Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques

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Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques
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Chapitre no 23
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires
Chap. suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée
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Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On y traite aussi des associations de sources réelles de tension ou et de courant [1].


Résistance équivalente de l'association série de deux conducteurs ohmiques, généralisation à l'association série de plus de deux conducteurs ohmiques modifier

Association série de deux conducteurs ohmiques modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la « même intensité de courant » et
     Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des deux dipôles est égale à la somme des tensions et aux bornes de chaque dipôle, soit «» ;

     Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par loi d'Ohm [3] en convention récepteur « et » puis
     Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans soit «» ;

     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que est à » et
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit «»,
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité étant alors la résistance équivalente ».

     Cas particulier : « l'association série de deux conducteurs ohmiques de même résistance est un conducteur ohmique de résistance » [2].

Généralisation : association série de plus de deux conducteurs ohmiques modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la « même intensité de courant » et
     Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des n dipôles est égale à la somme des n tensions , , , , aux bornes de chaque dipôle, soit
     Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des n dipôles est «» ;

     Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par loi d'Ohm [3] en convention récepteur «, , , , » puis
     Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans soit «» ;

     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que est à » et
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit «»,
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité étant alors la résistance équivalente ».

     Cas particulier : « l'association série de n conducteurs ohmiques de résistances identiques est un conducteur ohmique de résistance ».

Conductance équivalente de l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente modifier

Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, conductance équivalente modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en sont soumis à la « même tension » et
     Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles est égale à la somme des intensités et des courants traversant chaque dipôle, soit
     Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles est «» ;

     Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2ème forme de la loi d'Ohm [3] en convention récepteur « et » puis
     Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans soit «» ;

     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que est à » et
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit «»,
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité étant alors la conductance équivalente ».

Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : nous savons déjà que l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques est un conducteur ohmique de conductance équivalente égale à la somme des conductances individuelles
     Démonstration : nous savons déjà que «» soit,
     Démonstration : en remplaçant les conductances individuelles par leurs valeurs de résistances associées, «» égale à « » d'où,
     Démonstration : en inversant, l'expression de «».

     Cas particulier : « l'association de deux conducteurs ohmiques de même résistance est un conducteur ohmique de résistance » [2].

Conductance équivalente de l'association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en sont soumis à la même tension et
     Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des n dipôles est égale à la somme des intensités , , , , des courants traversant chaque dipôle, soit
     Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des n dipôles est «» ;

     Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2ème forme de la loi d'Ohm [3] en convention récepteur , , , , puis
     Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans soit «» ;

     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que est à » et
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par dans l'expression de soit «»,
     Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité étant alors la conductance équivalente ».

     Remarque : il n'y a aucune relation simple sur la résistance équivalente d'une association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques, on procède :

  • par calcul de conductance équivalente et on inverse le résultat pour obtenir la résistance équivalente ou
  • par itération « on associe d'abord deux conducteurs ohmiques pour déterminer la résistance équivalente » puis « on associe cette dernière avec un 3ème conducteur ohmique pour déterminer la nouvelle résistance équivalente » et « ainsi de suite jusqu'à épuisement des conducteurs montés en parallèle » [4].

     Conseil : il est impératif de vérifier l'homogénéité des formules même si vous croyez faire des calculs sans erreurs

  • un résultat du type pour la résistance équivalente de l'association parallèle de trois conducteurs ohmiques de résistance respective , et qui serait induit par fausse intuition à partir de celui de deux conducteurs ohmiques montés en parallèle
  • ou encore du type
  • ou du type

     Conseil : « sont évidemment faux » puisque « non homogènes » [5].

Méthode générale de la détermination de la résistance équivalente d'un réseau dipolaire résistif, étude d'un exemple modifier

Méthode à utiliser avant toute chose modifier

     Remplacer les associations en série ou en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent Le plus souvent ce sera la seule chose à faire car le réseau dipolaire purement résistif étudié sera une association de réseaux dipolaires rassemblant des conducteurs ohmiques uniquement montés en série ou en parallèle

     Attention : ne jamais perdre de vue les bornes entre lesquelles on cherche l'équivalence du réseau, toutes les erreurs que l'on peut rencontrer résultent de cet oubli [6].

Méthode à utiliser dans le cas où la résolution de la résistance équivalente par « association de conducteurs ohmiques en série ou en parallèle » n'aboutit pas modifier

     Il convient avant toute chose de simplifier le réseau en remplaçant les associations en série ou et en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent ; nous supposons que, malgré tout, il existe d'autres associations de conducteurs ohmiques que les associations en série ou en parallèle précédentes [7] qui empêchent d'obtenir un conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire initial.

     Dans la mesure où le réseau dipolaire est purement résistif, on admet qu'il est équivalent à un conducteur ohmique c.-à-d. que la tension aux bornes du réseau et l'intensité du courant le traversant sont proportionnelles ;

     on détermine la résistance du conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire « en imposant un courant d'intensité» et « en établissant, par utilisation des lois de Kirchhoff [8], l'expression de la tension aux bornes du réseau en convention récepteur en fonction de et des résistances des composants du réseau », la résistance cherchée étant alors indépendante de [9] car le réseau est effectivement équivalent à un conducteur ohmique [10].

Étude d'un exemple : Pont résistif de Wheatstone modifier

Méthode de détermination de la résistance équivalente d'un pont de Wheatstone [11] résistif en imposant un courant d'intensité et en évaluant la tension à ses bornes

     On se propose de déterminer la résistance équivalente du réseau dipolaire résistif entre les bornes et , ce réseau ne peut pas être simplifié en reconnaissant des associations en série ou en parallèle car il n'y en a pas on reconnaît une association triangle entre les nœuds , et , ces nœuds étant reliés directement par les résistances , et [12], ou une association étoile entre les nœuds , et , de nœud central , ce dernier étant relié directement aux trois autres par les résistances , et [13] voir ci-contre ;

     on impose donc un courant d'intensité traversant le réseau dipolaire entrant par et sortant par et on cherche à exprimer la tension entre les bornes et convention récepteur[14] en fonction de et des cinq résistances du réseau à l'exclusion de toutes autres grandeurs ;

     remarquant que [15] et introduisant les courants inconnus traversant les cinq branches il y a donc cinq inconnues car les tensions aux bornes des branches se déterminent en fonction de ces courants par loi d'Ohm [3] nous en déduisons  ;

     il reste à déterminer et en fonction de et des cinq résistances du réseau par utilisation de la loi des nœuds équations indépendantes et de la loi des mailles équations indépendantes soit :

  • nœud  : on garde et [16], on élimine ,
  • nœud  : on garde et [16], on élimine ,
  • nœud  : on garde et [16], on élimine ,
  • maille  : dans laquelle on reporte et l'équation linéaire aux deux inconnues et suivante ou soit au final, en prenant l'opposé des deux membres, et
  • maille  : dans laquelle on reporte et l'équation linéaire aux deux inconnues et suivante ou soit finalement, en prenant l'opposé des deux membres,  ;

     il reste à résoudre le système des deux équations linéaires aux deux inconnues et par « méthode de combinaison linéaire » [17]

      en remplaçant par de façon à éliminer on obtient ou, après réorganisation du dénominateur, puis

      en remplaçant par de façon à éliminer [18], on obtient ou, après réorganisation du dénominateur,  ;

     on forme alors d'où, en réécrivant sous la forme d'une fraction, [19] dont on déduit l'expression de la résistance équivalente du réseau dipolaire résitif

«».

     1er exemple : , et , on trouve «».

     2ème exemple : , et , on trouve «».

Utilisation de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiale de la répartition des courants circulant dans le réseau dipolaire résistif pour évaluer sa résistance équivalente modifier

Préliminaire avant toute utilisation des lois de Kirchhoff pour déterminer le conducteur ohmique équivalent à un réseau dipolaire purement résistif modifier

     Vérifier qu'il n'y a pas d'invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiale [20] sachant que l'éventuel axe de symétrie doit passer par les bornes de connexion du réseau dipolaire et que l'éventuel axe d'antisymétrie est la « médiatrice électrique » du segment limité par les bornes de connexion du réseau dipolaire.

     Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son 1er exemple  : ayant ainsi que on en déduit que ainsi que c.-à-d. que l'ensemble des courants d'intensités est invariant par symétrie axiale relativement à l'axe et comme le courant d'intensité est son « propre symétrique » [21], on en déduit que

la « répartition des courants » [22] est symétrique relativement à  ;

     Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son 2ème exemple : ayant ainsi que on en déduit que ainsi que c.-à-d. que l'ensemble des courants d'intensités est invariant par antisymétrie axiale par rapport à l'axe et comme les courants d'intensité en et points symétriques par rapport à sont « antisymétriques » [23], on en déduit que

la « répartition des courants » [24] est antisymétrique relativement à .

Retour sur un 1er exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par symétrie axiale de la répartition des courants modifier

Exemple d'un pont résistif de Wheatstone [11] ayant pour axe de symétrie de répartition des courants l'axe passant par les bornes d'entrée et de sortie

     La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone [11] ci-contre étant symétrique relativement à l'axe on en déduit que

  • les points et , symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe de symétrie de répartition des courants , sont au même potentiel [25], il est donc possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants et par suite
         le réseau dipolaire entre et devient une association série des deux associations parallèles d'une part et d'autre part [26], [27] d'où « » [28] soit, avec et , le résultat numérique suivant « » ou,
  • la branche étant perpendiculaire à l'axe de symétrie de répartition des courants , au point d'intersection de cette branche et de l'axe , le courant devant être d'une part perpendiculaire à l'axe et d'autre part le long de cet axe on rappelle qu'en tout point de l'axe de symétrie de répartition des courants le courant doit circuler le long de cet axe [20], est d'intensité nulle soit , on peut donc « supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants » et par suite
         le réseau dipolaire entre et devient une association parallèle des deux associations série “” d'une part et “” d'autre part [27], [26] d'où «» ou, avec et , «» soit, avec et , le même résultat numérique «».

Retour sur un 2ème exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par antisymétrie axiale de la répartition des courants modifier

Exemple d'un pont résistif de Wheatstone [11] ayant pour axe d'antisymétrie de répartition des courants l'axe passant par les deux nœuds intermédiaires

     La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone [11] ci-contre étant antisymétrique relativement à l'axe on en déduit que

  • les points et , de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants , sont au même potentiel, demi-somme des potentiels extrêmes [29], il est donc possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants et par suite
    le réseau dipolaire entre et devient une association série des deux associations parallèles d'une part et d'autre part [26], [27] d'où « » ou, avec et , «» [28] soit, avec et , le résultat numérique suivant «» ou,
  • la branche étant le long de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants , au point d'intersection de cette branche et de l'axe , le courant devant être d'une part le long de cet axe et d'autre part perpendiculaire à l'axe on rappelle qu'en tout point de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants le courant doit circuler perpendiculairement à cet axe [20], est d'intensité nulle soit , on peut donc « supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants » et par suite
    le réseau dipolaire entre et devient une association parallèle des deux associations série “” et “[27], [26] d'où « » ou, avec et , «» soit, avec et , le même résultat numérique «».

Autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique modifier

Exemple de réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique

     Voir exemple ci-contre, chaque portion de fil rectiligne étant de même longueur, de même section et de même matière donc de même résistance notée [30], on cherche à déterminer la résistance équivalente entre et dans cet exemple où, observant d'autres associations que les associations série et parallèle [7] comme des associations triangle [31] ou étoile [32], il serait nécessaire [33] d'imposer un courant d'intensité traversant le réseau et de déterminer la tension entre ses bornes par application des lois de Kirchhoff [8], [34] s'il n'y avait pas une invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiales permettant un traitement beaucoup plus rapide.

     Remarques : On a indiqué le sens du courant traversant le réseau dipolaire [35] pour pouvoir préciser que la répartition des courants dans le réseau est symétrique par rapport à l'axe [36] et antisymétrique par rapport à l'axe [37] mais le résultat est indépendant de ce sens.

     Remarques : tous les points sont des nœuds sauf les points et , on pourrait remplacer les brins et par un seul brin de résistance , de même remplacer les brins et par un seul brin de résistance , mais cela réduisant les apparentes symétrie et antisymétrie n'aurait pas été une bonne transformation.

Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale modifier

Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants par repliement le long de l'axe [38]

     Une 1ère façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants est de dire que les points symétriques par rapport à sont deux à deux au même potentiel soit et par suite qu'on peut les relier deux à deux par un court-circuit sans changer la répartition des courants ;

     en pratique cela revient à rabattre la partie supérieure [39] du réseau sur la partie inférieure [40] de ce réseau, voir ci-contre :

  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit [27],
  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit [27],
  • et étant montées en parallèle, entre et on a une association parallèle de deux résistances soit [38] et
  • entre et on a une association série de trois résistances soit [41] et finalement
    «».
Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, transformation du réseau pour utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants
Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants après transformation

     Une 2ème façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants est de dire qu'en un point de l'axe de symétrie, la direction du courant doit être le long de cet axe et pour mieux appliquer cette propriété, on sépare le pointde cet axe en deux points et reliés par un court-circuit perpendiculaire à l'axe voir ci-contre à gauche ;

     comme au point d'intersection de l'axe de symétrie et du court-circuit perpendiculaire à l'axe, le courant doit être simultanément le long des deux, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants voir ci-contre à droite ;

  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit [27],
  • entre et passant par on a une association série de deux résistances soit [27],
  • et montées en parallèle, entre et on a une association parallèle de deux résistances soit [38],
  • entre et passant par et on a une association série de trois résistances soit [41],
  • entre et passant par et , comme on a la même disposition des mêmes conducteurs ohmiques que dans la partie supérieure, on en déduit [41] et
  • entre et on a une association parallèle de deux résistances soit finalement
    «» [38].

Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par antisymétrie axiale modifier

Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants par court-circuit des points de l'axe

     Une 1ère façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants est de dire que tous les points de l'axe d'antisymétrie sont au même potentiel moitié des potentiels extrêmes soit et par suite qu'on peut relier tous les points de l'axe d'antisymétrie par un court-circuit sans changer la répartition des courants [42] ;

     on obtient ainsi des associations série et parallèle de conducteurs ohmiques [43] :

  • entre et on a une association parallèle de deux résistances soit [38],
  • entre et passant par on a une association série d'une résistance et d'une résistance soit [27],
  • de même entre et passant par on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre et passant par d'où ,
  • et étant montées en parallèle, entre et on a une association parallèle de deux résistances soit [38],
  • de même entre et on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre et d'où et
  • enfin entre et on a une association série de deux résistances soit [27] et finalement
Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, transformation du réseau pour utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants
Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants après transformation
«».

     Une 2ème façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants est de dire qu'en un point de l'axe d'antisymétrie, la direction du courant doit être perpendiculaire à cet axe et pour mieux appliquer cette propriété, on sépare le pointde cet axe en deux points et reliés par un court-circuit parallèle à l'axe voir ci-contre à gauche ;

     comme en tout point commun de l'axe d'antisymétrie et du court-circuit parallèle à l'axe, le courant doit être simultanément perpendiculaire et parallèle à l'axe, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants voir ci-contre à droite ;

     le schéma obtenu étant le même que le 2ème établi par utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants, l'évaluation se fait donc exactement de la même façon que celle faite dans le paragraphe « par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale (2ème façon) » plus haut de ce chapitre d'où le même résultat

«».

Notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie modifier

Convention générateur de la sortie du réseau dipolaire “ source + réseau quadripolaire ”, convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire “ réseau quadripolaire + charge ”

     Un réseau quadripolaire R.Q. est un système électrique relié à l'extérieur par quatre bornes,

  • deux bornes situées à gauche et appelées « bornes d'entrée » entre lesquelles on branche usuellement une « source » et
  • deux bornes situées à droite et appelées « bornes de sortie » entre lesquelles on connecte habituellement un récepteur appelé « charge » voir ci-contre :

     le réseau quadripolaire R.Q. est dit

  • passif s'il n'y a pas de sources internes, et
  • linéaire s'il n'est constitué que de dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S. ;

     vu des bornes d'entrée le R.Q. [44] fermé sur le récepteur de sortieou chargeest un réseau dipolaire passif, on adopte la convention récepteur pour les grandeurs électriques d'entrée de ce R.D.P. [45] tension d'entrée et intensité du courant d'entrée, en conséquence la source située aux bornes de ce R.D.P. [45] est en convention générateur ;

     vu des bornes de sortie le R.Q. [44] fermé sur la source d'entrée est un réseau dipolaire actif, on adopte la convention générateur pour les grandeurs électriques de sortie de ce R.D.A. [46] tension de sortie et intensité du courant de sortie, en conséquence la charge située aux bornes de ce R.D.A. [46] est en convention récepteur.

     Remarque : on « adoptera » [47] les conventions d'écriture suivantes :

  • lettres majuscules pour tension et intensité restant constantes [48] et
  • lettres minuscules pour tension et intensité variant avec le temps,
  • les indices pour l'entrée et la sortie étant a priori en majuscules [49].

Pont diviseur de tension, représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension alimenté en entrée modifier

Définition d'un pont diviseur de tension modifier

Schéma de situation d'un pont diviseur de tension alimenté en entrée par une source et fermé en sortie sur une charge

     Un pont diviseur de tension P.D.T. est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par une tension entre les bornes de laquelle deux conducteurs ohmiques de résistances et sont montés en série quand la sortie définie aux bornes de est ouverte le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte » mais si cette sortie est fermée sur une « charge » [50], le conducteur ohmique de résistance est en série avec l'association parallèle « conducteur ohmique de résistance et charge de sortie ».

     Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T. [51] et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :

  • tension d'entrée et
  • intensité du courant d'entrée  ;

     les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T. [51] et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T. [51] est branché soit :

  • tension de sortie et
  • intensité du courant de sortie [52].

Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par uE(t) et en sortie ouverte » modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : La sortie étant ouverte ,

     Démonstration : les conducteurs ohmiques de résistance et étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité ,

     Démonstration : la loi d'Ohm [3] appliquée au conducteur ohmique de résistance conduit à et

     Démonstration : celle appliquée à l'association série des conducteurs ohmiques de résistance et à d'où

     Démonstration : en éliminant par , l'expression de la tension de sortie ouverte .

     Commentaires : C'est de cette expression [54] que l'on tire le nom « pont diviseur de tension » en sortie ouverte car est la tension aux bornes de et montées en série et celle aux bornes de [55], tension ne représentant que la fraction de  ;

     Commentaires : si on s'intéressait à la tension aux bornes de au lieu de celle aux bornes de , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension alimenté en entrée par et en sortie aux bornes de ouverte d'où [54].

Générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par uE(t) et vu des bornes de sortie » modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants résistifs du P.D.T. [51] et pour cela on utilise :

  • la loi de maille [58] soit  dans laquelle on élimine par
  • la loi de nœud [59] ou, en explicitant en fonction de par loi d'Ohm [3] , la nouvelle expression de loi de nœud

     Démonstration : soit, en reportant dans l'équation de maille ou ou encore soit finalement dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin [56] équivalent au R.D. [60] en convention générateur à savoir

  • de f.e.m. de Thévenin[56] «» [61] et
  • de résistance de Thévenin[56] «» [62].

     Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin [56] équivalent au R.D. [60] « P.D.T. [51] alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet :

  • d'une part la f.e.m. de Thévenin [56] étant la tension de sortie ouverte, elle représente la fraction de la tension d'entrée,
  • d'autre part la résistance de Thévenin [56] étant la résistance du R.D. [60] vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif [63] c.-à-d. quand on a remplacé la tension d'entrée par un court-circuit, le R.D.P. [45] « P.D.T. court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance et [64] soit [26].

Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en sortie ouverte ou par utilisation du modèle de Thévenin de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de tension alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie » modifier

Pont diviseur de tension alimenté en entrée par uE(t) et fermé sur une charge de résistance Ru modifier

     On souhaite déterminer la tension de sortie d'un « P.D.T. [51] alimenté en entrée par et fermé sur une charge de résistance » en fonction de , des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :

  • Remarquer que est en sur , remplacer cette association parallèle par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D. [60] en sortie ouverte « P.D.T. [51] alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de »
  • Remplacer le R.D. [60] « P.D.T. [51] alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par son générateur de Thévenin [56] équivalent et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D. [60] en sortie ouverte « P.D.T. [51] alimenté en entrée par , de résistance d'attaque [65] et en sortie ouverte aux bornes de »

1ère résolution : utiliser la résistance équivalente de « Ru en parallèle sur R1 » modifier

Schéma d'un P.D.T. [51] alimenté en entrée par et fermé sur une résistance , traitement en considérant en sortie ouverte d'un P.D.T. [51] alimenté en entrée par

     Voir schéma de situation ci-contre :

     On utilise que « la résistance de la charge est montée en sur » et
     on remplace la résistance de l'association parallèle par sa résistance équivalente «» [26] puis,
     on considère le nouveau P.D.T. [51] alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de [66] soit

      ou, en multipliant haut et bas par ,

«» [67].

2ème résolution : utiliser le générateur de Thévenin équivalent du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée et vu des bornes de sortie » modifier

P.D.T. [51] alimenté en entrée par et fermé sur une résistance , traitement en considérant le générateur de Thévenin [56] équivalent puis en sortie ouverte d'un P.D.T. [51] alimenté en entrée par

     On remplace le R.D.L. [68] « pont diviseur de tension alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin [56] équivalent

  • de f.e.m. de Thévenin [56] «» et
  • de résistance de Thévenin [56] «» et

     on obtient alors le schéma ci-contre à gauche :

     on reconnaît alors un P.D.T. [51] alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de , étant la résistance d'attaque [65] de ce nouveau P.D.T. [51] soit :

ou,
par simplification évidente
«» [69], [67].

Autres exemples modifier

     Ils sont nombreux et pourront être vus en exercices.

     Remarques : Avant d'appliquer le résultat du R.D. [60] « pont diviseur de tension alimenté en entrée et en sortie ouverte » vérifier que le pont diviseur de tension est effectivement en sortie ouverte ;

     Remarques : reconnaître un pont diviseur de tension permet de résoudre beaucoup plus rapidement ce qu'on cherche, utiliser les lois de Kirchhoff [8] alors qu'un pont diviseur de tension existe doit être considéré comme une erreur tactique même si l'utilisation des lois de Kirchhoff [8] permet d'aboutir au résultat et cette dernière n'est à envisager que s'il n'y a pas de méthode plus simple [70].

Pont diviseur de courant, représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant alimenté en entrée modifier

Définition d'un pont diviseur de courant modifier

Schéma de situation d'un pont diviseur de courant alimenté en entrée par une source et fermé en sortie sur une charge

     Un pont diviseur de courant P.D.C. est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par un courant d'intensité traversant deux conducteurs ohmiques de résistances et lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec est court-circuitée le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée » mais si cette sortie est fermée sur une « charge » [50], le conducteur ohmique de résistance est en parallèle avec l'association série « conducteur ohmique de résistance et charge de sortie ».

     Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C. [71] et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :

  • intensité du courant d'entrée et
  • tension d'entrée  ;

     les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C. [71] et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C. [71] est branché soit :

  • intensité du courant de sortie et
  • tension de sortie [72].

Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par iE(t) et en sortie court-circuitée » modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème
Pont diviseur de courant alimenté en entrée par une source et en sortie court-circuitée

     Démonstration : La sortie étant court-circuitée ,

     Démonstration : les conducteurs ohmiques de résistance et montés en parallèle sont soumis à la même tension ,

     Démonstration : la 2ème forme de loi d'Ohm [3] appliquée au conducteur ohmique de résistance et

     Démonstration : la même forme de loi d'Ohm [3] appliquée à l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance et d'où

     Démonstration : en éliminant par , l'expression de l'intensité de courant de sortie court-circuitée  ;

     Démonstration : la 2ème expression de en fonction des résistances s'obtient en remplaçant chaque conductance par l'inverse de la résistance correspondante soit .

     Commentaires : C'est de l'une ou l'autre expression [74] que l'on tire le nom « pont diviseur de courant » en sortie court-circuitée car est l'intensité du courant traversant et montées en parallèle et l'intensité du courant traversant [75], intensité ne représentant que la fraction de  ;

     Commentaires : si on s'intéressait à l'intensité du courant traversant au lieu de celle traversant , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de courant alimenté en entrée par et en sortie en série avec court-circuitée d'où [74].

Générateur de Norton équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par iE(t) et vu des bornes de sortie » modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et des composants résistifs du P.D.C. [71] et pour cela on utilise :

  • la loi de nœud [77] dans laquelle on élimine par
  • la loi de maille [58] soit ou, en explicitant en fonction de par loi d'Ohm [3] , la nouvelle expression de loi de maille dont on tire soit

     Démonstration : en reportant dans l'équation de nœud ou ou encore soit finalement dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton [76] équivalent au R.D. [60] en convention générateur à savoir

  • de c.e.m. de Norton[76] «» [78] et
  • de résistance de Norton[76] «» [79].

     Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton [76] équivalent au R.D. [60] « P.D.C. [71] alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet :

  • d'une part le c.e.m. de Norton [76] étant l'intensité du courant de sortie court-circuitée, elle représente la fraction de l'intensité du courant d'entrée,
  • d'autre part la résistance de Norton [76] étant la résistance du R.D. [60] vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif [80] c.-à-d. quand on a remplacé le courant d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P. [45] « P.D.C. [71] ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association série des conducteurs ohmiques de résistance et [81] soit [27].

Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de courant en sortie court-circuitée ou par utilisation du modèle de Norton de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de courant alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie » modifier

Pont diviseur de courant alimenté en entrée par iE(t) et fermé sur une charge de résistance Ru modifier

     On souhaite déterminer l'intensité du courant de sortie d'un « P.D.C. [71] alimenté en entrée par et fermé sur une charge de résistance » en fonction de , des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :

  • Remarquer que est en série avec , remplacer cette association série par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D. [60] en sortie court-circuitée « P.D.C. [71] alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée en série avec »