Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité

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Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité
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Définition

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Soit  .


En effet, si   est une base de vecteurs propres, alors en notant   la valeur propre correspondant au vecteur propre   (les   ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de   dans la base   est :

 

Théorème de diagonalisation

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On suppose   de dimension   finie et l'on note   le nombre de valeurs propres de  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Interprétation matricielle

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Contre-exemple
Si   n'a qu'une valeur propre  , d'ordre n — en particulier, si A est triangulaire et si ses éléments diagonaux sont tous égaux à   — mais n’est pas diagonale, alors elle n’est même pas diagonalisable.
En effet, la seule matrice diagonale ayant   comme valeur propre d'ordre n est  , et  .
Début d’un théorème
Fin du théorème


Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) :

En effet, si   alors, en notant   une base de vecteurs propres pour  , la formule de changement de base donne :

  et donc   et  .

Méthode pratique de diagonalisation

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En pratique, si l’on cherche à diagonaliser  :

  • on calcule le polynôme caractéristique   (ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de   en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de   );
  • pour chaque valeur propre   , on détermine le sous-espace propre   (ou, si l’on préfère, on résout le système   ) et on obtient une base de   , c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre   ;
  • si le polynôme caractéristique est scindé, et que pour toutes les valeurs propres   ,   est égale à la multiplicité de   dans le polynôme caractéristique   , alors   est diagonalisable et on a   (les valeurs propres sont mises chacune   fois) et   est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice  . On a alors   .

Exemple :Soit  
 
Donc les valeurs propres sont :

  • 2 de multiplicité 2
  • -3 de multiplicité 1


Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de   : On cherche les   tels que :
 
 
Donc  
On procède de même pour   et on obtient :
 
On a bien :   et  , donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est :  , avec