Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites
Exercice 1
modifier- Montrer que l'application est un C1-difféomorphisme de l'ouvert sur le plan privé de la demi-droite . Si , donner les formules de passage entre les dérivées partielles de et celles de .
- Soit le plan privé de l'origine, et . Montrer que est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de mais n'est pas un difféomorphisme global.
- Soit l'application de dans définie par . Trouver un ouvert connexe maximal tel que soit un difféomorphisme de sur .
- Soit l'application de dans définie par . Montrer que est de classe C1 et que est inversible pour tout , mais que n'est pas un difféomorphisme de sur .
- L'application est de classe C∞ car ses coordonnées le sont. Pour montrer que c'est un difféormorphisme global, il suffit de montrer que c'est un difféo local (théorème d'inversion locale) et qu'elle est bijective. Calculons sa matrice jacobienne : .
Le jacobien de est si . L'application est donc bien un difféomorphisme local au voisinage de chaque point de . La bijectivité se vérifie en explicitant par exemple la réciproque de (si l'on cherche d'image par , on pourra considérer les données et ...). - est inversible pour tout , mais n'est pas injective (c'est l'application complexe ).
- appartient à l'image de si et seulement si , et ses deux antécédents (éventuellement confondus) sont et , où et sont les deux solutions de . réalise donc une bijection de sur et est un ouvert maximal pour cette propriété. De plus, est connexe, est C∞ sur , et .
- est C∞ car ses deux composantes (de dans ) le sont, comme produits de composées d'une projection de dans et d'une fonction C∞ de dans .
.
On peut remarquer que vue de dans , est l'application exponentielle.
Elle ne devient injective que si on la restreint, par exemple, à .
Exercice 2
modifierSoit .
- Justifier que est de classe C1, calculer sa différentielle et voir que est inversible pour tout .
- Montrer que est injective et en déduire que c'est un C1-difféomorphisme de sur . Justifier que est un ouvert.
- Montrer que (définie sur ) est lipschitzienne (quelle que soit la norme choisie sur ).
- En déduire que est un difféomorphisme de sur .
- Soit . Calculer .
- a ses deux composantes de classe C1 ; elle l'est donc aussi. .
donc est inversible. - Supposons . Alors, et .
D'où et .
Or, (d'après l'inégalité des accroissements finis). Donc et d'où , si bien que et .
Par conséquent, est injective, donc (d'après la question précédente et le théorème d'inversion locale) c'est un C1-difféomorphisme de sur et est ouvert (comme réunion d'ouverts). - Soient avec et ou encore et .
En choisissant par exemple comme norme sur : , on a
.
Or , , et .
Par conséquent, et . D'où
d'où . Donc est lipschitzienne.
Remarque : cette première méthode pour prouver que est lipschitzienne redémontre de plus — en prenant le cas particulier — que est injective.
Seconde méthode :
car
.
Donc d'après l'inégalité des accroissements finis, est lipschitzienne.
Remarque : il était inutile de choisir une norme sur , induisant une norme subordonnée particulière sur . Puisque toutes les normes sur sont équivalentes, il suffisait, pour affirmer que est bornée, de remarquer que les quatre coefficients de la fonction matricielle sont des fonctions bornées (de dans ). - Il reste à montrer que l'ensemble (ouvert non vide) est égal à . Par connexité de , il suffit pour cela de montrer que cet ensemble est fermé.
Soit une suite dans , convergeant vers un élément de . Puisque est de Cauchy et que est lipschitzienne, la suite est de Cauchy. Elle converge donc vers un élément de , et donc . - . Par conséquent, .
Généralisation : soit différentiable. On suppose qu'il existe tel que pour tout
- (*) .
- Justifier que est injective.
- Montrer que pour tous , (on pourra prendre dans (*) puis faire tendre vers ).
- Soit . Montrer que .
- En déduire que la fonction admet un minimum global sur . En calculant son gradient en ce point de minimum, montrer qu'il existe tel que .
- Conclure que est surjective de sur .
- Application : soit dérivable. On suppose qu'il existe tel que . On définit alors la fonction . Montrer que et en déduire que (et donc d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, si bien que d'après tout ce qui précède, est bijective).
- est injective car si alors donc .
- En suivant l'indication, on obtient : . Après division par (pour ), on en déduit, par passage à la limite quand : .
- , donc .
- La fonction (continue) admet donc (au moins) un point de minimum global (d'après l'exercice « Extrema d'une fonction continue » de la leçon sur les espaces vectoriels normés). En un tel point , son gradient est nul. Or (pour tout point et tout vecteur ) . La nullité du vecteur se traduit donc par : est orthogonal à pour tout vecteur . Mais d'après la question 2, pour tout , l'application linéaire est injective donc surjective. Par conséquent, le vecteur est orthogonal à tout entier, donc ce vecteur est nul, c'est-à-dire : .
- Pour tout , il existe tel que . Donc est surjective de sur .
- résulte immédiatement de la majoration de et de l'inégalité des accroissements finis.
Exercice 3
modifierSoient et la matrice unité dans . En considérant , montrer qu'il existe tel que toute matrice vérifiant admette une racine carrée.
est C1, et est inversible (c'est l'homothétie de rapport ). On peut donc appliquer le théorème d'inversion locale.
Exercice 4
modifier- Montrer que si et sont voisins de , on peut trouver tels que et .
- Soit , et soit une suite convergeant vers . Montrer que si pour tout , la suite stationne.
- Considérons l'application (qui est C∞). On a et (inversible). On peut donc appliquer le théorème d'inversion locale.
- Si alors et donc donc si alors et .
Ou en utilisant le théorème d'inversion locale : et est inversible donc tout point voisin de — en particulier le point lui-même — est, à proximité de , le seul antécédent de .
Exercice 5
modifier- Donner l'allure de la courbe d'équation au voisinage des points et .
- Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C∞, et donner le développement limité à l'ordre de en .
- Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C∞, et donner le développement limité à l'ordre de en .
- Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C∞, et donner le développement limité à l'ordre de en .
- Soit .
- et .
- Les deux points sont réguliers :
- et .
- ,
- donc . La tangente a pour pente et la courbe est en dessous.
- et .
- , ,
- donc . La tangente est verticale et la courbe est à gauche.
- est de classe C∞ et .
- et , d'où l'existence et la régularité de .
- Soit son développement limité à l'ordre en .
- donc , et .
- est de classe C∞ et .
- et , d'où l'existence et la régularité de .
- Soit son développement limité à l'ordre en .
- donc , et .
- est de classe C∞ et .
- et , d'où l'existence et la régularité de .
- Soit son développement limité à l'ordre en .
- donc , , , et .
Exercice 6
modifier- Soient un polynôme réel de degré et une racine simple de .
En considérant l'application , montrer qu'il existe un voisinage de tel que tout polynôme ait une unique racine dans , que cette racine soit simple, et que l'application soit de classe C∞. - Montrer que si a racines simples, il existe un voisinage de et fonctions C∞ tels que pour tout , les réels soient distincts et soient des racines simples de .
- Que se passe-t-il pour les racines multiples ?
- est identifié à , muni de sa topologie usuelle.
donc sur l'ouvert des couples pour lesquels — ouvert auquel le couple appartient — on peut appliquer le théorème des fonctions implicites à la fonction proposée (qui est C∞ car polynomiale). - On considère la fonction .
(matrice diagonale) donc sur l'ouvert des pour lesquels sont distincts et les sont non nuls, on peut appliquer le théorème des fonctions implicites. - Une racine mutiple de peut, pour voisin de , se transformer en plusieurs racines simples voisines de , ou s'évanouir (exemple : ).
Exercice 7
modifierSoient tels que . Montrer que :
- l'application est injective ;
- toute suite dans dont l'image par converge est elle-même convergente ;
- l'ensemble est fermé et la bijection est continue ;
- est un difféomorphisme de sur lui-même si et seulement si ;
- si alors est un homéomorphisme de sur lui-même .
- Supposons que . Alors, et de même, donc (en mettant ces deux inégalités bout à bout et en utilisant l'encadrement de ) , ce qui implique donc . On en déduit (ou on démontre de même) que .
- Soit . Supposons que . La suite est bornée car et . De plus, ses valeurs d'adhérence sont des antécédents de donc il n'y en a qu'une (par injectivité de ). Par conséquent, converge.
- Résulte immédiatement des deux questions précédentes.
- n'est nul pour aucun si et seulement si . Cette condition est donc nécessaire pour que soit un difféomorphisme de sur lui-même. Réciproquement, elle est suffisante car si ne s'annule pas alors est un ouvert de donc est tout entier (puisqu'il est aussi fermé et non vide) et est un difféomorphisme (car c'est un difféomorphisme local et une bijection).
- si , il reste à prouver que est encore surjective. Soit . Choisissons une suite convergeant vers et telle que . D'après la question précédente, il existe tel que . La suite étant bornée, elle admet une sous-suite convergente, dont la limite vérifie alors .
Exercice 8
modifierSoit définie par
- .
Soit tel que
- .
Montrez que dans un voisinage de , la relation définit une courbe image d'un intervalle contenant par une application de classe C∞.
et pour assez proche de (car ) donc (d'après le théorème des fonctions implicites) pour sur la courbe et suffisamment voisin de , est fonction de , par une fonction qui, comme , est de classe C∞.
Exercice 9
modifier- Soient définie par et l'ensemble des tels que .
- Au voisinage de quels points la relation détermine-t-elle en fonction de ? en fonction de ?
- Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu'elle existe et écrire l'équation de la tangente à .
- Montrer que l'équation définit au voisinage de une fonction implicite de dont on calculera le développement limité à l'ordre en .
- Montrer que les équations définissent au voisinage de deux fonctions implicites avec , dont on calculera les différentielles en ce point.
- est déterminé en fonction de lorsque , c'est-à-dire . De même, est déterminé en fonction de lorsque .
- Au voisinage d'un couple tel que , avec et la formule est analogue quand on échange les rôles de et . L'équation de la tangente à en tout point est donc , ou encore : .
- Remarques :
- Toute équation cubique se ramène (par translation de la variable) à la forme réduite , dont le nombre de racines réelles (si ) est donné par le signe du discriminant : trois distinctes si , une seule si , une double et une simple si mais , et une triple ( ) si . En appliquant cela à et donc , on trouve que si ou , il existe un unique tel que , tandis que si , il en existe trois (dont chacun est, sur ce domaine, une fonction C∞ de , d'après des formules explicites classiques). Ce résultat algébrique confirme le résultat analytique ci-dessus ( fonction implicite de au voisinage de si ) puisque lorsque , est nul si et seulement si ou .
- Au point , les deux demi-branches avec qui se rejoignent ont naturellement pour tangente commune l'axe donc (par symétrie) la tangente à la troisième branche est l'axe .
- Au point , les deux demi-branches avec qui se rejoignent ont de même pour tangente commune l'axe , ce qui correspond bien au calcul précédent pour et : comme ici , .
- , ce qui prouve l'existence de (de classe C∞). Soit son d.l. à l'ordre en .
donc .- Remarque : alternativement, le d.l. de la fonction implicite peut se déduire de la formule de Taylor (comme on aurait d'ailleurs pu le faire aussi dans l'exercice 5), en calculant de proche en proche les dérivées d'ordre de ,
- soit en dérivant fois pour exprimer la -ième dérivée de en fonction des précédentes et des dérivées partielles de :
- et (en notation abrégée) :
- ,
- ce qui donne ici :
- donc en (sachant que ) :
- ;
- soit en n'appliquant cette méthode que pour exprimer , puis en dérivant fois l'expression obtenue :
- ,
- ,
- ce qui donne ici :
- ,
- et l'on retrouve, en (sachant que et ) :
- .
- On retrouve ainsi le d.l. avec
- .
- est inversible lorsque , et si on a alors, au voisinage de , une fonction implicite telle que .
Sa différentielle est donnée par