Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes

Lois de composition internes, monoïdes
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Exercices no1
Leçon : Monoïde
Chapitre du cours : Définition d’un monoïde

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Sommaire
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Problème 1

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Soit   une loi de composition interne dans un ensemble E. On appelle neutre à gauche pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E,   On appelle neutre à droite pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E,  

a) Prouver que si la loi   admet un neutre à gauche et un neutre à droite, elle admet un élément neutre et que cet élément neutre est l'unique neutre à gauche et l'unique neutre à droite.

b) Donner un exemple de loi de composition interne associative qui admet plusieurs neutres à gauche et n'admet aucun neutre à droite.

Problème 2

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Soient M un monoïde, noté multiplicativement, et x un élément de M. On dit qu'un élément x' de M est un symétrique à gauche de x si x' x = 1. (Définition analogue pour un symétrique à droite.)

  1. Prouver que si tout élément de M admet un symétrique à gauche, tout élément de M admet un symétrique (ce qui fait de M un groupe). Indication : pour un élément donné x de M, considérer un symétrique à gauche d'un symétrique à gauche de x.
  2. Donner un exemple de monoïde dans lequel certains éléments ont plusieurs symétriques à gauche (donc aucun à droite) et certains éléments ont plusieurs symétriques à droite (donc aucun à gauche).
  3. Donner un exemple de monoïde dans lequel certains éléments ont un unique symétrique à gauche mais aucun symétrique à droite.

Problème 3 (généralisation du problème 2)

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Soit   un magma associatif dont la loi est notée multiplicativement. On suppose que   admet un élément   neutre à gauche.

a) Montrer que si tout élément   de   admet un symétrique à gauche :

 ,

alors   est élément neutre de   et tout élément de   admet un symétrique.

Remarques

  • Ceci implique que le magma   est un groupe.
  • Idem en supposant «   neutre à droite et   ».

b) A-t-on la même conclusion si (  est neutre à gauche et) tout élément de   admet un symétrique à droite ?