Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires

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Notion de dipôles, définition de son point de fonctionnement en régime permanent et de sa caractéristique statique courant - tension

Définition d'un dipôle

     Un dipôle est tout système électrique relié à l'extérieur par deux bornes.

     Conséquences : une branche est constitué d'un dipôle ou d'une association série de dipôles, les conventions d'orientation d'une branche $\;{\big (}$conventions récepteurs et générateurs${\big )}\;$ étant celles d'un dipôle ;

     Conséquences : dans un circuit série comprenant uniquement un générateur et un récepteur, il est souhaitable de considérer ces deux dipôles en regard en définissant une tension commune $\;u(t)\;$ et une intensité commune $\;i(t)$, choisir la convention générateur pour le générateur est alors bien venu, celle pour le récepteur étant alors la convention récepteur.

Définition du point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent

     On appelle « point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent » le couple $\;\left(I,\;U\right)\;$  de l'intensité du courant traversant le dipôle et de la tension entre ses bornes lorsqu'il est placé dans un circuit en régime permanent.

     Remarque : la définition du « point de fonctionnement »  d'un dipôle dans un circuit en régime permanent nécessite d'avoir précisé auparavant la convention adoptée pour le dipôle.

Définition de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle

     On appelle caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle, « le graphe représentant l'ensemble des points de fonctionnement du dipôle dans n'importe quel circuit en régime permanent » .

     Remarque : on peut passer d'« une convention récepteur à une convention générateur pour un dipôle » ,

• en conservant le sens $\;+\;$ du courant et en inversant le sens $\;+\;$ de tension, dans ces conditions les caractéristiques statiques « courant - tension » se déduisent l'une de l'autre par symétrie relativement à l'axe des tensions ou
• en conservant le sens $\;+\;$ de tension et en inversant le sens $\;+\;$ de courant, dans ces conditions les caractéristiques statiques « courant - tension » se déduisent l'une de l'autre par symétrie relativement à l'axe des intensités.

Classification des dipôles en régime permanent

     En « convention générateur » pour un générateur et « récepteur » pour un récepteur, on qualifie les dipôles suivant la caractéristique statique « courant - tension » obtenue :

• dipôle passif $\;{\big (}$le choix d'une convention récepteur est judicieux${\big )}$ : si $\;U=0\Rightarrow I=0\;$ ou encore si $\;I\neq 0\Rightarrow U\neq 0\;$ ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle passif passe par l'origine du repère ;
• dipôle actif $\;{\big (}$le choix d'une convention générateur est judicieux${\big )}$ : si $\;U=0\Rightarrow I\neq 0\;$ ou encore si $\;I=0\Rightarrow U\neq 0\;$ ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle actif ne passe pas par l'origine du repère ;
• dipôle symétrique : si le point de fonctionnement du dipôle « ne dépend pas du sens de son branchement »  ; exemple : une lampe à incandescence $\;{\big (}$non exhaustif car il y en a beaucoup d'autres${\big )}$ ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle symétrique est symétrique par rapport à l'origine $\;O\left(0\,,\,0\right)$ ;
• dipôle non symétrique : si le point de fonctionnement du dipôle « dépend du sens de son branchement » ; exemple : une diode à jonction $\;{\big (}$non exhaustif car il y en a beaucoup d'autres${\big )}$  ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle non symétrique n'est pas symétrique par rapport à l'origine $\;O\left(0\,,\,0\right)$, il faut donc la déterminer pour $\;I>0\;$ et pour $\;I<0\;$.

Dipôles linéaires au sens du régime permanent

Définition d'un dipôle linéaire (D.L.) au sens du régime permanent

     Un dipôle est dit « linéaire $\;{\big (}$au sens du régime permanent${\big )}\;$» si sa caractéristique statique « courant - tension » est une droite  ; il y a donc une relation affine entre l'intensité $\;I\;$ du courant traversant le dipôle et la tension $\;U\;$ entre ses bornes, que ce soit en convention récepteur ou générateur.

Dipôle passif linéaire (D.P.L.) au sens du régime permanent : conducteur ohmique

sauf avis contraire on choisit, pour un dipôle passif, une convention récepteur.

     Le dipôle étant passif et linéaire, sa caractéristique statique « courant - tension » est une droite passant par l'origine $\;O\left(0\,,\,0\right)\;$ et, dans la mesure où celle-ci est de pente finie non nulle, le dipôle est appelé « conducteur ohmique ».

Loi d'Ohm (en convention récepteur) et symbole

     La loi d'Ohm est l'équation de la caractéristique statique « courant - tension » du conducteur ohmique

$\;U=R\;I\;$ avec
$\;R>0\;$ résistance du conducteur ohmique exprimée en $\;\Omega \;$ , $\;I\;$ étant en $\;A\;$ et $\;U\;$ en $\;V$.

     Dans un circuit filiforme, un conducteur ohmique est représenté par un rectangle et on indique $\;R$ $\;{\big (}$ou sa valeur${\big )}\;$ à côté du rectangle.

Loi d'Ohm en convention générateur

     La loi d'Ohm en convention générateur s'écrit

$\;U=-R\;I\;$ avec
$\;R>0\;$ résistance du conducteur ohmique exprimée en $\;\Omega \;$, $\;I\;$ étant en $\;A\;$ et $\;U\;$ en $\;V$.

Dipôle actif linéaire (D.A.L.) au sens du régime permanent : source de tension (ou de courant)

sauf avis contraire on choisit, pour un dipôle actif, une convention générateur.

     Le dipôle étant actif et linéaire, sa caractéristique statique « courant - tension » est une droite ne passant pas par l'origine $\;O\left(0\,,\,0\right)$, décroissante , de pente $\;-r\;$ avec $\;r>0\;$ définissant la « résistance interne » de la source linéaire $\;{\big (}$au sens du régime permanent${\big )}\;$ ;

     l'intersection de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L. avec l'axe des tensions est notée $\;U_{0}\;$ et appelée « tension à vide » , son intersection avec l'axe des intensités est notée $\;I_{c.c.}\;$ et appelée « intensité de court-circuit » .

Loi d'Ohm généralisée (en convention générateur)

     La loi d'Ohm généralisée $\;{\big (}$en convention générateur${\big )}\;$ est l'équation de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L.  ;
          La loi d'Ohm généralisée $\;\color {transparent}{\big (}$en convention générateur$\color {transparent}{\big )}\;$ en choisissant sa représentation en mode électricien elle s'écrit

$\;U=U_{0}-r\;I\;$ si $\;r\;$ est finie  ;

     on en déduit l'intensité de court-circuit en imposant $\;U_{c.c.}=0\;$ soit $\;I_{c.c.}={\dfrac {U_{0}}{r}}\;$ ;

     il existe aussi des D.A.L. dont la caractéristique statique « courant - tension » est une « droite $\;\parallel \;$ à l'axe des tensions » correspondant à une résistance interne $\;r\;$ infinie,
          il existe aussi des D.A.L. dont la caractéristique statique « courant - tension » est une « droite $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe des tensions » la loi d'Ohm généralisée de ces D.A.L. s'écrit alors selon $\;I=cste\;\;\forall \;U\;$ ou
                il existe aussi des D.A.L. dont la caractéristique statique « courant - tension » est une « droite $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe des tensions » la loi d'Ohm généralisée de ces D.A.L. plus précisément $\;I=I_{c.c.}\;\;\forall \;U\;$.

Exemples

     Liste non exhaustive ci-dessous :

• Piles dont le fonctionnement est d'origine électrochimique utilisant le phénomène d'oxydo-réduction, leur résistance est en général petite mais non négligeable,
• accumulateurs également à fonctionnement d'origine électrochimique utilisant le phénomène d'oxydo-réduction, leur résistance interne étant par contre très faible, « ne jamais court-circuiter un accumulateur sous peine de destruction » ,
• alimentations stabilisées lesquelles sont des systèmes électroniques simulant un D.A.L. ,
• $\;\ldots \;$

Sources idéales

     Une source idéale est un D.A.L. à résistance interne nulle ou infinie.

Source de tension parfaite (ou idéale) et symbole

Source de tension parfaite branchée aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$

     Une source de tension parfaite est un D.A.L. à résistance interne nulle, l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » s'écrit donc

$\;U=U_{0}\;\;\forall \;I$ ;

     c'est alors le dipôle extérieur aux bornes duquel la source de tension parfaite est branchée qui fixe l'intensité du courant délivré par la source ainsi,

     sur l'exemple ci-contre l'intensité du courant délivré par la source imposant la tension $\;U_{0}\;$ est déterminée par loi d'Ohm appliquée au conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ soit

$\;I={\dfrac {U_{0}}{R}}\;$.

Source de courant parfaite (ou idéale) et symbole

Source de courant parfaite branchée aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$

     Une source de courant parfaite est un D.A.L. à résistance interne infinie, l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » s'écrit donc

$\;I=I_{c.c.}\;\;\forall \;U$ ;

     c'est alors le dipôle extérieur aux bornes duquel la source de courant parfaite est branchée qui fixe la tension aux bornes de la source ainsi,

     sur l'exemple ci-contre la tension aux bornes de la source délivrant un courant d'intensité $\;I_{c.c.}\;$ est déterminée par loi d'Ohm appliquée au conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ soit

$\;U=R\;I_{c.c.}$ .

Loi d'Ohm généralisée (en convention récepteur)

     La loi d'Ohm généralisée $\;{\big (}$en convention récepteur${\big )}\;$ s'écrit

$\;U=U_{0}+r\;I\;$ si $\;r\;$ est finie, elle est $\;\geqslant 0\;$.

Dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S.

Définition d'un dipôle linéaire au sens de l'A.R.Q.S.

     Un dipôle est linéaire au sens de l'A.R.Q.S. :

• s'il est « linéaire au sens du régime permanent » ou
• s'il y a un « lien d'équations différentielles linéaires à cœfficients constants réels entre la tension $\;u(t)\;$ entre ses bornes et l'intensité $\;i(t)\;$ du courant le traversant » .

     Exemples $\;{\big (}$liste non exhaustive ci-dessous${\big )}$ :

• tous les dipôles linéaires passifs et actifs du régime permanent pour lesquelles la tension entre leurs bornes est une relation affine de l'intensité du courant les traversant $\;u(t)=a\;i(t)+b\;$ ou l'intensité du courant les traversant une relation affine de la tension entre leurs bornes $\;i(t)=c\;u(t)+d\;$ ;
• un dipôle dont la tension entre ses bornes s'écrit $\;u(t)=a\;i(t)+b\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ avec $\;i(t)\;$ intensité du courant le traversant ou
  un dipôle dont l'intensité du courant le traversant s'écrit $\;i(t)=c\;u(t)+d\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ avec $\;u(t)\;$ tension aux bornes du dipôle ;
• un dipôle dont la tension entre ses bornes s'écrit $\;u(t)=a\;i(t)+b\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+c\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ avec $\;i(t)\;$ intensité du courant le traversant ou
  un dipôle dont l'intensité du courant le traversant s'écrit $\;i(t)=d\;u(t)+e\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+f\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)\;$ avec $\;u(t)\;$ tension aux bornes du dipôle ;
• $\;\ldots \;$.

1^er exemple : condensateur parfait (ou idéal)

Définition d'un condensateur parfait (ou idéal)

     Un condensateur parfait est un « ensemble de deux armatures conductrices séparées par un isolant parfait » .

Charge (instantanée) q(t) d'un condensateur parfait

Principe de la charge d'un condensateur parfait dans un circuit

     Quand un condensateur parfait est placé dans un circuit en série avec un interrupteur $\;K$, un générateur et un « conducteur ohmique »  $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, juste après la fermeture de $\;K$, la tension aux bornes du générateur se retrouve aux bornes du condensateur en série avec le conducteur ohmique ;

     le condensateur initialement déchargé le restant pendant une durée infiniment petite suivant la fermeture de $\;K$, la tension aux bornes du générateur se retrouve aux bornes du conducteur ohmique, ce qui n'est possible que s'il est traversé par un courant, ce passage de courant correspondant alors une accumulation de charges $\;+\;$ sur l'armature supérieure ;

     simultanément l'excès de charges $\;+\;$ sur l'armature supérieure crée un excès de charges $\;-\;$ sur l'armature inférieure car « le condensateur qui est initialement neutre doit rester neutre » , cet excès de charges $\;-\;$ correspondant à un départ de charges $\;+\;$ en direction du pôle $\;-\;$ du générateur ;

     l'« accumulation de charges opposées sur les armatures du condensateur »  s'arrêtera quand la d.d.p. simultanément créée aux bornes du condensateur sera égale à la tension aux bornes du générateur, la tension aux bornes du conducteur ohmique étant alors nulle en accord avec le fait que plus aucun courant ne circule dans le circuit ;

Choix usuel de convention de charge et de tension instantanées d'un condensateur parfait

     dans la phase de charge du condensateur, on observe donc l'apparition d'une charge $\;q(t)\;$ sur une des armatures ainsi que de la charge opposée $\;-q(t)\;$ sur l'autre armature et simultanément une tension $\;u(t)\;$ aux bornes du condensateur ;

     par définition on appelle « charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;q(t)\;$ du condensateur », la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension $\;u(t)$, l'autre armature ayant la charge $\;-q(t)\;$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$.

     Remarques : $\;q(t)\;$ n'est pas nécessairement positive mais le choix de cette définition entraîne que $\;q(t)\;$ est toujours de même signe que $\;u(t)$ ;

     Remarques : nous avons considéré la phase de charge du condensateur pendant laquelle ce dernier s'est comporté comme un récepteur ; quand le condensateur est chargé, on peut le débrancher du circuit précédent sans qu'il ne perde sa charge, la dissymétrie de charges des armatures correspond alors une réserve d'énergie stockée dans le condensateur , ceci lui conférant la possibilité de restituer cette énergie quand on le branche aux bornes d'un récepteur ;

     Remarques : dans le circuit ainsi constitué, le condensateur se comporte comme un générateur, le « courant circulant dans les fils de connexion en direction du récepteur provient de la disparition de la dissymétrie de charges des armatures »  c.-à-d. correspondant à une phase de décharge du condensateur.

Proportionnalité entre la charge (instantanée) q(t) d'un condensateur parfait et la tension (instantanée) u(t) entre ses bornes : définition de la capacité C d'un condensateur parfait

     Si, par exemple, on double la charge d'un condensateur, « le champ électrostatique créé dans l'isolant est également doublé » , de même pour « la tension aux bornes des deux armatures »  ;

     enfin si on affecte la charge du condensateur d'un facteur multiplicatif $\;n$, le champ électrostatique dans l'isolant et la tension aux bornes des armatures subissent le « même facteur multiplicatif »  ;

     on peut donc affirmer la proportionnalité entre la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;q(t)\;$ du condensateur et la tension $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;u(t)\;$ entre ses bornes, le facteur de proportionnalité étant « positif » dans la mesure où « la charge du condensateur est la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension » d'où

une 1^ère définition de la capacité $\;C\;$ du condensateur comme cœfficient de proportionnalité entre tension et charge selon
$\;q(t)=C\;u(t)\;\;{\text{avec }}C>0\;\;{\text{relation }}({\mathfrak {a}})$ et
une 2^ème définition de la capacité $\;C\;$ du condensateur comme « la charge du condensateur par unité de tension » car
de la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ on déduit $\;C={\dfrac {q(t)}{u(t)}}$ ;

     il faut être capable d'écrire la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ exprimant la charge en fonction de la tension mais aussi
     il faut être capable d'écrire la relation inverse exprimant la tension en fonction de la charge $\;u(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;\;{\text{avec }}C>0\;\;{\text{relation }}({\mathfrak {b}})$ ;

     unité de capacité : le « Farad » de symbole $\;F\;$ défini par $\;1\;F=1\;C\cdot V^{-1}\;$.

Symbole d'un condensateur parfait

Schéma d'un condensateur parfait avec une convention de charge

     Un condensateur parfait est représenté par « deux traits parallèles, espacés et transversaux, l'espace symbolisant l'isolant avec l'indication de la capacité à côté de l'espace » ; toujours indiquer, sur le schéma,

• la flèche tension avec, à côté, l'indication de la tension $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;u(t)$,
• la charge $\;q(t)\;$ sur l'armature vers laquelle pointe la flèche tension et aussi
• la flèche courant avec, à côté, l'indication de l'intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du courant $\;i(t)$,

     ci-contre choix de la convention récepteur qui s'identifie à la « convention de charge du condensateur » .

Lien entre l'intensité (instantanée) i(t) du courant traversant un condensateur parfait et sa charge (instantanée) q(t)

     Nous nous plaçons tout d'abord en convention récepteur $\;{\big (}$voir schéma ci-dessus${\big )}$ : considérons la phase de charge du condensateur à partir de l'instant $\;t\;$ pendant une durée élémentaire $\;dt\;$, l'existence d'une intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ de courant $\;i(t)\;$ dans le sens $\;+\;$ défini ci-dessus correspond à la circulation d'une charge de valeur élémentaire $\;dq=i(t)\;dt\;$ dans ce sens $\;+\;$ et par suite une augmentation de $\;i(t)\;dt\;$ de la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du condensateur que l'on peut écrire encore $\;i(t)\;dt=q(t+dt)-q(t)$ ;

     on en déduit, en divisant par $\;dt\;$ la relation liant l'intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du courant au taux horaire de variation de la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du condensateur soit $\;i(t)={\dfrac {q(t+dt)-q(t)}{dt}}\;$ ou, le 2^ème terme étant la dérivée temporelle de la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du condensateur,

en convention récepteur $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ ;

     en convention récepteur, le sens $\;+\;$ du courant arrive sur l'armature portant la charge $\;q(t)\;$ on parle de « convention de charge du condensateur »  car $\;i(t)>0\;$ correspond à une croissance de $\;q(t)$, sa dérivée étant positive.

Modification avec le choix de la convention générateur

Schéma d'un condensateur parfait avec une convention de décharge

     Le choix de la convention générateur peut être judicieux quand le condensateur est en phase de décharge à travers un récepteur $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ ;

     on remarque que la flèche courant, qui est dans le même sens que la flèche tension en convention générateur, s'éloigne de l'armature portant la charge $\;q(t)$, raison pour laquelle cette convention est encore appelée « convention de décharge du condensateur »

     le lien entre la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du condensateur $\;q(t)\;$ et l'intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du courant $\;i(t)\;$ qui le traverse est alors

en convention générateur $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ ;

     en convention générateur, le sens $\;+\;$ du courant part de l'armature portant la charge $\;q(t)\;$ on parle de « convention de décharge du condensateur » car $\;i(t)>0\;$ correspond à une décroissance de $\;q(t)$, sa dérivée étant négative.

Lien entre l'intensité (instantanée) i(t) du courant traversant un condensateur parfait et la tension (instantanée) u(t) à ses bornes

Ce lien est caractéristique du fonctionnement d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en A.R.Q.S..

• En « convention récepteur » $\;{\big (}$ou en « convention de charge du condensateur » ${\big )}\;$ on a $\;q(t)=C\;u(t)\;$ et $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ d'où, $\;C\;$ étant une constante,
  $\;i(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$,
• En « convention générateur » $\;{\big (}$ou en « convention de décharge du condensateur » ${\big )}\;$ on a $\;q(t)=C\;u(t)\;$ et $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ d'où, $\;C\;$ étant une constante,
  $\;i(t)=-C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ ;

     le lien en conventions récepteur ou générateur justifie la classification des condensateurs parfaits parmi les dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S..

2^ème exemple : bobine parfaite (ou idéale)

Notion d'auto-induction et loi de Lenz

Explication du retard à l'établissement d'un courant dans un circuit fermé contenant une bobine à l'aide de la loi de Lenz

Explication du retard à l'établissement d'un courant sur le diagramme horaire de l'intensité à l'aide du phénomène d'auto-induction

     On cherche à établir un courant permanent dans un conducteur ohmique avec un minimum de variation de courant et pour cela on met une bobine $\;{\big (}$que nous supposerons purement inductive ${\big )}\;$ en série avec le conducteur ohmique, la source de tension et l'interrupteur ;

     dans le « montage sans bobine » , on observe une brusque variation de l'intensité du courant lors de la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ pour finalement atteindre sa valeur de régime permanent $\;I={\dfrac {U_{0}}{R}}$, l'intensité de ce courant inducteur notée $\;i_{\text{inducteur}}(t)\;$ est représentée en bleu sur le diagramme horaire ci-dessous ;

     dans le « montage avec bobine », on remarque un retard à l'établissement du courant pour finalement atteindre la même valeur de régime permanent $\;I={\dfrac {U_{0}}{R}}\;$ après une durée plus grande, l'intensité de ce courant global notée $\;i_{\text{global}}(t)\;$ est représentée en saumon sur le diagramme horaire ci-contre ;

     on interprète ce fait à l'aide de la loi de Lenz  : lors de la fermeture de l'interrupteur, l'intensité du courant inducteur croissant très rapidement, il y a « création d'un courant induit dans la bobine s'opposant à la croissance de l'intensité du courant inducteur » , l'intensité du courant induit notée $\;i_{\text{induit}}(t)\;$ est obtenue point par point sur le diagramme horaire ci-contre, représentée par des flèches rouges et ce courant induit résulte du fait que la bobine se comporte comme un générateur lorsqu'elle est traversée par un courant d'intensité variant avec le temps ;

     En résumé, le phénomène d'« auto-induction » dans un circuit traversé par un courant d'intensité variant avec le temps est « la création d'un courant induit tendant à s'opposer à la variation de l'intensité », ce courant induit étant essentiellement créé dans les enroulements de fils du circuit appelés « bobines », celles-ci se comportant alors comme des générateurs créant le courant induit pendant la durée de variation du courant initial ;

     énoncé de la loi de Lenz : « toute variation d'intensité dans un circuit engendre un courant induit s'opposant à la variation de l'intensité initiale ».

     Remarque : on observe le même phénomène lors de l'ouverture de l'interrupteur $\;K$, l'« intensité du courant inducteur »  décroissant très rapidement, il y a « création d'un courant induit dans la bobine s'opposant à cette décroissance » , ceci ayant pour conséquence un retard à l'annulation du courant.

Définition d'une bobine parfaite (ou idéale)

     Une bobine parfaite est une bobine « non résistive » où se manifeste un phénomène d'auto-induction .

Lien entre la tension (instantanée) u(t) aux bornes d'une bobine parfaite et l'intensité (instantanée) i(t) du courant la traversant : définition de son auto-inductance (ou inductance propre) L

     Choisissant la convention récepteur pour la bobine parfaite étudiée, on constate que la tension $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;u(t)\;$ à ses bornes est proportionnelle à la dérivée temporelle de l'intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;i(t)\;$ du courant la traversant, le cœfficient de proportionnalité étant positif soit

$\;u(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en convention récepteur,
le cœfficient de proportionnalité $\;L>0\;$ étant l'« auto-inductance » $\;{\big (}$ou l'« inductance propre »${\big )}\;$ de la bobine ;

     unité de $\;L$ : le « Henry » de symbole $\;H$, $\;1\;H=1\;V\cdot s\cdot A^{-1}=1\;\Omega \cdot s$.

     Si on choisit la convention générateur pour la bobine parfaite étudiée, la relation entre tension $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;u(t)\;$ à ses bornes et intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;i(t)\;$ du courant la traversant devient

$\;u(t)=-L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en convention générateur .

     Ces liens, que ce soit en conventions récepteur ou générateur, justifient la classification des bobines parfaites parmi les dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S..

Symbole d'une bobine parfaite

Symbole d'une bobine parfaite d'auto-inductance $\;L\;$ et sa convention récepteur

     Le symbole d'une bobine parfaite est une suite d'« arches de pont » avec indication de la valeur de l'« auto-inductance » à côté des arches ;

     veillez à toujours indiquer, sur le schéma, la flèche courant et la flèche tension $\;{\big (}$de sens contraire à la flèche courant en convention récepteur ou de même sens que la flèche courant en convention générateur${\big )}$ ; ci-contre choix de la convention récepteur :

     Remarque : quand la bobine possède un « noyau de fer » dont l'intérêt est d'augmenter la valeur de l'inductance propre d'un facteur pouvant aller de $\;10\;$ à $\;1000\;$ suivant la nature du matériau $\;{\big (}$mais en contre-partie la constance de l'auto-inductance est nettement moins bonne${\big )}$, « on ajoute un trait au-dessus de l'arrondi des arches » .

Vérification de la loi de Lenz à partir du lien entre la tension (instantanée) u(t) aux bornes d'une bobine parfaite et l'intensité (instantanée) i(t) du courant la traversant

Explication du retard à l'établissement d'un courant dans un circuit «$\;R$ - $L\;$ série » par utilisation de la loi de Lenz

     Reprenons le circuit considéré au paragraphe d'introduction à la « notion d'auto-induction et loi de Lenz » plus haut dans ce chapitre pendant l'établissement du courant le traversant $\;{\big (}$schéma reproduit ci-contre${\big )}$ ;

     juste après la fermeture de l'interrupteur $\;K$, on a une croissance rapide de l'intensité $\;i(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ de valeur $\;{\big (}$positive${\big )}\;$ d'autant plus grande que la croissance de l'intensité est rapide et par suite une tension positive aux bornes de la bobine $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ également d'autant plus grande que la croissance de l'intensité est rapide, tension conférant à la bobine un rôle de générateur avec les pôles $\;+\;$ et $\;-\;$ respectivement sur les bornes supérieure et inférieure d'où la création d'un « courant induit dans le sens indiqué »  lequel, en s'ajoutant au courant inducteur, donne un courant global d'intensité « variant moins rapidement » que celle du courant inducteur, correspondant donc à un « ralentissement de la croissance de l'intensité » ;

     après établissement du courant permanent, on peut être amené à l'annuler en ouvrant l'interrupteur $\;K$, on observe alors un retard à l'annulation du courant par application de la loi de Lenz, montrons que ceci se justifie à partir du lien existant entre tension $\;u(t)\;$ aux bornes de la bobine et intensité $\;i(t)\;$ du courant la traversant :

     juste après l'ouverture de l'interrupteur $\;K$, on a une décroissance rapide de l'intensité $\;i(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ de valeur $\;{\big (}$négative${\big )}\;$ dont la valeur absolue est d'autant plus grande que la décroissance de l'intensité est rapide et par suite une tension négative aux bornes de la bobine $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ également de valeur absolue d'autant plus grande que la décroissance de l'intensité est rapide, tension conférant à la bobine un rôle de générateur avec les pôles $\;-\;$ et $\;+\;$ respectivement sur les bornes supérieure et inférieure d'où la création d'un « courant induit dans le sens + de mesure des intensités » lequel, en s'ajoutant au courant inducteur, donne un courant global d'intensité « variant moins rapidement » que celle du courant inducteur, correspondant donc à un « ralentissement de la décroissance de l'intensité ».

3^ème exemple : générateur de fonctions (ou G.B.F.)

A priori on choisit la convention générateur $\;-\;$ sauf indication contraire.

Extrémité d'un câble coaxial équipée d'un connecteur mâle B.N.C.

Adaptateur B.N.C. - banane permettant d'insérer la sortie d'un générateur dans un circuit à l'aide de deux fils de connexion

Connecteur B.N.C. en T permettant de dupliquer la sortie d'un générateur

     Les générateurs de fonctions $\;{\big (}$ou générateurs « basse fréquence » ${\big )}\;$ permettent de créer entre leurs bornes des tensions dépendant du temps de forme alternative sinusoïdale, triangulaire ou créneau « symétrique ou non »  :

• si le générateur de fonctions est en « sortie à vide » , ce dernier ne délivrant aucun courant, la tension entre ses bornes, notée $\;u_{0}(t)\;$, sera appelée $\;-\;$ tant que la notion de f.e.m. $\;{\big (}$force électromotrice${\big )}\;$ ne sera pas définie $\;{\big (}$voir le paragraphe « notion de f.e.m. d'une source non idéale de résistance interne finie en régime permanent, lien avec la tension à vide » plus bas dans ce chapitre${\big )}\;$ $\;-\;$ « tension à vide », c'est donc cette tension qui a la forme sinusoïdale, triangulaire ou créneau ; cette « tension à vide » peut être visualisée en reliant une des deux bornes d'entrée d'un oscilloscope à la borne de sortie notée « output » du générateur par l'intermédiaire d'un câble coaxial dont les deux extrémités sont équipées d'un connecteur mâle « B.N.C. » , voir ci-contre ;

• si le générateur de fonctions est en « sortie fermée » sur un dipôle ou une association de dipôles, il délivre un courant d'intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;i(t)\;$ et la tension $\;{\big (}$instantanée${\big )}$ $\;u(t)\;$ entre ses bornes diffère de la tension à vide $\;u_{0}(t)\;$ car il possède « une impédance interne » $\;{\big [}$pour les générateurs de fonctions utilisés en T.P. cette « impédance interne » de $\;50\;\Omega \;$ est indiquée sous la borne à baïonnettes de sortie du générateur, borne « output » $\;{\big [}$borne sur laquelle peut être branché le câble coaxial à connecteur mâle « B.N.C. » ci-dessus permettant de relier le générateur à une des deux bornes d'entrée d'un oscilloscope dans le but de visualiser sa tension à vide${\big ]}\;$ et sur laquelle est branché un adaptateur « BNC - banane » pour insérer le générateur dans un circuit à l'aide de deux fils $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ ;
     ce dipôle passif interne peut être purement résistif de résistance $\;r=50\;\Omega$, dans ce cas la tension aux bornes du générateur s'écrit $\;u(t)=u_{0}(t)-r\;i(t)\;$
     ce dipôle passif intou il peut être une association d'un conducteur ohmique, d'un condensateur parfait et d'une bobine parfaite comme, par exemple, un «$\;r,\;{\mathit {l}},\;c\;$ série » , la tension aux bornes du générateur s'écrit alors selon $\;u(t)=$ $u_{0}(t)-r\;i(t)-{\mathit {l}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-u_{c}(t)\;$ avec $\;u_{c}(t)\;$ telle que $\;i(t)=c\;{\dfrac {du_{c}}{dt}}(t)$.

     Remarque : sur la borne « output » à baïonnettes de sortie du générateur on peut mettre un connecteur BNC en T $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$ avec sa partie mâle s'adaptant sur la sortie du générateur et permettant de créer deux sorties BNC femelle montées en parallèles.

Retour sur les conducteurs ohmiques, notion de conductance, autre expression de la loi d'Ohm, ordre de grandeur des résistances, puissance dissipée par effet Joule

Rappel sur les conducteurs ohmiques

     Un conducteur ohmique est un dipôle passif, symétrique, linéaire au sens du régime permanent, caractérisé par sa résistance $\;R\;$ mesurée en $\;\Omega$, obéissant à la loi d'Ohm en convention récepteur $\;u(t)=R\;i(t)\;$ ou $\;u(t)=-R\;i(t)\;$ en convention générateur, représenté dans les circuits par « un rectangle avec indication de $\;R\;$ à son côté » et éventuellement une flèche inclinée en travers du rectangle si la résistance est réglable.

Notion de conductance et autre expression de la loi d'Ohm

     On définit la conductance $\;G\;$ d'un conducteur ohmique comme l'inverse de sa résistance $\;R\;$ soit

$\;G={\dfrac {1}{R}}$, la conductance $\;G\;$ s'exprimant en Siemens de symbole $\;S\;$ telle que $\;1\;S=1\;\Omega ^{-1}$ ;

     en convention récepteur, la loi d'Ohm peut se réécrire $\;i(t)=G\;u(t)\;$ et
     en convention générateur la loi d'Ohm peut se réécrire$\;i(t)=-G\;u(t)\;$.

Ordre de grandeur des résistances

     Les résistances sont d'ordres de grandeur différents suivant leur domaine d'utilisation « électronique », « domestique », « industrielle » ou des « phénomènes naturels » :

• domaine électronique : on utilise des résistances entre $\;1\;k\Omega \;$ et $\;1\;M\Omega$, rarement « au-dessous de $\;1\;k\Omega \;$» car, si tel était le cas, la puissance dissipée serait trop importante  ;
• domaine électrique domestique : les valeurs de résistances restent modérées de quelques $\;100\;\Omega \;$ à quelques $\;k\Omega$, par exemple une ampoule de $\;100\;W\;$ correspond à une résistance $\;{\big (}$moyenne${\big )}\;$ de $\;500\;\Omega \;$ ;
• domaine électrique industriel : les valeurs de résistances sont du même ordre de grandeur que celles du domaine domestique, ajoutons les valeurs de résistances
     pour un ampèremètre de «$\;0,1\;\Omega \;$ pour un calibre de $\;10\;A\;$» à «$\;1\;k\Omega \;$ pour un calibre de $\;1\;mA\;$» et
     pour un voltmètre de «$\;50\;k\Omega \;$ pour un calibre de $\;1\;V\;$» à «$\;5\;M\Omega \;$ pour un calibre de $\;100\;V\;$» ;
• domaine des phénomènes naturels : un « corps humain » a une résistance dépendant des zones traversées et du taux d'humidité de la peau en contact mais elle est au moins de $\;1\;k\Omega \;$ et peut aller jusqu'à $\;500\;k\Omega$ ;
     autre exemple l'« espace compris entre la base d'un nuage et le sol lors du passage d'un éclair » correspond à une résistance de $\;500\;k\Omega \;$.

Puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique

     La puissance instantanée électrique reçue par le conducteur ohmique s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(R,\,t)=u(t)\;i(t)\;$» en convention récepteur et le couple « tension - intensité » étant relié par la loi d'Ohm «$\;u(t)$ $=R\;i(t)\;$», on peut réécrire la puissance instantanée électrique reçue

en fonction de $\;i(t)\;$ seule selon $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(R,\,t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$

     ou, par utilisation de la loi d'Ohm écrite selon $\;i(t)=G\;u(t)\;$ et report dans la 1^ère expression de $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(R,\,t)$,

en fonction de $\;u(t)\;$ seule selon $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(R,\,t)=G\;\left[u(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ ;

     mais que devient cette puissance instantanée reçue sous forme électrique par le conducteur ohmique ?

     La puissance instantanée électrique reçue par le conducteur ohmique se transforme intégralement en puissance calorifique qu'il perçoit, en effet la force électrique motrice $\;q_{p}\;{\vec {E}}(M)\;$ agissant sur un porteur de charge mobile positionné en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est exactement compensée par la force de résistance à l'avancement $\;{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}\;$ qu'il subit de la part des ions du conducteur, c.-à-d. $\;{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}$ $=-q_{p}\;{\vec {E}}(M)\;$ et par principe des actions réciproques, le porteur exerce donc sur les ions du conducteur ohmique une force de « frottement » $\;{\vec {F}}_{{\text{ions}}\,\leftarrow \,q_{p}}\;$ opposée à celle que les ions exercent sur lui d'où finalement $\;{\vec {F}}_{{\text{ions}}\,\leftarrow \,q_{p}}=-{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}=q_{p}\;{\vec {E}}(M)$ ;
     c'est la puissance de cette force de « frottement » $\;{\vec {F}}_{{\text{ions}}\,\leftarrow \,q_{p}}\;$ ${\big (}$action des porteurs sur les ions${\big )}\;$ qui représente la puissance calorifique, car cette puissance engendrant de l'énergie cinétique d'agitation des ions $\;{\big [}$ceci est la 1^ère partie de la loi de Joule $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(R,\,t)\;{\stackrel {\rightarrow }{=}}\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,r}(R,\,t)\;$${\big ]}\;$ s'accompagne d'une augmentation de température du conducteur mais $\;\ldots$

     dès que la température du conducteur devient supérieure à celle de l'extérieur, les ions agités de la surface du conducteur communiquent une partie de leur énergie cinétique d'agitation « excédentaire » aux molécules d'air moins agitées d'où « une partie de la puissance calorifique reçue par le conducteur est rétrocédée à l'extérieur sous forme calorifique »  ;

     la température du conducteur continue de $\;\nearrow \;$ mais moins rapidement, ceci ayant pour conséquence une augmentation de l'écart entre les températures du conducteur et de l'air extérieur de l'environnement immédiat et par suite « une augmentation de la proportion d'énergie cinétique d'agitation excédentaire des ions de la surface du conducteur communiquée à l'extérieur » correspondant à « une croissance moins rapide de la température du conducteur » $\;\ldots$

     « la température du conducteur cesse de croître dès que toute la puissance calorifique reçue par le conducteur est rétrocédée à son environnement immédiat », ceci n'étant possible que « si l'écart de températures nécessaire entre le conducteur et son environnement immédiat est devenu suffisant »  $\;\ldots$ $\;{\big [}$ceci est la 2^ème partie de la loi de Joule $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,r}(R,\,t)\;{\stackrel {\rightarrow }{=}}\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,r}({\text{ext}},\,t)\;$${\big ]}$.

Début d’un théorème

Loi de Joule

     La puissance instantanée électrique reçue par un conducteur ohmique est intégralement transmise sous forme calorifique au conducteur soit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(R,\,t)\;{\stackrel {\rightarrow }{=}}\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,r}(R,\,t)\;$ ;      en régime stationnaire de température de ce dernier, cette puissance se retrouve cédée, sous forme calorifique à l'extérieur soit $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,r}(R,\,t)\;{\stackrel {\rightarrow }{=}}\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,r}({\text{ext}},\,t)\;$.

Fin du théorème

Retour sur les condensateurs parfaits, ordre de grandeur des capacités, énergie électrostatique stockée et sa continuité dans un circuit « réel », conséquences

Rappel sur les condensateurs parfaits

     Un condensateur parfait est un dipôle « isolant en régime permanent »  et « linéaire au sens de l'A.R.Q.S. » ;

     appelant « charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ du condensateur » la charge $\;q(t)\;$ de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension, la capacité $\;C\;$ du condensateur est définie selon $\;q(t)=C\;u(t)\;$ avec $\;C\;$ constante $\;>0$,

     en convention de charge du condensateur $\;{\big [}$c.-à-d. telle que le sens $\;+\;$ du courant dans le fil de connexion à l'armature portant la charge $\;q(t)\;$ pointe vers cette armature${\big ]}\;$ l'intensité $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ de son courant est liée à sa charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ par $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)$, ce choix correspondant à une convention récepteur pour le condensateur,

     le lien entre « intensité et tension $\;{\big (}$instantanées${\big )}\;$» est alors $\;i(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ en convention récepteur ;

     le symbole représentant un condensateur parfait est « un ensemble de deux traits transversaux $\;\parallel \;$ écartés d'une distance représentant l'isolant avec indication de $\;C\;$ à côté », et éventuellement une flèche inclinée en travers du symbole représentatif du condensateur si la capacité est réglable ;

     en convention de décharge du condensateur $\;{\big [}$c.-à-d. telle que le sens $\;+\;$ du courant dans le fil de connexion à l'armature portant la charge $\;q(t)\;$ part de cette armature${\big ]}\;$ $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)$, ce choix correspondant à une convention générateur pour le condensateur,

     le lien entre « intensité et tension $\;{\big (}$instantanées${\big )}\;$» est alors $\;i(t)=-C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ en convention générateur.

Ordre de grandeur des capacités

     Les capacités de condensateurs sont d'ordres de grandeur différents suivant leur nature ; on distingue :

• les condensateurs fixes :

Plusieurs types de condensateurs. De gauche à droite :
céramique multicouche, céramique disque, film polyester multicouche, céramique tubulaire, polystyrène, film polyester métallisé, électrolytique aluminium. Unité de mesure en centimètres.

     $\;\succ \;$ au papier de $\;500\;pF\;$ à $\;0,5\;\mu F\;$ de tension « nominale »  de $\;100\;$ à $\;1000\;V$, actuellement remplacés par des modèles à film plastique, de dimensions plus réduites $\;{\big (}$voir les 3^ème et 6^ème ci-contre à partir de la gauche${\big )}$,

     $\;\succ \;$ au film plastique de $\;10\;pF\;$ à $\;10\;\mu F\;$ pouvant travailler sous tension « nominale » de $\;20\;$ à $\;2000\;V$, largement employés car étant d'un coût réduit et présentant de bonnes caractéristiques électriques, $\;{\big (}$voir les 3^ème et 6^ème ci-contre à partir de la gauche${\big )}$,

     $\;\succ \;$ au mica de quelques $\;pF\;$ à quelques $\;100\;nF\;$ sous tension « nominale » allant de $\;300\;$ à $\;3000\;V$, particulièrement adaptés à des usages professionnels dans les circuits H.F. d'instruments de mesure,

     $\;\succ \;$ céramiques de capacités « variables suivant les dimensions »  de $\;1\;pF\;$ à $\;100\;nF\;$ sous tension « nominale » de $\;100\;$ à $\;3000\;V$, d'utilisation assez répandue dans les domaines où la variation de température n'a pas d'influence car les céramiques ont un cœfficient de dilatation non négligeables et par suite une capacité dépendant de sa température d'utilisation, $\;{\big (}$voir le 1^er, les 2^ème et 4^ème ci-dessus à partir de la gauche${\big )}$,

Condensateurs électrochimiques (électrolytiques aluminium).
$\;\succ \;$Le 1^er est de $\;1000\;\mu F\;$ pour une tension « nominale » de $\;35\;V\;$ (modèle axial),
$\;\succ \;$le 2^ème est de $\;10\;\mu F\;$ pour une tension « nominale » de $\;160\;V\;$ (modèle radial)

Condensateur ajustable à lames d'air

     $\;\succ \;$ électrolytiques  en aluminium, appartenant à la catégorie des condensateurs fixes enroulés, de $\;1\;\mu F\;$ à quelques $\;10\;mF\;$ sous tension « nominale » de $\;3\;$ à $\;500V$, présentant une capacité plus élevée que tous les autres types pour des dimensions et des tensions « nominales » égales, mais la principale différence est que ce sont des condensateurs « polarisés » , on doit donc leur imposer une tension polarisée ce qui nécessite $\;-\;$ pour être utilisé en alternatif $\;-\;$ la présence d'une composante continue assez nettement supérieure à la composante alternative, utilisés essentiellement dans le filtrage $\;{\big (}$voir le 7^ème ci-dessus à partir de la gauche et les deux ci-contre à gauche${\big )}$ ;

• les condensateurs variables : à une ou plusieurs sections à air ou diélectrique solide $\;{\big (}$la capacité étant proportionnelle à l'aire commune des armatures en regard, si on modifie celle-ci par rotation de l'une relativement à l'autre, on modifie la capacité $\;\ldots {\big )}$, de quelques $\;10\;pF\;$ à quelques $\;nF\;$, utilisés pratiquement uniquement dans le domaine radiophonique, $\;{\big (}$voir ci-contre à droite${\big )}$ ;

Supercondensateur de $\;400\;F\;$ à $\;800\;F\;$ sous tension « nominale » de $\;1,2\;V$

• les supercondensateurs : condensateurs de technique particulière permettant d'obtenir une « énergie volumique »  supérieure à celles obtenues dans les condensateurs électrochimiques classiques, utilisés « à la place de batterie d'accumulateurs »  ou dans des domaines de récupération d'énergie comme celle de l'énergie de freinage des autobus ; ce sont des condensateurs polarisés de capacité pouvant atteindre quelques $\;kF$ $\;{\big (}$voir ci-contre à droite${\big )}$.

Énergie électrostatique (instantanée) stockée dans un condensateur parfait

     Avec la convention récepteur pour le condensateur parfait, la puissance instantanée électrique qu'il reçoit s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(C,\,t)=$ $u(t)\;i(t)\;$ où $\;i(t)=$ $C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(C,\,t)=u(t)\;C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)={\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}\right]}{dt}}(t)\;$» établissant que la puissance instantanée électrique reçue par le condensateur parfait est la dérivée temporelle de $\;{\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u(t)\right]^{2}+cste$ ;

     considérant la charge du condensateur parfait entre un instant $\;t_{1}=0\;$ où ce dernier n'est pas chargé et un instant $\;t_{2}=t\;$ où il possède la charge $\;q(t)=C\;u(t)$, le travail électrique qu'il reçoit se calcule par $\;W_{e,\,r\;{\text{sur}}\;\left[0\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathcal {P}}_{e,\,r}(C,\,t')\;dt'=\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}\right]}{dt'}}(t')\;dt'\;$ dont l'intégration conduit à $\;W_{e,\,r\;{\text{sur}}\;\left[0\,;\,t\right]}=\left[{\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}(t')+cste\right]_{0}^{t}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}(t)$ ;

     mais à quoi sert le travail électrique que reçoit le condensateur parfait, lors de sa charge ?

     Ce travail moteur crée une dissymétrie de charges sur les armatures et par suite un champ électrique dans l'isolant qui se manifeste par une différence de potentiel entre les armatures mais aussi par le fait que les charges de l'armature $\;A\;$ dont la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ est $\;q(t)\;$ et que les charges de l'armature $\;B\;$ dont la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ est $\;-q(t)\;$ possèdent de l'énergie potentielle électrostatique ;

     en conclusion nous pouvons affirmer que le travail électrique reçu par le condensateur parfait lui sert à stocker de l'énergie potentielle $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ sous forme électrostatique notée $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ selon le bilan suivant $\;W_{e,\,r\;{\text{sur}}\;\left[0\,;\,t\right]}=\Delta _{\left[0\,;\,t\right]}{\mathcal {E}}_{C}\;$ d'où, par identification avec le résultat précédemment obtenu par calcul direct du travail électrique reçu $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}(t)+cste\;$ ou, en choisissant la

« référence de l'énergie électrostatique stockée par le condensateur parfait quand il est non chargé »
$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}(t)$ ;

     comme $\;u(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;$ on en déduit une autre expression de l'énergie électrostatique stockée par le condensateur parfait

$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {q^{2}(t)}{2\;C}}\;$ avec référence quand le condensateur parfait n'est pas chargé.

     Remarque : nous avons vu qu'une charge $\;q\;$ placée en $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ dans un potentiel électrique $\;V(M\;t)\;$ possède une énergie potentielle électrique $\;q\;V(M,\;t)$, pourquoi n'a-t-on pas le même résultat en ce qui concerne le condensateur parfait ?
     Remarque : En effet si on reliait l'armature $\;B\;$ dont la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ est $\;-q(t)\;$ à la masse on aurait $\;V(B,\;t)=0$, l'armature $\;A\;$ dont la charge $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ est $\;q(t)\;$ étant alors au potentiel $\;V(A,\;t)=u(t)$, on aurait une charge $\;q(t)\;$ au potentiel $\;u(t)\;$ et une charge $\;-q(t)\;$ au potentiel $\;0\;$ et si l'expression de l'énergie potentielle électrique d'une charge $\;q\;V(M,\;t)\;$ était applicable on s'attendrait à obtenir une énergie potentielle des systèmes de charges du condensateur parfait égale à $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;{\stackrel {?}{=}}\;q(t)\;u(t)\;$ soit encore $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;{\stackrel {?}{=}}\;C\;u^{2}(t)\;$ alors que nous trouvons la moitié, pourquoi cette différence ?
     Remarque : En fait, dans le cas du condensateur parfait, il s'agit de l'énergie potentielle des charges $\;q(t)\;$ et $\;-q(t)\;$ dans leur propre champ électrique, celui qu'elles créent $\;{\big [}$quand les charges$\;q(t)\;$ et $\;-q(t)\;$ disparaissent, le champ électrique qu'elles ont créé disparaît simultanément${\big ]}\;$ alors que $\;q\;V(M,\;t)\;$ est l'énergie potentielle de la charge $\;q\;$ dans un champ électrique extérieur existant indépendamment de la présence ou non de la charge $\;q$.

Notion de circuit « réel » et propriété de la puissance instantanée électrique fournie par les générateurs d'un circuit « réel »

     Un circuit sera dit « réel » s'il comprend des « parties résistives par rapport auxquelles la résistance des fils de connexion en série avec elles peut être négligée » .

     Propriété $\;{\big (}$admise${\big )}$ : la « puissance instantanée électrique fournie par un générateur dans un circuit "réel" ne peut jamais être infinie », en effet cette possibilité dans un circuit série à un instant $\;t_{0}\;$ correspondrait à une intensité de courant délivré à l'instant $\;t_{0}\;$ infinie , incompatible avec la présence de parties résistives lesquelles ont pour effet une limitation de l'intensité d'autant plus grande que les résistances le sont .

Continuité de l'énergie électrostatique (instantanée) stockée dans un condensateur parfait d'un circuit « réel » et conséquences

     Considérons un circuit série comprenant une source de tension parfaite, un interrupteur $\;K$, un conducteur ohmique et un condensateur parfait « initialement déchargé » , on ferme alors l'interrupteur $\;K\;$ à l'instant $\;t=0$ ;

     le circuit étant « réel » , la puissance instantanée électrique fournie par la source reste finie et on en déduit que « l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ varie continûment » quel que soit l'instant $\;t\;$ considéré ;

     nous le démontrons par l'absurde en supposant que $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ est discontinue à l'instant $\;t_{0}\;$ avec un saut de discontinuité $\;\Delta {\mathcal {E}}_{C}(t_{0})=$ ${\mathcal {E}}_{C}(t_{0}^{+})-{\mathcal {E}}_{C}(t_{0}^{-})$ $\neq 0\;$ et pour démontrer l'absurdité de cette proposition, considérons un intervalle de temps entourant cet instant $\;t_{0}\;$ soit $\;\left[t_{0}-\varepsilon \;;\;t_{0}+\varepsilon \right]\;$ sur lequel nous écrivons le bilan énergétique du condensateur parfait $\;W_{e,\,r\;{\text{sur }}\left[t_{0}-\varepsilon \;;\;t_{0}+\varepsilon \right]}(C)=$ ${\mathcal {E}}_{C}(t_{0}+\varepsilon )-{\mathcal {E}}_{C}(t_{0}-\varepsilon )\;$ ou, en divisant par la durée $\;2\;\varepsilon \;$ et en faisant tendre $\;\varepsilon \;$ vers $\;0\;$ pour obtenir à gauche la puissance instantanée électrique reçue par le condensateur parfait à l'instant $\;t_{0}$, on obtient $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,C}(t_{0})=$ $\lim \limits _{\varepsilon \,\rightarrow \,0}{\dfrac {\Delta {\mathcal {E}}_{C}(t_{0})}{2\;\varepsilon }}=\infty \;$ ce qui, étant impossible dans un circuit « réel » , démontre, par l'absurde, la continuité de l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait.

     Conséquences : l'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait étant toujours continue dans un circuit « réel » , il en est de même de la tension ${\big (}$instantanée${\big )}$ aux bornes du condensateur parfait $\;u(t)\;$ ainsi que de sa charge (instantanée) $\;q(t)\;$, mais nous n'avons aucun résultat sur l'intensité du courant chargeant ou déchargeant le condensateur parfait qui peut donc être discontinue avec saut fini de valeurs ;

     Conséquences : reprenant le circuit de charge du condensateur parfait précédemment introduit « source de tension, interrupteur $\;K$, conducteur ohmique et condensateur parfait $\;{\big (}$initialement déchargé ${\big )}$, en série », « quand nous fermons $\;K\;$ nous créons une variation très rapide de tension aux bornes de ce dernier »  que nous modélisons par une discontinuité de tension à l'instant $\;0\;$ aux bornes de $\;K$ ;

     Conséquences : compte tenu de la loi de maille, cette discontinuité de tension aux bornes de $\;K\;$ doit se retrouver « sous forme opposée » aux bornes d'un autre dipôle, ce n'est pas aux bornes de la source car la tension reste constante, ce n'est pas aux bornes du condensateur parfait car la tension doit être continue c'est donc aux bornes du conducteur ohmique et par suite on en déduit que l'intensité du courant chargeant le condensateur parfait est discontinue à l'instant $\;0\;$ de fermeture de l'interrupteur ${\big [}$intensité nulle pour $\;0^{-}\;$ et non nulle pour $\;0^{+}{\big ]}$.

Retour sur les bobines parfaites, ordre de grandeur des inductances propres, énergie électromagnétique stockée et sa continuité dans un circuit « réel », conséquences

Rappel sur les bobines parfaites

     Une bobine parfaite est un dipôle « court-circuit en régime permanent » et « linéaire au sens de l'A.R.Q.S. » ;

     le lien entre « intensité et tension $\;{\big (}$instantanées${\big )}\;$» est alors $\;u(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en convention récepteur, $\;L\;$ étant une constante $\;>0\;$ caractérisant la bobine, exprimée en $\;H\;$ et appelée « auto-inductance » ou « inductance propre » de la bobine ;

     le symbole représentant une bobine parfaite est « un ensemble de quatre arches de pont avec indication de $\;L\;$ à côté », et éventuellement une flèche inclinée en travers du symbole représentatif de la bobine si l'inductance propre est réglable ;

     le lien entre « intensité et tension $\;{\big (}$instantanées${\big )}\;$» est $\;u(t)=-L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en convention générateur.

Ordre de grandeur des inductances propres

     Les auto-inductances de bobines sont d'ordres de grandeur différents suivant « la présence ou l'absence d'un noyau ferromagnétique » et de ses propriétés géométriques $\;{\bigg [}$ en effet l'inductance propre est proportionnelle à l'aire $\;S\;$ d'une spire, au nombre total $\;N\;$ de spires et à la densité linéique $\;N_{\mathit {l}}=$ ${\dfrac {N}{\mathit {l}}}\;$ de spires, $\;{\mathit {l}}\;$ étant la longueur de la bobine${\bigg ]}$ ; on distingue :

• les bobines sans noyau ferromagnétique : leurs valeurs usuelles de $\;L\;$ sont de quelques $\;10\;mH\;$ à quelques $\;mH$,
• les bobines avec noyau ferromagnétique : leurs valeurs usuelles de $\;L\;$ peuvent atteindre quelques $\;H$, $\;{\big [}$bobine avec noyau de fer représentée symboliquement en « ajoutant un trait au-dessus de l'arrondi des arches » ${\big ]}$.
• les bobines à faible valeur d'inductance propre : elles peuvent être constituées d'« enroulements classiques » ou encore de « circuits intégrés » , leurs valeurs usuelles de $\;L\;$ sont de quelques $\;mH\;$ à quelques $\;\mu H$, elles sont utilisées pour des usages très spécifiques $\;\ldots$

Énergie électromagnétique (instantanée) stockée dans une bobine parfaite

     Avec la convention récepteur pour la bobine parfaite, la puissance instantanée électrique qu'elle reçoit s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(L,\,t)=u(t)\;i(t)\;$ où $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(L,\,t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;i(t)=$ ${\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}\right]}{dt}}(t)\;$» établissant que la puissance instantanée électrique reçue par la bobine parfaite est la dérivée temporelle de $\;{\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(t)\right]^{2}+cste$ ;

     considérant l'établissement du courant dans la bobine parfaite entre un instant $\;t_{1}=0\;$ où le courant ne circule pas et un instant $\;t_{2}=t\;$ où le courant dans la bobine parfaite a pour intensité $\;i(t)$, le travail électrique qu'elle reçoit se calcule par $\;W_{e,\,r\;{\text{sur}}\;\left[0\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathcal {P}}_{e,\,r}(L,\,t')\;dt'=$ $\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}\right]}{dt'}}(t')\;dt'\;$ dont l'intégration conduit à $\;W_{e,\,r\;{\text{sur}}\;\left[0\,;\,t\right]}=\left[{\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}(t')+cste\right]_{0}^{t}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}(t)$ ;

     mais à quoi sert le travail électrique que reçoit la bobine parfaite, lors l'établissement d'un courant la traversant ?

     Ce travail moteur établit un courant circulant dans la bobine et par suite un « champ magnétique »  à l'intérieur de la bobine qui se manifeste par une réserve d'énergie potentielle électromagnétique ;

     en conclusion nous pouvons affirmer que le travail électrique reçu par la bobine parfaite lui sert à stocker de l'énergie potentielle ${\big (}$instantanée${\big )}$ sous forme électromagnétique notée $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ selon le bilan suivant $\;W_{e,\,r\;{\text{sur}}\;\left[0\,;\,t\right]}=\Delta _{\left[0\,;\,t\right]}{\mathcal {E}}_{L}\;$ d'où, par identification avec le résultat précédemment obtenu par calcul direct du travail électrique reçu $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}(t)+cste\;$ ou, en choisissant la

« référence de l'énergie électromagnétique stockée par la bobine parfaite quand elle n'est traversée par aucun courant »
$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}(t)$.

Continuité de l'énergie électromagnétique (instantanée) stockée dans une bobine parfaite d'un circuit « réel » et conséquences

     Considérons un circuit série comprenant une source de tension parfaite, un interrupteur $\;K$, un conducteur ohmique et une bobine parfaite « initialement traversée par aucun courant » , on ferme alors l'interrupteur $\;K\;$ à l'instant $\;t=0$ ;

     le circuit étant « réel » , la puissance instantanée électrique fournie par la source reste finie et on en déduit que « l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ varie continûment » quel que soit l'instant $\;t\;$ considéré ;

     nous le démontrons par l'absurde en supposant que $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ est discontinue à l'instant $\;t_{0}\;$ avec un saut de discontinuité $\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}(t_{0})=$ ${\mathcal {E}}_{L}(t_{0}^{+})-{\mathcal {E}}_{L}(t_{0}^{-})$ $\neq 0\;$ et pour démontrer l'absurdité de cette proposition, considérons un intervalle de temps entourant cet instant $\;t_{0}\;$ soit $\;\left[t_{0}-\varepsilon \;;\;t_{0}+\varepsilon \right]\;$ sur lequel nous écrivons le bilan énergétique de la bobine parfaite $\;W_{e,\,r\;{\text{sur }}\left[t_{0}-\varepsilon \;;\;t_{0}+\varepsilon \right]}(L)=$ ${\mathcal {E}}_{L}(t_{0}+\varepsilon )-{\mathcal {E}}_{L}(t_{0}-\varepsilon )\;$ ou, en divisant par la durée $\;2\;\varepsilon \;$ et en faisant tendre $\;\varepsilon \;$ vers $\;0\;$ pour obtenir à gauche la puissance instantanée électrique reçue par la bobine parfaite à l'instant $\;t_{0}$, on obtient $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,L}(t_{0})=$ $\lim \limits _{\varepsilon \,\rightarrow \,0}{\dfrac {\Delta {\mathcal {E}}_{L}(t_{0})}{2\;\varepsilon }}=\infty \;$ dont l'impossibilité dans un circuit « réel » démontre, par l'absurde, la continuité de l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite.

     Conséquences : l'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite étant toujours continue dans un circuit « réel » , il en est de même de l'intensité ${\big (}$instantanée${\big )}$ du courant de la bobine parfaite $\;i(t)\;$, mais nous n'avons aucun résultat sur la tension aux bornes de la bobine parfaite qui peut donc être discontinue avec saut fini de valeurs ;

     Conséquences : reprenant le circuit d'établissement du courant dans la bobine parfaite précédemment introduite « source de tension, interrupteur $\;K$, conducteur ohmique et bobine parfaite $\;{\big (}$initialement traversé par aucun courant ${\big )}$, tous en série », « quand nous fermons $\;K\;$ nous créons une variation très rapide de tension aux bornes de ce dernier » que nous modélisons par une discontinuité de tension à l'instant $\;0\;$ aux bornes de $\;K$ ;

     Conséquences : compte tenu de la loi de maille, cette discontinuité de tension aux bornes de $\;K\;$ doit se retrouver « sous forme opposée » aux bornes d'un autre dipôle, ce n'est pas aux bornes de la source car la tension reste constante, ce n'est pas aux bornes du conducteur ohmique car l'intensité du courant devant être continue il en est de même de la tension aux bornes du conducteur ohmique, c'est donc aux bornes de la bobine parfaite et par suite on en déduit que la tension aux bornes de la bobine parfaite est discontinue à l'instant $\;0\;$ de fermeture de l'interrupteur ${\big [}$tension nulle pour $\;0^{-}\;$ et non nulle pour $\;0^{+}{\big ]}$.

Retour sur les sources idéales de tension ou de courant en régime permanent, cas particulier de l'alimentation stabilisée, expression de la puissance électrique fournie

Rappel sur les sources de tension parfaites

     Une source de tension parfaite est un D.A.L. à résistance interne nulle, dont l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » est $\;U=U_{0}\;\;\forall \;I\;$ en convention générateur , représentée dans un circuit par « l'ensemble cercle et trait “longitudinal”  avec flèche tension et indication de la tension à vide $\;U_{0}\;$ à côté » ;

     un accumulateur ayant toujours une résistance interne très faible peut être en 1^ère approximation considéré comme une source de tension parfaite.

     La puissance électrique instantanée fournie par la source de tension parfaite au reste du circuit étant $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U\;I=U_{0}\;I\;$ est proportionnelle à l'intensité $\;I\;$ du courant délivré ;

     si le reste du circuit est un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ le courant y circulant est $\;I={\dfrac {U_{0}}{R}}\;$ et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique étant $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U_{0}\;I$ $={\dfrac {U_{0}^{2}}{R}}\;$ est « d'autant plus grande que $\;R\;$ est petite ».

Rappel sur les sources de courant parfaites

     Une source de courant parfaite est un D.A.L. à résistance interne infinie, dont l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » est $\;I=I_{c.c.}\;\;\forall \;U\;$ en convention générateur , représentée dans un circuit par « l'ensemble cercle et trait “transversal” avec flèche courant sur le fil de départ et indication de l'intensité de court-circuit $\;I_{c.c.}\;$ à côté » ;

     essentiellement les sources de courant parfaites sont des dispositifs électroniques comme les alimentations stabilisées avec un fonctionnement en source de courant parfaite sous conditions $\;{\big [}$voir le paragraphe « notion d'alimentation stabilisée (A.S.) » plus loin dans ce chapitre${\big ]}$.

     La puissance électrique instantanée fournie par la source de courant parfaite au reste du circuit étant $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U\;I=U\;I_{c.c.}\;$ est proportionnelle à la tension commune $\;U\;$ aux bornes de la source et du reste du circuit ;

     si le reste du circuit est un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ la tension commune est $\;U=R\;I_{c.c.}\;$ et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique étant $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=$ $U\;I_{c.c.}=R\;I_{c.c.}^{2}\;$ est « d'autant plus grande que $\;R\;$ est grande ».

Notion d'alimentation stabilisée (A.S.)

Caractéristique statique courant - tension d'une alimentation stabilisée en convention générateur et ses fonctionnements si elle alimente un conducteur ohmique

     Une alimentation stabilisée $\;{\big (}$A.S.${\big )}\;$ est un dispositif électronique fonctionnant en sources de tension ou de courant parfaites suivant le reste du circuit aux bornes duquel elle est branchée, la tension à vide $\;U_{0}\;$ de la partie source idéale de tension est réglable et dans certaines A.S. l'intensité de court-circuit $\;{\big (}$usuellement notée $\;I_{0}\;$ au lieu de $\;I_{c.c.}\;$ pour une A.S. ${\big )}\;$ l'est aussi  ;

     ci-contre la caractéristique statique « courant - tension » d'une A.S. en convention générateur, le fonctionnement de l'A.S. étant conditionnel, il dépend du dipôle extérieur aux bornes duquel elle est branchée ; considérant un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ variable,

• pour les fortes valeurs de résistance $\;{\big (}$exemple $\;R_{1}\;$ en rouge${\big )}\;$ l'A.S. fonctionne en source de tension parfaite, $\;U=U_{0}\;$ et $\;I=I_{1}=$ ${\dfrac {U_{0}}{R_{1}}}<I_{0}$,
• pour les faibles valeurs de résistance $\;{\big (}$exemple $\;R_{2}\;$ en bleu${\big )}\;$ l'A.S. fonctionne en source de courant parfaite, $\;I=I_{0}\;$ et $\;U=U_{2}=$ $R_{2}\;I_{0}<U_{0}$ ;

     il existe donc une résistance critique $\;R_{c}={\dfrac {U_{0}}{I_{0}}}\;$ à partir de laquelle il y a changement de fonctionnement de l'A.S.  :
     $\;\succ \;$ si $\;R<R_{c}\;$ l'A.S. fonctionne en source de courant parfaite et
     $\;\succ \;$ si $\;R>R_{c}\;$ elle fonctionne en source de tension parfaite ;

     l'usage le plus fréquent d'une A.S. est son fonctionnement en source de tension parfaite, la tension imposée au reste du circuit demeure alors constante égale à $\;U_{0}\;$ avec une intensité inférieure à $\;I_{0}$, si la « résistance statique du reste du circuit »  venait à chuter entraînant une augmentation de l'intensité du courant le traversant, cette dernière doit rester inférieure à $\;I_{0}\;$ pour que l'A.S. fonctionne toujours en source idéale de tension et si ce n'est pas le cas le fonctionnement de l'A.S. bascule en source idéale de courant, l'intensité demeurant alors égale à $\;I_{0}\;$ et la tension chutant au-dessous de $\;U_{0}$ ; dans ces conditions d'utilisation $\;I_{0}\;$ joue le rôle d'intensité maximale tolérée pour avoir une tension constante.

     La puissance électrique instantanée fournie par l'A.S. au reste du circuit étant $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U\;I$, elle s'écrit,

• quand l'A.S. fonctionne en source de tension parfaite, $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U_{0}\;I\;$ et,
• quand elle fonctionne en source de courant parfaite, $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U\;I_{0}$ ;

     si le reste du circuit est un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et
     $\;\succ \;$ si $\;R>R_{c}$, l'A.S. fonctionnant en source de tension parfaite, l'intensité du courant délivré s'obtient par $\;I={\dfrac {U_{0}}{R}}<I_{0}\;$ et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U_{0}\;I={\dfrac {U_{0}^{2}}{R}}<U_{0}\;I_{0}\;$,
     $\;\succ \;$ si $\;R<R_{c}$, l'A.S. fonctionnant en source de courant parfaite, la tension commune aux bornes de l'A.S. et du conducteur ohmique s'obtient par $\;U=R\;I_{0}<U_{0}\;$ et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}=U\;I_{0}=R\;I_{0}^{2}<U_{0}\;I_{0}\;$.

Modélisation linéaire de Thévenin d'une source non idéale en régime permanent

Modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle (de résistance interne finie) en régime permanent

Modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent $\;{\big (}$convention générateur${\big )}\;$

     Une source réelle de résistance interne finie suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention générateur $\;U=$ $U_{0}-r\;I\;$ où $\;U_{0}\;$ est la tension à vide de la source et $\;r\;$ sa résistance interne ;

     cette tension étant la somme de deux tensions s'écrivant, en convention générateur, $\;U_{1}=U_{0}\;\;\forall \;I\;$ et $\;U_{2}=-r\;I$, on peut donc affirmer que « la source réelle de résistance interne finie » est équivalente à « une association série d'une source de tension parfaite de tension à vide $\;U_{0}\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r\;$», cette association équivalente définissant la modélisation de Thévenin de la source réelle, encore appelée « générateur de Thévenin équivalent », voir « modélisation ci-contre »  ;

     il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux tensions $\;{\big (}$en convention générateur${\big )}$, la 1^ère, celle du bas, $\;U_{0}\;$ et la 2^ème, celle du haut, $\;-r\;I\;$.

Bilan de puissance de la source réelle de résistance interne finie

     Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention générateur, on multiplie de part et d'autre par $\;I\;$ de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle »  dans le membre de gauche soit

$\;U\;I=U_{0}\;I-r\;I^{2}$,

     le 1^er terme du membre de droite $\;U_{0}\;I\;$ étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source et
     le 2^ème terme $\;-r\;I^{2}\;$ la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée $\;r\;I^{2}\;$ reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c.-à-d. encore dans la source réelle ;

     on peut réécrire le bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne finie de la façon suivante

$\;U_{0}\;I=U\;I+r\;I^{2}\;$

     c.-à-d. que « la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source » se retrouve en « puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur aux bornes duquel la source est branchée » et en « puissance calorifique dissipée dans la source réelle », cette dernière composante représentant une perte de puissance.

     Remarque : on peut définir le « rendement électrique de la source » par $\;\eta _{\text{source}}={\dfrac {{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source réelle}}}(t)}{{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source idéale}}}(t)}}={\dfrac {U\;I}{U_{0}\;I}}={\dfrac {U}{U_{0}}}\;$ s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, $\;\eta _{\text{source}}={\dfrac {U_{0}-r\;I}{U_{0}}}=$ $1-{\dfrac {r\;I}{U_{0}}}\;$.

Modélisation linéaire de Norton d'une source non idéale en régime permanent

Modélisation linéaire de Norton d'une source réelle (de résistance interne non nulle) en régime permanent

Modélisation linéaire de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle en régime permanent $\;{\big (}$convention générateur${\big )}\;$

     Une source réelle de résistance interne non nulle suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention générateur $\;I=$ $I_{c.c.}-g\;U\;$ où $\;I_{c.c.}\;$ est l'intensité de court-circuit de la source et $\;g\;$ sa conductance interne ;

     cette intensité étant la somme de deux intensités s'écrivant, en convention générateur, $\;I_{1}=I_{c.c.}\;\;\forall \;U\;$ et $\;I_{2}=$ $-g\;U$, on peut donc affirmer que « la source réelle de résistance interne non nulle » est équivalente à « une association parallèle d'une source de courant parfaite d'intensité de court-circuit $\;I_{c.c.}\;$ et d'un conducteur ohmique de conductance $\;g\;$» , cette association équivalente définissant la modélisation de Norton de la source réelle, encore appelée « générateur de Norton équivalent », voir « modélisation ci-contre »  ;

     il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux intensités $\;{\big (}$en convention générateur${\big )}$, la 1^ère, celle du gauche, $\;I_{c.c.}\;$ et la 2^ème, celle du droite, $\;-g\;U=$ $-{\dfrac {U}{r}}\;$ .

Représentation équivalente de Thévenin d'une source réelle (de résistance interne non nulle) en régime permanent connaissant sa représentation linéaire de Norton et vice versa

     On passe de la représentation linéaire de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle en régime permanent caractérisée par son intensité de court-circuit $\;I_{c.c.}\;$ et sa conductance interne $\;g\;$ en convention générateur
     On passe à sa représentation linéaire équivalente de Thévenin dans la même convention générateur par

$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}r={\dfrac {1}{g}}\\U_{0}=r\;I_{c.c.}={\dfrac {I_{c.c.}}{g}}\end{array}}\right\rbrace$ ;

     on passe de la représentation linéaire de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent caractérisée par sa tension à vide $\;U_{0}\;$ et sa résistance interne $\;r\;$ en convention générateur
      on passe à sa représentation linéaire équivalente de Norton dans la même convention générateur par

$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}g={\dfrac {1}{r}}\\I_{c.c.}=g\;U_{0}={\dfrac {U_{0}}{r}}\end{array}}\right\rbrace$.

Bilan de puissance de la source réelle de résistance interne non nulle

     Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention générateur sous la forme $\;I\;$ en fonction de $\;U$, on multiplie de part et d'autre par $\;U\;$ de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle » dans le membre de gauche soit

$\;I\;U=I_{c.c.}\;U-g\;U^{2}$,

     le 1^er terme du membre de droite $\;I_{c.c.}\;U\;$ étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source et
     le 2^ème terme $\;-g\;U^{2}\;$ la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée $\;g\;U^{2}={\dfrac {U^{2}}{r}}\;$ reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c.-à-d. encore dans la source réelle ;

     on peut réécrire le bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne non nulle de la façon suivante

$\;I_{c.c.}\;U=I\;U+g\;U^{2}=I\;U+{\dfrac {U^{2}}{r}}\;$

     c.-à-d. que « la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source » se retrouve en « puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur aux bornes duquel la source est branchée » et en « puissance calorifique dissipée dans la source réelle », cette dernière composante représentant une perte de puissance.

     Remarque : on peut définir le « rendement électrique de la source » par $\;\eta _{\text{source}}={\dfrac {{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source réelle}}}(t)}{{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source idéale}}}(t)}}={\dfrac {I\;U}{I_{c.c.}\;U}}={\dfrac {I}{I_{c.c.}}}\;$ s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, $\;\eta _{\text{source}}={\dfrac {I_{c.c.}-g\;U}{I{c.c.}}}$ $=1-{\dfrac {g\;U}{I_{c.c.}}}\;$.

Notion de « f.e.m. » d'une source non idéale de résistance interne finie en régime permanent, lien avec la « tension à vide »

Notion de « f.e.m. » (algébrisée) d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent

Forces sur les porteurs mobiles de charge $\;q_{p}>0\;$ à l'intérieur d'une source réelle de résistance interne finie non nulle

     La notion de « f.e.m. » est liée à celle de « champ électromoteur » de même que
           celle de « tension (ou d.d.p.) » est liée à celle de « champ électrique » ;

     considérons ci-contre l'intérieur d'une source réelle de résistance interne finie non nulle $\;{\big (}$par exemple une pile${\big )}\;$ et un porteur mobile de charge positive $\;q_{p}>0\;$ se déplaçant dans le sens du courant $\;{\big [}$c.-à-d. qu'il remonte les potentiels $\;-\;$ son mouvement contribue donc à la positivité de l'intensité $\;I\;$ du courant, la tension $\;U\;$ aux bornes de la source $\;{\big (}$avec choix d'une convention générateur${\big )}\;$ étant positive${\big ]}$ ; il est soumis, quand il occupe la position $\;M$, à

• une force motrice $\;q_{p}\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)$ $\;{\big (}$en rouge ci-contre${\big )}\;$ due à l'existence du champ électromoteur et
• deux forces résistives $\;{\big (}$toutes deux en bleu ci-contre${\big )}\;$ la force électrique $\;q_{p}\;{\vec {E}}(M)\;$ et la force de résistance à l'avancement $\;{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)\;$ due à l'interaction des ions sur le porteur ;

     ces forces sont liées selon $\;q_{p}\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)+q_{p}\;{\vec {E}}(M)+{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)={\vec {0}}\;$ dont on tire

$\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)=-{\vec {E}}(M)-{\dfrac {{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ ;

     on définit la « f.e.m. (algébrique) $\;e\;$ créée dans la pile » par la « circulation du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ le long d'une courbe $\;(\Gamma )$ $\;{\big (}$judicieusement choisie${\big )}\;$ de la borne $\;N\;$ vers la borne $\;P\;$» ; le sens d'intégration de la borne $\;N\;$ vers la borne $\;P\;$ définit le sens $\;+\;$ de f.e.m., ce dernier étant donc aussi le sens $\;+\;$ du courant soit finalement le lien suivant entre f.e.m. et champ électromoteur

$\;e=\displaystyle \int _{N{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ ,
avec le sens $\;+\;$ de f.e.m. toujours choisi dans le sens $\;+\;$ du courant .

Définition de la tension aux bornes d'une source réelle de résistance interne finie, lien entre « f.e.m. » et « tension à vide » en convention générateur

     Multiplions scalairement la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ par $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ et intégrons de $\;N\;$ vers $\;P\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ précédemment choisie de façon à définir, dans le membre de gauche, la f.e.m. algébrique $\;e$, on obtient alors

$\;e=\displaystyle \int _{N{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{N{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}-{\vec {E}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}+\displaystyle \int _{N{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}{\dfrac {-{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;\;({\mathfrak {b}})$.

Définition de la tension «  U = V_P - V_N » aux bornes d'une source réelle de résistance finie

     La tension $\;U=V_{P}-V_{N}\;$ aux bornes de la source réelle de résistance interne finie est liée au champ électrique existant en son intérieur par

$\;U=V_{P}-V_{N}=\displaystyle \int _{N{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}-{\vec {E}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}$,
l'intégration étant faite dans le sens $\;+\;$ de tension.

• Le 1^er terme de la somme de la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ est donc la tension $\;U=V_{P}-V_{N}\;$ aux bornes de la source réelle de résistance interne finie, tension qui est $\;>0\;$ ;
• le 2^ème terme de la somme de la relation $\;({\mathfrak {b}})$, à savoir $\;\displaystyle \int _{N{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}{\dfrac {-{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}$, n'existant que si la résistance interne de la source est $\;\neq 0\;$ d'une part et d'autre part si la source n'est pas en sortie ouverte $\;{\big (}$c.-à-d. si la source est traversée par un courant${\big )}$,
  le 2^ème terme de la somme de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}$, est aussi $\;>0\;$, avec une valeur d'autant plus grande que le courant passe difficilement c.-à-d. que la « résistance interne $\;r\;$ est grande », pour cette raison il est identifié au terme de « chute ohmique » aux bornes de la partie résistive de la source réelle $\;\displaystyle \int _{N{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}{\dfrac {-{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=$ $r\;I$ ;

     la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ se réécrit donc $\;e=U+r\;I\;$ ou $\;U=e-r\;I$, la tension à vide $\;U_{0}\;$ correspondant à la tension quand l'intensité du courant est nulle, nous en déduisons

$\;U_{0}=e\;$ en convention générateur.

Cas d'une source réelle de résistance interne finie fonctionnant en récepteur avec choix de la convention récepteur

     Par exemple on veut recharger un accumulateur, pour cela il faut qu'un courant entre par sa borne $\;+\;$ et sorte par sa borne $\;-$, ce qui doit provenir d'un générateur extérieur de tension à vide légèrement supérieure à celle de l'accumulateur, monté en « opposition avec lui » , l'accumulateur fonctionnant alors comme un récepteur $\;{\big (}$voir schéma ci-dessous avec le choix de la convention récepteur${\big )}$.

Forces sur les porteurs mobiles de charge $\;q_{p}>0\;$ à l'intérieur d'une source réelle de résistance interne finie non nulle fonctionnant en récepteur

     Considérons ci-contre l'intérieur d'un accumulateur possédant une résistance interne non nulle en phase de recharge et un porteur mobile de charge positive $\;q_{p}>0\;$ se déplaçant dans le sens du courant $\;{\big [}$c.-à-d. qu'il descend les potentiels, l'accumulateur fonctionnant en récepteur $\;-\;$ le mouvement du porteur mobile de charge positive contribuant à la positivité de l'intensité $\;I\;$ du courant, la tension $\;U\;$ aux bornes de l'accumulateur en phase de recharge $\;{\big (}$avec choix d'une convention récepteur${\big )}\;$ étant positive${\big ]}$ ; le porteur mobile de charge positive est soumis, quand il occupe la position $\;M$, à

• une force électrique motrice $\;q_{p}\;{\vec {E}}(M)$ $\;{\big (}$en rouge ci-contre${\big )}\;$ due à l'existence du champ électrique imposé par le générateur extérieur et
• deux forces résistives $\;{\big (}$en bleu ci-contre${\big )}\;$ d'une part la force due à l'existence du champ électromoteur $\;q_{p}\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ et d'autre part la force de résistance à l'avancement $\;{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)\;$ due à l'interaction des ions sur le porteur ;

     ces forces sont liées selon $\;q_{p}\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)+q_{p}\;{\vec {E}}(M)+{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)={\vec {0}}\;$ dont on tire

$\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)=-{\vec {E}}(M)-{\dfrac {{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ ;

     on définit la « f.e.m. ${\big (}$algébrique) $\;e\;$ dans l'accumulateur en phase de recharge » par la « circulation du champ électromoteur en son intérieur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ le long d'une courbe ${\big (}$judicieusement choisie) $\;(\Gamma )\;$ de la borne $\;P\;$ vers la borne $\;N\;$» ; le sens d'intégration de la borne $\;P\;$ vers la borne $\;N\;$ définit le sens $\;+\;$ de f.e.m., ce dernier étant donc aussi le sens $\;+\;$ du courant soit finalement le lien suivant entre f.e.m. et champ électromoteur

$\;e=\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}N}{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ ,
avec le sens$\;+\;$de f.e.m. toujours choisi dans le sens$\;+\;$du courant .

     Multiplions scalairement la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ par $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ et intégrons de $\;P\;$ vers $\;N\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ précédemment choisie de façon à définir, dans le membre de gauche, la f.e.m. algébrique $\;e$, on obtient alors

$\;e=\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}N}{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}N}-{\vec {E}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}+\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}N}{\dfrac {-{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;\;({\mathfrak {b}})$ ;

• le 1^er terme de la somme de la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ est l'opposé de la tension $\;U=V_{P}-V_{N}\;$ aux bornes de l'accumulateur de résistance interne finie, soit $\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}N}-{\vec {E}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=-U<0\;$ ;
• le 2^ème terme de la somme de la relation $\;({\mathfrak {b}})$, à savoir $\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}N}{\dfrac {-{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}$, n'existant que si la résistance interne de l'accumulateur est non nulle, est $\;>0\;$, avec une valeur d'autant plus grande que le courant passe difficilement c.-à-d. que la « résistance interne $\;r\;$ est grande », pour cette raison il est identifié au terme de « chute ohmique » aux bornes de la partie résistive de l'accumulateur soit $\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}N}{\dfrac {-{\vec {F}}_{q_{p}\,\leftarrow \,{\text{ions}}}(M)}{q_{p}}}\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=r\;I$ ;

     la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ se réécrit donc $\;e=-U+r\;I\;$ ou $\;U=r\;I-e$, la tension à vide $\;U_{0}\;$ correspondant à la tension quand l'intensité du courant est nulle, nous en déduisons

$\;U_{0}=-e\;$ en convention récepteur.

Retour sur la modélisation de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie avec introduction de la « f.e.m. » (algébrisée) en convention générateur ou récepteur

Modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent $\;{\big (}$convention générateur${\big )}\;$ avec introduction de sa f.e.m. algébrique

Retour sur la modélisation de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie avec introduction de la « f.e.m. » (algébrisée) en convention générateur

     Une source réelle de résistance interne finie suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention générateur $\;U=$ $e-r\;I\;$ où $\;e\;$ est la f.e.m. algébrique de la source et $\;r\;$ sa résistance interne ;

     cette tension étant la somme de deux tensions s'écrivant, en convention générateur, $\;U_{1}=e\;\;\forall \;I\;$ et $\;U_{2}=-r\;I$, on peut donc affirmer que « la source réelle de résistance interne finie » est équivalente à « une association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. algébrique $\;e\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r\;$», cette association équivalente définissant aussi la modélisation de Thévenin de la source réelle, également appelée « générateur de Thévenin équivalent », voir « modélisation ci-contre »  ;

     il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux tensions $\;{\big (}$en convention générateur${\big )}$, la 1^ère, celle du bas, $\;e\;$ et la 2^ème, celle du haut, $\;-r\;I\;$.

Modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent $\;{\big (}$convention récepteur${\big )}\;$ avec introduction de sa f.e.m. algébrique

Retour sur la modélisation de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie avec introduction de la « f.e.m. » (algébrisée) en convention récepteur

     Une source réelle de résistance interne finie suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention récepteur $\;U=$ $r\;I-e\;$ où $\;e\;$ est la f.e.m. algébrique de la source et $\;r\;$ sa résistance interne ;

     cette tension étant la somme de deux tensions s'écrivant, en convention récepteur, $\;U_{1}=-e\;\;\forall \;I\;$ et $\;U_{2}=r\;I$, on peut donc affirmer que « la source réelle de résistance interne finie » est équivalente à « une association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. algébrique $\;e\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r\;$», cette association équivalente définissant aussi la modélisation de Thévenin de la source réelle, également appelée « générateur de Thévenin équivalent », voir « modélisation ci-contre »  ;

     il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux tensions $\;{\big (}$en convention récepteur${\big )}$, la 1^ère, celle du bas, $\;-e\;$ et la 2^ème, celle du haut, $\;r\;I$.

Détermination du signe de la f.e.m. algébrisée d'une source réelle de résistance interne finie à partir de son sens + relativement à la polarité de la source

     Le sens$\;+\;$de f.e.m. étant toujours dans le sens$\;+\;$de courant, la règle de détermination du signe de la f.e.m. algébrique est la suivante :

• si le sens $\;+\;$ de f.e.m. sort par la borne $\;+\;$ de la source réelle, $\;e>0\;$ et
• si le sens $\;+\;$ de f.e.m. sort par la borne $\;-\;$ de la source réelle, $\;e<0$.

Retour sur le bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne finie

Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne finie fonctionnant en générateur

     Partant de la loi d'Ohm généralisée $\;U=e-r\;I\;$ en convention générateur , on multiplie de part et d'autre par $\;I\;$ de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle » dans le membre de gauche soit

$\;U\;I=e\;I-r\;I^{2}$,

     le 1^er terme du membre de droite $\;e\;I\;$ étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source et
     le 2^ème terme $\;-r\;I^{2}\;$ la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée $\;r\;I^{2}\;$ reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c.-à-d. encore dans la source réelle ;

     on peut réécrire le bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne finie de la façon suivante

$\;e\;I=U\;I+r\;I^{2}\;$

     c.-à-d. que « la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source » se retrouve en « puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur aux bornes duquel la source est branchée » et en « puissance calorifique dissipée dans la source réelle », cette dernière composante représentant une perte de puissance.

     Remarque : on peut définir le « rendement électrique de la source » par $\;\eta _{\text{source}}={\dfrac {{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source réelle}}}(t)}{{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source idéale}}}(t)}}={\dfrac {U\;I}{e\;I}}={\dfrac {U}{e}}\;$ s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, $\;\eta _{\text{source}}={\dfrac {e-r\;I}{e}}=$ $1-{\dfrac {r\;I}{e}}\;$.

Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne finie fonctionnant en récepteur

     Partant de la loi d'Ohm généralisée $\;U=r\;I-e\;$ en convention récepteur , on multiplie de part et d'autre par $\;I\;$ de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée reçue par la source réelle en recharge » dans le membre de gauche soit

$\;U\;I=-e\;I+r\;I^{2}$,

     le 1^er terme du membre de droite $\;-e\;I\;$ étant la puissance électrique instantanée reçue par la composante idéale de la source en situation de recharge et
     le 2^ème terme $\;r\;I^{2}\;$ la puissance électrique instantanée reçue par la composante résistive de la source, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c.-à-d. encore dans la source réelle ;

     en conclusion « la puissance électrique instantanée fournie par le générateur extérieur rechargeant la source réelle » se retrouve en « puissance instantanée électrique reçue par la composante idéale de la source aux bornes duquel le générateur extérieur est branché » et en « puissance calorifique dissipée dans la source réelle », cette dernière composante représentant une perte de puissance.

     Remarque : on peut définir le « rendement électrique du générateur extérieur rechargeant la source réelle $\;{\big (}$d'origine électrochimique${\big )}\;$» par $\;\eta _{\text{géné ext}}=$ ${\dfrac {{\mathcal {P}}_{e,\,r\,{\text{par source idéale}}}(t)}{{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par géné ext}}}(t)}}={\dfrac {-e\;I}{U\;I}}={\dfrac {-e}{U}}\;$ s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, $\;\eta _{\text{source}}={\dfrac {-e}{r\;I-e}}={\dfrac {1}{1+{\dfrac {r\;I}{-e}}}}\;$.

Notion de « f.e.m. d'auto-induction » dans une bobine parfaite en A.R.Q.S., loi de Faraday

     La notion de f.e.m. est généralisable en A.R.Q.S. ., la seule différence étant que la f.e.m. dépend alors du temps $\;t$, le sens$\;+\;$de f.e.m. est toujours dans le sens$\;+\;$du courant ;

     dans le cas d'une bobine parfaite nous avons vu que $\;u(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en convention récepteur, ceci correspondant au fait que la bobine se comporte comme un générateur créant un courant induit s'opposant à la variation du courant initial, nous pouvons donc définir la f.e.m. de ce « générateur équivalent »  que l'on appellera « f.e.m. auto-induite » notée $\;e_{\text{auto-induite}}(t)\;$ et liée à la tension $\;u(t)\;$ aux bornes de la bobine en convention récepteur par $\;e_{\text{auto-induite}}(t)=$ $-u(t)\;$ d'où l'expression de la « loi de Faraday »

$\;e_{\text{auto-induite}}(t)=-L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ où le signe $\;-\;$ s'interprète en loi de Lenz  :

• si $\;i(t)\;$ est $\;\nearrow$, la f.e.m. auto-induite dans la bobine est $\;<0$, elle crée un courant induit dont l'« intensité est de même signe que la f.e.m. »  donc $\;<0$, ce qui s'oppose bien à la $\;\nearrow \;$ de $\;i(t)$,
• si $\;i(t)\;$ est $\;\searrow$, la f.e.m. auto-induite dans la bobine est $\;>0$, elle crée un courant induit dont l'« intensité est de même signe que la f.e.m. » donc $\;>0$, ce qui s'oppose bien à la $\;\searrow \;$ de $\;i(t)$.

Notion de « c.e.m. » d'une source non idéale de résistance interne non nulle en régime permanent, lien avec le « courant de court-circuit »

Notion de « c.e.m. » (algébrisée) d'une source réelle de résistance interne non nulle en régime permanent

     De même que l'on définit la notion de f.e.m. associée au champ électromoteur d'une source réelle de résistance finie en identifiant cette f.e.m. à la tension à vide en convention générateur, on définit la notion de « c.e.m. » d'une source réelle de résistance non nulle en l'identifiant au courant de court-circuit en convention générateur  ;

     le sens$\;+\;$de c.e.m. étant choisi dans le sens$\;+\;$du courant, sa valeur algébrisée $\;\eta \;$ s'identifie à la valeur du courant de court-circuit $\;I_{c.c.}\;$ c.-à-d.

$\;\eta =I_{c.c.}\;$ en convention générateur ou récepteur.

Retour sur la modélisation de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec introduction du « c.e.m. » (algébrisée) en convention générateur ou récepteur

Modélisation de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec introduction du « c.e.m. » (algébrisée) en convention générateur

Modélisation linéaire de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec c.e.m. en régime permanent $\;{\big (}$convention générateur${\big )}\;$

     Pour actualiser la modélisation linéaire de Norton d'une source réelle du régime permanent de résistance interne non nulle en introduisant la notion de c.e.m. en convention générateur, il suffit de remplacer l'intensité de court-circuit $\;I_{c.c.}\;$ par le c.e.m. $\;\eta \;$ voir ci-contre :

     « la source réelle de résistance interne non nulle » est équivalente à « une association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta \;$ et d'un conducteur ohmique de conductance $\;g\;$» , cette association équivalente définissant la modélisation de Norton de la source réelle, encore appelée « générateur de Norton équivalent »  ;

     il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux intensités $\;{\big (}$en convention générateur${\big )}$, la 1^ère, celle du gauche, $\;\eta \;$ et la 2^ème, celle du droite, $\;-g\;U\;$ ou $\;-{\dfrac {U}{r}}\;$ d'où

$\;I=\eta -g\;U=\eta -{\dfrac {U}{r}}\;$ en convention générateur.

Modélisation de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec introduction du « c.e.m. » (algébrisée) en convention récepteur

Modélisation linéaire de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec c.e.m. en régime permanent $\;{\big (}$convention récepteur${\big )}\;$

     Pour représenter la modélisation linéaire de Norton d'une source réelle du régime permanent de résistance interne non nulle avec la notion d'intensité de court-circuit en convention récepteur il suffit de maintenir le sens $\;+\;$ de tension et d'inverser le sens $\;+\;$ de courant d'où, en inversant les signes devant $\;I$, $\;I_{c.c.}\;$ et conservant celui devant $\;U\;$ ou, en conservant les signes devant $\;I$, $\;I_{c.c.}\;$ et inversant celui devant $\;U$, la réécriture de la loi d'Ohm généralisée en convention récepteur $\;I=I_{c.c.}+g\;U\;$ ;

     cette intensité étant la somme de deux intensités s'écrivant, en convention récepteur, $\;I_{1}=I_{c.c.}\;\;\forall \;U\;$ et $\;I_{2}=g\;U$, on peut donc affirmer que « la source réelle de résistance interne non nulle » est équivalente à « une association parallèle d'une source de courant parfaite d'intensité de court-circuit $\;I_{c.c.}\;$ et d'un conducteur ohmique de conductance $\;g\;$» , cette association équivalente définissant la modélisation de Norton de la source réelle, encore appelée « générateur de Norton équivalent », voir « modélisation ci-contre avec intensité de court-circuit »  ;

     pour actualiser la modélisation linéaire de Norton d'une source réelle du régime permanent de résistance interne non nulle en introduisant la notion de c.e.m. en convention récepteur, il suffit de remplacer l'intensité de court-circuit $\;I_{c.c.}\;$ par le c.e.m. $\;\eta \;$ voir ci-contre :

     il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-dessus : somme de deux intensités $\;{\big (}$en convention récepteur${\big )}$, la 1^ère, celle du gauche, $\;\eta \;$ et la 2^ème, celle du droite, $\;g\;U\;$ ou $\;{\dfrac {U}{r}}\;$ d'où

$\;I=\eta +g\;U=\eta +{\dfrac {U}{r}}\;$ en convention récepteur.

Lien avec la modélisation de Thévenin dans le cas d'une source réelle de résistance interne finie non nulle

     Le sens $\;+\;$ de f.e.m. et le sens $\;+\;$ de c.e.m. étant tous deux dans le sens $\;+\;$ du courant, on a toujours

$\;\eta ={\dfrac {e}{r}}\Leftrightarrow e=r\;\eta \;$ en convention générateur ou récepteur ;

     le signe du c.e.m. est donc toujours celui de la f.e.m. aussi :

• si le sens $\;+\;$ du c.e.m. sort par la borne $\;+\;$ de la source réelle, $\;\eta \;$ est $\;>0\;$ et
• si le sens $\;+\;$ du c.e.m. sort par la borne $\;-\;$ de la source réelle, $\;\eta \;$ est $\;<0$.

Retour sur le bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne non nulle

Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne non nulle fonctionnant en générateur

     Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention générateur sous la forme $\;I\;$ en fonction de $\;U\;$ et du c.e.m., on multiplie de part et d'autre par $\;U\;$ de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle » dans le membre de gauche soit

$\;I\;U=\eta \;U-g\;U^{2}$,

     le 1^er terme du membre de droite $\;\eta \;U\;$ étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source et
     le 2^ème terme $\;-g\;U^{2}\;$ la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée $\;g\;U^{2}={\dfrac {U^{2}}{r}}\;$ reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c.-à-d. encore dans la source réelle ;

     on peut réécrire le bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne non nulle de la façon suivante

$\;\eta \;U=I\;U+g\;U^{2}=I\;U+{\dfrac {U^{2}}{r}}\;$

     c.-à-d. que « la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source » se retrouve en « puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur aux bornes duquel la source est branchée » et en « puissance calorifique dissipée dans la source réelle », cette dernière composante représentant une perte de puissance.

     Remarque : on peut définir le « rendement électrique de la source » par $\;\mathrm {rdt} _{\text{source}}={\dfrac {{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source réelle}}}(t)}{{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par source idéale}}}(t)}}={\dfrac {I\;U}{\eta \;U}}={\dfrac {I}{\eta }}\;$ s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, $\;\mathrm {rdt} _{\text{source}}={\dfrac {\eta -g\;U}{\eta }}$ $=1-{\dfrac {g\;U}{\eta }}\;$.

Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne non nulle fonctionnant en récepteur

     Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention récepteur sous la forme $\;I\;$ en fonction de $\;U\;$ et du c.e.m., on multiplie de part et d'autre par $\;U\;$ de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée reçue par la source réelle en recharge » dans le membre de gauche soit

$\;I\;U=\eta \;U+g\;U^{2}$,

     le 1^er terme du membre de droite $\;\eta \;U\;$ étant la puissance électrique instantanée reçue par la composante idéale de la source et
     le 2^ème terme $\;g\;U^{2}\;$ la puissance électrique instantanée reçue par la composante résistive de la source, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c.-à-d. encore dans la source réelle ;

     en conclusion « la puissance électrique instantanée fournie par le générateur extérieur rechargeant la source réelle » se retrouve en « puissance instantanée électrique reçue par la composante idéale de la source aux bornes duquel le générateur extérieur est branché » et en « puissance calorifique dissipée dans la source réelle », cette dernière composante représentant une perte de puissance.

     Remarque : on peut définir le « rendement électrique du générateur extérieur rechargeant la source réelle $\;{\big (}$d'origine électrochimique${\big )}\;$» par $\;\mathrm {rdt} _{\text{géné ext}}=$ ${\dfrac {{\mathcal {P}}_{e,\,r\,{\text{par source idéale}}}(t)}{{\mathcal {P}}_{e,\,f\,{\text{par géné ext}}}(t)}}={\dfrac {\eta \;U}{I\;U}}={\dfrac {\eta }{I}}\;$ s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, $\;\mathrm {rdt} _{\text{géné ext}}={\dfrac {\eta }{\eta +g\;U}}={\dfrac {1}{1+{\dfrac {g\;U}{\eta }}}}\;$.

Modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle en A.R.Q.S.

     Déjà évoqué au paragraphe « générateur de fonctions (ou G.B.F.) » de ce chapitre et que l'on peut redonner en termes de f.e.m. dépendant du temps $\;e(t)$ :

     un générateur de fonctions $\;{\big (}$ou générateur B.F.${\big )}\;$ a pour modélisation linéaire de Thévenin une association série d'une « source idéale de tension de f.e.m.$\;e(t)\;$»  et d'un « dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S. »  le plus souvent considéré comme purement résistif de valeur usuelle $\;50\;\Omega \;$.

Modélisation linéaire équivalente de Norton d'une source réelle en A.R.Q.S.

     Un générateur de fonctions $\;{\big (}$ou G.B.F.${\big )}\;$ a pour modélisation linéaire équivalente de Norton une association parallèle d'une « source idéale de courant de c.e.m.$\;\eta (t)\;$»  et d'un « dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S. » le plus souvent considéré comme purement résistif de valeur usuelle de résistance $\;r=$ $50\;\Omega \;$ ; si tel est le cas le c.e.m. s'obtient par $\;\eta (t)={\dfrac {e(t)}{r}}$.