Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites

Inversion locale, fonctions implicites
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Exercices no2
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Théorèmes utiles

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Différentiabilité
Exo suiv. :Recherches d'extrema
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Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites
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Exercice 1Modifier

  1. Montrer que l'application   est un C1-difféomorphisme de l'ouvert   sur le plan privé de la demi-droite  . Si  , donner les formules de passage entre les dérivées partielles de   et celles de  .
  2. Soit   le plan privé de l'origine, et  . Montrer que   est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de   mais n'est pas un difféomorphisme global.
  3. Soit   l'application de   dans   définie par  . Trouver un ouvert connexe maximal   tel que   soit un difféomorphisme de   sur  .
  4. Soit   l'application de   dans   définie par  . Montrer que   est de classe C1 et que   est inversible pour tout  , mais que   n'est pas un difféomorphisme de   sur  .

Exercice 2Modifier

Soit  .

  1. Justifier que   est de classe C1, calculer sa différentielle et voir que   est inversible pour tout  .
  2. Montrer que   est injective et en déduire que c'est un C1-difféomorphisme de   sur  . Justifier que   est un ouvert.
  3. Montrer que   (définie sur  ) est lipschitzienne (quelle que soit la norme choisie sur  ).
  4. En déduire que   est un difféomorphisme de   sur  .
  5. Soit  . Calculer  .

Généralisation : soit   différentiable. On suppose qu'il existe   tel que pour tout  

(*)  .
  1. Justifier que   est injective.
  2. Montrer que pour tous  ,   (on pourra prendre   dans (*) puis faire tendre   vers  ).
  3. Soit  . Montrer que  .
  4. En déduire que la fonction   admet un minimum global sur  . En calculant son gradient en ce point de minimum, montrer qu'il existe   tel que  .
  5. Conclure que   est surjective de   sur  .
  6. Application : soit   dérivable. On suppose qu'il existe   tel que  . On définit alors la fonction  . Montrer que   et en déduire que   (et donc   d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, si bien que d'après tout ce qui précède,   est bijective).

Exercice 3Modifier

Soient   et   la matrice unité dans  . En considérant  , montrer qu'il existe   tel que toute matrice   vérifiant   admette une racine carrée.

Exercice 4Modifier

  1. Montrer que si   et   sont voisins de  , on peut trouver   tels que   et  .
  2. Soit  , et soit   une suite convergeant vers  . Montrer que si   pour tout  , la suite   stationne.

Exercice 5Modifier

  1. Donner l'allure de la courbe d'équation   au voisinage des points   et  .
  2. Soit  . Montrer que   définit au voisinage de   une fonction implicite   de classe C, et donner le développement limité à l'ordre   de   en  .
  3. Soit  . Montrer que   définit au voisinage de   une fonction implicite   de classe C, et donner le développement limité à l'ordre   de   en  .
  4. Soit  . Montrer que   définit au voisinage de   une fonction implicite   de classe C, et donner le développement limité à l'ordre   de   en  .

Exercice 6Modifier

  1. Soient   un polynôme réel de degré   et   une racine simple de  .
    En considérant l'application  , montrer qu'il existe un voisinage   de   tel que tout polynôme   ait une unique racine   dans  , que cette racine soit simple, et que l'application   soit de classe C.
  2. Montrer que si   a   racines simples, il existe un voisinage   de   et   fonctions C   tels que pour tout  , les réels   soient distincts et soient des racines simples de  .
  3. Que se passe-t-il pour les racines multiples ?

Exercice 7Modifier

Soient   tels que  . Montrer que :

  1. l'application   est injective ;
  2. toute suite dans   dont l'image par   converge est elle-même convergente ;
  3. l'ensemble   est fermé et la bijection   est continue ;
  4.   est un difféomorphisme de   sur lui-même si et seulement si   ;
  5. si   alors   est un homéomorphisme de   sur lui-même .

Exercice 8Modifier

Soit   définie par

 .

Soit   tel que

 .

Montrez que dans un voisinage de  , la relation   définit une courbe image d'un intervalle   contenant   par une application   de classe C.

Exercice 9Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Folium de Descartes ».
  1. Soient   définie par   et   l'ensemble des   tels que  .
    1. Au voisinage de quels points la relation   détermine-t-elle   en fonction de   ?   en fonction de   ?
    2. Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu'elle existe et écrire l'équation de la tangente à  .
  2. Montrer que l'équation   définit au voisinage de   une fonction implicite   de   dont on calculera le développement limité à l'ordre   en  .
  3. Montrer que les équations   définissent au voisinage de   deux fonctions implicites   avec  , dont on calculera les différentielles en ce point.

Exercice 10Modifier

On considère l'application   définie par  . Montrer à l'aide du théorème des fonctions implicites que l'application   est différentiable et retrouver sa différentielle.

Exercice 11Modifier

Soit l'application  .

  1. Démontrer que la relation   définit au voisinage du point   une application implicite