Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie

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     Dans ce chapitre, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions est choisi « orienté à droite » [1],

     Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout élément de l'ensemble image de l'espace physique affine par un champ vectoriel [2],
          Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout soit «» l'ensemble image «» de par le champ vectoriel n'est en général pas un -espace vectoriel [3] mais est inclus dans un -espace vectoriel en général choisi comme direction [4] de l'espace physique affine à trois dimensions » ;

     Dans ce chapitre, nous nous proposons d'étudier le comportement de ces « vecteurs » éléments de lors d'un changement d'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions , ce dernier devenant « orienté à gauche » [1].

     Rappels : L'orientation de « à droite » [1] le « produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction [4] de l'espace physique affine à trois dimensions » [5] tel que le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [6] alors que

     Rappels : l'orientation de « à gauche » [1] le « produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction [4] de l'espace physique affine à trois dimensions » [5] tel que le trièdre est indirect au sens de la physique c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche [7].

Définition de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires), de pseudo vecteurs (ou vecteurs axiaux) et exemples

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Définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)

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     Un « vecteur » [8] est un vrai vecteurou vecteur polaire si « sa définition ne dépend pas de l'orientation de l'espace» c.-à-d. est la même pour « orienté à droite » [1] ou « à gauche » [1].

Définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)

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     Un « vecteur » [8] est un pseudo-vecteurou vecteur axial si « sa définition dépend de l'orientation de l'espace» c.-à-d. est pour « orienté à droite » [1] ou « à gauche » [1].

Comment distinguer un vrai vecteur d'un pseudo-vecteur ?

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     Pour savoir si un « vecteur » [8] est un « vrai vecteur » [9] ou un « pseudo-vecteur » [10], on se demande si l'orientation de l'espace est indispensable à sa définition :
                   Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », si elle n'est pas nécessaire le « vecteur » [8] est alors « vrai ou polaire»,
                   Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », si elle est indispensable le « vecteur » [8] est un « pseudo-vecteur ou vecteur axial».

Exemples de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)

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Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     « Vecteur position », « vecteur déplacement élémentaire » [11],

     « vecteur vitesse » [12], « vecteur accélération »

     « Vecteur quantité de mouvement » [13],

     « vecteur résultante dynamique [14]  » par r.f.d.n. [15], [13] et donc « tout vecteur force » [16],

     « vecteur champ électrique » [13]

     Remarque : Bien que le courant dans un circuit filiforme ne soit pas directement un vecteur, il est néanmoins défini par une direction le circuit filiforme, un sens et une valeur absolue, ce qui lui confère une propriété vectorielle correspondant à un vrai vecteur ou vecteur polaire[17].

Exemples de pseudo-vecteurs

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Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     Si la définition d'un « vecteur » [8] se fait par produit vectoriel [18] de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9], le « vecteur » [8] obtenu est un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10], [19] :
               Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs pseudo-vecteur « moment cinétique par rapport à , point origine, » [20],
               Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs pseudo-vecteur « moment d'une force par rapport à , point origine, » [21]

     Si la détermination d'un « vecteur » [8] se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] par un scalaire, le « vecteur » [8] obtenu est alors un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] :
              Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial par un scalaire, pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire
              Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial par un scalaire, autour de l'axe , » avec moment d'inertie
              Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial par un scalaire, de relativement à son axe de rotation [22]

     Si la détermination d'un « vecteur » [8] se fait par produit vectoriel [18] d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] et d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10],
        Si la détermination le « vecteur » [8] obtenu est un vrai vecteur ou vecteur polaire[9], [19] : pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe ,
                                                  Si la détermination le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur ou vecteur polaire : par » [23] 2nde justification,
                       Si la détermination le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur ou vecteur polaire : pseudo-vecteur « champ magnétique par » [24]

Propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur

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Base cartésienne orthonormée directe les deux 1ers vecteurs en noir et le 3ème en rouge suivant la règle de la main droite [6] et indirecte les mêmes deux 1ers vecteurs en noir et le 3ème en bleu suivant la règle de la main gauche [7]

     Considérons deux bases cartésiennes l'une « directe suivant la règle de la main droite » [6] le 3ème vecteur en rouge ci-contre et
    Considérons deux bases cartésiennes l'autre « indirecte par règle de la main gauche » [7] le 3ème vecteur en bleu ci-contre,
     définissons le produit vectoriel des deux « vecteurs » [8], [25] par ses composantes :

     définissons le produit vectoriel [26] avec la base directe et

     définissons le produit vectoriel [26] avec la base indirecte .

     Remarque : les composantes du produit vectoriel selon la base directe suppose l'espace orienté à droite [1] alors que
   Remarque : les compos celles du produit vectoriel selon la base indirecte suppose l'espace orienté à gauche [1] mais
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon à partir des composantes de et quelle que soit l'orientation de l'espace car
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon la direction au plan formé par et [5] et
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon la norme [5] sont indépendantes de l'orientation de l'espace et
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon le sens tel que le trièdre est direct dans un espace orienté à droite [1], [5] obtenu par règle de la main droite [6] et
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon le sens tel que le trièdre est indirect au sens de la physique[27] dans un espace orienté à gauche [1], [5]
          Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon le sens tel que le trièdre est indirect au sens de la physiqueobtenu par règle de la main gauche [7] d'où
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle de la main droite ou gauche
      Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle pour déterminer le sens de et
      Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle pour déterminer celui du 3ème vecteur de base
      Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de car on utilise la même règle pour déterminer relativement aux deux autres.

Produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)

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     Les deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] facteurs de la multiplication vectorielle [5] étant inchangés quand on modifie l'orientation de l'espace,
            Les deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires facteurs de la multiplication vectorielle étant inchangés ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, le même sens et la même norme,

     les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et
        les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polaires sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1]
        les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polaires sont sur et sur individuellement les mêmes «», «» et
        les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polaires sont sur et sur individuellement opposées soit «» ;

     on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et
     on en déduit que les composantes de sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1]
     on en déduit que les composantes de sont [28] sur , opposées car «» soit
           on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «»,
           on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» soit
           on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» et
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» soit,
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» ou, avec «»,
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» d'où

     le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] étant changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite [1] à un espace orienté à gauche [1],
     le produit vectoriel de deux vrais vecteursou vecteurs polaires[9] est un pseudo-vecteurou vecteur axial[10].

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] étant indépendants de l'orientation de l'espace mais
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite [1] et
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche [1],
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires[9] dépendant de l'orientation de l'espace
        Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires est un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10].

Produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux)

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     Les deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] facteurs de la multiplication vectorielle [5] étant changés quand on modifie l'orientation de l'espace
              Les deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux facteurs de la multiplication vectorielle étant changés ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, la même norme mais inversent leur sens,

     les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et
          les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1]
          les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux sont sur et sur individuellement opposées «», «» et
          les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux sont sur et sur individuellement les mêmes soit «» ;

     on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et
     on en déduit que les composantes de sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1]
     on en déduit que les composantes de sont [28] sur , opposées car «» soit
           on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «»,
           on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» soit
           on en déduit que les composantes de sont sur , opposées car «» et
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» soit,
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» ou, avec «»,
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» d'où

     le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] étant changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite [1] à un espace orienté à gauche [1],
     le produit vectoriel de deux pseudo-vecteursou vecteurs axiaux[10] est un pseudo-vecteurou vecteur axial[10].

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] dépendant de l'orientation de l'espace ils en sont tous deux inversés et
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite [1] et
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche [1]
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel, d'où
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace [29]
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux[10] dépendant de l'orientation de l'espace
          Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux est un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10].

Produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire)

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     Le pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] 1er facteur de la multiplication vectorielle [5] étant changé quand on modifie l'orientation de l'espace
              Le pseudo-vecteur ou vecteur axial 1er facteur de la multiplication vectorielle étant changé ce qui signifie qu'il garde la même direction, la même norme mais inverse son sens, et
     le vrai vecteur ou vecteur polaire[9] 2nd facteur de la multiplication vectorielle [5] étant inchangé lors de la même modification d'orientation de l'espace
           Le vrai vecteur ou vecteur polaire 2nd facteur de la multiplication vectorielle étant inchangé ce qui signifie qu'il garde la même direction, le même sens et la même norme,

     les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et
          les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axial sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1]
          les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axial sont sur et sur individuellement opposées «» et
          les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axial sont sur et sur les mêmes soit «» alors que
     les composantes du vrai vecteur ou vecteur polaire[9] sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et
        les composantes du vrai vecteur ou vecteur polaire sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1]
        les composantes du vrai vecteur ou vecteur polaire sont sur et sur individuellement les mêmes «» et
        les composantes du vrai vecteur ou vecteur polaire sont sur et sur opposées soit «» ;

     on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite [1] et
     on en déduit que les composantes de sur la base indirecte au sens de la physique[27] de l'espace orienté à gauche [1]
     on en déduit que les composantes de sont [28] sur , les mêmes car «» soit
           on en déduit que les composantes de sont sur , les mêmes car «»,
           on en déduit que les composantes de sont sur , les mêmes car «» soit
           on en déduit que les composantes de sont sur , les mêmes car «» et
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» soit,
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» ou, avec «»,
           on en déduit que les composantes de sont sur et , les mêmes car «» d'où

     le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] et d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] étant inchangé quand on passe d'un espace orienté à droite [1]
             le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial et d'un vrai vecteur ou vecteur polaire étant inchangé quand on passe à un espace orienté à gauche [1],
     le produit vectoriel d'un pseudo-vecteurou vecteur axial[10] et d'un vrai vecteurou vecteur polaire[10] est un vrai vecteurou vecteur polaire[9].

     Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative [30] le « produit vectoriel d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] et d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] »
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative est l'opposé du « produit vectoriel du pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] et du vrai vecteur ou vecteur polaire[9] »
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative est l'opposé quelle que soit l'orientation de l'espace,
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le caractère polaire du produit vectoriel est donc indépendant de la place du pseudo-vecteur ou vecteur axial[10]
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le produit vectoriel d'un vrai vecteurou vecteur polaire[9] et d'un pseudo-vecteurou vecteur axial[10] est un vrai vecteur
                   Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le produit vectoriel d'un vrai vecteurou vecteur polaire et d'un pseudo-vecteurou vecteur axial est ou vecteur polaire[9].

     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] dépendant de l'orientation de l'espace un changement d'orientation l'inversant alors que
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] étant indépendant de l'orientation de l'espace,
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite [1] et
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche [1]
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel d'où
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement un même sens quelle que soit l'orientation de l'espace [31]
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial[10] et
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un vrai vecteur ou vecteur polaire[9] indépendant de l'orientation de l'espace
          Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial est un vrai vecteur ou vecteur polaire[9].

Influence d'une symétrie plane (ou axiale), d'une antisymétrie plane (ou axiale) sur l'orientation de l'espace

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     Préliminaire : si l'espace considéré est à deux dimensions et plan, on envisagera des symétries axiales ou antisymétries axiales ;

     Préliminaire : si l'espace considéré est à trois dimensions, on envisagera des symétries planes ou antisymétries planes.

Influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions

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Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan

     Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et
     supposant cet « espace orienté à droite » [1] avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe »
        supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix donc suivant la règle de la main droite [6]
         supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et
         supposant cet « espace orienté à droite » avec « choix dont le 3ème lui est ,

     l'« espace image , symétrique par rapport au plan , de l'espace par la symétrie , est orienté à gauche » [1], [32],
     « les vecteurs images, par la même symétrie plane , des vecteurs de base de l'espace
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « indirecte au sens de la physique[27] » car
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de , celle-ci est « suivant la règle de la main gauche [7], [33] d'où
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de  : .

     Conclusion : Une symétrie plane modifie l'orientation d'un espace à trois dimensions, à savoir
     Conclusion : l'espace image, symétrique par symétrie planed'un espaceorienté à droite [1]
     Conclusion : l'espace image, symétrique par symétrie planed'un espaceavec choix d'une base directe,
     Conclusion : l'espace image, est orienté à gauche [1]
     Conclusion : l'espace image, est avec pour base, la symétrique de la base directe de par symétrie plane , cette base de étant indirecte au sens de la physique[27].

Influence d'une symétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan

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     Considérant un espace à deux dimensions plan, il est nécessaire de définir une base dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi
     Considérant un espace à deux dimensions plan, il est nécessaire de préciser un 3ème vecteur au plan de cet espace pour définir le sens de mesure des angles de ce plan ;

     ainsi un espace plan nécessite encore de définir une base à trois éléments et
     ainsi un espace plan nécessite encore de préciser le caractère direct ou indirect de cette base orientant l'espace à trois dimensions dans lequel celui à deux dimensions est plongé.

     Envisageant une symétrie axiale de tous les points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe de ce plan et
     supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite [1] avec choix d'une base cartésienne orthonormée directe donc suivant la règle de la main droite [6]
         supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 1er vecteur est à l'axe ,
         supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 2ème est à et
         supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté à droite avec choix dont le 3ème au plan de l'espace et servant à orienter les angles de ce plan,

     l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale , peut être orienté de deux façons différentes :

  • celle telle que l'espace image , symétrique par la symétrie axiale de l'espace dans laquelle est plongé
    celle telle que l'espace image , est orienté comme si est orienté à droite [1], est aussi orienté à droite [1],
    celle telle que l'espace image , ce qui suppose que le symétrique axial du tire-bouchon de Maxwell [34] par rapport à l'axe est un tire-bouchon de Maxwell [34], [35] voir ci-contre,
    celle telle que l'espace image , la base choisie dans étant symétrique par la symétrie axiale de celle de
    celle telle que l'espace image , la base choisie dans conserve le caractère direct ou indirect de cette dernière [36] d'où
    celle telle que l'espace image , si la base de est directe suivant la règle de la main droite [6],
       celle telle que l'espace image , si celle de est aussi directe ;
       celle telle que l'espace image , si ainsi les vecteurs de la base de «» sont :
       celle telle que l'espace image , si pour le 1er vecteur à l'axe dans le plan , «»,
       celle telle que l'espace image , si pour le 2ème vecteur à l'axe dans le plan , «» et
       celle telle que l'espace image , si pour le 3ème vecteur au plan orientant les angles de ce dernier, «»
       celle telle que l'espace image , si les angles deet desont algébrisés en sens contraire [37] ou
  • celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel serait plongé voir ci-contre, mais telle que
    les angles du plan commun de l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale , et l'espace [38],
    les angles du plan commun sont orientés de la même façon pour et par exemple
    les angles du plan commun si les angles de sont orientés dans le sens trigonométrique [39] ceux de le sont aussi ; ainsi
    les vecteurs de la base de «» ainsi que le vecteur unitaire «» orientant les angles de ce dernier sont
    les vecteurs de la base de pour le 1er vecteur à l'axe dans le plan , «»,
    les vecteurs de la base de pour le 2ème vecteur à l'axe dans le plan , «» et
    les vecteurs de la base de pour les vecteurs unitaires et au plan commun de et de [38] et
    les vecteurs de la base de pour les vecteurs unitaires et orientant dans le même sens les angles de ces derniers
    les vecteurs de la base de pour les vecteurs unitaires et orientant dans le même sens les angles «» [40] ;
    remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions dans lequel est plongé [41],
    remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions avec pour base de cet espace «» et
    remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions dans lequel plonger
    remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions avec pour base de cet espace «