Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Exercices no2
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chapitre du cours : Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Diagonalisation et sous-espaces stables
Exo suiv. :Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
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Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 2-1

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Référence pour la question 3 : Ralph Howard, « The Characteristic Polynomial of a Product », sur people.math.sc.edu, .

Soient  , où   est un anneau commutatif unitaire.

  1. Montrer que si   ou   est inversible alors   et   ont même polynôme caractéristique.
  2. Dans le cas particulier où   est le corps des réels ou des complexes, étendre ce résultat au cas où ni  , ni   n'est inversible.
  3. Étendre également ce résultat en supposant seulement que l'anneau   est un corps. Indication (cf. Matrice/Relations entre matrices) : si   alors   est équivalente à la matrice  .

Exercice 2-2

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Référence : Qiaochu Yuan, « ab, ba, and the spectrum », sur qchu.wordpress.com, , qui indique aussi d'autres méthodes.

Soit  . On se propose de démontrer que   et   ont même polynôme caractéristique, pour toutes matrices carrées   et   de taille   à coefficients dans un même anneau commutatif unitaire.

  1. Soient   l'anneau de polynômes à coefficients entiers en   indéterminées   et   les matrices dont les coefficients sont ces indéterminées. Montrer que dans  ,  .
  2. En déduire le théorème annoncé.

Exercice 2-3

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Généralisation du résultat de l'exercice précédent.
Référence : Keith Conrad, « Universal identities, I », p. 8 (à une coquille près).

Soient   un anneau commutatif unifère,   et  . On considère les matrices par blocs de   :

  et  .
  1. Calculer   et  .
  2. En déduire que  .

Exercice 2-4

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Soient   un anneau commutatif unifère et  . On considère le polynôme   :

 .
  1. Démontrer que   ;
  2. En déduire que si   alors  .

Exercice 2-5

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Soit   un endomorphisme d'un  -espace vectoriel  .

  1. On suppose que   annule les polynômes   et  . Montrer que  .
  2. On suppose que   annule les polynômes   et  . Montrer que  .
  3. On suppose que   annule les polynômes  ,   et  . Montrer que  .

Exercice 2-6

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Soient   et  .

On note   leur polynôme caractéristique,   leur spectre et   leur polynôme minimal.

  1. Montrer que   (donc  ).
  2. Démontrer que pour tout polynôme  ,  .
  3. Montrer que   divise   et que  .
  4. On suppose que la matrice   est diagonalisable.
    1. Montrer que  .
    2. Montrer que  , où   est le degré du polynôme  .
    3. En déduire que  , puis que  .
    4. Conclure que  .

Soient  . On suppose que   et   ont chacune une seule valeur propre. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice

 

soit diagonalisable.

Exercice 2-7

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Soient   un espace vectoriel et  . Soit   l'endomorphisme de   défini par  . Montrer que toute valeur propre de   est valeur propre de  .

Exercice 2-8

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Soient   un  -e.v. et   un endomorphisme de   de rang  . Montrer qu'il existe un unique scalaire   tel que le polynôme   annule  . Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur   pour que   soit diagonalisable.

Exercice 2-9

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Soient   défini par   et   un endomorphisme de   qui est non nilpotent et non inversible. On suppose que  .

    1. Justifier l'inclusion :  .
    2. Prouver l'égalité :  .
    1. Soit   le polynôme minimal de  . Montrer qu'il est déterminé de manière unique par les hypothèses et donner son expression.
    2. Déterminer le polynôme caractéristique de   ; l'endomorphisme   est-il trigonalisable ?
    3. Vérifier que   est valeur propre simple de   ; quelle est la dimension de   ?
  1. Déduire de ce qui précède les égalités :   et  . Montrer que   est le seul plan vectoriel de   stable par  .

Exercice 2-10

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Soient   un paramètre réel (lorsque   on notera  ), et   l'endomorphisme de   dont la matrice dans la base canonique   est

 .
    1. Montrer sans aucun calcul que 0 est valeur propre de  .
    2. Déterminer le sous-espace propre   associé à cette valeur propre 0. (Préciser, selon les valeurs de  , sa dimension, et en expliciter une base.)
    3. Pour  , calculer directement   et   et les comparer.
  1. Déterminer le sous-espace   formé des   tels que  . (Préciser, selon les valeurs de  , sa dimension, et en expliciter une base.)
    1. Calculer le polynôme caractéristique   de  .
    2. Préciser, selon les valeurs de  , le nombre des racines de   et leurs ordres de multiplicité.
  2. Trouver l'ensemble des valeurs de   pour lesquelles   est trigonalisable.
  3. Trouver l'ensemble des valeurs de   pour lesquelles   est diagonalisable.
  4. Déterminer, pour chaque valeur de  , le poynôme minimal   de  . Quel est l'ensemble des valeurs   pour lesquelles   ?

Exercice 2-11

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Soient   et   définie par

 .

Montrer que   et déterminer ses éléments propres.

Exercice 2-12

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Soit  . Exprimer le polynôme caractéristique de   en fonction de celui de  .

Exercice 2-13

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Soient   un espace vectoriel complexe de dimension   et   de spectres disjoints.

  1. Montrer que   est inversible (appliquer le lemme des noyaux à   et à  ).
  2. En déduire que pour   défini par  , on a  .
  3. Soient maintenant   ayant une valeur propre commune   et   matrices colonnes non nulles telles que   et  . Si  , calculer  . Conclusion ?

Liens externes

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