale ∫ 0 + ∞ sin x x d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x} est faussement impropre en 0 {\displaystyle 0} car lim x → 0 sin x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} . En + ∞ {\displaystyle +\infty } , la règle d'Abel s'applique car x ↦ 1 x {\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}} est décroissante sur ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle \left]0,+\infty \right[} et de limite nulle en + ∞ {\displaystyle +\infty } , et la fonction x ↦ ∫ 0 x sin t d t = 1 − cos x {\displaystyle x\mapsto \int _{0}^{x}\sin t\,\mathrm {d} t=1-\cos x} est bornée. Donc l'intégrale de Dirichlet est convergente.
D'après les calculs de la question 2, ∫ 0 + ∞ sin x x d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x} est égale à ∫ 0 + ∞ 1 − cos x x 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x} , ou encore à ∫ 0 + ∞ 2 sin 2 ( x / 2 ) x 2 d x = ∫ 0 + ∞ ( sin y y ) 2 d y . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {2\sin ^{2}(x/2)}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {\sin y}{y}}\right)^{2}\,\mathrm {d} y.}
— Ⅱ —
Démontrer qu'en tout réel s ∉ 2 π Z {\displaystyle s\notin 2\pi \mathbb {Z} } , le noyau de Dirichlet D n ( s ) := ∑ k = − n n e i k s = 1 + 2 ∑ k = 1 n cos ( k s ) {\displaystyle D_{n}(s):=\sum _{k=-n}^{n}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} ks}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(ks)} est égal à sin ( 2 n + 1 ) s 2 sin s 2 {\displaystyle {\frac {\sin {\frac {(2n+1)s}{2}}}{\sin {\frac {s}{2}}}}} .
En déduire que ∫ 0 π 2 sin ( ( 2 n + 1 ) t ) sin t d t = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}}{\sin t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}} .
— Ⅲ —
Soit f : ] 0 , π 2 ] → R , t ↦ 1 t − 1 sin t {\displaystyle f:\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]\to \mathbb {R} ,\,t\mapsto {\frac {1}{t}}-{\frac {1}{\sin t}}} . Démontrer que ∫ 0 π 2 | f ( t ) | d t < + ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}|f(t)|\,\mathrm {d} t<+\infty } .
D'après le lemme de Riemann-Lebesgue , on a donc :
lim k → ∞ ∫ 0 π 2 f ( t ) sin ( k t ) d t = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(t)\sin(kt)\,\mathrm {d} t=0} .
En déduire, à l'aide du Ⅱ, que lim n → ∞ ∫ 0 π 2 sin ( ( 2 n + 1 ) t ) t d t = π 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}} .
Retrouver ainsi que l'intégrale de Dirichlet converge et préciser sa valeur.
— Ⅳ —
Démontrer que quand A → + ∞ {\displaystyle A\to +\infty } , ∫ A + ∞ sin u u d u = cos A A + O ( 1 A 2 ) {\displaystyle \int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u}}\,\mathrm {d} u={\frac {\cos A}{A}}+O\left({\frac {1}{A^{2}}}\right)} .
En déduire que quand a → + ∞ {\displaystyle a\to +\infty } , ∫ a + ∞ ( sin s s ) 2 d s ∼ 1 2 a {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }\left({\frac {\sin s}{s}}\right)^{2}\,\mathrm {d} s\sim {\frac {1}{2a}}} .
Retrouver ce résultat plus directement.
Déduire de ce résultat la valeur de lim x → 0 1 x ∫ 0 x sin 2 1 t d t {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\sin ^{2}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t} .
Solution
On effectue une double intégration par parties :
∫ A + ∞ sin u u d u = [ − cos u u ] A + ∞ − ∫ A + ∞ cos u u 2 d u = cos A A − [ sin u u 2 ] A + ∞ − 2 ∫ A + ∞ sin u u 3 d u {\displaystyle \int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u}}\,\mathrm {d} u=\left[{\frac {-\cos u}{u}}\right]_{A}^{+\infty }-\int _{A}^{+\infty }{\frac {\cos u}{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\cos A}{A}}-\left[{\frac {\sin u}{u^{2}}}\right]_{A}^{+\infty }-2\int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u^{3}}}\,\mathrm {d} u} .
[ sin u u 2 ] A + ∞ = − sin A A 2 = O ( 1 A 2 ) {\displaystyle \left[{\frac {\sin u}{u^{2}}}\right]_{A}^{+\infty }=-{\frac {\sin A}{A^{2}}}=O\left({\frac {1}{A^{2}}}\right)} et | ∫ A + ∞ sin u u 3 d u | ≤ ∫ A + ∞ d u u 3 = 2 A 2 {\displaystyle \left|\int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u^{3}}}\,\mathrm {d} u\right|\leq \int _{A}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{3}}}={\frac {2}{A^{2}}}} .
∫ a + ∞ sin 2 s s 2 d s = [ − sin 2 s s ] a + ∞ + ∫ a + ∞ sin ( 2 s ) s d s = sin 2 a a + ∫ 2 a + ∞ sin u u d u = sin 2 a a + cos ( 2 a ) 2 a + O ( 1 a 2 ) {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}s}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s=\left[{\frac {-\sin ^{2}s}{s}}\right]_{a}^{+\infty }+\int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin(2s)}{s}}\,\mathrm {d} s={\frac {\sin ^{2}a}{a}}+\int _{2a}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u}}\,\mathrm {d} u={\frac {\sin ^{2}a}{a}}+{\frac {\cos(2a)}{2a}}+O\left({\frac {1}{a^{2}}}\right)} , or 2 sin 2 a + cos ( 2 a ) = 1 {\displaystyle 2\sin ^{2}a+\cos(2a)=1} .
∫ a + ∞ sin 2 s s 2 d s = ∫ 2 a + ∞ 1 − cos u u 2 d u = 1 2 a − ∫ 2 a + ∞ cos u u 2 d u = 1 2 a + O ( 1 a 2 ) {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}s}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s=\int _{2a}^{+\infty }{\frac {1-\cos u}{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {1}{2a}}-\int _{2a}^{+\infty }{\frac {\cos u}{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {1}{2a}}+O\left({\frac {1}{a^{2}}}\right)} .
Cette fonction est paire et quand x → 0 + {\displaystyle x\to 0^{+}} , a := 1 x → + ∞ {\displaystyle a:={\frac {1}{x}}\to +\infty } et 1 x ∫ 0 x sin 2 1 t d t = a ∫ a + ∞ sin 2 s s 2 d s → 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\sin ^{2}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=a\int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}s}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s\to {\frac {1}{2}}} .