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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Portrait de phase d'un système dynamique

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Portrait de phase d'un système dynamique
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Chapitre no 22
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable
Chap. suiv. :Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation
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Notion (très succincte) de système dynamique

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     En mathématiques et en sciences appliquées, un système dynamique est un ensemble très général de composants en interaction  un système , répartis sur plusieurs états et structurés selon certaines propriétés [1] ; il est le plus souvent régi par un ensemble d'équations différentielles décrivant le mouvement des composants  leur dynamique  où interviennent une classe de paramètres accessibles [1] ;

     dans notre présentation nous limitons les systèmes dynamiques aux systèmes classiques [2] qui évoluent au cours du temps de façon à la fois :

  • causale, c.-à-d. que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent,
  • déterministe, c.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent correspond, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible ;

     l'évolution déterministe d'un système dynamique classique considéré par la suite se modélise par une évolution continue dans le temps, représentée par une équation différentielle ordinaire [3].

Espace des phases d'un système dynamique classique

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Notion de variables d'état d'un système dynamique classique

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La position peut-elle être choisie comme unique variable d'état d'un système dynamique classique à un degré de liberté ?

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     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné en l'observant uniquement à cet instant, dans la mesure où on définit le mouvement comme un changement de position,
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné en l'observant uniquement à cet instant,  avec la position seule variable directement observable à un instant donné [4]  ?
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  S'il est en mouvement à un instant donné, le système doit changer de position, or
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  S’il a une position observable à cet instant qui, par définition, ne change pas à cet instant,
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  S’il ne semble donc pas en mouvement  alors qu'il l'est ,
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  s'il est au repos à un instant donné, le système devant garder cette position à tout instant, il ne pourrait pas en changer,
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  mais cette seule observation ne permet pas de conclure, il est nécessaire d'en faire une 2ème à un autre instant,
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  si on observe un maintien de cette position à cet autre instant il semble au repos
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  mais cette 2ème observation ne suffit pas pour conclure, il en faudrait une 3ème puis une 4ème  
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  mais cette 2ème observation ne suffit pas pour conclure, jusqu'à un éventuel instant de changement de position,
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  avec un seul instant d'observation, le système semble au repos  mais il pourrait ne pas l'être ,
     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné  pour affirmer il est au repos il faut l'observer continûment sur l'intervalle d'observation ;

     la cause de cette difficulté  connue sous le nom de « paradoxe de Zénon »  est le fait de limiter la description de l'état du système à un instant donné à sa position
     la cause de cette difficulté  connue sous le nom de « paradoxe de Zénon »  est le fait de limiter la description de l'état du système à un instant donné sans introduire la notion de vitesse,
     la cause de cette difficulté  connue sous le nom de « paradoxe de Zénon »  est le fait de limiter or c'est la notion de vitesse qui décrit le changement ou la fixité de la position à un instant donné.

Variables d'état (ou dynamiques) d'un système dynamique classique

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     La description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les variables dites d'état  encore appelées variables dynamiques  c.-à-d.
     La description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les grandeurs physiques qui déterminent l'état instantané du système et
     La description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les grandeurs physiques qui permettent d'en déduire l'évolution de ce dernier avec le temps [5].

Définition de l'espace des phases d'un système dynamique classique

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     L'espace des phases est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré.

     Si le système a   degrés de liberté, l'espace des phases possède   dimensions [6] et,
     Si le système a   degrés de liberté, dans l'hypothèse où l'espace des phases est vectoriel, chaque état est décrit par un vecteur à   composantes.

Espace des phases d'un système dynamique classique à un degré de liberté

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     L'espace des phases d'un système dynamique à un degré de liberté est donc un espace  vectoriel  à deux dimensions.

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté, espace des phases correspondant

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Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté

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     La notion de système dynamique classique à un degré de liberté est, dans l'enseignement français, essentiellement introduite en mécanique mais
     La notion de système dynamique classique à un degré de liberté peut être utilisée dans tous les domaines y compris le domaine électrique ;

     pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il faut qu'il évolue au cours du temps de façon causale [7] et déterministe [8] ;
     pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables  celle qui décrit l'état du système à un instant donné, « variable descriptive d'état » [9],
     pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables  sans permettre de savoir dans quel état sera le système ultérieurement,
     pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables  celle qui permet de connaître le futur immédiat du système à un instant donné,
     pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables  « variable de modification d'état » [9], en général    ou   à la dérivée temporelle
          pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables  « variable de modification d'état », en général    ou   à de la précédente ;
     pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » l'évolution du système est alors régie par une équation différentielle en la « variable descriptive d'état » [9].

     La plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté viennent de la mécanique, les variables dynamiques étant la position du système  une « variable descriptive d'état » [9] et
     La plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté viennent de la mécanique, les variables dynamiques étant sa vitesse  remplaçable par sa quantité de mouvement [10] 
     La plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté viennent de la mécanique, les variables dynamiques étant sa  une « variable de modification d'état » [9] mais

     il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  l'intensité  instantanée  du courant de charge d'un condensateur parfait
       il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  l'intensité est   à la dérivée temporelle de la tension  instantanée  entre ses bornes [11],
     il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  l'intensité  instantanée  étant une « variable de modification d'état » [9] alors que
     il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  la tension  instantanée  est une « variable descriptive d'état » [9] ou encore
     il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  la tension  instantanée  aux bornes d'une bobine pure
       il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  la tension est   à la dérivée temporelle de l'intensité  instantanée  du courant
       il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  la tension est   à la dérivée temporelle de l'intensité  instantanée  la traversant [12],
     il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  la tension  instantanée  étant une « variable de modification d'état » [9] alors que
     il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle  l'intensité  instantanée  du courant est une « variable descriptive d'état » [9]  

Espace des phases sur les exemples précédents de système dynamique classique à un degré de liberté

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     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point définit l'état instantané du système et
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en mécanique à un degré de liberté, la position [13]  « variable descriptive d'état » [9] et
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en mécanique à un degré de liberté, la vitesse [14]  « variable de modification d'état » [9]
           Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en mécanique à un degré de liberté, la vitesse  remplaçable par la quantité de mouvement [10] ,
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série comportant un condensateur parfait,
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes du condensateur [13]  « variable descriptive d'état » [9]
           Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes du condensateur  remplaçable par sa charge [15]  et
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. l'intensité du courant le traversant [14]  « variable de modification d'état » [11] [9],
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série comportant une bobine parfaite sans condensateur parfait,
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. l'intensité du courant traversant la bobine [13]  « variable descriptive d'état » [9] et
     Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes de la bobine [14]  « variable de modification d'état » [12] [9]
           Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées  en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes de la bobine  remplaçable par la f.e.m. y étant engendrée [16] .

Portrait de phase d'un système dynamique classique

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Nous nous limitons à un système dynamique classique à un degré de liberté pour lequel il y a deux variables d'état.

Définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté

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     Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système,
     Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, des trajectoires des points caractérisant l'état du système
     Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, des trajectoires des points caractérisant l'état pour chaque ensemble de C.I. [17] ;
  Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est  une courbe liant la variable de modification d'état [9]  notée   par la suite [18] 
Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est  une courbe liantà la variable descriptive d'état [9]  notée   par la suite 
  Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est  pour des C.I. [17] impliquant une évolution du système, ou,
  Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est  un point correspondant à la variable de modification d'état [9]  ,
  Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est  un point correspondant à la variable descriptive d'état [9]   étant constante,
  Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est  pour des C.I. [17] caractérisant un état de repos du système.

Liens entre portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté et l'évolution de ce dernier

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On rappelle que les variables descriptive et de modification d'état sont respectivement notées   et  [18], [19].

Évolution du système dynamique classique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des x

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     Si le point   d'un portrait de phase du système est d'ordonnée  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à   dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à   le portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale   si le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale   l'ordonnée du point y ayant pour valeur  , suivi
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    d'un arrêt dans la mesure où   repère un équilibre du système dynamique ou
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    d'un passage dans la zone d'ordonnée  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à   si le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à   si le portrait de phase ne recoupe pas abscisses,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    le portrait de phase étant « ouvert » vers les  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à une valeur minimale   si le portrait de phase
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à une valeur mini recoupe l'axe des abscisses en  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    l'ordonnée du point y ayant pour valeur  , suivi
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à une valeur minimale  d'un retour de   dans la zone
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à une valeur minimale  d'un retour d'ordonnée  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à une valeur minimale  son abscisse   etc  
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    le point générique du portrait de phase tournant alors dans le
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    « sens indirect » [20] ; le portrait de phase est
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse     soit « fermé » s'il repasse par les points précédents,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse     soit « spiralant » autour d'un point  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse     l'abscisse   correspondant à un arrêt du système [21].

     Si le point   d'un portrait de phase du système est d'ordonnée  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à   dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à   le portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale   si le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale   l'ordonnée du point y ayant pour valeur  , suivi
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    d'un arrêt dans la mesure où   repère un équilibre du système dynamique ou
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    d'un passage dans la zone d'ordonnée  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    jusqu'à   si le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    jusqu'à   si le portrait de phase ne recoupe pas abscisses,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    le portrait de phase étant « ouvert » vers les  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    jusqu'à une valeur maximale   si le portrait de phase
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur maximale    son abscisse    jusqu'à une valeur mini recoupe l'axe des abscisses en  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    l'ordonnée du point y ayant pour valeur  , suivi
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    jusqu'à une valeur maximale  d'un retour de   dans la zone
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    jusqu'à une valeur maximale  d'un retour d'ordonnée  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    jusqu'à une valeur maximale  son abscisse   etc  
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    le point générique du portrait de phase tournant alors dans le
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse    « sens indirect » [20] ; le portrait de phase est
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse     soit « fermé » s'il repasse par les points précédents,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse     soit « spiralant » autour d'un point  ,
     Si le point   d'un portrait de phase du système son abscisse    jusqu'à une valeur minimale    son abscisse     l'abscisse   correspondant à un arrêt du système [21].

Portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté dont l'évolution est décrite par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en x

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     Si l'équation différentielle décrivant l'évolution d'un système dynamique classique à un degré de liberté
     Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en   selon   avec   valeur de la variable descriptive d'état [9] du système dynamique à l'équilibre,
     Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en   selon   le portrait de phase est une droite d'équation  
     Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en   selon   le portrait de phase est une droite   si   est   et
     Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en   selon   le portrait de phase est une droite   si   est   ; réciproquement
     si le portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté
     si le portrait de phase est une droite d'équation  , l'équation différentielle décrivant l'évolution du système dynamique
     si le portrait de phase est une droite d'équation  , l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en   selon  ,
     si le portrait de phase est une droite d'équation  , l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en   la stabilité [22] nécessitant que   soit  ,
     si le portrait de phase est une droite d'équation  , l'équation différentielle la valeur de la variable descriptive d'état [9] du système dynamique à l'équilibre étant  .

Conséquence de l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des x des portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté sur l'évolution de ce système

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     Si les portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté de variables « descriptive d'état  » et « de modification d'état  » [18], [19] sont
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    les portraits de phase sont fermés  en effet ce sont des courbes continues avec présence de points génériques
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    les portraits de phase sont fermés  en effet de part et d'autre de l'axe des  , ce qui nécessite le passage par
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    les portraits de phase sont fermés  en effet   correspondant à un changement de sens de variation de  ,
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    les portraits de phase sont fermés  en effet le caractère « spiralant » des portraits de phase étant exclu comme
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    les portraits de phase sont fermés  en effet contraire à l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des  ,
       Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    les portraits de phase sont fermés ceci nécessitant que le système dynamique considéré ne soit pas amorti et
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    la grandeur instantanée caractéristique de l'état du système dynamique considéré est telle que
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    « à tout couple  » correspond « le couple  », c.-à-d. que
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    le système dynamique passe par les mêmes états lors de la   ou de la   de  
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des  »    le système dynamique passe par les mêmes états à l'inversion du temps près [23].

     Exemple de mécanique du point à un degré de liberté :
     Exemple de mécanique le système dynamique classique à un degré de liberté étant le point matériel   de variable descriptive d'état [9]    abscisse de   si ce dernier se déplace sur l'axe   et
     Exemple de mécanique le système dynamique classique à un degré de liberté étant le point matériel   de variable de modification d'état [9]    vitesse algébrique de   sur l'axe  ,
     Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des   correspond à un mouvement oscillatoire de   autour d'un point fixe de l'axe  [24],
     Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des   correspond à un mouvement oscillatoire de   de caractère périodique [25],
     Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des   correspond à un mouvement oscillatoire de   avec la même durée de mouvement dans un sens
     Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des   correspond à un mouvement oscillatoire de   avec la même durée que dans l'autre sens [25].

Notes et références

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  1. ↑ 1,0 et 1,1 Il y a volontairement une certaine imprécision dans cet exposé car la notion de système dynamique est très générale alors que nous n'introduisons dans la suite du cours que des systèmes dynamiques très particuliers ne nécessitant pas de connaître en détail la définition générale de systèmes dynamiques.
  2. ↑ C.-à-d. non quantiques, ceci ayant pour conséquence qu'aucun paramètre servant à décrire les états du système dynamique ne varie de façon discrète.
  3. ↑ C'est a priori la plus naturelle des modélisations car le paramètre temps est continu en physique.
  4. ↑ Pour plus de détail lire le paragraphe paradoxe de Zénon de l'article de wikipédia sur les systèmes dynamiques.
  5. ↑ Dans l'exemple d'un système à un seul degré de liberté, il y a la position et la vitesse, cette dernière peut être mesurée à un instant donné par l'effet Doppler ; pour un tel système on a donc deux variables dynamiques.
  6. ↑ Il faut connaître la position et la vitesse associée à chaque degré de liberté.
  7. ↑ C.-à-d. que son avenir ne dépende que des phénomènes du passé ou du présent.
  8. ↑ C.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent va correspondre, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible.
  9. ↑ 9,00 9,01 9,02 9,03 9,04 9,05 9,06 9,07 9,08 9,09 9,10 9,11 9,12 9,13 9,14 9,15 9,16 9,17 9,18 9,19 9,20 9,21 et 9,22 Appellation personnelle.
  10. ↑ 10,0 et 10,1 Le vecteur quantité de mouvement d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en direction, sens et norme contrairement à l'énergie cinétique qui ne donne aucune information sur la direction et le sens  la notion de quantité de mouvement est introduite dans le chap.  « quantité de mouvement » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »  ; en mécanique classique  c.-à-d. non relativiste  la quantité de mouvement   est liée à la vitesse   et à la masse   par  .
  11. ↑ 11,0 et 11,1 Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour un condensateur parfait » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       en convention récepteur le lien entre l'intensité   du courant traversant le condensateur parfait de capacité   et la tension   en ses bornes est  .
  12. ↑ 12,0 et 12,1 Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour une bobine parfaite » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       en convention récepteur le lien entre la tension   en les bornes de la bobine parfaite d'auto-inductance   et l'intensité   du courant la traversant est  .
  13. ↑ 13,0 13,1 et 13,2 Usuellement choisie pour axe des abscisses.
  14. ↑ 14,0 14,1 et 14,2 Usuellement choisie pour axe des ordonnées.
  15. ↑ La tension aux bornes du condensateur pouvant être remplacée par sa charge  voir le paragraphe « charge (instantanée) q(t) d'un condensateur parfait » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  ;
       le lien entre la charge   du condensateur parfait de capacité   et la tension   en ses bornes est  .
  16. ↑ La tension aux bornes de la bobine parfaite pouvant être remplacée par la f.e.m. engendrée dans cette dernière  voir le paragraphe « notion de f.e.m. d'auto-induction d'une bobine parfaite en A.R.Q.S., loi de Faraday » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  ;
       le lien entre la f.e.m. auto-induite   créée dans la bobine parfaite d'auto-inductance   et l'intensité   du courant la traversant est      égale à l'opposé de la tension   à ses bornes en convention récepteur .
  17. ↑ 17,0 17,1 et 17,2 Conditions Initiales.
  18. ↑ 18,0 18,1 et 18,2 Même si elle n'est pas égale à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état mais   avec un cœfficient de proportionnalité positif.
  19. ↑ 19,0 et 19,1 Dans le cas où la variable de modification d'état serait   à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état, le cœfficient de proportionnalité est supposé positif  ce qui est le cas le plus fréquent .
  20. ↑ 20,0 et 20,1 Ou sens anti-trigonométrique ou sens horaire ou encore sens rétrograde, le contraire étant sens direct, ou sens antihoraire ou encore sens prograde.
  21. ↑ 21,0 et 21,1 Nous nous plaçons dans le cas le plus fréquent où il y a un amortissement mais, le cas où il y aurait un apport énergétique régulier permettant que la spirale s'écarte de plus en plus d'un point de l'axe des abscisses est bien sûr possible.
  22. ↑ C.-à-d. le fait que le régime libre s'amortisse.
  23. ↑ En effet « si   quand  », après l'inversion du temps    , «  quand       quand  ».
  24. ↑ Une démonstration adaptée consiste à introduire la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de    voir par exemple les paragraphes « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » et « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du pendule élastique horizontal par diagramme énergétique » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » .
  25. ↑ 25,0 et 25,1 Une démonstration adaptée consiste à utiliser successivement l'intégrale 1ère énergétique du mouvement du point et la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de    voir par exemple le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement du pendule élastique horizontal en utilisant l'intégrale 1ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique M puis expression de la période sous forme intégrale » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » .


  Discont. de 1ère ou 2ème espèces d'une fonct. scal. d'une variable
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