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Méthodes d'obtention des polynômes
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Chapitre no 1
Recherche : Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente
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Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Méthodes d'obtention des polynômes
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Écriture pertinente d'un multiple rationnel de π

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Un réel de la forme

  avec  

peut bien sûr toujours être mis sous la forme

  avec   et   premiers entre eux.

Par paresse d'esprit, on pourrait s'arrêter là.

Mais   peut aussi, pour tout rationnel non nul   fixé, s'écrire sous la forme

  avec   et   premiers entre eux

(  étant la fraction irréductible du rationnel  ) et l'on peut facilement passer, pour   fixés, de la forme d'un même   associée à   à celle associée à  .

Vu le rôle majeur des racines de l'unité :

la forme la plus naturelle est :

  •   avec   et   premiers entre eux pour l'étude de   ;
  •   avec   et   premiers entre eux pour l'étude de   et  .


En effet, Lehmer (1933) puis Ivan Niven (1956) utilisent la forme   pour les trois fonctions, mais notre choix donne une expression plus simple des degrés de   (Calcut, 2006) et   (voir infra).

Polynômes de Tchebychev et polynômes annulateurs

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La remarque simplissime mais fondamentale permettant de déterminer des polynômes annulateurs, voire même minimaux, des cosinus, sinus et tangente d'un tel nombre est :

  • si   alors   ;
  • si   alors  .

Il s'agit ensuite d'exprimer cette conclusion comme l'annulation, en  ,   ou  , d'un certain polynôme.

Les polynômes de Tchebychev (cf. Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11), caractérisés par

 ,

se calculent facilement par récurrence :

 ,   et  ,
 ,   et  

ou directement :

  et si  ,  ,
 .

Ils permettent dans un premier temps d'obtenir rapidement des polynômes annulateurs (mais non nécessairement minimaux) de  ,   et   pour   (de la forme ci-dessus) de cosinus et sinus non nuls :

  •   est racine de   (de degré  ) et même, si   est pair, de   (de degré  ) ;
  •   ;
  •   est racine du polynôme qui exprime   en fonction de   :
     
    (de degré   si   est impair et   si   est pair).

On peut souvent construire des polynômes annulateurs de degrés plus petits. Par exemple si   est impair,  , on a :

  • pour  , en posant   :
      ;
  • donc pour   :
      ;
  • et pour   :
     ,

ce qui fournit des polynômes annulateurs :

  • pour   : de degré   (au lieu de  ),
  • pour   : de degré   (au lieu de  ),
  • pour   : de degré   (identique, dans ce cas n impair, à celui mentionné précédemment),

qui sont même de degré minimum si   est premier : cf. sections suivantes et chapitre 3.

Polynôme minimal de cos(rπ)

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Plus généralement, les polynômes de Tchebychev, joints aux polynômes cyclotomiques, permettent même de calculer le polynôme minimal de ces nombres. Par exemple, puisque le n-ième polynôme cyclotomique   (de degré  , où   est l'indicatrice d'Euler) est irréductible, le polynôme minimal   des   nombres   pour k premier avec n et   s'en déduit par :

 .

Le membre de droite est une combinaison linéaire à coefficients entiers de termes de la forme  .

On a donc démontré :

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Conséquences pour sin(rπ)

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Les degrés et polynômes minimaux des   se déduisent de ceux des   :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Si   n'est pas divisible par 8 (c'est-à-dire si  ),   peut donc se calculer à partir de   (cf. remarque de la section précédente). Si   est divisible par 8 (c'est-à-dire si  ), le polynôme minimal est  .

Référence

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Ivan Niven, Irrational Numbers, Cambridge University Press, 1956 [lire en ligne], p. 37-40