Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques

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Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Chapitre no 1
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
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Chap. suiv. :Approximation diophantienne et fractions continues

Exercices :

Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Rappels d'arithmétique élémentaire

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Dans un anneau commutatif intègre   :

Autrement dit, dans  , pour le préordre de divisibilité (qui sur   est un ordre), pgcd = borne inf et ppcm = borne sup. Ils n'existent pas toujours, et même lorsqu'ils existent, on n'a pas toujours l'identité de Bézout. Pour plus de détails, voir l'exercice 1-1, ainsi que « Anneau à PGCD » et « Anneau de Bézout ».


Début d'un lemme
Fin du lemme

Gauss avait démontré le lemme d'Euclide directement (par descente infinie sur b pour a et p fixés), mais il se déduit immédiatement du lemme de Gauss, qui est vrai dans tout anneau (commutatif intègre) à PGCD.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Rappelons que ce théorème se démontre par récurrence (pour l'unicité, on utilise le lemme d'Euclide).


Début d’un théorème
Fin du théorème

Rappelons le principe de la preuve : pour tous nombres premiers   et tout facteur premier p de  , le nombre p est différent de  .


Début d’un théorème
Fin du théorème

Fonctions arithmétiques

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Multiplicativité

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Indicatrice d'Euler

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Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque :   n'est donc pas complètement multiplicative : par exemple,  .

  Faites ces exercices : Exercice 1-6.


On démontrera en exercice l'identité remarquable   (dans ce contexte, ce type de somme est toujours, implicitement, indexé par les diviseurs positifs   de  ).

Anneau de convolution

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Le théorème suivant sera démontré en exercice :

  Faites ces exercices : Exercice 1-5.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème
  La complète multiplicativité n'est pas préservée par  -produit ni  -inverse. Par exemple, la fonction « nombre de diviseurs »,  , et la fonction de Möbius ci-dessous, ne sont pas complètement multiplicatives.

Fonction de Möbius

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Début d’un théorème
Fin du théorème

Par définition de  , pour toutes fonctions arithmétiques   et  , on a l'équivalence  , autrement dit :


Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Remarque : cette équivalence reste vraie si   et   (définies sur  ) sont à valeurs dans n'importe quel groupe abélien au lieu de  .

Fonction zêta de Riemann et autres séries de Dirichlet

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La preuve du théorème des nombres premiers (voir infra) est issue de l'étude approfondie, à l'aide de méthodes d'analyse complexe, de la fonction zêta (introduite par Euler dès 1735 pour une variable réelle et étendue par Riemann dans son mémoire de 1859) :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Pour étudier sérieusement la théorie de ces fonctions (et de leur prolongement analytique) il faut s'attaquer à des questions de convergence plus fines que dans la théorie des fonctions holomorphes, ce que nous ne ferons pas ici. Nous nous satisferons de la propriété suivante, qui résulte simplement des propriétés du produit de Cauchy de deux séries :

(Noter que la simple convergence des deux séries à gauche n'implique pas celle de la série à droite.) Ceci ressemble au lien entre convolution et multiplication dans la transformation de Fourier.

Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique complètement multiplicative et périodique. Les deux plus simples sont   et   ; leurs séries de Dirichlet sont clairement la fonction constante   (sur  ) et la fonction  . Un autre exemple de caractère de Dirichlet est le symbole de Legendre, cf. chap. 4. Les séries associées aux caractères de Dirichlet interviennent dans la preuve du théorème de la progression arithmétique (voir infra).

Énoncés de quelques conjectures et théorèmes célèbres sur les nombres premiers

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  Faites ces exercices : Exercices 1-8 et 1-7.


Début d’un théorème
Fin du théorème


  Faites ces exercices : Exercice 1-9.


On verra en exercice que cet énoncé équivaut à  . Le « petit théorème des nombres premiers » (Tchebychev, 1850), qui dit seulement « est de l'ordre de » au lieu de « est équivalent », est bien plus élémentaire.

  • « Postulat » de Bertrand : le « petit théorème des nombres premiers » permet d'affirmer qu'il existe une constante   telle que   premier,  . En affinant un peu la preuve, Tchebychev trouve que   convient (c'est plus faible que la conjecture de Legendre ci-dessus), autrement dit :
 .
En fait, pour tout  ,   pour   assez grand, d'après le (« grand ») théorème des nombres premiers.
Début d’un théorème
Fin du théorème

Version quantitative de La Vallée Poussin (qui généralise le théorème des nombres premiers) :

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à   dans cette suite, si sa raison est  , est équivalent à  .
  • Théorème de Green-Tao (2004) : la suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues.
  • Formules polynomiales
    • Un nombre chanceux d'Euler est un entier   tel que   est un nombre premier pour  . Euler en a trouvé six :  . Il n'y en a pas d'autres (Kurt Heegner, 1952).
    • Il n'existe pas de polynôme (non constant) à coefficients entiers dont toutes les valeurs à partir d'un certain rang soient premières (on le montrera dans l'exercice 1-4).
    • Dixième problème de Hilbert : l'ensemble des équations diophantiennes résolubles est-il récursif, c'est-à-dire : existe-t-il un algorithme universel qui, quand on lui donne n, répond si la n-ième équation (pour une numérotation naturelle de toutes les équations) a des solutions ou pas ? Réponse : non et même pire :
Début d’un théorème
Fin du théorème

Une retombée surprenante du théorème de Matiassevitch est (puisque l'ensemble des nombres premiers est évidemment récursivement énumérable, et même récursif) qu'il existe un polynôme Q (de degré 25, à 26 variables) dont les valeurs strictement positives sont exactement les nombres premiers.

  1. 1,0 et 1,1 Ici, la « caractérisation » est seulement à association près, c'est-à-dire à produit près par un inversible (si  , on choisit le représentant appartenant à   ; si    est un corps, on choisit, pour tout polynôme non nul, le polynôme unitaire associé).
  2. On définit de façon analogue le PGCD d'une famille non vide  , et l'on dit que les   sont premiers entre eux dans leur ensemble si ce PGCD est 1.
  3. Donc  , et si  , on peut remplacer   par   et/ou   par  .
  4. Remarque : pour tout  ,   si et seulement si  , ce qui a lieu pour au plus un nombre premier  . En effet, si deux entiers   n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers, alors le quotient   est irrationnel (il est donc même transcendant, d'après le théorème de Gelfond-Schneider).
  5. Cet anneau est en fait isomorphe à l'anneau des séries formelles en les indéterminées   pour   premier : E. D. Cashwell et C. J. Everett, « The ring of number-theoretic functions », Pacific J. Math., vol. 9, no  4, 1959, p. 975-985 [texte intégral].