Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet

— Ⅰ —

1. Démontrer que l'intégrale impropre $\int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ est absolument convergente.
2. À l'aide d'une intégration par parties, en déduire que l'intégrale de Dirichlet $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x$ est convergente.
3. Retrouver ce résultat à l'aide de la règle d'Abel pour les intégrales.
4. Démontrer que $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x$.

Solution

1. Cette intégrale est faussement impropre en $0$ car $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$. En $+\infty$, elle est absolument convergente car $\int _{1}^{+\infty }{\frac {|1-\cos x|}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{1}^{+\infty }{\frac {2}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x<+\infty$.
2. Pour $0<\varepsilon <A$,

   ${\begin{aligned}\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x&=\left[{\frac {1-\cos x}{x}}\right]_{\varepsilon }^{A}+\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1-\cos A}{A}}-{\frac {1-\cos \varepsilon }{\varepsilon }}+\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&\;{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0^{+},A\to +\infty }]{}}0-0+\int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

   Donc l'intégrale de Dirichlet est convergente (non absolument : cf. Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1).

3. L'intégrale $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x$ est faussement impropre en $0$ car $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$. En $+\infty$, la règle d'Abel s'applique car $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ est décroissante sur $\left]0,+\infty \right[$ et de limite nulle en $+\infty$, et la fonction $x\mapsto \int _{0}^{x}\sin t\,\mathrm {d} t=1-\cos x$ est bornée. Donc l'intégrale de Dirichlet est convergente.
4. D'après les calculs de la question 2, $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x$ est égale à $\int _{0}^{+\infty }{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x$, ou encore à $\int _{0}^{+\infty }{\frac {2\sin ^{2}(x/2)}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {\sin y}{y}}\right)^{2}\,\mathrm {d} y.$

 

— Ⅱ —

1. Démontrer qu'en tout réel $s\notin 2\pi \mathbb {Z}$, le noyau de Dirichlet $D_{n}(s):=\sum _{k=-n}^{n}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} ks}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(ks)$ est égal à ${\frac {\sin {\frac {(2n+1)s}{2}}}{\sin {\frac {s}{2}}}}$.
2. En déduire que $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}}{\sin t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}$.

Solution

1. Cette conséquence immédiate de l'identité trigonométrique $\sum _{k=0}^{n}\cos(ks)={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin {\frac {(2n+1)s}{2}}}{2\sin {\frac {s}{2}}}}$ peut aussi se démontrer directement par la même méthode :

   ${\begin{aligned}\sum _{k=-n}^{n}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} ks}&=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} ns}\,{\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (2n+1)s}-1}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} s}-1}}\\&=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} ns}\,{\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (2n+1)s/2}\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (2n+1)s/2}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} (2n+1)s/2}\right)}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} s/2}\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} s/2}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} s/2}\right)}}\\&=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} s\left(-n+{\frac {2n+1}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)}\,{\frac {2\mathrm {i} \sin {\frac {(2n+1)s}{2}}}{2\mathrm {i} \sin {\frac {s}{2}}}}\\&={\frac {\sin {\frac {(2n+1)s}{2}}}{\sin {\frac {s}{2}}}}.\end{aligned}}$

2. $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}}{\sin t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(2t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(2kt)\right)\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}+2\sum _{k=1}^{n}0$.

 

— Ⅲ —

1. Soit $f:\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]\to \mathbb {R} ,\,t\mapsto {\frac {1}{t}}-{\frac {1}{\sin t}}$. Démontrer que $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}|f(t)|\,\mathrm {d} t<+\infty$.
2. D'après le lemme de Riemann-Lebesgue, on a donc :

   $\lim _{k\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(t)\sin(kt)\,\mathrm {d} t=0$.

   En déduire, à l'aide du Ⅱ, que $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}$.

3. Retrouver ainsi que l'intégrale de Dirichlet converge et préciser sa valeur.

Solution

1. $f$ est continue et l'intégrale est faussement impropre en $0$ car $f(x)={\frac {(\sin t)-t}{t\sin t}}\sim _{0}{\frac {-t^{3}/6}{t^{2}}}=-{\frac {t}{6}}$.
2. $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}}{\sin t}}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(t)\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}\,\mathrm {d} t\to {\frac {\pi }{2}}+0$.
3. Comme $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$ est nulle à l'infini, pour étudier la limite éventuelle de son intégrale de $0$ à $A$ quand $A\to +\infty$, il suffit de le faire pour $A$ parcourant les valeurs d'une suite arithmétique arbitraire.

   $\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }\sin x\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin {\big (}(2n+1)t{\big )}\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\to {\frac {\pi }{2}}$

   donc l'intégrale de Dirichlet converge et $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$.

 

— Ⅳ —

1. Démontrer que quand $A\to +\infty$, $\int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u}}\,\mathrm {d} u={\frac {\cos A}{A}}+O\left({\frac {1}{A^{2}}}\right)$.
2. En déduire que quand $a\to +\infty$, $\int _{a}^{+\infty }\left({\frac {\sin s}{s}}\right)^{2}\,\mathrm {d} s\sim {\frac {1}{2a}}$.
3. Retrouver ce résultat plus directement.
4. Déduire de ce résultat la valeur de $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\sin ^{2}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$.

Solution

1. On effectue une double intégration par parties :

   $\int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u}}\,\mathrm {d} u=\left[{\frac {-\cos u}{u}}\right]_{A}^{+\infty }-\int _{A}^{+\infty }{\frac {\cos u}{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\cos A}{A}}-\left[{\frac {\sin u}{u^{2}}}\right]_{A}^{+\infty }-2\int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u^{3}}}\,\mathrm {d} u$.

   $\left[{\frac {\sin u}{u^{2}}}\right]_{A}^{+\infty }=-{\frac {\sin A}{A^{2}}}=O\left({\frac {1}{A^{2}}}\right)$ et $\left|\int _{A}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u^{3}}}\,\mathrm {d} u\right|\leq \int _{A}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{3}}}={\frac {2}{A^{2}}}$.

2. $\int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}s}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s=\left[{\frac {-\sin ^{2}s}{s}}\right]_{a}^{+\infty }+\int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin(2s)}{s}}\,\mathrm {d} s={\frac {\sin ^{2}a}{a}}+\int _{2a}^{+\infty }{\frac {\sin u}{u}}\,\mathrm {d} u={\frac {\sin ^{2}a}{a}}+{\frac {\cos(2a)}{2a}}+O\left({\frac {1}{a^{2}}}\right)$, or $2\sin ^{2}a+\cos(2a)=1$.
3. $\int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}s}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s=\int _{2a}^{+\infty }{\frac {1-\cos u}{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {1}{2a}}-\int _{2a}^{+\infty }{\frac {\cos u}{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {1}{2a}}+O\left({\frac {1}{a^{2}}}\right)$.
4. Cette fonction est paire et quand $x\to 0^{+}$, $a:={\frac {1}{x}}\to +\infty$ et ${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\sin ^{2}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=a\int _{a}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}s}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s\to {\frac {1}{2}}$.

 

Voir aussi

Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre, exercices 2-3, 2-9 et 2-24