Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie

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     Dans ce chapitre, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ étant choisi « orienté à droite » $\;{\big [}$orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell positionné en un point $\;M\;$ de l'espace $\;\left({\mathcal {E}}\right){\big ]}$,

     Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout élément $\;{\vec {u}}\;$ de l'ensemble image de l'espace physique affine à trois dimensions $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par un champ vectoriel $\;{\vec {A}}$, c.-à-d. «$\;{\vec {u}}\;\in \;{\vec {A}}\!\left[\left({\mathcal {E}}\right)\right]\;$» $\;{\Big \{}$l'ensemble image «$\;{\vec {A}}\!\left[\left({\mathcal {E}}\right)\right]\;$» de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par le champ vectoriel $\;{\vec {A}}$ n'est en général pas un $\;\mathbb {R} -$espace vectoriel mais est inclus dans un $\;\mathbb {R} -$espace vectoriel en général choisi comme direction de l'espace physique affine à trois dimensions »${\Big \}}$ ;

     Dans ce chapitre, nous nous proposons d'étudier le comportement de ces « vecteurs » éléments de $\;{\vec {A}}\!\left[\left({\mathcal {E}}\right)\right]\;$ lors d'un changement d'orientation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)$ $\;{\big (}$l'espace physique affine à trois dimensions${\big )}$, ce dernier devenant « orienté à gauche » $\;{\big (}$orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}$.

     Rappels : L'orientation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « à droite » $\Rightarrow$ le « produit vectoriel de deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$» tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\rbrace \;$ est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite alors que

     Rappels : l'orientation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « à gauche » $\Rightarrow$ le « produit vectoriel de deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$» tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\rbrace \;$ est indirect $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche .

Définition de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires), de pseudo vecteurs (ou vecteurs axiaux) et exemples

Définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)

     Un « vecteur » est un vrai vecteur (ou vecteur polaire) si « sa définition ne dépend pas de l'orientation de l'espace${\underline {\;({\mathcal {E}})}}\;$» $\;{\big \{}$c.-à-d. est la même pour $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « orienté à droite » ou « à gauche » ${\big \}}$.

Définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)

     Un « vecteur » est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) si « sa définition dépend de l'orientation de l'espace${\underline {\;({\mathcal {E}})}}\;$» $\;{\big \{}$c.-à-d. est différente pour $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « orienté à droite » ou « à gauche » ${\big \}}$.

Comment distinguer un vrai vecteur d'un pseudo-vecteur ?

     Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », on se demande si l'orientation de l'espace $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ est indispensable à sa définition :

• si elle n'est pas nécessaire le « vecteur » est alors « vrai $\;{\big (}$ou polaire${\big )}\;$»,
• si elle est indispensable le « vecteur » est un « pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$».

Exemples de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     « Vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$», « vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$» ,

     « vecteur vitesse $\;{\vec {v}}_{M}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}\;$» , « vecteur accélération $\;{\vec {a}}(M)={\dfrac {d\left[{\vec {v}}_{M}\right]}{dt}}={\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}\;$» $\;\ldots$

     « Vecteur quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}=m\;{\vec {v}}_{M}\;$» ,

     « vecteur résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{M}=m\;{\vec {a}}_{M}\;$ » par r.f.d.n. et donc « tout vecteur force $\;{\vec {F}}_{k,\,M}\;$» ,

     « vecteur champ électrique $\;{\vec {E}}(M)={\dfrac {{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)}{q}}\;$» $\;\ldots$

     Remarque : Bien que le courant dans un circuit filiforme ne soit pas directement un vecteur, il est néanmoins défini par une direction $\;{\big (}$le circuit filiforme${\big )}$, un sens et une valeur absolue, ce qui lui confère une propriété vectorielle correspondant à un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$.

Exemples de pseudo-vecteurs

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs polaires${\big )}$, le « vecteur » obtenu est un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ :

     $\;\succ \;$pseudo-vecteur « moment cinétique par rapport à $\;O$, point origine, $\;{\vec {\sigma }}_{O}(M)={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}_{M}\;$» ,

     $\;\succ \;$pseudo-vecteur « moment d'une force par rapport à $\;O$, point origine, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}({\vec {F}})={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)\;$» $\;\ldots$

     Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ par un scalaire, le « vecteur » obtenu est alors un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ comme le pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta }={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{C}(M)}{J_{\Delta }}}\;$» où $\;J_{\Delta }=m\;R^{2}\;$ est le moment d'inertie du point relativement à son axe de rotation $\;\ldots$

     Si la détermination d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel d'un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ et d'un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}$, le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ :

     $\;\succ \;$pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta }\;$ par $\;{\vec {v}}_{M}={\vec {\Omega }}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {CM}}\;$» $\;{\big (}$autre justification${\big )}$,

     $\;\succ \;$pseudo-vecteur « champ magnétique $\;{\vec {B}}(M)\;$ par $\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M)=q\;{\vec {v}}_{M}\wedge {\vec {B}}(M)\;$» $\;\ldots$

Propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur

Base directe $\;{\big (}$les deux 1^ers vecteurs en noir et le 3^ème en rouge${\big )}\;$ suivant la règle de la main droite et indirecte $\;{\big (}$les mêmes deux 1^ers vecteurs en noir et le 3^ème en bleu${\big )}\;$ suivant la règle de la main gauche

     Considérons deux bases cartésiennes l'une « directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ suivant la règle de la main droite » $\;{\big [}$le 3^ème vecteur en rouge ci-contre${\big ]}\;$ et l'autre « indirecte $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)\;$ suivant la règle de la main gauche » $\;{\big [}$le 3^ème vecteur en bleu ci-contre${\big ]}\;$ et
     définissons le produit vectoriel des deux « vecteurs » $\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\;$ par ses composantes :

• $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {A}}&\wedge &{\vec {B}}&=&{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\\A_{x,\,d}&&B_{x,\,d}&&A_{y,\,d}\,B_{z,\,d}-A_{z,\,d}\,B_{y,\,d}\\A_{y,\,d}&&B_{y,\,d}&&A_{z,\,d}\,B_{x,\,d}-A_{x,\,d}\,B_{z,\,d}\\A_{z,\,d}&&B_{z,\,d}&&A_{x,\,d}\,B_{y,\,d}-A_{y,\,d}\,B_{x,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$ avec la base directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ et
• $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {A}}&\wedge &{\vec {B}}&=&{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\\A_{x,\,i}&&B_{x,\,i}&&A_{y,\,i}\,{B'}_{z,\,i}-{A'}_{z,\,i}\,B_{y,\,i}\\A_{y,\,i}&&B_{y,\,i}&&{A'}_{z,\,i}\,B_{x,\,i}-A_{x,\,i}\,{B'}_{z,\,i}\\{A'}_{z,\,i}&&{B'}_{z,\,i}&&A_{x,\,i}\,B_{y,\,i}-A_{y,\,i}\,B_{x,\,i}\end{array}}\right\rbrace \;$ avec la base indirecte $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}\right)$.

     Remarque : il s'agit de la même règle d'obtention des composantes du produit vectoriel à partir des composantes de chacun des vecteurs, que l'espace soit orienté à droite ou à gauche , cette règle respectant :

• la direction, $\;\perp \;$ au plan formé par $\;{\vec {A}}\;$ et $\;{\vec {B}}$,
• le sens , le trièdre $\;\left({\vec {A}},\;{\vec {B}},\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)\;$ est direct dans l'espace orienté à droite $\;{\big (}$règle de la main droite ${\big )}\;$ et le trièdre $\;\left({\vec {A}},\;{\vec {B}},\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)\;$ est indirect $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ dans l'espace orienté à gauche $\;{\big (}$règle de la main gauche ${\big )}$ et
• la norme $\;{\Big \Vert }{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}{\Big \Vert }={\Big \Vert }{\vec {A}}{\Big \Vert }\;{\Big \Vert }{\vec {B}}{\Big \Vert }\;{\Bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left({\vec {A}},\;{\vec {B}}\right)}}\right]{\Bigg \vert }$.

Produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)

     La définition des deux vrais vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs polaires${\big )}\;$ étant inchangée quand on modifie l'orientation de l'espace $\;{\big (}$ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, le même sens et la même norme${\big )}$,

     les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs polaires${\big )}\;$ sur la base directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à droite et la base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à gauche sont

• sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ individuellement les mêmes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{x,\,i}=A_{x,\,d}\\B_{x,\,i}=B_{x,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{y,\,i}=A_{y,\,d}\\B_{y,\,i}=B_{y,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et sur $\;{{\vec {u}}'}_{z}\;$ individuellement opposées soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{A'}_{z,\,i}=-A_{z,\,d}\\{B'}_{z,\,i}=-B_{z,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     on en déduit que les composantes de $\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\;$ sur la base directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à droite et la base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à gauche sont  :

• sur $\;{\vec {u}}_{x}$, opposées car «$\;A_{y,\,i}\,{B'}_{z,\,i}-{A'}_{z,\,i}\,B_{y,\,i}=A_{y,\,d}\,\left[-B_{z,\,d}\right]-\left[-A_{z,\,d}\right]\,B_{y,\,d}=-\left[A_{y,\,d}\,B_{z,\,d}-A_{z,\,d}\,B_{y,\,d}\right]\;$» soit «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{x,\,{\text{orienté à gauche}}}=-\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{x,\,{\text{orienté à droite}}}\;$»,
• sur $\;{\vec {u}}_{y}$, opposées car «$\;{A'}_{z,\,i}\,B_{x,\,i}-A_{x,\,i}\,{B'}_{z,\,i}=\left[-A_{z,\,d}\right]\,B_{x,\,d}-A_{x,\,d}\,\left[-B_{z,\,d}\right]=-\left[A_{z,\,d}\,B_{x,\,d}-A_{x,\,d}\,B_{z,\,d}\right]\;$» soit «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{y,\,{\text{orienté à gauche}}}=-\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{y,\,{\text{orienté à droite}}}\;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;{{\vec {u}}'}_{z}$, les mêmes en effet «$\;A_{x,\,i}\,B_{y,\,i}-A_{y,\,i}\,B_{x,\,i}=A_{x,\,d}\,B_{y,\,d}-A_{y,\,d}\,B_{x,\,d}\;$» soit, avec «$\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\;$», «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{z',\,{\text{orienté à gauche}}}\;{{\vec {u}}'}_{z}=$ $-\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{z,\,{\text{orienté à droite}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     la conséquence de ceci étant que $\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\;$ est changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, on conclut que le produit vectoriel de deux vrais vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs polaires${\big )}\;$ est un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}$.

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des vrais vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs polaires${\big )}\;$ étant indépendants de l'orientation de l'espace mais leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite dans un espace orienté à droite et celle de la main gauche dans un espace orienté à gauche, on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace $\Rightarrow$ le produit vectoriel de deux vrais vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs polaires${\big )}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace est un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}$.

Produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux)

     La définition des deux pseudo-vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs axiaux${\big )}\;$ étant changée quand on modifie l'orientation de l'espace $\;{\big (}$ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, la même norme mais inversent leur sens${\big )}$,

     les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs axiaux${\big )}\;$ sur la base directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à droite et la base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à gauche sont

• sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ individuellement opposées «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{x,\,i}=-A_{x,\,d}\\B_{x,\,i}=-B_{x,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{y,\,i}=-A_{y,\,d}\\B_{y,\,i}=-B_{y,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et sur $\;{{\vec {u}}'}_{z}\;$ individuellement les mêmes soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{A'}_{z,\,i}=A_{z,\,d}\\{B'}_{z,\,i}=B_{z,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     on en déduit que les composantes de $\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\;$ sur la base directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à droite et la base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à gauche sont  :

• sur $\;{\vec {u}}_{x}$, opposées car «$\;A_{y,\,i}\,{B'}_{z,\,i}-{A'}_{z,\,i}\,B_{y,\,i}=\left[-A_{y,\,d}\right]\,B_{z,\,d}-A_{z,\,d}\,\left[-B_{y,\,d}\right]=-\left[A_{y,\,d}\,B_{z,\,d}-A_{z,\,d}\,B_{y,\,d}\right]\;$» soit «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{x,\,{\text{orienté à gauche}}}=-\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{x,\,{\text{orienté à droite}}}\;$»,
• sur $\;{\vec {u}}_{y}$, opposées car «$\;{A'}_{z,\,i}\,B_{x,\,i}-A_{x,\,i}\,{B'}_{z,\,i}=A_{z,\,d}\,\left[-B_{x,\,d}\right]-\left[-A_{x,\,d}\right]\,B_{z,\,d}=-\left[A_{z,\,d}\,B_{x,\,d}-A_{x,\,d}\,B_{z,\,d}\right]\;$» soit «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{y,\,{\text{orienté à gauche}}}=-\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{y,\,{\text{orienté à droite}}}\;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;{{\vec {u}}'}_{z}$, les mêmes en effet «$\;A_{x,\,i}\,B_{y,\,i}-A_{y,\,i}\,B_{x,\,i}=\left[-A_{x,\,d}\right]\,\left[-B_{y,\,d}\right]-\left[-A_{y,\,d}\right]\,\left[-B_{x,\,d}\right]=A_{x,\,d}\,B_{y,\,d}-A_{y,\,d}\,B_{x,\,d}\;$» soit, avec «$\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\;$», «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{z',\,{\text{orienté à gauche}}}\;{{\vec {u}}'}_{z}=$ $-\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{z,\,{\text{orienté à droite}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     la conséquence de ceci étant que $\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\;$ est changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, on conclut que le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs axiaux${\big )}\;$ est un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}$.

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des pseudo-vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs axiaux${\big )}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace $\;{\big (}$un changement d'orientation les inverse tous les deux${\big )}\;$ et leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite dans un espace orienté à droite et celle de la main gauche dans un espace orienté à gauche $\;{\big (}$le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel${\big )}$, on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace $\Rightarrow$ le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs $\;{\big (}$ou vecteurs axiaux${\big )}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace est un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}$.

Produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire)

     La définition du pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}$ $\;{\vec {A}}\;$ est changée quand on modifie l'orientation de l'espace $\;{\big (}$ce qui signifie que $\;{\vec {A}}\;$ garde la même direction, la même norme mais inverse son sens${\big )}\;$ et celle du vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}$ $\;{\vec {B}}\;$ est inchangée lors de la même modification d'orientation de l'espace $\;{\big (}$ce qui signifie que $\;{\vec {B}}\;$ garde la même direction, le même sens et la même norme${\big )}$,

     les composantes du pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}$ $\;{\vec {A}}\;$ et du vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}$ $\;{\vec {B}}\;$ sur la base directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à droite et la base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à gauche sont

• sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ respectivement opposées en ce qui concerne $\;{\vec {A}}\;$ et respectivement les mêmes en ce qui concerne $\;{\vec {B}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{x,\,i}=-A_{x,\,d}\\B_{x,\,i}=B_{x,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{y,\,i}=-A_{y,\,d}\\B_{y,\,i}=B_{y,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;{{\vec {u}}'}_{z}$, les mêmes en ce qui concerne $\;{\vec {A}}\;$ et opposées en ce qui concerne $\;{\vec {B}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{A'}_{z,\,i}=A_{z,\,d}\\{B'}_{z,\,i}=-B_{z,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     on en déduit que les composantes de $\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\;$ sur la base directe $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à droite et la base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace orienté à gauche sont  :

• sur $\;{\vec {u}}_{x}$, les mêmes car «$\;A_{y,\,i}\,{B'}_{z,\,i}-{A'}_{z,\,i}\,B_{y,\,i}=\left[-A_{y,\,d}\right]\,\left[-B_{z,\,d}\right]-A_{z,\,d}\,B_{y,\,d}=\left[A_{y,\,d}\,B_{z,\,d}-A_{z,\,d}\,B_{y,\,d}\right]\;$» soit «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{x,\,{\text{orienté à gauche}}}=\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{x,\,{\text{orienté à droite}}}\;$»,
• sur $\;{\vec {u}}_{y}$, les mêmes car «$\;{A'}_{z,\,i}\,B_{x,\,i}-A_{x,\,i}\,{B'}_{z,\,i}=A_{z,\,d}\,B_{x,\,d}-\left[-A_{x,\,d}\right]\,\left[-B_{z,\,d}\right]=\left[A_{z,\,d}\,B_{x,\,d}-A_{x,\,d}\,B_{z,\,d}\right]\;$» soit «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{y,\,{\text{orienté à gauche}}}=\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{y,\,{\text{orienté à droite}}}\;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;{{\vec {u}}'}_{z}$, opposées en effet «$\;A_{x,\,i}\,B_{y,\,i}-A_{y,\,i}\,B_{x,\,i}=\left[-A_{x,\,d}\right]\,B_{y,\,d}-\left[-A_{y,\,d}\right]\,B_{x,\,d}=-\left[A_{x,\,d}\,B_{y,\,d}-A_{y,\,d}\,B_{x,\,d}\right]\;$» soit, avec «$\;{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\;$», «$\;\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{z',\,{\text{orienté à gauche}}}\;{{\vec {u}}'}_{z}=$ $\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)_{z,\,{\text{orienté à droite}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     la conséquence de ceci étant que $\;{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\;$ est inchangé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, on conclut que le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ et d'un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ est un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}$.

     Remarques : Le produit vectoriel étant anticommutatif $\Rightarrow$ le « produit vectoriel d'un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ et d'un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$» est l'opposé du « produit vectoriel du pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ et du vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$» quelle que soit l'orientation de l'espace, le caractère polaire du produit vectoriel est donc indépendant de la place du pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ c.-à-d. que le produit vectoriel d'un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ et d'un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ est un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}$.

     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace $\;{\big (}$un changement d'orientation l'inverse${\big )}\;$ alors qu'un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ est indépendant de l'orientation de l'espace, le produit vectoriel des deux s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite dans un espace orienté à droite et celle de la main gauche dans un espace orienté à gauche $\;{\big (}$le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel${\big )}$, on obtient effectivement un même sens quelle que soit l'orientation de l'espace $\Rightarrow$ le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ et d'un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ indépendant de l'orientation de l'espace est un vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}$.

Influence d'une symétrie plane (ou axiale), d'une antisymétrie plane (ou axiale) sur l'orientation de l'espace

     Préliminaire : si l'espace considéré est à deux dimensions et plan, on envisagera des symétries ou antisymétries axiales ;

     Préliminaire : si l'espace considéré est à trois dimensions, les symétries ou antisymétries envisagées seront planes.

Influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions

Orientation de l'espace à trois dimensions $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ et de son espace image $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$ par une symétrie $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à un plan $\;(\Pi )\;$

     Envisageant une symétrie $\;({\mathcal {S}})\;$ de tous les points d'un espace à trois dimensions $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ relativement à un plan $\;(\Pi )\;$ et supposant cet « espace $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ orienté à droite » avec « choix d'une base directe » $\;{\big (}$donc suivant la règle de la main droite ${\big )}\;$ dont les deux 1^ers vecteurs $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ sont $\;\parallel \;$ au plan $\;(\Pi )\;$ et le 3^ème $\;{\vec {u}}_{z}\;$ lui est $\;\perp$,

     l'« espace image $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$, symétrique de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ par la symétrie plane $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }$, est orienté à gauche » $\;{\big (}$le symétrique du tire-bouchon de Maxwell par rapport au plan $\;(\Pi )\;$ étant un tire-bouchon de farces et attrapes ${\big )}$, « les vecteurs images, par la même symétrie plane $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }$, des vecteurs de base $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de l'espace $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ étant choisis pour définir la base de $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$, « base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ » car suivant la règle de la main gauche $\;{\big (}$le symétrique d'une main droite pointant l'index, le pouce levé et le majeur replié par rapport au plan $\;(\Pi )\;$ étant une main gauche pointant l'index, le pouce levé et le majeur replié ${\big )}\;$ soit, pour base de $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$, $\;\left({{\vec {u}}'}_{x}={\vec {u}}_{x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{y}={\vec {u}}_{y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{z}=-{\vec {u}}_{z}\right)$.

     Conclusion : Une symétrie plane modifie l'orientation d'un espace à trois dimensions, à savoir

     Conclusion : l'espace image $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$, symétrique par symétrie plane $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ d'un espace $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ orienté à droite avec choix d'une base directe, est orienté à gauche avec pour base, la symétrique de la base directe de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par symétrie plane $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }$, cette base de $\;\left({\mathcal {E}}'\right)\;$ étant indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$.

Influence d'une symétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan

     Considérant un espace $\;({\mathcal {E}})\;$ à deux dimensions plan, il est nécessaire de définir une base $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi de préciser un 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\perp \;$ au plan de cet espace pour définir le sens $\;+\;$ de mesure des angles de ce plan ;

     on se rend compte qu'un espace plan $\;({\mathcal {E}})\;$ nécessite encore de définir une base à trois éléments $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ et de préciser le caractère direct ou indirect de cette base orientant l'espace à trois dimensions $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ dans lequel celui à deux dimensions est plongé.

     Envisageant une symétrie $\;({\mathcal {S}})\;$ de tous les points d'un espace à deux dimensions plan $\;({\mathcal {E}})\;$ relativement à un axe $\;(\Delta )\;$ de ce plan et supposant l'espace $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ dans lequel $\;({\mathcal {E}})\;$ est plongé, orienté par une base directe $\;{\big (}$donc suivant la règle de la main droite ${\big )}\;$ dont le 1^er vecteur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est $\;\perp \;$ à l'axe $\;(\Delta )\;$ dans $\;({\mathcal {E}})$, le 2^ème $\;{\vec {u}}_{y}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;(\Delta )\;$ dans $\;({\mathcal {E}})\;$ et le 3^ème $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\perp \;$ au plan de l'espace $\;({\mathcal {E}})\;$ et servant à orienter les angles de ce plan,

     l'espace image $\;({\mathcal {E}}')$, symétrique de l'espace $\;({\mathcal {E}})\;$ par la symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }$, peut être orienté de deux façons différentes

• celle introduisant l'espace image $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})$, symétrique par la symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ de l'espace $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ dans laquelle $\;({\mathcal {E}})\;$ est plongé $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, l'orientation de $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ étant alors conservée par rapport à celle de $\;({\mathcal {E}}_{3})$ $\;{\big \{}$si $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ est orienté à droite , $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ est aussi orienté à droite${\big \}}$ $\;{\big [}$le symétrique du tire-bouchon de Maxwell par rapport à l'axe $\;(\Delta )\;$ étant un tire-bouchon de Maxwell ${\big ]}$, la base choisie dans $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ étant symétrique par la symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ de celle choisie dans $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ conserve le caractère direct ou indirect de cette dernière $\;{\big \{}$si la base de $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ est direct suivant la règle de la main droite , celle de $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ est aussi direct${\big \}}$ ;
  ainsi les vecteurs de la base de $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ «$\;\left({{\vec {u}}'}_{\!x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!z}\right)\;$» sont,
  $\;\succ \;$pour le 1^er vecteur $\;\perp \;$ à l'axe $\;(\Delta )\;$ dans le plan $\;({\mathcal {E}}')$, «$\;{{\vec {u}}'}_{\!x}=-{\vec {u}}_{x}\;$»,
  $\;\succ \;$pour le 2^ème vecteur $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(\Delta )\;$ dans le plan $\;({\mathcal {E}}')$, «$\;{{\vec {u}}'}_{\!y}={\vec {u}}_{y}\;$» et
  $\;\succ \;$pour le 3^ème vecteur $\;\perp \;$ au plan $\;({\mathcal {E}}')\;$ orientant les angles de ce dernier, «$\;{{\vec {u}}'}_{\!z}=-{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big \{}$les angles de $\;({\mathcal {E}})\;$ et de $\;({\mathcal {E}}')\;$ sont algébrisés en sens contraire ${\big \}}\;$ ou

• celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel $\;({\mathcal {E}})\;$ est plongé $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, l'orientation des angles du plan géométriquement commun de $\;({\mathcal {E}})\;$ et de $\;({\mathcal {E}}')$, symétrique par la symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ de $\;({\mathcal {E}})$, est la même $\;{\big \{}$si les angles de $\;({\mathcal {E}})\;$ sont orientés dans le sens trigonométrique direct, ceux de $\;({\mathcal {E}}')\;$ le sont aussi${\big \}}$ ;
  ainsi les vecteurs de la base de $\;({\mathcal {E}}')\;$ «$\;\left({{\vec {u}}'}_{\!x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!y}\right)\;$» ainsi que le vecteur unitaire «$\;{{\vec {u}}'}_{\!z}\;$» orientant les angles de ce dernier sont
  $\;\succ \;$pour le 1^er vecteur $\;\perp \;$ à l'axe $\;(\Delta )\;$ dans le plan $\;({\mathcal {E}}')$, «$\;{{\vec {u}}'}_{\!x}=-{\vec {u}}_{x}\;$»,
  $\;\succ \;$pour le 2^ème vecteur $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(\Delta )\;$ dans le plan $\;({\mathcal {E}}')$, «$\;{{\vec {u}}'}_{\!y}={\vec {u}}_{y}\;$» et
  $\;\succ \;$pour les vecteurs unitaires $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;{{\vec {u}}'}_{\!z}$ $\;\perp \;$ au plan géométriquement commun de $\;({\mathcal {E}})\;$ et de $\;({\mathcal {E}}')\;$ et orientant respectivement ces derniers «$\;{{\vec {u}}'}_{\!z}={\vec {u}}_{z}\;$»  ;
  remarque : introduisant l'espace $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ dans lequel $\;({\mathcal {E}})\;$ est plongé avec pour base de cet espace à trois dimensions «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$» et un espace $\;({{\mathcal {E}}''}_{\!\!3})\;$ à trois dimensions dans lequel plonger $\;({\mathcal {E}}')\;$ avec pour base de cet espace à trois dimensions «$\;\left({{\vec {u}}'}_{\!x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!z}\right)\;$», le caractère direct de «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$» entraîne le caractère indirect de «$\;\left({{\vec {u}}'}_{\!x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!z}\right)\;$».

Notion d'antisymétrie

     Préliminaire : La notion d'antisymétrie nécessite qu'on s'intéresse à des champs scalaire $\;f()\;$ ou vectoriel $\;{\vec {A}}()\;$ du point générique $\;M\;$ d'un espace $\;{\mathcal {E}}$, elle n'a aucune signification sur les points $\;M\;$ eux-mêmes ;

     Préliminaire : l'antisymétrie envisagée dans ce chapitre est soit plane soit axiale .

Antisymétrie plane agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à trois dimensions

     Soient $\;({\mathcal {E}})\;$ un espace à trois dimensions, $\;f(M)\;$ ou $\;{\vec {A}}(M)\;$ une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie $\;\forall \;M\,\in \,({\mathcal {E}})\;$ et

     considérons le point $\;M'\;$ symétrique du point $\;M\;$ par rapport à un plan $\;(\Pi )\;$ de $\;({\mathcal {E}})\;$ à savoir

$\;M\;{\stackrel {({\mathcal {S}})_{\Pi }}{\longrightarrow }}\;M'\;$ avec $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ symétrie plane par rapport au plan $\;(\Pi )$.

Définition d'une antisymétrie plane

     l'antisymétrie plane relativement au plan $\;(\Pi )$, notée $\;({\mathcal {A}})_{\Pi }$, transforme

• $\;f(M)\;$ en l'opposé de $\;f(M')\;$ à savoir $\;f(M)\;{\stackrel {({\mathcal {A}})_{\Pi }}{\longrightarrow }}\;-f(M')\;$ où
  $\;M\;{\stackrel {({\mathcal {S}})_{\Pi }}{\longrightarrow }}\;M'\;$ avec $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ symétrie plane par rapport au plan $\;(\Pi )\;$ et
• $\;{\vec {A}}(M)\;$ en l'opposé du symétrique de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à savoir $\;{\vec {A}}(M)\;{\stackrel {({\mathcal {A}})_{\Pi }}{\longrightarrow }}\;-{{\vec {A}}\,'}(M')\;$ où
  $\;{\vec {A}}(M)\;{\stackrel {({\mathcal {S}})_{\Pi }}{\longrightarrow }}\;{{\vec {A}}\,'}(M')\;$ avec $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ symétrie plane par rapport au plan $\;(\Pi )$.

Antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan

     Soient $\;({\mathcal {E}})\;$ un espace à deux dimensions plan, $\;f(M)\;$ ou $\;{\vec {A}}(M)\;$ une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie $\;\forall \;M\,\in \,({\mathcal {E}})\;$ et

     considérons le point $\;M'\;$ symétrique du point $\;M\;$ par rapport à un axe $\;(\Delta )\;$ de $\;({\mathcal {E}})\;$ à savoir

$\;M\;{\stackrel {({\mathcal {S}})_{\Delta }}{\longrightarrow }}\;M'\;$ avec $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ symétrie axiale par rapport à l'axe $\;(\Delta )$.

Définition d'une antisymétrie axiale

     l'antisymétrie axiale relativement à l'axe $\;(\Delta )$, notée $\;({\mathcal {A}})_{\Delta }$, transforme

• $\;f(M)\;$ en l'opposé de $\;f(M')\;$ à savoir $\;f(M)\;{\stackrel {({\mathcal {A}})_{\Delta }}{\longrightarrow }}\;-f(M')\;$ où
  $\;M\;{\stackrel {({\mathcal {S}})_{\Delta }}{\longrightarrow }}\;M'\;$ avec $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ symétrie axiale par rapport à l'axe $\;(\Delta )\;$ et
• $\;{\vec {A}}(M)\;$ en l'opposé du symétrique de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à savoir $\;{\vec {A}}(M)\;{\stackrel {({\mathcal {A}})_{\Delta }}{\longrightarrow }}\;-{{\vec {A}}\,'}(M')\;$ où
  $\;{\vec {A}}(M)\;{\stackrel {({\mathcal {S}})_{\Delta }}{\longrightarrow }}\;{{\vec {A}}\,'}(M')\;$ avec $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ symétrie axiale par rapport à l'axe $\;(\Delta )$.

Influence d'une antisymétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions

     Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque $\;M\;$ d'un espace affine à trois dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})\;$ relativement à un plan $\;(\Pi )\;\in \,({\mathcal {E}})\;$,
     Préliminaire : la notion d'espace image de l'espace affine à trois dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})\;$ relativement au plan $\;(\Pi )\;\in \,({\mathcal {E}})\;$ n'a aucune signification,
     Préliminaire : seule celle de l'espace image $\;({\mathcal {E}}')\;$ de cet espace affine à trois dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ par symétrie $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement au plan $\;(\Pi )\;\in \,({\mathcal {E}})\;$ peut être introduite ;

     Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie $\;({\mathcal {A}})_{\Pi }\;$ à l'espace vectoriel $\;\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\;$ direction de l'espace affine à trois dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ ayant un sens ,
     Préliminaire : nous introduisons l'espace vectoriel image $\;\left\lbrace {\mathcal {A}}_{\Pi }\!\left[\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\right]\right\rbrace \;$ par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})_{\Pi }\;$ de l'espace vectoriel $\;\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\;$ direction de $\;({\mathcal {E}})\;$ comme étant l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel $\;\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)$, direction de $\;({\mathcal {E}})$, par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})_{\Pi }$,
     Préliminaire : la base de $\;\left\lbrace {\mathcal {A}}_{\Pi }\!\left[\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\right]\right\rbrace \;$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image $\;({\mathcal {E}}')\;$ de l'espace affine à trois dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ par symétrie $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ relativement au plan $\;(\Pi )\;\in \,({\mathcal {E}})$, ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie plane est introduite .

Orientation de l'espace à trois dimensions $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ et de son espace image $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$ par une symétrie $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à un plan $\;(\Pi )\;$ et choix d'une base antisymétrique par rapport à $\;(\Pi )\;$ de celle de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$

     Développement : Soit une antisymétrie $\;({\mathcal {A}})\;$ relativement à un plan $\;(\Pi )\;$ d'un espace à trois dimensions $\;{\mathcal {E}}\;$ et supposant cet « espace $\;({\mathcal {E}})\;$ orienté à droite » avec « choix d'une base directe » $\;{\big (}$donc suivant la règle de la main droite ${\big )}\;$ dont les deux 1^ers vecteurs $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ sont $\;\parallel \;$ au plan $\;(\Pi )\;$ et le 3^ème $\;{\vec {u}}_{z}\;$ lui est $\;\perp$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$,

     Développement : d'après le paragraphe « influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions » plus haut dans ce chapitre, nous savons qu'« une symétrie plane modifie l'orientation de l'espace » d'où l'« espace image $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$, symétrique par symétrie plane $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ de l'espace $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ orienté à droite est orienté à gauche »  ;

     Développement : en vue d'une étude quantitative, nous choisissons pour base de $\;\left({\mathcal {E}}'\right)$ l'antisymétrique par antisymétrie plane $\;({\mathcal {A}})_{\Pi }\;$ de la base directe de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ soit, notant «$\;\left({{\vec {u}}'}_{\!x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!z}\right)\;$ la base symétrique par symétrie plane $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ de la base $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{{\vec {u}}'}_{\!x}={\vec {u}}_{x}\\{{\vec {u}}'}_{\!y}={\vec {u}}_{y}\\{{\vec {u}}'}_{\!z}=-{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}$en tiretés ci-contre${\big )}$, la « base antisymétrique par antisymétrie plane $\;({\mathcal {A}})_{\Pi }\;$ de la base $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ étant égale à $\;\left({{\vec {u}}''}_{\!\!x}=-{\vec {u}}_{x}\,,\,{{\vec {u}}''}_{\!\!y}=-{\vec {u}}_{y}\,,\,{{\vec {u}}''}_{\!\!z}={\vec {u}}_{z}\right)\;$» $\;{\big (}$en traits pleins ci-contre${\big )}$, est une base directe $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ $\;{\big (}$car suivant la règle de la main droite ${\big )}\;$ de l'espace $\;\left({\mathcal {E}}'\right)\;$ orienté à gauche .

     En conclusion, l'« espace image $\;\left({\mathcal {E}}'\right)\;$ par symétrie plane $\;({\mathcal {S}})_{\Pi }\;$ de l'espace $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ orienté à droite est orienté à gauche  »,
     En conclusion, au « choix d'une base directe dans $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$» $\;{\big (}$donc suivant la règle de la main droite ${\big )}\;$ nous faisons correspondre le « choix d'une base directe $\;{\big (}$au sens de la physique ${\big )}\;$ dans $\;\left({\mathcal {E}}'\right)\;$» $\;{\big (}$donc suivant la règle de la main droite ${\big )}$,
     En conclusion, cette base utilisée pour repérer les points de $\;\left({\mathcal {E}}'\right)\;$ étant l'antisymétrique par antisymétrie plane $\;({\mathcal {A}})_{\Pi }\;$ de la base utilisée pour repérer les points de $\;\left({\mathcal {E}}\right)$.

Influence d'une antisymétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan

     Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque $\;M\;$ d'un espace affine à deux dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ plan n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})\;$ relativement à un axe $\;(\Delta )\;\in \,({\mathcal {E}})\;$,
     Préliminaire : la notion d'espace image de l'espace affine à deux dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})\;$ relativement à l'axe $\;(\Delta )\;\in \,({\mathcal {E}})\;$ n'a aucune signification,
     Préliminaire : seule celle de l'espace image $\;({\mathcal {E}}')\;$ de cet espace affine à deux dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ par symétrie $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à l'axe $\;(\Delta )\;\in \,({\mathcal {E}})\;$ peut être introduite ;

     Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie $\;({\mathcal {A}})_{\Delta }\;$ à l'espace vectoriel $\;\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\;$ direction de l'espace affine à deux dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ ayant un sens ,
     Préliminaire : nous introduisons l'espace vectoriel image $\;\left\lbrace {\mathcal {A}}_{\Delta }\!\left[\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\right]\right\rbrace \;$ par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})_{\Delta }\;$ de l'espace vectoriel $\;\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\;$ direction de $\;({\mathcal {E}})\;$ comme étant l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel $\;\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)$, direction de $\;({\mathcal {E}})$, par antisymétrie $\;({\mathcal {A}})_{\Delta }$,
     Préliminaire : la base de $\;\left\lbrace {\mathcal {A}}_{\Delta }\!\left[\left({\vec {\mathcal {E}}}\right)\right]\right\rbrace \;$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image $\;({\mathcal {E}}')\;$ de l'espace affine à deux dimensions $\;({\mathcal {E}})\;$ par symétrie $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ relativement à l'axe $\;(\Delta )\;\in \,({\mathcal {E}})$, ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie axiale est introduite .

     Développement : Envisageant une symétrie $\;({\mathcal {S}})\;$ de tous les points d'un espace à deux dimensions plan $\;({\mathcal {E}})\;$ relativement à un axe $\;(\Delta )\;$ de ce plan et supposant l'espace $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ dans lequel $\;({\mathcal {E}})\;$ est plongé, orienté par une base directe $\;{\big (}$donc suivant la règle de la main droite ${\big )}\;$ dont le 1^er vecteur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est $\;\perp \;$ à l'axe $\;(\Delta )\;$ dans $\;({\mathcal {E}})$, le 2^ème $\;{\vec {u}}_{y}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;(\Delta )\;$ dans $\;({\mathcal {E}})\;$ et le 3^ème $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\perp \;$ au plan de l'espace $\;({\mathcal {E}})\;$ et servant à orienter les angles de ce plan,

     Développement : l'espace image $\;({\mathcal {E}}')$, symétrique de l'espace $\;({\mathcal {E}})\;$ par la symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }$, peut être orienté de deux façons différentes

• celle introduisant l'espace image $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})$, symétrique par la symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ de l'espace $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ dans laquelle $\;({\mathcal {E}})\;$ est plongé $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, l'orientation de $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ étant alors conservée par rapport à celle de $\;({\mathcal {E}}_{3})$ $\;{\big \{}$si $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ est orienté à droite , $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ est aussi orienté à droite${\big \}}$ $\;{\big [}$le symétrique du tire-bouchon de Maxwell par rapport à l'axe $\;(\Delta )\;$ étant un tire-bouchon de Maxwell ${\big ]}$,
  en vue d'une étude quantitative, nous choisissons pour base de $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ l'antisymétrique par antisymétrie axiale $\;({\mathcal {A}})_{\Delta }\;$ de celle choisie dans $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ soit, notant «$\;\left({{\vec {u}}'}_{\!x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{\!z}\right)\;$ la base symétrique par symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ de la base $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{{\vec {u}}'}_{\!x}=-{\vec {u}}_{x}\\{{\vec {u}}'}_{\!y}={\vec {u}}_{y}\\{{\vec {u}}'}_{\!z}=-{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}$en tiretés ci-contre${\big )}$, la « base antisymétrique par antisymétrie axiale $\;({\mathcal {A}})_{\Delta }\;$ de la base $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ de $\;({\mathcal {E}}_{3})\;$ étant égale à $\;\left({{\vec {u}}''}_{\!\!x}={\vec {u}}_{x}\,,\,{{\vec {u}}''}_{\!\!y}=-{\vec {u}}_{y}\,,\,{{\vec {u}}''}_{\!\!z}={\vec {u}}_{z}\right)\;$» $\;{\big (}$en traits pleins ci-contre${\big )}$, est une base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ $\;{\big (}$car suivant la règle de la main gauche ${\big )}\;$ de l'espace $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})\;$ orienté à gauche  ; avec ce choix de base pour repérer les points de $\;({{\mathcal {E}}'}_{\!3})$, les angles de $\;({\mathcal {E}})\;$ et de $\;({\mathcal {E}}')\;$ sont algébrisés en sens contraire $\;{\big \{}$les angles de $\;({\mathcal {E}}')\;$ étant orienté par $\;-{{\vec {u}}''}_{\!\!z}{\big \}}$, ou

• celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel $\;({\mathcal {E}})\;$ est plongé $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, l'orientation des angles du plan géométriquement commun de $\;({\mathcal {E}})\;$ et de $\;({\mathcal {E}}')$, symétrique par la symétrie axiale $\;({\mathcal {S}})_{\Delta }\;$ de $\;({\mathcal {E}})$, est la même $\;{\big \{}$si les angles de $\;({\mathcal {E}})\;$ sont orientés dans le sens trigonométrique direct par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}$, ceux de $\;({\mathcal {E}}')\;$ le sont aussi, c.-à-d. orienté par le vecteur unitaire $\;{{\vec {u}}'}_{\!z}={\vec {u}}_{z}\;$${\big \}}$ ;
  en vue d'une étude quantitative, nous choisissons pour base de $\;({\mathcal {E}}')\;$