Réduction des endomorphismes/Décomposition de Frobenius

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$E$ est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $K$ et $\varphi$ est un endomorphisme de $E$, dont le polynôme minimal $\mu _{\varphi }$ n'est plus supposé scindé.

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Définition

Soit $x\in E$.

• Le sous-espace vectoriel $S_{x}:=\{P(\varphi )(x)\mid P\in K[X]\}$ est appelé la clôture $\varphi$-stable de $x$, ou sous-espace cyclique engendré par $x$.
• Le polynôme minimal $\mu _{\varphi ,x}$ de la restriction de $\varphi$ à $S_{x}$ est appelé le polynôme conducteur de $x$.
• Le vecteur $x$ est dit $\varphi$-maximum si son polynôme conducteur est égal au polynôme minimal de $\varphi$.

Remarque

Pour tout vecteur $x$, en notant $d_{x}$ le degré de $\mu _{\varphi ,x}$, les $d_{x}$ vecteurs $x,\varphi (x),\varphi ^{2}(x),\dots ,\varphi ^{d_{x}-1}(x)$ forment une base de $S_{x}$.

Début d'un lemme

Lemme

• Il existe un vecteur $\varphi$-maximum ;
• La clôture $\varphi$-stable d'un vecteur $\varphi$-maximum admet un supplémentaire stable par $\varphi$.

Fin du lemme

Démonstration

Soit $\mu _{\varphi }=\prod P_{i}^{m_{i}}$ la décomposition de $\mu _{\varphi }$ en produit de polynômes irréductibles. D'après le lemme des noyaux, $E$ est la somme directe des $E_{i}:=\ker \left(P_{i}^{m_{i}}(\varphi )\right)$, et le polynôme minimal de la restriction de $\varphi$ à $E_{i}$ est $P_{i}^{m_{i}}$. Le polynôme conducteur de tout vecteur de $E_{i}$ est donc de la forme $P_{i}^{k}$ pour un certain $k\leq m_{i}$, et $k=m_{i}$ pour au moins un vecteur $x_{i}\in E_{i}$. Le vecteur $x:=\sum x_{i}$ est alors $\varphi$-maximum.

Soit $x$ un vecteur $\varphi$-maximum. Notons $d$ le degré de $\mu _{\varphi }$, choisissons une forme linéaire $f$ sur $E$, nulle sur $x,\varphi (x),\varphi ^{2}(x),\dots ,\varphi ^{d-2}(x)$ et valant $1$ sur $\varphi ^{d-1}(x)$, et montrons que le sous-espace $T$ suivant (qui est clairement $\varphi$-stable) est un supplémentaire de $S_{x}$ :

$T=\{y\in E\mid K[\varphi ](y)\subset \ker f\}$.

D'abord, $S_{x}\cap T=\{0\}$ car pour tout $p<d$,

${\text{si }}y=\sum _{k=0}^{p}a_{k}\varphi ^{k}(x)\in T{\text{ alors }}0=f(\varphi ^{d-1-p}(y))=f\left(\sum _{k=0}^{p}a_{k}\varphi ^{k+d-1-p}(x)\right)=a_{p}$

et de proche en proche, tous les scalaires $a_{k}$ sont nuls.

Il reste à prouver que $T$ est de codimension $d$, ou encore, que son orthogonal $T^{\perp }$ dans le dual $E^{*}$ est de dimension $d$. Or $T^{\perp }$ est l'image de l'application linéaire

$F:K[\varphi ]\to E^{*},\quad \psi \mapsto f\circ \psi$

et cette application $F$ est injective car pour tout $\psi$ dans $K[\varphi ]$,

$\psi \in \ker F\Rightarrow K[\varphi ](\psi (x))=\psi (S_{x})\subset \ker f\Rightarrow \psi (x)\in T\cap S_{x}\Rightarrow \psi (x)=0\Rightarrow \psi =0$.

On a donc bien :

$\operatorname {codim} (T)=\dim(T^{\bot })=\dim({\rm {Im}}F)=\dim(K[\varphi ])=d$.

 

Par récurrence sur la dimension, on en déduit la décomposition de Frobenius :

Début d’un théorème

Théorème

Il existe une suite finie $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{p})$ de vecteurs de $E$ telle que :

• $E=S_{x_{1}}\oplus S_{x_{2}}\oplus \dots \oplus S_{x_{p}}$ ;
• $\mu _{\varphi ,x_{p}}\mid \dots \mid \mu _{\varphi ,x_{2}}\mid \mu _{\varphi ,x_{1}}$.

Fin du théorème

Remarques

• Les polynômes $\mu _{\varphi ,x_{i}}$ ne dépendent pas du choix des vecteurs $x_{i}$, et ne changent pas lorsqu'on étend le corps des scalaires.
• Ce sont les facteurs invariants de $\varphi$.
• Leur produit est égal au polynôme caractéristique de $\varphi$.
• Deux endomorphismes sont semblables si et seulement s'ils ont les mêmes facteurs invariants.