En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions est choisi « orienté à droite » [1],
Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout élément de l'ensemble image de l'espace physique affine par un champ vectoriel [2], Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout soit «» l'ensemble image «» de par le champ vectoriel n'est en général pas un -espace vectoriel[3] mais est inclus dans un -espace vectoriel en général choisi comme direction[4] de l'espace physique affine à trois dimensions » ;
Dans ce chapitre, nous nous proposons d'étudier le comportement de ces « vecteurs » éléments de lors d'un changement d'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions , ce dernier devenant « orienté à gauche » [1].
Rappels : L'orientation de « à droite » [1] le « produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction[4] de l'espace physique affine à trois dimensions » [5] tel que le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [6] alors que
Rappels : l'orientation de « à gauche » [1] le « produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction[4] de l'espace physique affine à trois dimensions » [5] tel que le trièdre est indirect au sens de la physique c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche [7].
Définition de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires), de pseudo vecteurs (ou vecteurs axiaux) et exemplesmodifier
Définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)modifier
Un « vecteur » [8] est un vrai vecteurou vecteur polaire si « sa définition ne dépend pas de l'orientation de l'espace» c.-à-d. est la même pour « orienté à droite » [1] ou « à gauche » [1].
Définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)modifier
Un « vecteur » [8] est un pseudo-vecteurou vecteur axial si « sa définition dépend de l'orientation de l'espace» c.-à-d. est pour « orienté à droite » [1] ou « à gauche » [1].
Comment distinguer un vrai vecteur d'un pseudo-vecteur ?modifier
Pour savoir si un « vecteur » [8] est un « vrai vecteur » [9] ou un « pseudo-vecteur » [10], on se demande si l'orientation de l'espace est indispensable à sa définition : Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », si elle n'est pas nécessaire le « vecteur » [8] est alors « vrai ou polaire», Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », si elle est indispensable le « vecteur » [8] est un « pseudo-vecteur ou vecteur axial».
Exemples de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)modifier
Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.
« Vecteur position », « vecteur déplacement élémentaire » [11],
Remarque : Bien que le courant dans un circuit filiforme ne soit pas directement un vecteur, il est néanmoins défini par une direction le circuit filiforme, un sens et une valeur absolue, ce qui lui confère une propriété vectorielle correspondant à un vrai vecteur ou vecteur polaire[17].
Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.
Si la définition d'un « vecteur » [8] se fait par produit vectoriel [18] de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9], le « vecteur » [8] obtenu est un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10],[19] : Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs pseudo-vecteur « moment cinétique par rapport à , point origine, » [20], Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs pseudo-vecteur « moment d'une force par rapport à , point origine, » [21]
Si la détermination d'un « vecteur » [8] se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] par un scalaire, le « vecteur » [8] obtenu est alors un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] : Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial par un scalaire, pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial par un scalaire, autour de l'axe , » avec moment d'inertie Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial par un scalaire, de relativement à son axe de rotation [22]
Si la détermination d'un « vecteur » [8] se fait par produit vectoriel [18] d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] et d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10], Si la détermination le « vecteur » [8] obtenu est un vrai vecteur ou vecteur polaire[9],[19] : pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe , Si la détermination le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur ou vecteur polaire : par » [23]2nde justification, Si la détermination le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur ou vecteur polaire : pseudo-vecteur « champ magnétique par » [24]
Propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteurmodifier
Base cartésienne orthonormée directe les deux 1ers vecteurs en noir et le 3ème en rouge suivant la règle de la main droite [6] et indirecte les mêmes deux 1ers vecteurs en noir et le 3ème en bleu suivant la règle de la main gauche [7]
Considérons deux bases cartésiennes l'une « directe suivant la règle de la main droite » [6]le 3ème vecteur en rouge ci-contre et Considérons deux bases cartésiennes l'autre « indirecte par règle de la main gauche » [7]le 3ème vecteur en bleu ci-contre, définissons le produit vectoriel des deux « vecteurs » [8],[25] par ses composantes :
définissons le produit vectoriel [26] avec la base directe et
définissons le produit vectoriel [26] avec la base indirecte .
Remarque : les composantes du produit vectoriel selon la base directe suppose l'espace orienté à droite [1] alors que Remarque : les compos celles du produit vectoriel selon la base indirecte suppose l'espace orienté à gauche [1] mais Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon à partir des composantes de et quelle que soit l'orientation de l'espace car Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon la direction au plan formé par et [5] et Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon la norme [5] sont indépendantes de l'orientation de l'espace et Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon le sens tel que le trièdre est direct dans un espace orienté à droite [1],[5]obtenu par règle de la main droite [6] et Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon le sens tel que le trièdre est indirect au sens de la physique[27] dans un espace orienté à gauche [1],[5] Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon le sens tel que le trièdre est indirect au sens de la physiqueobtenu par règle de la main gauche [7] d'où Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle de la main droite ou gauche Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle pour déterminer le sens de et Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle pour déterminer celui du 3ème vecteur de base Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle pour déterminer relativement aux deux autres.
Produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)modifier
Les deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] facteurs de la multiplication vectorielle [5] étant inchangés quand on modifie l'orientation de l'espace, Les deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires facteurs de la multiplication vectorielle étant inchangés ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, le même sens et la même norme,
les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polairessur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1] les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polairessont sur et sur individuellement les mêmes «», «» et les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polaires sont sur et sur individuellement opposées soit «» ;
on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et on en déduit que les composantes de sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1] on en déduit que les composantes de sont [28]sur , opposées car «» soit on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «», on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» soit on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» et on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» soit, on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» ou, avec «», on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» d'où
le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] étant changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite [1] à un espace orienté à gauche [1], le produit vectoriel de deux vrais vecteursou vecteurs polaires[9]est un pseudo-vecteurou vecteur axial[10].
Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] étant indépendants de l'orientation de l'espace mais Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite [1] et Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche [1], Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] dépendant de l'orientation de l'espace Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polairesest un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10].
Produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux)modifier
Les deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] facteurs de la multiplication vectorielle [5] étant changés quand on modifie l'orientation de l'espace Les deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux facteurs de la multiplication vectorielle étant changés ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, la même norme mais inversent leur sens,
les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiauxsur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1] les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiauxsont sur et sur individuellement opposées «», «» et les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux sont sur et sur individuellement les mêmes soit «» ;
on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et on en déduit que les composantes de sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1] on en déduit que les composantes de sont [28]sur , opposées car «» soit on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «», on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» soit on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» et on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» soit, on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» ou, avec «», on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» d'où
le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] étant changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite [1] à un espace orienté à gauche [1], le produit vectoriel de deux pseudo-vecteursou vecteurs axiaux[10]est un pseudo-vecteurou vecteur axial[10].
Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] dépendant de l'orientation de l'espace ils en sont tous deux inversés et Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite [1] et Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche [1] Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel, d'où Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace [29] Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] dépendant de l'orientation de l'espace Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiauxest un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10].
Produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire)modifier
Le pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] 1er facteur de la multiplication vectorielle [5] étant changé quand on modifie l'orientation de l'espace Le pseudo-vecteur ou vecteur axial 1er facteur de la multiplication vectorielle étant changé ce qui signifie qu'il garde la même direction, la même norme mais inverse son sens, et le vrai vecteur ou vecteur polaire[9] 2nd facteur de la multiplication vectorielle [5] étant inchangé lors de la même modification d'orientation de l'espace Le vrai vecteur ou vecteur polaire 2nd facteur de la multiplication vectorielle étant inchangé ce qui signifie qu'il garde la même direction, le même sens et la même norme,
les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axialsur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1] les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axialsont sur et sur individuellement opposées «» et les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axial sont sur et sur les mêmes soit «» alors que les composantes du vrai vecteur ou vecteur polaire[9] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et les composantes du vrai vecteur ou vecteur polairesur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1] les composantes du vrai vecteur ou vecteur polairesont sur et sur individuellement les mêmes «» et les composantes du vrai vecteur ou vecteur polaire sont sur et sur opposées soit «» ;
on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et on en déduit que les composantes de sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1] on en déduit que les composantes de sont [28]sur , les mêmes car «» soit on en déduit que les composantes de sont sur , les mêmes car «», on en déduit que les composantes de sont sur , les mêmes car «» soit on en déduit que les composantes de sont sur , les mêmes car «» et on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» soit, on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» ou, avec «», on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» d'où
le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] et d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] étant inchangé quand on passe d'un espace orienté à droite [1] le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial et d'un vrai vecteur ou vecteur polaire étant inchangé quand on passe à un espace orienté à gauche [1], le produit vectoriel d'un pseudo-vecteurou vecteur axial[10]et d'un vrai vecteurou vecteur polaire[10]est un vrai vecteurou vecteur polaire[9].
Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative [30] le « produit vectoriel d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] et d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] » Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative est l'opposé du « produit vectoriel du pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] et du vrai vecteur ou vecteur polaire[9] » Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative est l'opposé quelle que soit l'orientation de l'espace, Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le caractère polaire du produit vectoriel est donc indépendant de la place du pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le produit vectoriel d'un vrai vecteurou vecteur polaire[9]et d'un pseudo-vecteurou vecteur axial[10]est un vrai vecteur Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le produit vectoriel d'un vrai vecteurou vecteur polaire et d'un pseudo-vecteurou vecteur axial est ou vecteur polaire[9].
Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] dépendant de l'orientation de l'espace un changement d'orientation l'inversant alors que Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] étant indépendant de l'orientation de l'espace, Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite [1] et Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche [1] Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel d'où Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement un même sens quelle que soit l'orientation de l'espace [31] Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] et Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] indépendant de l'orientation de l'espace Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axialest un vrai vecteur ou vecteur polaire[9].
Influence d'une symétrie plane (ou axiale), d'une antisymétrie plane (ou axiale) sur l'orientation de l'espacemodifier
Préliminaire : si l'espace considéré est à deux dimensions et plan, on envisagera des symétries axiales ou antisymétries axiales ;
Préliminaire : si l'espace considéré est à trois dimensions, on envisagera des symétries planes ou antisymétries planes.
Influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensionsmodifier
Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan
Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet « espace orienté à droite » [1] avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe » supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix donc suivant la règle de la main droite [6] supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont le 3ème lui est ,
l'« espace image , symétrique par rapport au plan , de l'espace par la symétrie, est orienté à gauche » [1],[32], « les vecteurs images, par la même symétrie plane, des vecteurs de base de l'espace « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « indirecte au sens de la physique[27] » car « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « suivant la règle de la main gauche [7],[33] d'où « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de : .
Conclusion : Une symétrie plane modifie l'orientation d'un espace à trois dimensions, à savoir Conclusion : l'espace image, symétrique par symétrie planed'un espaceorienté à droite[1] Conclusion : l'espace image, symétrique par symétrie planed'un espaceavec choix d'une base directe, Conclusion : l'espace image, est orienté à gauche[1] Conclusion : l'espace image, est avec pour base, la symétrique de la base directe de par symétrie plane, cette base de étant indirecteau sens de la physique[27].
Influence d'une symétrie axiale sur un espace à deux dimensions planmodifier
Considérant un espace à deux dimensions plan, il est nécessaire de définir une base dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi Considérant un espace à deux dimensions plan, il est nécessaire de préciser un 3ème vecteur au plan de cet espace pour définir le sens de mesure des angles de ce plan ;
ainsi un espace plan nécessite encore de définir une base à trois éléments et ainsi un espace plan nécessite encore de préciser le caractère direct ou indirect de cette base orientant l'espace à trois dimensions dans lequel celui à deux dimensions est plongé.
Envisageant une symétrie axiale de tous les points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe de ce plan et supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite [1] avec choix d'une base cartésienne orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 1er vecteur est à l'axe , supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 2ème est à et supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 3ème au plan de l'espace et servant à orienter les angles de ce plan,
l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale, peut être orienté de deux façons différentes :
celle telle que l'espace image , symétrique par la symétrie axiale de l'espace dans laquelle est plongé celle telle que l'espace image , est orienté comme si est orienté à droite [1], est aussi orienté à droite [1], celle telle que l'espace image , ce qui suppose que le symétrique axial du tire-bouchon de Maxwell [34] par rapport à l'axe est un tire-bouchon de Maxwell [34],[35]voir ci-contre, celle telle que l'espace image , la base choisie dans étant symétrique par la symétrie axiale de celle de celle telle que l'espace image , la base choisie dans conserve le caractère direct ou indirect de cette dernière [36] d'où celle telle que l'espace image , si la base de est directe suivant la règle de la main droite [6], celle telle que l'espace image , si celle de est aussi directe ; celle telle que l'espace image , si ainsi les vecteurs de la base de «» sont : celle telle que l'espace image , si pour le 1er vecteur à l'axe dans le plan , «», celle telle que l'espace image , si pour le 2ème vecteur à l'axe dans le plan , «» et celle telle que l'espace image , si pour le 3ème vecteur au plan orientant les angles de ce dernier, «» celle telle que l'espace image , si les angles deet desont algébrisés en sens contraire[37] ou
celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel serait plongé voir ci-contre, mais telle que les angles du plan commun de l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale, et l'espace [38], les angles du plan commun sont orientés de la même façon pour et par exemple les angles du plan commun si les angles de sont orientés dans le sens trigonométrique [39] ceux de le sont aussi ; ainsi les vecteurs de la base de «» ainsi que le vecteur unitaire «» orientant les angles de ce dernier sont les vecteurs de la base de pour le 1er vecteur à l'axe dans le plan , «», les vecteurs de la base de pour le 2ème vecteur à l'axe dans le plan , «» et les vecteurs de la base de pour les vecteurs unitaires et au plan commun de et de [38] et les vecteurs de la base de pour les vecteurs unitaires et orientant dans le même sens les angles de ces derniers les vecteurs de la base de pour les vecteurs unitaires et orientant dans le même sens les angles «» [40] ; remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions dans lequel est plongé [41], remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions avec pour base de cet espace «» et remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions dans lequel plonger remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions avec pour base de cet espace «», remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace est orienté à droite [1] et remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «» y est directe, remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace est orienté à droite [1] mais remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «» y est indirecte ; remarque : attention l'espace dans lequel est plongé n'est pas le symétrique axial relativement à l'axe de l'espace dans lequel est plongé [42] mais remarque : attention l'espace l'espace plan est bien le symétrique axial relativement à l'axe de l'espace plan [43].
Préliminaire : La notion d'antisymétrie nécessite qu'on s'intéresse à des champs scalaire ou vectoriel du point générique d'un espace , Préliminaire :La notion d'antisymétrieelle n'a aucune signification sur les points eux-mêmes ; Préliminaire : l'antisymétrie envisagée dans ce chapitre est soit plane soit axiale [44].
Antisymétrie plane agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à trois dimensionsmodifier
Soient un espace à trois dimensions, ou une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie et
considérons le point symétrique du point par rapport à un plan de à savoir « avec symétrie plane par rapport au plan ».
Définition d'une antisymétrie plane
l'antisymétrie plane relativement au plan , notée , transforme
en l'opposé de à savoir «» en l'opposé de où « avec symétrie plane par rapport au plan » et
en l'opposé du symétrique de à savoir «» en l'opposé du symétrique de où « et avec symétrie plane en l'opposé du symétrique de où « et avec par rapport au plan ».
Antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions planmodifier
Soient un espace à deux dimensions plan, ou une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie et
considérons le point symétrique du point par rapport à un axe de à savoir « avec symétrie axiale par rapport à l'axe ».
Définition d'une antisymétrie axiale
l'antisymétrie axiale relativement à l'axe , notée , transforme
en l'opposé de à savoir «» en l'opposé de où « avec symétrie axiale par rapport à l'axe » et
en l'opposé du symétrique de à savoir «» en l'opposé du symétrique de où « et avec symétrie axiale en l'opposé du symétrique de où « et avec par rapport à l'axe ».
Influence d'une antisymétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensionsmodifier
Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque d'un espace affine à trois dimensions n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie relativement à un plan [45], Préliminaire : Étant donné la notion d'espace image de l'espace affine à trois dimensions par antisymétrie relativement au plan n'a aucune signification, Préliminaire : Étant donné seule celle de l'espace image de cet espace affine à trois dimensions par symétrie plane relativement au plan peut être introduite ; Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie à l'espace vectoriel direction[4] de l'espace affine à trois dimensions ayant un sens [46], Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel image par antisymétrie de l'espace vectoriel direction[4] de comme étant Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel , direction[4] de , par antisymétrie , Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image de l'espace affine à trois dimensions Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image par symétrie plane relativement au plan , Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie plane est introduite [47].
Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie plane par rapport à un plan et choix d'une base antisymétrique par rapport à de celle de
Développement : Soit une antisymétrie relativement à un plan d'un espace à trois dimensions et Développement : supposant cet « espace orienté à droite » [1] avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe » Développement : supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix donc suivant la règle de la main droite [6] Développement : supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix avec au plan et Développement : supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix le 3ème lui étant voir ci-contre ;
Développement : l'« espace image , symétrique par rapport au plan , de l'espace par la symétrie plane, Développement : l'« espace image , est orienté à gauche » [1],[32],[48] ;
Développement : « les vecteurs images, par antisymétrie plane , des vecteurs de base de l'espace Développement : « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « directe Développement : « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « au sens de la physique[27] » car Développement : « étant la base symétrique par symétrie plane de la base de tels que Développement : «» en tiretés ci-contre, Développement : «est une base indirecte au sens de la physique[27]suivant la règle de la main gauche [7][33],[48] et par suite Développement : la « base antisymétrique par antisymétrie plane de la base de , » devient directe au sens de la physique[27],[49] Développement : la « base antisymétrique par antisymétrie plane de la base de , en traits pleins ci-dessus, suivant la règle de la main droite [6].
En conclusion, l'« espace image par symétrie plane de l'espace orienté à droite [1] est orienté à gauche [1] », En conclusion, au « choix d'une base directe dans » donc suivant la règle de la main droite [6] nous faisons correspondre le « choix d'une base directe au sens de la physique [27] dans » En conclusion, au « choix d'une base directe dans » donc suivant la règle de la main droite nous faisons correspondre le « choix d'une donc suivant la règle de la main droite [6], En conclusion, cette base utilisée pour repérer les points de étant l'antisymétrique par antisymétrie plane de la base utilisée pour repérer les points de .
Influence d'une antisymétrie axiale sur un espace à deux dimensions planmodifier
Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque d'un espace affine à deux dimensions plan n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie relativement à un axe [45], Préliminaire : Étant donné la notion d'espace image de l'espace affine à deux dimensions plan par antisymétrie relativement à l'axe n'a aucune signification, Préliminaire : Étant donné seule celle de l'espace image de cet espace affine à deux dimensions plan par symétrie axiale relativement à l'axe peut être introduite ; Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie à l'espace vectoriel direction[4] de l'espace affine à deux dimensions plan ayant un sens [46], Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel image par antisymétrie de l'espace vectoriel direction[4] de comme étant Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel , direction[4] de , par antisymétrie , Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image de l'espace affine à deux dimensions plan Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image par symétrie axiale relativement à l'axe , Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie axiale est introduite [50].
Développement : Considérant un espace à deux dimensions plan, il convient de définir une base dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi Développement : Considérant un espace à deux dimensions plan, il convient de préciser un 3ème vecteur au plan de cet espace pour définir le sens de mesure des angles de ce plan ;
Développement : ainsi un espace plan nécessite encore de définir une base à trois éléments et Développement : ainsi un espace plan nécessite encore de préciser le caractère direct ou indirect de cette base orientant l'espace à trois dimensions dans lequel est plongé.
Développement : Envisageant une symétrie axiale de tous les points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe de ce plan et Développement : supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite [1] avec choix d'une base cartésienne orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] Développement : supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 1er vecteur est à l'axe , Développement : supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 2ème est à et Développement : supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 3ème au plan de l'espace et servant à orienter les angles de ce plan,
Développement : l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale, peut être orienté de deux façons différentes :
celle telle que l'espace image , symétrique par la symétrie axiale de l'espace dans laquelle est plongé celle telle que l'espace image , est orienté comme si est orienté à droite [1], est aussi orienté à droite [1], celle telle que l'espace image , ce qui suppose que le symétrique axial du tire-bouchon de Maxwell [34] par rapport à l'axe est un tire-bouchon de Maxwell [34],[35]voir ci-contre, celle telle que l'espace image , la base choisie dans étant antisymétrique par antisymétrie axiale celle telle que l'espace image , la base choisie dans étant antisymétrique par antisymétrie axiale de celle de , celle telle que l'espace image , la base choisie dans échange les caractères direct et indirect de cette dernière [51] d'où celle telle que l'espace image , si la base de est directe suivant la règle de la main droite [6], celle telle que l'espace image , si celle de est indirecte suivant la règle de la main gauche [7] ; celle telle que l'espace image , si ainsi les vecteurs de la base de «» sont : celle telle que l'espace image , si pour le 1er vecteur à l'axe dans le plan , «» [52], celle telle que l'espace image , si pour le 2ème vecteur à l'axe dans le plan , «» [52] et celle telle que l'espace image , si pour le 3ème vecteur au plan , «» [52] celle telle que l'espace image , si toutefois les angles de restent orientés par d'où celle telle que l'espace image , si les angles deet desont algébrisés en sens contraire[37] ou
celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel serait plongé voir ci-contre, mais telle que les angles du plan commun de l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale, et l'espace [38], les angles du plan commun sont orientés de la même façon pour et [53] par exemple les angles du plan commun si les angles de sont orientés dans le sens trigonométrique [39] ceux de le sont aussi ; notant la base cartésienne orthonormée de l'espace à deux dimensions plan, avec à et notant la base cartésienne orthonormée de l'espace à deux dimensions plan, avec à , notant le doublet de vecteurs unitaires symétrique de par symétrie axiale, en tiretés ci-contre, notant le doublet de vecteurs unitaires qui pourraient être choisis comme base de mais nous préférons choisir notant antisymétrique de par antisymétrie axiale comme base de en traits pleins ci-contre, notant telle que «» et «» ; pour les vecteurs unitaires et au plan commun de et de [38] pour les vecteurs unitaires et orientant dans le même sens les angles de ces derniers «» [54] ; remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions dans lequel est plongé [41], remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions avec pour base de cet espace «» et remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions dans lequel plonger remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions avec pour base de cet espace «», remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace est orienté à droite [1] et remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «» y est directe, remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace est orienté à droite [1] mais remarque : si toutefois on introduit le sens de mesure des angles de étant déterminé par le vecteur de base selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «» y est indirecte ; remarque : l'espace vectoriel dans lequel est plongé est l'antisymétrique axial relativement à l'axe de l'espace vectoriel dans lequel est plongé [55] mais remarque : attention l'espace l'espace vectoriel est aussi l'antisymétrique axial relativement à l'axe de l'espace vectoriel [56].
Invariance par symétrie plane (ou axiale) d'un champ scalaire de l'espacemodifier
Invariance par symétrie plane d'un champ scalaire de l'espace à trois dimensionsmodifier
Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan
Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet « espace orienté à droite » [1] avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe » supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix donc suivant la règle de la main droite [6] supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont le 3ème lui est voir ci-contre,
l'« espace image , symétrique par rapport au plan , de l'espace par la symétrie, est orienté à gauche » [1],[32],[48], « les vecteurs images, par la même symétrie plane, des vecteurs de base de l'espace « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « indirecte au sens de la physique[27] » car « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « suivant la règle de la main gauche [7],[33],[48] d'où « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de : ;
le « champ scalaire de l'espace à trois dimensions est dit invariant par la symétrie plane» ssi « le « champ scalaire de l'espace à trois dimensions est dit invariant par la sym avec » [57] ou, avec choix de la même origine sur le plan de symétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont [58] » et avec choix de la même origine l'invariance par la symétrie plane du champ scalaire se réécrit «» soit avec choix de la même origine l'invariance par la symétrie plane du champ scalaire se réécrit « paire suivant la direction au plan ».
Invariance par symétrie axiale d'un champ scalaire de l'espace à deux dimensions planmodifier
Orientation de l'espace à deux dimensions plan et de son espace image par symétrie par rapport à l'axe de avec une même orientation des angles de et de
Envisageant une symétrie des points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe telle que cet « espace est orienté dans le sens trigonométrique [39] » angles de orientés par le vecteur unitaire à cet « espace avec « choix d'une base cartésienne orthonormée dans voir ci-contre cet « espace avec « choix dont le 1er vecteur est à l'axe , cet « espace avec « choix dont le 2ème vecteur est à l'axe », cet « espace introduisant l'espace à trois dimensions orienté à droite [1] dans lequel est plongé [41] avec cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1ers vecteurs sont et , cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3ème au plan de l'espace et cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3èmeservant à orienter les angles de , l'espace image , symétrique de l'espace par symétrie axiale, l'espace image , étant orienté tel que les angles du plan commun de et de [38], sont orientés de la même façon ainsi, l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique [39], ceux de le sont aussi angles l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire à [40] ; l'espace image , les vecteurs de la base de «» sont choisis symétriques par symétrie axiale l'espace image , les vecteurs de la base de «» sont choisis symétriques des vecteurs de la base de «» d'où voir schéma ci-dessus, l'espace image , introduisant un espace à trois dimensions [59] orienté à droite [1] dans lequel plonger [41] avec l'espace image , introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée indirecte donc suivant la règle de la main gauche [7] «»,
le « champ scalaire de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par la symétrie axiale» ssi « avec » [57] ou, avec choix de la même origine sur l'axe de symétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont [60] » et avec choix de la même origine l'invariance par la symétrie axiale du champ scalaire se réécrit «» soit avec choix de la même origine l'invariance par la symétrie axiale du champ scalaire se réécrit « paire suivant la direction à l'axe ».
Invariance par symétrie plane (ou axiale) d'un champ vectoriel de l'espacemodifier
Invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensionsmodifier
Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan
Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet « espace orienté à droite » [1] avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe » supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix donc suivant la règle de la main droite [6] supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont le 3ème lui est voir ci-contre,
l'« espace image , symétrique par rapport au plan , de l'espace par la symétrie, est orienté à gauche » [1],[32],[48], « les vecteurs images, par la même symétrie plane, des vecteurs de base de l'espace « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « indirecte au sens de la physique[27] » car « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « suivant la règle de la main gauche [7],[33],[48] d'où « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de : ;
le « champ vectoriel de l'espace à trois dimensions est invariant par la symétrie plane» ssi « le « champ vectoriel de l'espace à trois dimensions est invariant par la symétrie plane avec [61] » le « champ vectoriel de l'espace à trois dimensions est invariant par la symétrie plane soit « le symétrique par symétrie du champ vectoriel en » c.-à-d. le « champ vectoriel de l'espace à trois dimensions est invariant par la symétrie plane est « le champ vectoriel au point symétrique de » c.-à-d. .
Exemple d'invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel vrai ou polaire d'un espace à trois dimensions
Soient « un champ vectoriel d'un espace à trois dimensions » et « la symétrie relativement au plan », Soient « étant orienté à droite » [1] avec « choix d'une base orthonormée directe » Soient « étant orienté à droite » avec suivant la règle de la main droite [6], Soient « l'espace image par symétrie plane de l'espace , est orienté à gauche » [1],[32],[48] Soient « l'espace image avec « choix d'une base orthonormée indirecte au sens de la physique[27] » Soient « l'espace image avec suivant la règle de la main gauche [7] symétrique par de la base de Soient « l'espace image avec « choix «» voir ci-contre ;
le « champ vectoriel de étant invariant par la symétrie plane» ssi « avec le « champ vectoriel de étant invariant par la symétrie plane» ssi [61] ou, avec choix de la même origine sur le plan de symétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont », avec choix de la même origine les « composantes cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de [62] dans le même repère lié à avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de dans le même repère sont pour un champ vectoriel vrai ou polaire et avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de dans le même repère sont pour un champ pseudo vectoriel ou vectoriel axial» [63] d'où avec choix de la même origine l'invariance par la symétrie du champ vectoriel vrai ou polaire «» se réécrit avec choix de la même origine l'invariance par la symétrie du champ vectoriel vrai ou polaire«» soit avec choix de la même origine l'invariance par la symétrie du champ vectoriel vrai ou polaire« de la coordonnée selon la direction au plan » et avec choix de la même origine l'invariance par symétrie du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial «» se réécrit avec choix de la même origine l'invariance par symétrie du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial«» avec choix de la même origine l'invariance par symétrie du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axialsoit « de la coordonnée selon la direction au plan ».
Conséquences pratiques : cas d'un champ vectoriel vraiou polaire : Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles [64] du symétrique du champ vectoriel vrai ou polaire» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles du symétrique du champ vectoriel vrai sont égales aux « composantes tangentielles du champ vectoriel » Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles du symétrique du champ vectoriel vrai sont égales aux « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles du symétrique du champ vectoriel vrai sont égales aux «», Conséquences pratiques : la « composante normale [65] du symétrique du champ vectoriel vrai ou polaire» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique du champ vectoriel vrai est opposée à la « composante normale du champ vectoriel » Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique du champ vectoriel vrai est opposée à la « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique du champ vectoriel vrai est opposée à la «» ; Conséquences pratiques : si «», il est alors son propre symétrique c.-à-d. «» et le champ vectoriel en devant être son propre symétrique c.-à-d. «», Conséquences pratiques : si «», nous déduisons de «» appliqué à «» «» «» ou Conséquences pratiques : si «», nous déduisons «nécessairement dans le plan» ;
Conséquences pratiques : cas d'un champ pseudo-vectorielou vectoriel axial : Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles [64] du symétrique du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles du symétrique du champ pseudo-vectoriel sont opposées aux « composantes tangentielles du champ vectoriel » Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles du symétrique du champ pseudo-vectoriel sont opposées aux « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles du symétrique du champ pseudo-vectoriel sont opposées aux «», Conséquences pratiques : la « composante normale [65] du symétrique du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique du champ pseudo-vectoriel est égale à la « composante normale du champ vectoriel » Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique du champ pseudo-vectoriel est égale à la « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique du champ pseudo-vectoriel est égale à la «» ; Conséquences pratiques : si «», il est alors son propre symétrique c.-à-d. «» et le champ vectoriel en devant être son propre symétrique c.-à-d. «», Conséquences pratiques : si «», nous déduisons de «» appliqué à «» «» Conséquences pratiques : si «», nous déduisons «» c.-à-d. «nécessairementau plan».
Invariance par symétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions planmodifier
Orientation de l'espace à deux dimensions plan et de son espace image par symétrie par rapport à l'axe de avec une même orientation des angles de et de
Envisageant une symétrie des points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe telle que cet « espace est orienté dans le sens trigonométrique [39] » angles de orientés par le vecteur unitaire à cet « espace avec « choix d'une base cartésienne orthonormée dans voir ci-contre cet « espace avec « choix dont le 1er vecteur est à l'axe , cet « espace avec « choix dont le 2ème vecteur est à l'axe », cet « espace introduisant l'espace à trois dimensions orienté à droite [1] dans lequel est plongé [41] avec cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1ers vecteurs sont et , cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3ème au plan de l'espace et cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3èmeservant à orienter les angles de , l'espace image , symétrique de l'espace par symétrie axiale, l'espace image , étant orienté tel que les angles du plan commun de et de [38], sont orientés de la même façon ainsi, l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique [39], ceux de le sont aussi angles l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire à [40] ; l'espace image , les vecteurs de la base de «» sont choisis symétriques par symétrie axiale l'espace image , les vecteurs de la base de «» sont choisis symétriques des vecteurs de la base de «» d'où voir schéma ci-dessus, l'espace image , introduisant un espace à trois dimensions [59] orienté à droite [1] dans lequel plonger [41] avec l'espace image , introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée indirecte donc suivant la règle de la main gauche [7] «»,
le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par la symétrie axiale» ssi « avec » [61] soit, le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par la symétrie axiale» ssi « le symétrique par symétrie du champ vectoriel en [61] le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par la symétrie axiale» ssi « le symétrique par symétrie du champ vectoriel c.-à-d. », est le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par la symétrie axiale» ssi « le champ vectoriel en symétrique de c.-à-d. ».
Exemple d'invariance par symétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan
Soient « un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan » et Soient « la symétrie relativement à l'axe », les points de l'espace « étant repérés à l'aide de la base «» et ceux de l'espace « image par symétrie de l'espace » ceux de l'espace «repérés à l'aide de la base « symétrique de la base de » ceux de l'espace « repérés à l'aide de la base «voir ci-contre,
avec choix de la même origine sur l'axe de symétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont » [66], avec choix de la même origine les « composantes cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de symétrique de par symétrie dans le avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de même repère lié à sont » [67] ; avec choix de la même origine l'invariance par symétrie axiale du champ vectoriel «» se réécrit avec choix de la même origine l'invariance «» soit avec choix de la même origine l'invariance « de la coordonnée selon la direction à l'axe ».
Conséquences pratiques : la « composante tangentielle [68] du symétrique du champ vectoriel » étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante tangentielle du symétrique est égale à la « composante tangentielle du champ vectoriel » étant le symétrique de soit Conséquences pratiques : la « composante tangentielle du symétrique est «», Conséquences pratiques : la « composante normale [69] du symétrique du champ vectoriel » étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique est opposée à la « composante normale du champ vectoriel » étant le symétrique de soit Conséquences pratiques : la « composante normale du symétrique est «». Conséquences pratiques : Si «», il est alors son propre symétrique à savoir «» et le champ vectoriel en devant être son propre symétrique à savoir «», Conséquences pratiques : Si «», nous déduisons de «» appliqué à «» «» «» c.-à-d. Conséquences pratiques : Si «», nous déduisons «nécessairement sur l'axe».
Invariance par antisymétrie plane (ou axiale) d'un champ scalaire de l'espacemodifier
Invariance par antisymétrie plane d'un champ scalaire de l'espace à trois dimensionsmodifier
Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan et choix d'une base antisymétrique par rapport à de celle de
Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet « espace orienté à droite » [1] avec « choix d'une base orthonormée directe » supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix donc suivant la règle de la main droite [6] supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont le 3ème lui est voir ci-contre,
l'« espace image , symétrique de l'espace par la symétrie, est orienté à gauche » [1],[32],[48], « les vecteurs images, par antisymétrie plane relativement au plan , des vecteurs de base de l'espace « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , à savoir «», « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « directe au sens de la physique[27] » « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est donc suivant la règle de la main droite [6] « les vecteurs images, par symétrie plane, des vecteurs de base de l'espace à savoir « les vecteurs images, formant une base indirecte au sens de la physique[27] « les vecteurs images, formant une base donc suivant la règle de la main gauche [7] et « l'antisymétrique par antisymétrie plane d'un base indirecte est un base directe au même sens de la physique [27] ou non[49] ;
le « champ scalaire de l'espace à trois dimensions est dit invariant par l'antisymétrie plane» ssi « avec » [70] ou, avec choix de la même origine sur le plan de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont [58] » et avec choix de la même origine l'invariance par l'antisymétrie plane du champ scalaire se réécrit
«» soit « impaire suivant la direction au plan ».
Invariance par antisymétrie axiale d'un champ scalaire de l'espace à deux dimensions planmodifier
Orientation de l'espace à deux dimensions plan et de son espace image par antisymétrie par rapport à l'axe de avec une même orientation des angles de et de
Envisageant une symétrie des points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe telle que cet « espace est orienté dans le sens trigonométrique [39] » angles de orientés par le vecteur unitaire à cet « espace avec « choix d'une base cartésienne orthonormée dans voir ci-contre cet « espace avec « choix dont le 1er vecteur est à l'axe , cet « espace avec « choix dont le 2ème vecteur est à l'axe », cet « espace introduisant l'espace à trois dimensions orienté à droite [1] dans lequel est plongé [41] avec cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1ers vecteurs sont et , cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3ème au plan de l'espace et cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3èmeservant à orienter les angles de , l'espace image , symétrique de l'espace par symétrie axiale, l'espace image , étant orienté tel que les angles du plan commun de et de [38], sont orientés de la même façon ainsi, l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique [39], ceux de le sont aussi orientés par l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de le vecteur unitaire l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de le vecteur à [40] ; l'espace image , « les vecteurs images, par antisymétrie axiale relativement à l'axe , des vecteurs de base de l'espace l'espace image , « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de , à savoir «» voir schéma ci-dessus, l'espace image , « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de , à savoir étant symétrique par symétrie axiale de ; l'espace image , « les vecteurs images, introduisant un espace à trois dimensions [59] orienté à droite [1] dans lequel plonger [41],[71] en choisissant pour base l'espace image , « les vecteurs images, introduisant une base cartésienne orthonormée indirecte donc suivant la règle de la main gauche [7] «»,
le « champ scalaire de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par l'antisymétrie axiale» ssi « avec » [70] ou, avec choix de la même origine sur l'axe de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont [60] » et avec choix de la même origine l'invariance par l'antisymétrie axiale du champ scalaire se réécrit «» soit avec choix de la même origine l'invariance par l'antisymétrie axiale du champ scalaire se réécrit « impaire suivant la direction à l'axe ».
Invariance par antisymétrie plane (ou axiale) d'un champ vectoriel de l'espacemodifier
Invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensionsmodifier
Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan et choix d'une base antisymétrique par rapport à de celle de
Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet « espace orienté à droite » [1] avec « choix d'une base orthonormée directe » supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix donc suivant la règle de la main droite [6] supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont le 3ème lui est voir ci-contre,
l'« espace image , symétrique de l'espace par la symétrie, est orienté à gauche » [1],[32],[48], « les vecteurs images, par antisymétrie plane relativement au plan , des vecteurs de base de l'espace « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , à savoir «», « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « directe au sens de la physique[27] » « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est donc suivant la règle de la main droite [6] « les vecteurs images, par symétrie plane, des vecteurs de base de l'espace à savoir « les vecteurs images, formant une base indirecte au sens de la physique[27] « les vecteurs images, formant une base donc suivant la règle de la main gauche [7] et « l'antisymétrique par antisymétrie plane d'un base indirecte est un base directe au même sens de la physique [27] ou non[49] ;
le « champ vectoriel de étant invariant par l'antisymétrie plane» ssi « avec le « champ vectoriel de étant invariant par l'antisymétrie plane» ssi [72] ou, avec choix de la même origine sur le plan de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont », avec choix de la même origine les « composantes cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de [73] dans le même repère lié à avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de dans le même repère sont pour un champ vectoriel vrai ou polaire et avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de dans le même repère sont pour un champ pseudo vectoriel ou vectoriel axial» [74] d'où
avec choix de la même origine l'invariance par l'antisymétrie du champ vectoriel vrai ou polaire «» se réécrit avec choix de la même origine l'invariance par l'antisymétrie du champ vectoriel vrai ou polaire«» soit avec choix de la même origine l'invariance par l'antisymétrie du champ vectoriel vrai ou polaire« de la coordonnée selon la direction au plan » et avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial «» se réécrit avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial«» avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axialsoit « de la coordonnée selon la direction à ».
Exemple d'invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel vrai ou polaire d'un espace à trois dimensions
Soient « un champ vectoriel d'un espace à trois dimensions », Soient « la symétrie relativement au plan » et Soient « l'antisymétrie relativement au même plan », l'espace « étant orienté à droite » [1] avec « choix d'une base directe » l'espace « étant orienté à droite » avec « suivant la règle de la main droite [6], l'espace « image par symétrie plane de l'espace , est orienté à gauche » [1],[32],[48] l'espace « image avec pour « base l'espace « image avec pour « base antisymétrique de la base de donc directe au sens de la physique[27] » [49] l'espace « image avec pour « base suivant la règle de la main droite [6]voir ci-contre.
le « champ vectoriel de étant invariant par l'antisymétrie plane» ssi « avec le « champ vectoriel de étant invariant par l'antisymétrie plane» ssi [72] ou avec choix de la même origine sur le plan dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont », avec choix de la même origine les « composantes cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de [73] dans le même repère lié à avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de dans le même repère sont pour un champ vectoriel vrai ou polaire et avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de dans le même repère sont pour un champ pseudo-vectoriel ou vectiriel axial» d'où avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel vrai ou polaire «» se réécrit avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel vrai ou polaire«» avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel vrai ou polairesoit « de la coordonnée selon la direction à » et avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie plane du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial «» se réécrit avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie plane du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial« avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie plane du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» soit avec choix de la même origine l'invariance par antisymétrie plane du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial« de la coordonnée selon la à ».
Conséquences pratiques : cas d'un champ vectoriel vraiou polaire : Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles [64] de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai ou polaire» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai sont opposées aux « composantes tangentielles du champ vectoriel » Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai sont opposées aux « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai sont opposées aux «», Conséquences pratiques : la « composante normale [65] de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai ou polaire» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai est égale à la « composante normale du champ vectoriel » Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai est égale à la « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique du champ vectoriel vrai est égale à la «» ; Conséquences pratiques : si «», il est alors son propre symétrique c.-à-d. «» et le champ vectoriel en devant être son propre antisymétrique c.-à-d. «», Conséquences pratiques : si «», nous déduisons de «» appliqué à «» «» Conséquences pratiques : si «», nous déduisons «» ou «nécessairementau plan» ;
Conséquences pratiques : cas d'un champ pseudo-vectorielou vectoriel axial : Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles [64] de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel sont égales aux « composantes tangentielles du champ vectoriel » Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel sont opposées aux « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : les « composantes tangentielles de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel sont égales aux «», Conséquences pratiques : la « composante normale [65] de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel est opposée à la « composante normale du champ vectoriel » Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel est opposée à la « étant le symétrique du point soit Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique du champ pseudo-vectoriel est opposée à la «» ; Conséquences pratiques : si «», il est alors son propre symétrique c.-à-d. «» et le champ vectoriel en devant être son propre symétrique c.-à-d. «», Conséquences pratiques : si «», nous déduisons de «» appliqué à «» «» «» ou Conséquences pratiques : si «», nous déduisons «nécessairement dans le plan».
Invariance par antisymétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions planmodifier
Orientation de l'espace à deux dimensions plan et de son espace image par antisymétrie par rapport à l'axe de avec une même orientation des angles de et de
Envisageant une symétrie des points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe telle que cet « espace est orienté dans le sens trigonométrique [39] » angles de orientés par le vecteur unitaire à cet « espace avec « choix d'une base cartésienne orthonormée dans voir ci-contre cet « espace avec « choix dont le 1er vecteur est à l'axe , cet « espace avec « choix dont le 2ème vecteur est à l'axe », cet « espace introduisant l'espace à trois dimensions orienté à droite [1] dans lequel est plongé [41] avec cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1ers vecteurs sont et , cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3ème au plan de l'espace et cet « espace introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3èmeservant à orienter les angles de , l'espace image , symétrique de l'espace par symétrie axiale, l'espace image , étant orienté tel que les angles du plan commun de et de [38], sont orientés de la même façon ainsi, l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique [39], ceux de le sont aussi orientés par l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de le vecteur unitaire l'espace image , les angles de étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de le vecteur à [40] ; l'espace image , « les vecteurs images, par antisymétrie axiale relativement à l'axe , des vecteurs de base de l'espace l'espace image , « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de , à savoir «» voir schéma ci-dessus, l'espace image , « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de , à savoir étant symétrique par symétrie axiale de ; l'espace image , « les vecteurs images, introduisant un espace à trois dimensions [59] orienté à droite [1] dans lequel plonger [41],[71] en choisissant pour base l'espace image , « les vecteurs images, introduisant une base cartésienne orthonormée indirecte donc suivant la règle de la main gauche [7] «»,
le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par l'antisymétrie axiale» ssi « avec » [72] soit le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par l'antisymétrie axiale» ssi « l'antisymétrique par du champ vectoriel en [72] le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par l'antisymétrie axiale» ssi « l'antisymétrique par du champ vectoriel c.-à-d. », est le « champ vectoriel de l'espace à deux dimensions plan est dit invariant par l'antisymétrie axiale» ssi « le champ vectoriel en symétrique de c.-à-d. ».
Exemple d'invariance par antisymétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan
Soient « un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan », Soient « la symétrie relativement à l'axe » et Soient « l'antisymétrie relativement au même axe », les points de l'espace « étant repérés à l'aide de la base «» et ceux de l'espace « image par symétrie de l'espace » ceux de l'espace «repérés à l'aide de la base « antisymétrique de la base de » ceux de l'espace « repérés à l'aide de la base voir ci-contre,
le « champ vectoriel de est dit invariant par l'antisymétrie axiale» ssi « avec le « champ vectoriel de étant invariant par l'antisymétrie plane» ssi » [72] ou avec choix de la même origine sur l'axe de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à et à , avec choix de la même origine les « coordonnées cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les coordonnées cartés « celles de dans le même repère lié à sont », avec choix de la même origine les « composantes cartésiennes de dans le repère lié à étant », avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de [73] dans le même repère lié à avec choix de la même origine les composantes cartés « celles de dans le même repère sont » ; avec choix de la même origine l'invariance par l'antisymétrie axiale du champ vectoriel «» avec choix de la même origine l'invariance se réécrit «» soit avec choix de la même origine l'invariance se réécrit « de la coordonnée selon la direction à l'axe ».
Conséquences pratiques : la « composante tangentielle [68] de l'antisymétrique du champ vectoriel » étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante tangentielle de l'antisymétrique est opposée à la « composante tangentielle du champ vectoriel » étant le symétrique de Conséquences pratiques : la « composante tangentielle de l'antisymétrique soit «», Conséquences pratiques : la « composante normale [69] de l'antisymétrique du champ vectoriel » étant un point quelconque de Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique est égale à la « composante normale du champ vectoriel » étant le symétrique de Conséquences pratiques : la « composante normale de l'antisymétrique soit «». Conséquences pratiques : Si «», il est alors son propre symétrique c.-à-d. «» et le champ vectoriel devant être son propre antisymétrique c.-à-d. «», Conséquences pratiques : Si «», nous déduisons de «» appliqué à «» «» «» c.-à-d. Conséquences pratiques : Si «», nous déduisons «nécessairementà l'axe».
Principe de Curie, généralités, application aux cas d'une invariance des sources par symétrie géométrique plane ou par antisymétrie planemodifier
Le principe de Curie[75]encore appelé principe de symétrie[76]de Curie[75] traite du lien existant entre « la source scalaire ou vectoriel d'un champ vectoriel » et « ce dernier » Le principe de Curie encore appelé principe de symétriede Curie traite du lien du point de vue de l'invariance de la source relativement à une symétrie [76] donnée ; pour concrétiser le principe nous prendrons deux exemples d'électromagnétisme
« le champ électrostatique » champ vectoriel polaire dont la source est le champ scalaire « répartition volumique de charges d'expansion tridimensionnelle et de densité volumique de charges », les invariances par symétrie [76] de la source étant celles par symétrie géométrique plane ou par antisymétrie plane,
« le champ magnétostatique » champ vectoriel axial dont la source est le champ vectoriel polaire « répartition volumique de courants d'expansion tridimensionnelle et de densité volumique de courant », les invariances par symétrie [76] de la source étant celles par symétrie géométrique plane ou par antisymétrie plane.
Début d’un théorème
Énoncé du principe de Curie
Les éléments de symétrie [76] de la source d'un champ vectoriel doivent se retrouver dans ceux du champ vectoriel considéré.
Fin du théorème
Remarques : Par contre les éléments de symétrie [76] d'un champ vectoriel peuvent ne pas être présents dans ceux de la source du champ vectoriel considéré d'où
Remarques : « l'ensemble des éléments de symétrie [76] de la source d'un champ vectoriel » est dans « l'ensemble des éléments de symétrie [76] du champ vectoriel » mais
Remarques : « l'ensemble des éléments de symétrie [76] d'un champ vectoriel » peut être dans « l'ensemble des éléments de symétrie [76] de la source de ce champ vectoriel ».
Principe de Curie reliant champ vectoriel polaire et source scalaire de ce champ lors d'une invariance par symétrie géométrique plane de la sourcemodifier
Considérons une source scalaire d'un champ vectoriel polaire de l'espace sur l'exemple suivant : soit la « distribution volumique de charges statiques d'expansion tridimensionnelle et de densité volumique de charges », soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique » étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » [1] dans lequel les points sont repérés en cartésien soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique » avec choix d'une origine et d'une base orthonormée directe soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique » avec choix d'une origine et d'une donc suivant la règle de la main droite [6] telle que soit « la source scalaire de densité volumique est invariante par symétrie plane relativement au plan » c.-à-d. que «» [77],
l'application du principe de Curie[75] « le champ vectoriel polaire électrostatique est invariant par symétrie plane relativement au plan » c.-à-d. l'application du principe de Curie « étant le symétrique de relativement au plan », l'application du principe de Curie « le champ est le symétrique du champ par rapport au plan » [78] ;
l'espace symétrique de l'espace relativement au plan étant « orienté à gauche » [1],[32],[48] l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, la symétrique relativement au plan de la base directe de l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, la symétrique relativement au plan de la laquelle suit la règle de la main droite [6], l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, la base de est alors indirecte au sens de la physique[27] car l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, la base de est alors suivant la règle de la main gauche [7],[33],[48],
l'application du principe de Curie de « symétrique de par rapport au plan » nous en déduisons : l'application du principe de Curie de « symétrique de en décomposant « dans la base » et « dans la base » selon l'application du principe de Curie de « symétrique de «», l'égalité des composantes l'application du principe de Curie de « symétrique de correspondantes soit «» ou l'application du principe de Curie de « symétrique de en décomposant « et dans la même base de » [79] selon l'application du principe de Curie de « symétrique de «», l'application du principe de Curie de « symétrique de l'égalité des composantes sur les vecteurs de la base au plan et l'application du principe de Curie de « symétrique de le caractère opposé de celle sur le vecteur de la base au plan soit l'application du principe de Curie de « symétrique de «» ou «» [80].
Conclusion : L'« invariance par symétrie plane de la source scalaire » d'un champ vectoriel polaire entraîne l'« invariance par symétrie plane du champ vectoriel polaire », ceci ayant pour conséquence
Conclusion : le champ vectoriel polaire en symétrique plan de est le symétrique plan du champ vectoriel polaire en mêmes composantes parallèlement au plan et Conclusion : le champ vectoriel polaire en symétrique plan de est le symétrique plan du champ vectoriel polaire en des composantes opposées perpendiculairement au plan ;
Conclusion : le champ vectoriel polaire en un pointdu plan de symétrie étant son propre symétrique plan, il est contenu dans le plan de symétrie.
Principe de Curie reliant champ vectoriel polaire et source scalaire de ce champ lors d'une invariance par antisymétrie plane de la sourcemodifier
Considérons une source scalaire d'un champ vectoriel polaire de l'espace sur l'exemple suivant : soit la « distribution volumique de charges statiques d'expansion tridimensionnelle et de densité volumique de charges », soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique » étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » [1] dans lequel les points sont repérés en cartésien soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique » avec choix d'une origine et d'une base orthonormée directe soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique » avec choix d'une origine et d'une donc suivant la règle de la main droite [6] telle que soit « la source scalaire de densité volumique est invariante par antisymétrie plane relativement au plan » c.-à-d. que «» [81],
l'application du principe de Curie[75] « le champ vectoriel polaire électrostatique est invariant par antisymétrie plane relativement au plan » c.-à-d. l'application du principe de Curie « étant le symétrique de relativement au plan », l'application du principe de Curie « le champ est l'antisymétrique du champ par rapport au plan » [82] ;
l'espace symétrique de l'espace relativement au plan étant « orienté à gauche » [1],[32],[48] l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, l'antisymétrique relativement au plan de la base directe de l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, l'antisymétrique relativement au plan de la laquelle suit la règle de la main droite [6], l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, la base de est alors directe au sens de la physique[27],[49] car l'espace symétrique de l'espace avec pour choix de base, la base de est alors suivant la règle de la main droite [6],[48],
de l'application du principe de Curie l'espace symétrique de l'espace relativement au plan étant « orienté à gauche » [1] avec pour choix de base, l'antisymétrique relativement au plan de la base directe de laquelle suit la règle de la main droite [6], la base de est alors directe au sens de la physique[27] c.-à-d. qu'elle suit la règle de la main droite [6], de « antisymétrique de par rapport au plan » nous en déduisons :
en décomposant « dans la base » et « dans la base » selon «», l'égalité des composantes correspondantes soit «» ou
en décomposant « et dans la même base de » [79] selon «», le caractère opposé des composantes sur les vecteurs de la base au plan et l'égalité de celle sur le vecteur de la base au plan soit «» s'écrivant encore «» [83].
Conclusion : L'« invariance par antisymétrie plane de la source scalaire » d'un champ vectoriel polaire entraîne l'« invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel polaire », ceci ayant pour conséquence
Conclusion : le champ vectoriel polaire en symétrique plan de est l'antisymétrique plan du champ vectoriel polaire en , ils ont donc même composante perpendiculairement au plan et des composantes opposées parallèlement au plan ;
Conclusion : le champ vectoriel polaire en un point du plan d'antisymétrie étant son propre antisymétrique plan, il est au plan d'antisymétrie.
Principe de Curie reliant champ vectoriel axial et source vectorielle polaire de ce champ lors d'une invariance par symétrie géométrique plane de la sourcemodifier
Considérons une source vectorielle polaire d'un champ vectoriel axial de l'espace sur l'exemple de la « distribution volumique de courants d'expansion tridimensionnelle et de densité volumique de courants » comme « source du vecteur axial champ magnétostatique » étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » [1] dans lequel les points sont repérés en cartésien avec choix d'une origine et d'une base orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] et supposons que
Considérons « la source vectorielle polaire de densité volumique de courants est invariante par symétrie plane relativement au plan » c.-à-d. que «» [84],
Considérons « la source vectorielle polaire l'espace symétrique de l'espace relativement au plan étant « orienté à gauche » [1], dans le but d'expliciter les composantes de la source vectorielle polaire en un point de , on choisit comme base la symétrique relativement au plan de la base directe de laquelle suit la règle de la main droite [6], la base de est alors indirecte au sens de la physique[27] c.-à-d. qu'elle suit la règle de la main gauche [7] et nous en déduisons, étant le symétrique de relativement au plan ,
en décomposant « dans la base » et « dans la base » selon «», l'égalité des composantes correspondantes soit «» ou
en décomposant « et dans la même base de » [79] selon «», l'égalité des composantes sur les vecteurs de la base au plan et le caractère opposé de celle sur le vecteur de la base au plan soit «» s'écrivant encore, en explicitant les coordonnées de et , «» [80] ;
Schéma en perspective exposant l'utilisation du principe de Curie[75] dans le cas d'une source vectorielle polaire d'un champ vectoriel axial , la source étant invariante par symétrie plane
de l'application du principe de Curie[75] et en tenant compte du fait que le champ vectoriel est axial alors que sa source vectorielle est polaire, nous en déduisons que « le champ vectoriel axial magnétostatique est invariant par antisymétrie plane relativement au plan » [85]c.-à-d. « étant le symétrique de relativement au plan », « le champ est l'antisymétrique du champ relativement au plan » ;
de l'application du principe de Curie l'espace symétrique de l'espace relativement au plan étant « orienté à gauche » [1], dans le but d'expliciter les composantes du champ vectoriel axial en un point de , on choisit comme base l'antisymétrique relativement au plan de la base directe de laquelle suit la règle de la main droite [6], la base de est alors directe au sens de la physique[27] c.-à-d. qu'elle suit la règle de la main droite [6] ;
de l'application du principe de Curie de « antisymétrique de par rapport au plan » nous en déduisons :
en décomposant « dans la base » et « dans la base » selon «», l'égalité des composantes correspondantes soit «» ou
en décomposant « et dans la même base de » [79] selon «», l'égalité des composantes sur le vecteur de la base au plan et le caractère opposé de celles sur les vecteurs de la base au plan soit «» s'écrivant encore «» [83].
Conclusion : L'« invariance par symétrie plane de la source vectorielle polaire » d'un champ vectoriel axial entraîne l'« invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel axial », ceci ayant pour conséquence
Conclusion : le champ vectoriel axial en symétrique plan de est l'antisymétrique plan du champ vectoriel axial en , ils ont donc mêmes composantes perpendiculairement au plan et des composantes opposées parallèlement au plan ;
Conclusion : le champ vectoriel axial en un point du plan de symétrie de étant son propre antisymétrique plan, il est au plan de symétrie de .
Principe de Curie reliant champ vectoriel axial et source vectorielle polaire de ce champ lors d'une invariance par antisymétrie plane de la sourcemodifier
Considérons une source vectorielle polaire d'un champ vectoriel axial de l'espace sur l'exemple de la « distribution volumique de courants d'expansion tridimensionnelle et de densité volumique de courants » comme « source du vecteur axial champ magnétostatique » étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » [1] dans lequel les points sont repérés en cartésien avec choix d'une origine et d'une base orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6] et supposons que
Considérons « la source vectorielle polaire de densité volumique de courants est invariante par antisymétrie plane relativement au plan » c.-à-d. que «» [86],
Considérons « la source vectorielle polaire l'espace symétrique de l'espace relativement au plan étant « orienté à gauche » [1], dans le but d'expliciter les composantes de la source vectorielle polaire en un point de , on choisit comme base l'antisymétrique relativement au plan de la base directe de laquelle suit la règle de la main droite [6], la base de est alors directe au sens de la physique[27] c.-à-d. qu'elle suit la règle de la main droite [6] et nous en déduisons, étant le symétrique de relativement au plan ,
en décomposant « dans la base » et « dans la base » selon «», l'égalité des composantes correspondantes soit «» ou
en décomposant « et dans la même base de » [79] selon «», l'égalité des composantes sur le vecteur de la base au plan et le caractère opposé de celles sur les vecteurs de la base au plan soit «» s'écrivant encore, en explicitant les coordonnées de et , «» [83] ;
Schéma en perspective exposant l'utilisation du principe de Curie[75] dans le cas d'une source vectorielle polaire d'un champ vectoriel axial , la source étant invariante par antisymétrie plane
de l'application du principe de Curie[75] et en tenant compte du fait que le champ vectoriel est axial alors que sa source vectorielle est polaire, nous en déduisons que « le champ vectoriel axial magnétostatique est invariant par symétrie plane relativement au plan » [87] c.-à-d. « étant le symétrique de relativement au plan », « le champ est le symétrique du champ relativement au plan » ;
de l'application du principe de Curie l'espace symétrique de l'espace relativement au plan étant « orienté à gauche » [1], dans le but d'expliciter les composantes du champ vectoriel axial en un point de , on choisit comme base la symétrique relativement au plan de la base directe de laquelle suit la règle de la main droite [6], la base de est alors indirecte au sens de la physique[27] c.-à-d. qu'elle suit la règle de la main gauche [7] ;
de l'application du principe de Curie de « symétrique de par rapport au plan » nous en déduisons :
en décomposant « dans la base » et « dans la base » selon «», l'égalité des composantes correspondantes soit «» ou
en décomposant « et dans la même base de » [79] selon «», l'égalité des composantes sur les vecteurs de la base au plan et le caractère opposé de celle sur le vecteurs de la base au plan soit «» s'écrivant encore «» [80].
Conclusion : L'« invariance par antisymétrie plane de la source vectorielle polaire » d'un champ vectoriel axial entraîne l'« invariance par symétrie plane du champ vectoriel axial », ceci ayant pour conséquence
Conclusion : le champ vectoriel axial en symétrique plan de est le symétrique plan du champ vectoriel axial en , ils ont donc mêmes composantes parallèlement au plan et des composantes opposées perpendiculairement au plan ;
Conclusion : le champ vectoriel axial en un point du plan de symétrie de étant son propre symétrique plan, il est contenu dans le plan de symétrie de .
Le cas de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiales relativement à un axe d'une source scalaire ou vectorielle polaire d'un champ vectoriel défini sur un espace bidimensionnel plan l'axe étant dans , n'est pas traité car il est à considérer comme le cas projeté orthogonalement de l'invariance par symétrie ou antisymétrie planes relativement à un plan de la même source scalaire ou vectorielle polaire du même champ vectoriel mais défini sur un espace tridimensionnel étant à l'intersection de et , lesquels sont orthogonaux entre eux.
Seuls les liens les plus fréquents entre source et champ ont été envisagés, il en existe évidemment d'autres qui n'ont pas été traités car ils peuvent être considérés comme des liens composés de ceux évoqués ci-dessus, par exemple :
source scalaire d'un champ scalaire de l'espace souvent un simple lien de proportionnalité invariance identique ;
source scalaire d'un champ vectoriel axial de l'espace à considérer comme composé de la source scalaire d'un champ vectoriel polaire, lequel est source vectorielle polaire du champ vectoriel axial, invariance par symétrie plane de la source scalaire invariance par symétrie plane du champ vectoriel polaire intermédiaire invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel polaire, invariance par antisymétrie plane de la source scalaire invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel polaire intermédiaire invariance par symétrie plane du champ vectoriel polaire ;
source vectorielle polaire d'un champ vectoriel polaire de l'espace souvent un simple lien de proportionnalité invariance identique ;
source vectorielle axiale d'un champ vectoriel axial de l'espace souvent un simple lien de proportionnalité invariance identique.
↑ À tout point on associe et l'ensemble des défini l'ensemble image de l'espace physique affine par le champ vectoriel .
↑ En effet n'est pas en général un groupe abélien car, muni de la loi de composition interne « addition », ce n'est pas, en général, un groupe du fait de l'absence probable de l'élément neutre de l'addition vectorielle dans cet ensemble c.-à-d. pour que , il faut qu'il existe au moins un point tel que , ce qui, le plus souvent, n'est pas le cas Niels Henrik Abel (1802 - 1829) mathématicien norvégien essentiellement connu pour ses travaux en analyse mathématique et en en algèbre, sur la résolution des équations.
↑ 4,04,14,24,34,44,54,64,7 et 4,8 La direction d'un espace affine étant l'espace vectoriel à partir duquel l'espace affine est défini à l'aide de l'application qui, à chaque bipoint , associe un élément de noté vérifiant les deux propriétés suivantes :
«» relation de Chasles,
«» existence et unicité d'un translaté.
Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ 6,006,016,026,036,046,056,066,076,086,096,106,116,126,136,146,156,166,176,186,196,206,216,226,236,246,256,266,276,286,296,306,316,326,336,346,356,366,376,386,396,406,416,42 et 6,43 Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « direct au sens de la physique» dans un espace orienté à gauche est dite « règle de la main droite » levant le pouce de la main droite dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droiteceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier » ; il existe d'autres règles équivalentes :
« règle de l'auto-stoppeur droitier» : l'avant bras droit étant dans le sens de , la poigne de la main droite courbée dans le sens de , le pouce est alors levé dans le sens de , « règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant de vers , il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de , « règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur , ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens de , il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens de , et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer. James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur. André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des 1ers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
↑ 7,007,017,027,037,047,057,067,077,087,097,107,117,127,137,147,157,167,177,187,197,20 et 7,21 Règle de la main gauche pour déterminer le caractère « indirect » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « indirect au sens de la physique» dans un espace orienté à gauche : « levant le pouce de la main gauche dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » pouvant encore être appelé « règle de l'apprenti cow-boy gaucher » ; là encore il est possible de trouver des règles équivalentes
↑ Ou différentielle du vecteur position, la différenciation étant indépendante de l'orientation de l'espace .
↑ S'obtient à partir du vecteur déplacement élémentaire en divisant par la durée élémentaire , opération ne nécessitant pas d'orienter l'espace ou s'obtient à partir du vecteur position en le dérivant relativement au temps, opération ne nécessitant pas d'orienter l'espace .
↑ 13,013,1 et 13,2 Le caractère « vrai ou polaire» est conservé si on multiplie un vrai vecteur ou polaire par un scalaire.
↑ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ Le caractère « vrai ou polaire» d'une somme nécessite que chaque terme de la somme soit vrai ou polaire.
↑ En effet un courant étant le déplacement de porteurs mobiles de charge positive, son sens est lié au vecteur vitesse de déplacement d'ensemble des dits porteurs qui est un vrai vecteur ; on peut aussi définir le courant en tout point d'un conducteur ou d'un semi-conducteur par un « vecteur densité volumique de courant » chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » lié au vecteur vitesse de déplacement d'ensemble des dits porteurs dans le cas où il y a un seul type de porteurs de charge mobiles par dans lequel le caractère scalaire de , charge volumique des porteurs mobiles de charge, entraîne le caractère polaire de compte tenu du caractère polaire de .
↑ Si on gardait la règle de la main droite pour former le produit vectoriel dans l'espace orienté à gauche, les pseudo-vecteurs étant tous deux changés en leur opposé lors du changement d'orientation de l'espace, nous trouverions le même produit vectoriel, comme il faut utiliser la règle de la main gauche dans un espace orienté à gauche pour former le produit vectoriel, nous obtenons une inversion du produit vectoriel.
↑ Si on gardait la règle de la main droite pour former le produit vectoriel dans l'espace orienté à gauche, le pseudo-vecteur étant changé en son opposé et le vrai vecteur inchangé lors du changement d'orientation de l'espace, nous trouverions un produit vectoriel opposé, comme il faut utiliser la règle de la main gauche dans un espace orienté à gauche pour former le produit vectoriel, nous obtenons un même produit vectoriel.
↑ 32,0032,0132,0232,0332,0432,0532,0632,0732,08 et 32,09 En effet le symétrique par rapport au plan du tire-bouchon de Maxwell le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier : plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , l'orientation est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon est le tire-bouchon de farces et attrapes le tire-bouchon de farces et attrapes serait en fait un tire-bouchon pour gaucher : plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , l'orientation est dite « à gauche » parce qu'il faudrait tourner vers la gauche pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon, la raison étant que le symétrique d'une hélice circulaire droite par rapport au plan est une hélice circulaire gauche ; James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
↑ 33,033,133,233,3 et 33,4 Le symétrique par rapport au plan d'une main droite pointant l'index, le pouce levé et le majeur replié définissant une base directe est une main gauche pointant l'index, le pouce levé et le majeur replié définissant une base indirecte au sens de la physique.
↑ 34,034,134,2 et 34,3 Le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier : plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , l'orientation est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ; James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
↑ 35,0 et 35,1 En effet si le tire-bouchon de Maxwell est placé en un point du plan tel que sa rotation se fasse dans le plan de , sa translation se faisant perpendiculairement à , son symétrique par rapport à l'axe placé au point symétrique de par rapport à devant inverser la rotation dans le plan mais aussi la translation perpendiculairement au plan est bien un tire-bouchon de Maxwell.
↑ En effet le 1er vecteur à l'axe dans le plan est inversé, le 2ème à dans le plan garde le même sens et le 3ème au plan est inversé d'où le même caractère direct ou indirect.
↑ 37,0 et 37,1 Point de vue peu adopté en physique.
↑ 38,038,138,238,338,438,538,6 et 38,7 L'identification entre l'espace et son espace image n'est que purement géométrique, indépendamment de toute orientation.
↑ 39,0039,0139,0239,0339,0439,0539,0639,0739,08 et 39,09 Ou sens direct, ou sens antihoraire ou encore sens prograde, le contraire étant sens anti-trigonométrique ou sens indirect, ou sens horaire ou encore sens rétrograde.
↑ Elle peut encore être centrale mais ce n'est pas envisagé ici.
↑ 45,0 et 45,1 Multiplier un point par n'ayant aucun sens.
↑ 46,0 et 46,1 Multiplier un vecteur par étant possible.
↑ Mais, par définition associée d'un espace affine et de l'espace vectoriel direction de cet espace affinevoir la note « 4 » plus haut dans ce chapitre, l'« espace vectoriel image par antisymétrie de l'espace vectoriel direction de » n'est pas direction de l'espace imagede l'espace affine à trois dimensionspar symétrie planerelativement au plan, la « direction de étant l'espace vectoriel image par symétrie plane de l'espace vectoriel direction de ».
↑ 49,049,149,249,3 et 49,4 En effet l'antisymétrique par antisymétrie plane d'un trièdre orthogonal de vecteurs nécessitant de multiplier par tous les vecteurs du trièdre initial peut être obtenu en faisant trois symétries planes successives par rapport aux trois plans respectivement et contenant chacun deux des trois vecteurs une symétrie plane par rapport à un plan à deux des trois vecteurs, laissant ces derniers inchangés et multipliant le 3ème par transforme le caractère indirect c.-à-d. suivant la règle de la main gauche du trièdre en caractère direct c.-à-d. suivant la règle de la main droite et vice-versa, les trois symétries planes successives transformant trois fois successivement le caractère indirect du trièdre en caractère direct et vice-versa, nous en déduisons que : l'antisymétrique par antisymétrie plane d'un trièdre orthogonal indirect c.-à-d. suivant la règle de la main gauche de vecteurs est un trièdre orthogonal direct c.-à-d. suivant la règle de la main droite et l'antisymétrique par antisymétrie plane d'un trièdre orthogonal direct c.-à-d. suivant la règle de la main droite de vecteurs est un trièdre orthogonal indirect c.-à-d. suivant la règle de la main gauche.
↑ Mais, par définition associée d'un espace affine et de l'espace vectoriel direction de cet espace affinevoir la note « 4 » plus haut dans ce chapitre, l'« espace vectoriel image par antisymétrie de l'espace vectoriel direction de » n'est pas direction de l'espace imagede l'espace affine à deux dimensionsplan par symétrie axialerelativement à l'axe, la « direction de étant l'espace vectoriel image par symétrie axiale de l'espace vectoriel direction de ».
↑ En effet le 1er vecteur à l'axe dans le plan est conservé, le 2ème à dans le plan est inversé et le 3ème au plan est conservé d'où la permutation du caractère direct en indirect et vice-versa.
↑ 52,052,1 et 52,2 Notant « la base symétrique par symétrie axiale de la base de avec » en tiretés ci-contre, Notant «la « base antisymétrique par antisymétrie axiale de la base de est telle que .
↑ Point de vue de conservation de l'orientation des angles du plan géométriquement commun le plus fréquemment adopté en physique.
↑ est l'antisymétrique par antisymétrie axiale de mais attention ce n'est pas qui est le symétrique par symétrie axiale de car nous devrions avoir opposé au symétrique et nous avons , le symétrique axial de étant donc .
↑ En effet est l'antisymétrique axial relativement à l'axe de voir la note « 54 » plus haut dans ce chapitre et est aussi l'antisymétrique axial relativement à l'axe de . Après l'introduction de la notion d'antisymétrie axiale au paragraphe « antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan (appliqué à un champ vectoriel) » plus bas dans ce chapitre, nous pouvons affirmer que « l'espace dans lequel est plongé est l'antisymétrique axial relativement à l'axe de l'espace dans lequel est plongé ».
↑ En effet est bien l'antisymétrique axial relativement à l'axe de .
↑ 57,0 et 57,1 L'ensemble image de l'espace par la fonction scalaire étant inclus dans , le seul effet d'une symétrie plane ou axiale porte sur l'ensemble de départ et non sur la fonction scalaire qui reste la même d'où c'est toujours qui s'applique sur .
↑ 58,0 et 58,1 Il est nécessaire de repérer dans le même repère que celui utilisé pour dès lors que les points sont remplacés par leurs coordonnées ; en effet le repérage de dans le repère lié à lui attribuerait comme coordonnées car, appelant le projeté orthogonal commun de et sur , nous avons soit encore compte-tenu de dès lors que deux repères différents seraient utilisés pour repérer et , la fonction scalaire traduite en fonction de coordonnées serait suivant qu'elle agirait sur ou sur par exemple supposons , traduite en termes de coordonnées de du repère lié à elle se réécrit et par exemple supposons , traduite en termes de coordonnées de du repère lié à se réécrit mais en utilisant les coordonnées de du repère lié à nous aurions, en utilisant la même forme de fonction des coordonnées, ce qui est aberrant car nous devrions trouver la forme de la fonction des coordonnées de du repère lié à n'est pas mais , ce qui donne bien, en remplaçant par le résultat trouvé en utilisant les coordonnées de dans le repère lié à ; pour éviter cette difficulté introduisant deux fonctions de coordonnées pour une même fonction scalaire due à l'utilisation de deux repères différents, il est donc très souhaitable d'exprimer la fonction scalaire en utilisant un seul repère
↑ 60,0 et 60,1 Il est nécessaire de repérer dans le même repère que celui utilisé pour dès lors que les points sont remplacés par leurs coordonnées ; en effet le repérage de dans le repère lié à lui attribuerait comme coordonnées car, appelant le projeté orthogonal commun de et sur , nous avons soit encore compte-tenu de dès lors que deux repères différents seraient utilisés pour repérer et , la fonction scalaire traduite en fonction de coordonnées serait suivant qu'elle agirait sur ou sur par exemple supposons , traduite en termes de coordonnées de du repère lié à elle se réécrit et par exemple supposons , traduite en termes de coordonnées de du repère lié à se réécrit mais en utilisant les coordonnées de du repère lié à nous aurions, en utilisant la même forme de fonction des coordonnées, ce qui est aberrant car nous devrions trouver la forme de la fonction des coordonnées de du repère lié à doit être , ce qui donne bien, en remplaçant par le résultat trouvé en utilisant les coordonnées de dans le repère lié à ; pour éviter cette difficulté introduisant deux fonctions de coordonnées pour une même fonction scalaire due à l'utilisation de deux repères différents, il est donc très souhaitable d'exprimer la fonction scalaire en utilisant un seul repère
↑ Il est nécessaire de repérer dans le même repère que celui utilisé pour dès lors que les points sont remplacés par leurs coordonnées ; en effet le repérage de dans le repère lié à lui attribuerait comme coordonnées car, appelant le projeté orthogonal commun de et sur , nous avons soit encore compte-tenu de Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » et son symétrique par symétrie plane de « orienté à gauche » est Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ vectoriel vrai ou polaire» ne dépendant pas de l'orientation de l'espace « il garde la même forme Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ vectoriel vrai ou polaire» ne dépendant pas de l'orientation de l'espace « appliqué en et Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ vectoriel vrai ou polaire» ne dépendant pas de l'orientation de l'espace « appliqué en » ou Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» dépendant de l'orientation de l'espace « il n'a pas la même forme Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» dépendant de l'orientation de l'espace « appliqué en et Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» dépendant de l'orientation de l'espace « appliqué en » ; dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire s'exprimant dans la base cartésienne de selon , dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaires'écrit dans la base cartésienne de selon dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire s'écrit dans la base cartésienne de selon en considérant un même dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire symétrique de par symétrie s'écrit en base de mais dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire symétrique de par symétrie s'écrit en base de , dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire symétrique de par symétrie s'écrit qui est effectivement la même forme en et en ; dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial s'exprimant dans la base cartésienne de selon , dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axials'écrit dans la base cartésienne de selon dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial s'écrit dans la base cartésienne de selon en considérant un même dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial symétrique de par symétrie s'écrit en base de mais dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial symétrique de par symétrie s'écrit en base de , dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial symétrique de par symétrie s'écrit qui n'est pas la même forme en et en ; il est donc nécessaire d'exprimer dans le même repère que celui utilisé pour pour un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial mais nous le faisons aussi pour un champ vectoriel vrai ou polaire même si ce n'est pas indispensable, ceci dans le but de traiter les deux cas simultanément.
↑ Il est nécessaire de repérer dans le même repère que celui utilisé pour dès lors que les points sont remplacés par leurs coordonnées ; en effet le repérage de dans le repère lié à lui attribuerait comme coordonnées car, appelant le projeté orthogonal commun de et sur , nous avons soit encore compte-tenu de
↑ Le champ vectoriel s'exprimant dans la base cartésienne de selon , le champ vectoriel s'écrit dans la base cartésienne de selon en considérant un même et le champ vectoriel symétrique de par symétrie axiale s'écrit en base de mais le champ vectoriel symétrique de par symétrie axiale s'écrit en base de compte-tenu de d'où la nécessité de préciser le repère commun d'expression des champs vectoriels et dès lors qu'on introduit leurs composantes cartésiennes.
↑ 70,0 et 70,1 L'ensemble image de l'espace par la fonction scalaire étant inclus dans , le seul effet d'une antisymétrie plane ou axiale porte sur l'ensemble de départ et non sur la fonction scalaire qui reste la même d'où c'est toujours qui s'applique sur .
↑ 72,072,172,272,3 et 72,4 Pour déterminer l'antisymétrique par antisymétrie plane ou axiale de , il faut
d'une part appliquer la symétrie sur le point le positionnement du symétrique de et
d'autre part appliquer l'antisymétrie sur la forme du champ vectoriel la forme antisymétrique de la forme , la forme antisymétrique étant l'opposée de la forme symétrique appliquée au même point .
↑ 73,073,1 et 73,2 Champ vectoriel antisymétrique de par antisymétrie plane .
↑ Il est nécessaire de repérer dans le même repère que celui utilisé pour dès lors que les points sont remplacés par leurs coordonnées ; en effet le repérage de dans le repère lié à lui attribuerait comme coordonnées car, appelant le projeté orthogonal commun de et sur , nous avons soit encore compte-tenu de Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » et son antisymétrique par antisymétrie plane de « orienté à gauche » est Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ vectoriel vrai ou polaire» ne dépendant pas de l'orientation de l'espace « il garde la même forme Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ vectoriel vrai ou polaire» ne dépendant pas de l'orientation de l'espace « appliqué en et Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ vectoriel vrai ou polaire» ne dépendant pas de l'orientation de l'espace « appliqué en » ou Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» dépendant de l'orientation de l'espace « il n'a pas la même forme Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» dépendant de l'orientation de l'espace « appliqué en et Suivant que le champ vectoriel de « orienté à droite » « un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial» dépendant de l'orientation de l'espace « appliqué en » ; dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire s'exprimant dans la base cartésienne de selon , dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaires'écrit dans la base cartésienne de selon dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire s'écrit dans la base cartésienne de selon en considérant un même dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire antisymétrique de par antisymétrie s'écrit en base de mais dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire antisymétrique de par antisymétrie s'écrit en base de , dans le cas d'un champ vectoriel vrai ou polaire antisymétrique de par antisymétrie s'écrit effectivement la même forme en et en ; dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial s'exprimant dans la base cartésienne de selon , dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axials'écrit dans la base cartésienne de selon dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial s'écrit dans la base cartésienne de selon en considérant un même dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial antisymétrique de par antisymétrie s'écrit en base de mais dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial antisymétrique de par antisymétrie s'écrit en base de , dans le cas d'un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial antisymétrique de par antisymétrie s'écrit forme en et en ; il est donc nécessaire d'exprimer dans le même repère que celui utilisé pour pour un champ pseudo-vectoriel ou vectoriel axial mais nous le faisons aussi pour un champ vectoriel vrai ou polaire même si ce n'est pas indispensable, ceci dans le but de traiter les deux cas simultanément.
↑ 75,075,175,275,375,475,575,6 et 75,7Pierre Curie (1859 - 1906) physicien français, connu principalement pour ses travaux en radioactivité, en magnétisme et en piézoélectricité ; il a aussi énoncé un grand nombre de lois générales pour étudier les symétries en physique théorique dont le principe de Curie publié en ; en radioactivité, il isola, en , avec son épouse Marie Sklodowska-Curie, quelques milligrammes de radium à partir de plusieurs tonnes de pechblendeune roche uranifère ; en magnétisme il découvrit, en , que la susceptibilité magnétique d’un matériau grandeur sans dimension caractérisant la faculté d'un matériau à s'aimanter sous l'action d'un aimant ou d'un courant électrique est, pour certaines matériaux et conditions de température appropriées, inversement à sa température absolue, cette loi étant connue sous le nom de loi de Curie ; la piézoélectricité de certains cristaux comme le quartz, la tourmalinede la famille des silicates ou la pechblendeune roche uranifère fut découverte en par Pierre Curie et son frère ainé Jacques CurieJacques Curie (1855 - 1941) physicien français connu pour la découverte en de la piézoélectricité partagée avec son frère cadet Pierre Curie ; Pierre Curie (1859 - 1906) partagea avec Marie Sklodowska-Curie une moitié de prix Nobel de physique en en témoignage des services extraordinaires rendus par leurs recherches conjointes sur les phénomènes radiatifs découverts par Antoine Henri Becquerel, l'autre moitié du prix Nobel de physique étant accordée à ce dernier en témoignage des services extraordinaires rendus par sa découverte de la radioactivité spontanée. Marie Sklodowska-Curie (1867 - 1934) physicienne et chimiste polonaise naturalisée française essentiellement connue pour avoir isolé en , avec son mari Pierre Curie, quelques milligrammes de radium à partir de plusieurs tonnes de pechblendeune roche uranifère, ce travail étant rendu efficace grâce à l'invention conjointe d'un électromètrepiézoélectrique par son mari Pierre Curie et son beau-frère Jacques Curie ; outre la moitié du prix Nobel de physique de que Marie Sklodowska-Curie partagea avec son mari Pierre Curie pour leurs recherches sur les phénomènes radiatifs l'autre moitié du prix Nobel de physique étant accordée à Antoine Henri Becquerel pour sa découverte de la radioactivité spontanée, Marie Sklodowska-Curie reçut le prix Nobel de chimie en pour les services rendus à l'avancement de la chimie par sa découverte des éléments radium et polonium, de même pour avoir isolé le radium et étudié la nature et les composés de cet élément remarquable. Antoine Henri Becquerel (1852 - 1908) physicien français essentiellement connu pour avoir découvert en , par hasard, la radioactivité spontanée alors qu'il étudiait la fluorescence des sels d'uranium, ce qui lui valut une moitié de prix Nobel de physique en l'autre moitié étant partagée par Marie Sklodowska-Curie et son mari Pierre Curie pour leurs études sur les phénomènes radiatifs.
↑ 76,0076,0176,0276,0376,0476,0576,0676,0776,08 et 76,09 « Symétrie » ici correspond à une translation, une rotation, une symétrie géométrique ou une antisymétrie ; dans la suite nous ne considérerons pas les deux 1èresbien qu'elles suivent aussi le principe de Curie car elles ne jouent aucun rôle dans ce qui nous intéresse ici à savoir le caractère « polaire ou axial » des vecteurs considérés, l'espace image par translation ou rotation ayant même orientation que l'espace antécédent ; en ce qui concerne une symétrie géométrique plane, l'espace image est d'orientation opposée à celle de l'espace antécédent, en ce qui concerne une symétrie géométrique plane, si l'espace antécédent est orienté à droite orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell voir la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, l'espace image l'est à gauche orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes voir la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, en ce qui concerne une symétrie géométrique plane, « une base orthonormée directe choisie dans l'espace antécédent orienté à droite » suivant donc la règle de la main droite voir note « 6 » plus haut dans ce chapitre a pour symétrique plane « une base orthonormée indirecte au sens de la physiquevoir note « 27 » pour la signification de « au sens de la physique » plus haut dans ce chapitre de l'espace image orienté à gauche » suivant donc la règle de la main gauche voir note « 7 » plus haut dans ce chapitre ; en ce qui concerne une antisymétrie plane, l'espace image par symétrie plane la notion de point antisymétrique d'un autre point n'ayant aucun sens est d'orientation opposée à celle de l'espace antécédent, en ce qui concerne une antisymétrie plane, si l'espace antécédent est orienté à droite orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell voir la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, l'espace image par symétrie l'est à gauche orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes voir la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, en ce qui concerne une antisymétrie plane, « une base orthonormée directe choisie dans l'espace antécédent orienté à droite » suivant donc la règle de la main droite voir note « 6 » plus haut dans ce chapitre a pour antisymétrique plane la notion de vecteur antisymétrique d'un autre vecteur ayant un sens « une base orthonormée directe au sens de la physiquevoir note « 27 » pour la signification de « au sens de la physique » plus haut dans ce chapitre de l'espace image orienté à gauche » suivant donc aussi la règle de la main droite voir note « 6
» plus haut dans ce chapitre.
↑ 80,080,1 et 80,2 Les composantes du champ parallèlement au plan sont des fonctions paires de et celle perpendiculairement au plan une fonction impaire de .
↑ 83,083,1 et 83,2 Les composantes du champ parallèlement au plan sont des fonctions impaires de et celle perpendiculairement au plan une fonction paire de .
↑Préliminaire : Un espace physique pouvant être « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell voir la note « 1 » plus haut dans ce chapitre ou « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes voir la note « 4 » plus haut dans ce chapitre, on peut y définir une base directe ou indirecte
Préliminaire : pour un espace orienté à droite, la base est directe si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main droite voir la note « 6 » plus haut dans ce chapitre et indirecte si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main gauche voir la note « 7 » plus haut dans ce chapitre,
Préliminaire : pour un espace orienté à gauche, la base est directe au sens de la physique voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main droite voir la note « 6 » plus haut dans ce chapitre et indirecte au sens de la physique voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main gauche voir la note « 7 » plus haut dans ce chapitre.
La source vectorielle de densité volumique étant polaire n'est pas modifiée lors d'un changement d'orientation de l'espace , son invariance par symétrie plane les composantes de et étant le symétrique de dans la base de sont, quelle que soit l'orientation de , les mêmes parallèlement au plan et sont opposées perpendiculairement au plan malgré le changement d'orientation de , on peut conserver la même base de celle-ci qui était « directe d'un espace orienté à droite » devenant alors « directe au sens de la physique d'un espace orienté à gauche » mais suivant, dans les deux cas, la règle de la main droite d'où l'absence de modifications dans les composantes de la source par changement d'orientation de l'espace ; le champ vectoriel étant axial doit être changé en son opposé lors d'un changement d'orientation de l'espace cela résulte, dans le cas d'un champ magnétostatique, du fait que son sens sur sa direction s'obtient, quand un espace orienté à droite devient orienté à gauche, en substituant la règle de la main droite par celle de la main gauche car le trièdre direct dans un espace orienté à droite devient indirect au sens de la physique dans un espace orienté à gauche, montrons qu'il doit être invariant par antisymétrie plane sur quelques dispositions de :
si est au plan de symétrie , quelle que soit l'orientation de , étant à est changé en son opposé par changement d'orientation de , de même à et égal à dans l'espace orienté à droite car est changé en son opposé par changement d'orientation de à reste égal à lors du changement d'orientation ce qui est en accord avec une invariance par antisymétrie plane et
si est au plan de symétrie , quelle que soit l'orientation de , étant à est changé en son opposé par changement d'orientation de , de même à et égal à dans l'espace orienté à droite car est changé en son opposé par changement d'orientation de à reste égal à lors du changement d'orientation ce qui est en accord avec une invariance par antisymétrie plane ;
en conclusion le champ vectoriel axial est invariant par antisymétrie plane, les composantes opposées de et sur les vecteurs de la base de à changent simultanément lors d'un changement d'orientation de et celles égales de et sur le vecteur de la base de à changent également simultanément lors du même changement d'orientation de
↑Préliminaire : Un espace physique pouvant être « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell voir la note « 1 » plus haut dans ce chapitre ou « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes voir la note « 4 » plus haut dans ce chapitre, on peut y définir une base directe ou indirecte
Préliminaire : pour un espace orienté à droite, la base est directe si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main droite voir la note « 6 » plus haut dans ce chapitre et indirecte si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main gauche voir la note « 7 » plus haut dans ce chapitre,
Préliminaire : pour un espace orienté à gauche, la base est directe au sens de la physique voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main droite voir la note « 6 » plus haut dans ce chapitre et indirecte au sens de la physique voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre si le sens de ses vecteurs de base obéit à la règle de la main gauche voir la note « 7 » plus haut dans ce chapitre.
La source vectorielle de densité volumique étant polaire n'est pas modifiée lors d'un changement d'orientation de l'espace , son invariance par antisymétrie plane les composantes de et étant le symétrique de dans la base de sont, quelle que soit l'orientation de , les mêmes perpendiculairement au plan et sont opposées parallèlement au plan malgré le changement d'orientation de , on peut conserver la même base de celle-ci qui était « directe d'un espace orienté à droite » devenant alors « directe au sens de la physique d'un espace orienté à gauche » mais suivant, dans les deux cas, la règle de la main droite d'où l'absence de modifications dans les composantes de la source par changement d'orientation de l'espace ; le champ vectoriel étant axial doit être changé en son opposé lors d'un changement d'orientation de l'espace cela résulte, dans le cas d'un champ magnétostatique, du fait que son sens sur sa direction s'obtient, quand un espace orienté à droite devient orienté à gauche, en substituant la règle de la main droite par celle de la main gauche car le trièdre direct dans un espace orienté à droite devient indirect au sens de la physique dans un espace orienté à gauche, montrons qu'il doit être invariant par symétrie plane sur quelques dispositions de :
si est au plan de symétrie , quelle que soit l'orientation de , étant à est changé en son opposé par changement d'orientation de , de même à et égal à dans l'espace orienté à droite car est changé en son opposé par changement d'orientation de à reste égal à lors du changement d'orientation ce qui est en accord avec une invariance par symétrie plane et
si est au plan de symétrie , quelle que soit l'orientation de , étant à est changé en son opposé par changement d'orientation de , de même à et égal à dans l'espace orienté à droite car est changé en son opposé par changement d'orientation de à reste égal à lors du changement d'orientation ce qui est en accord avec une invariance par symétrie plane ;
en conclusion le champ vectoriel axial est invariant par symétrie plane, les composantes opposées de et sur le vecteur de la base de à changent simultanément lors d'un changement d'orientation de et celles égales de et sur les vecteurs de la base de à changent également simultanément lors du même changement d'orientation de
![{\displaystyle \;{\vec {A}}\!\left[\left({\mathcal {E}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5059c4e8515fafbe68016db59d3e140abd0ffe5e)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}\;\in \;{\vec {A}}\!\left[\left({\mathcal {E}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b13927a0cfe0a195276b7d512c57227b012cfd6)
![{\displaystyle \;{\vec {a}}(M)={\dfrac {d\left[{\vec {V}}_{M}\right]}{dt}}={\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5db8349c743158c05d13b52b70f7594d49e6acf)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;{\Bigg (}{\Big \Vert }{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}{\Big \Vert }={\Big \Vert }{\vec {A}}{\Big \Vert }\;{\Big \Vert }{\vec {B}}{\Big \Vert }\;{\Bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left({\vec {A}},\;{\vec {B}}\right)}}\right]{\Bigg \vert }{\Bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885a0555a5f81ac12e0ed960950acb63984ae7b3)
![{\displaystyle \;A_{y,\,i}\,{B'}_{z,\,i}-{A'}_{z,\,i}\,B_{y,\,i}=A_{y,\,d}\,\left[-B_{z,\,d}\right]-\left[-A_{z,\,d}\right]\,B_{y,\,d}=-\left[A_{y,\,d}\,B_{z,\,d}-A_{z,\,d}\,B_{y,\,d}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2675f35520794cae48e9fc75bf2f3ebadfa2488b)
![{\displaystyle \;{A'}_{z,\,i}\,B_{x,\,i}-A_{x,\,i}\,{B'}_{z,\,i}=\left[-A_{z,\,d}\right]\,B_{x,\,d}-A_{x,\,d}\,\left[-B_{z,\,d}\right]=-\left[A_{z,\,d}\,B_{x,\,d}-A_{x,\,d}\,B_{z,\,d}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59023b5fdcecf0894c4ca20348a5141280e8a4af)
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![{\displaystyle \;M{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a7e7677d7c8ddfa751d0cc213d5919154c4bd9)
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![{\displaystyle {\Big )}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cde8794ef9b456109fce5e99681cfc6987643c0)
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![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[\left({\mathcal {E}}\right)\right]\,,\,+\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314db6f1c005c4e8644efe1fc1fdc60b14e950c8)
![{\displaystyle \;{\vec {0}}\;\notin \;{\vec {A}}\!\left[\left({\mathcal {E}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86cd1bceba9a7cbd1e8d604a3ab67e84382f8598)
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![{\displaystyle \;f\!\left[({\mathcal {E}})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1d4b9988744675a496a5afca2cfe785183178c)
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![{\displaystyle \;f(M')=\cos \!\left[{\widehat {\left({\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OM'}}\right)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f7234815987039aefb6ecac5f602bc6221b6a7)
![{\displaystyle \;f(M)=\cos \!\left[{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94d74a590473923d4ad76d01526c548c393ba8f)
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![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf218fbc487e14f73cca7693c1e60d9fce5eb3c)
![{\displaystyle \;P{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc1bf94c8b51801a3a406b85bdbdaecce5e8c15)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}(P')=-{\vec {j}}(P){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1ef42cb7852951b73a6f738b82d9887bd7c644)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}(P')={\vec {j}}(P){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8a41d41d85221ae5e41765e1b16f0472cea2dc)
