Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie

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Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
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Chapitre no 27
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
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Puissance électrique instantanée reçue par une association série ou parallèle de dipôles

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Rappel : puissance électrique instantanée reçue par un dipôle

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     Considérant un dipôle en convention récepteur traversé par un courant d'intensité instantanée   et aux bornes duquel la tension instantanée vaut  ,

la « puissance électrique instantanée qu'il reçoit » [1] s'écrit  [2].

Puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles

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     « La puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle », en effet, chaque dipôle étant traversé par un courant de même intensité   et la tension   aux bornes de l'association série de dipôles étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle   c.-à-d.    , la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit   soit finalement

« » C.Q.F.D. [3].

Puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles

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     « La puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle », en effet, chaque dipôle étant soumis à la même tension   et l'intensité   du courant traversant l'association parallèle de dipôles étant la somme des intensités des courants traversant dipôle individuellement   c.-à-d.  , la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit   soit finalement

« » C.Q.F.D. [3].

Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t) 

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     « L'échelon de tension » d'amplitude  , de f.e.m. instantanée  , étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit

« » [4], [5].

Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et conséquences 

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Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t) 

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     La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant la tension instantanée aux bornes du condensateur  en convention récepteur  et   sa charge instantanée et
  • « »,   étant l'intensité instantanée du courant fournie par la source et   la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique  en convention récepteur .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension

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     Nous avons vu dans le chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « l'intensité du courant de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension était discontinue de 1ère espèce en » [6], [7], cela entraîne une discontinuité de 1ère espèce [6] de

  • la puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique en   ainsi que de
  • la puissance électrique instantanée  [8] fournie par l'échelon de tension en   ;

     le bilan de puissance   permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique  » a « une discontinuité de 1ère espèce [6] ou une continuité en  » [9] ;

     on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique  » est

  • « continu si le condensateur est initialement déchargé » ou
  • « discontinu de 1ère espèce [6] s'il est initialement chargé »

     en effet explicitant la « dérivée temporelle » [10], on obtient   soit encore «   » en utilisant la définition de l'intensité du courant de décharge du condensateur ; l'expression obtenue étant le produit, en  , d'une grandeur continue   et d'une autre discontinue de 1ère espèce [6]  , est discontinue de 1ère espèce [6] dans la mesure où    ce qui nécessite que le condensateur soit chargé initialement  ;

     dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique   soit continu ou discontinu de 1ère espèce [6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur   sous forme électrostatique.

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, puis en son intensité de courant de charge

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Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension de charge uC(t) du condensateur

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     Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de sa tension de charge   soit « »   «   » [11] ;

     son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à « » ou, après simplification par  [12] et remplacement de l'expression de   restante par  , on obtient     soit en normalisant

« » ou « » [5].

Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité du courant de charge i(t) du condensateur

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     Ayant déterminé l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à   et multiplier par   dans le but d'utiliser   d'où l'équation différentielle cherchée

« » ou « » [13].

Bilan d'énergie d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

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     Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant  »   par  , on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle   soit

« »

     c.-à-d. « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » [14] ou, en explicitant les différents termes

« » ;

     écrivons maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de la charge du condensateur c.-à-d. sur l'intervalle théorique   on obtient

« »

     où «  est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de la charge » soit « » [15],
     « [16] le gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » soit encore «   » et
     «  la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » soit encore « » [15] ;

     explicitons le travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge en remarquant que       on trouve «   » [16] soit, avec  , l'expression finale du travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge

« » ;

     du bilan d'énergie pendant la durée complète de la charge du condensateur, on en déduit la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique     soit

« » [17].

     Remarque : le but étant de charger le condensateur, nous pouvons définir le rendement de cette charge comme le rapport de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique sur l'énergie fournie par la source, nous trouvons alors « », l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique représentant donc  .

Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et conséquences 

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Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t) 

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     La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine  en convention récepteur  et
  • « »,   étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et   la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique  en convention récepteur .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension

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     Nous avons vu dans le chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « l'intensité du courant traversant la bobine d'un série soumis à un échelon de tension était continue en », cela entraîne, dans la mesure où la bobine n'est traversée par aucun courant initialement [18], une continuité, en , de

  • la puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique ainsi que de
  • la puissance électrique instantanée  [19] fournie par l'échelon de tension ;

     le bilan de puissance   permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique  » est « continue en  ».

     Remarque : si la bobine était initialement [18] traversée par un courant d'intensité non nulle, « l'intensité du courant traversant la bobine d'un série soumis à un échelon de tension étant continue en   », cela entraînerait,
     Remarque :  une continuité de la puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique en   mais
     Remarque :  une discontinuité de 1ère espèce [6] en ce même instant de la puissance électrique instantanée  [20] fournie par l'échelon de tension ;

     Remarque : le bilan de puissance   permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique  » a « une discontinuité de 1ère espèce en  » [6], [21].

     on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique  » est

  • « continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant »  ce qui est le cas usuel  ou
  • « discontinu de 1ère espèce [6] si elle est initialement traversée par un courant »

     en effet explicitant la « dérivée temporelle » [10], on obtient   soit encore «   » en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en  , d'une grandeur continue   et d'une autre discontinue de 1ère espèce [6]  , est discontinue de 1ère espèce [6] dans la mesure où    ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant  ;

     dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique   soit continu ou discontinu de 1ère espèce [6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine   sous forme électromagnétique.

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, puis en la tension entre ses bornes

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Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité de courant i(t) traversant la bobine

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     Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité du courant   la traversant soit « »   «   » ;

     son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à « » ou, après simplification par  [22], on obtient   soit en normalisant

« » ou « » [5].

Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension uL(t) aux bornes de la bobine parfaite

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     Ayant déterminé l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à   et multiplier par   dans le but d'utiliser   d'où l'équation différentielle cherchée

« » ou « » [13].

Bilan d'énergie d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

modifier

     Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant  »   par  , on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle   soit

« »

     c.-à-d. « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » [14] ou, en explicitant les différents termes

« » ;

     si nous écrivions maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de l'établissement du courant dans la bobine c.-à-d. sur l'intervalle théorique   nous obtiendrions

« » avec

     «  le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant » qui s'écrirait encore «   sous réserve de convergence [23] » [15],
     « [16] le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » soit encore «   » et
     «  la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » qui s'écrirait encore «     sous réserve de convergence [24] » [15], mais  
     si nous écrivions les deux grandeurs « » et « » étant infinies [25], il y a donc divergence des intégrales généralisées [26] et il est nécessaire de restreindre la durée de l'établissement du courant dans la bobine pour travailler avec des grandeurs finies [27] aussi
     si nous écrivions considérons un instant   à partir duquel nous pouvons estimer que le courant est « quasiment » [28] établi et
     si nous écrivions décomposons la 1ère intégrale selon «   » soit, en faisant tendre   vers  , « une divergence » [26] à cause du « dernier terme  », le « 1er terme  » étant, quant à lui, fini et
     si nous écrivions décomposons la 2ème intégrale selon «   » soit, en faisant tendre   vers  , « une divergence » [26] à cause du « dernier terme  », le « 1er terme  » étant, quant à lui, fini.

     Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle    est l'instant au-delà duquel la réponse forcée est établie à moins de   près,
     Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle   en choisissant   par exemple  sachant que  [29]  d'où

« »

     Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle   où «  est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant à   près », soit «     »,

     Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle  « [16] le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique à moins de   près », soit «     » et

     Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle  «  la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la durée de  » soit «   » ;

     Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle   à partir de l'expression de l'intensité du courant traversant la bobine « » [30] nous pouvons évaluer

  • le travail électrique fourni par la source pendant la durée de   selon «   » [31] ou encore, avec   et  [16],
    « » [32] ;
         du bilan d'énergie « » nous déduisons la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée     soit
    « » [33] ;
  • la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée de   par calcul direct soit     que l'on intègre selon    [34] ou encore, avec   et  [16],
    « » [35].

     Remarque : le but étant d'établir un courant dans la bobine à un pourcentage près  nous choisirons à   près [29] , nous pouvons définir le rendement de cet établissement comme le rapport de l'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique pendant la durée   sur l'énergie fournie par la source pendant la même durée   «   », l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique pendant la durée   représentant donc approximativement  .

Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de courant d'amplitude I0 imposant une tension u(t) 

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     « L'échelon de courant » d'amplitude  , de c.e.m. instantané  , étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit

« » [5], [36].

Bilan dual du bilan de puissance d'un « R C ou R L série » soumis à un échelon de tension

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association série association parallèle
circuit   série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude  [37] circuit   parallèle [38] soumis à un « échelon de courant » d'amplitude  [39]
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité  
soumis à une tension   :
 
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre  
traversée par un courant d'intensité   :
 
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance  
traversé par un courant d'intensité   :
 
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance  
soumis à une tension   :
 
puissance instantanée électrique fournie par un échelon de tension d'amplitude  
délivrant un courant d'intensité   :
 
puissance instantanée électrique fournie par une échelon de courant d'amplitude  
imposant une tension   :
 
circuit   série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude  [37] circuit   parallèle [38] soumis à un « échelon de courant » d'amplitude  [39]
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre  
traversée par un courant d'intensité   :
 
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité  
soumis à une tension   :
 

Dual du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' C parallèle » soumis à un échelon de courant

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     Bilan de puissance d'un série soumis à un échelon de tension : La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine  en convention récepteur  et
  • « »,   étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et   la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique  en convention récepteur .

     Bilan de puissance d'un parallèle soumis à un échelon de courant  déterminé par dualité  : La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant la tension instantanée aux bornes du condensateur  en convention récepteur  et
  • « »,   étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et   l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier  en convention récepteur .

Dual du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' L parallèle » soumis à un échelon de courant

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     Bilan de puissance d'un soumis à un échelon de tension : La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant la tension instantanée aux bornes du condensateur  en convention récepteur  et
  • « »,   étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et   la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique  en convention récepteur .

     Bilan de puissance d'un soumis à un échelon de courant  déterminé par dualité  : La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine  en convention récepteur  et
  • « »,   étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et   l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier  en convention récepteur .

Obtention directe du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences 

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Bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 imposant une tension u(t)

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     La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant la tension instantanée aux bornes du condensateur  en convention récepteur  et
  • « »,   étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et   l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier  en convention récepteur .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant

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     Nous avons vu dans le chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la tension aux bornes du condensateur d'un parallèle soumis à un échelon de courant était continue en », cela entraîne, dans la mesure où le condensateur est initialement [18] déchargé, une continuité, en , de

  • la puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique ainsi que de
  • la puissance électrique instantanée  [40] fournie par l'échelon de courant ;

     le bilan de puissance   permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique  » est « continue en  ».

     Remarque : si le condensateur était initialement [18] chargé par une tension non nulle, « la tension aux bornes du condensateur d'un parallèle soumis à un échelon de courant étant continue en   », cela entraînerait,
     Remarque :  une continuité de la puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique en   mais
     Remarque :  une discontinuité de 1ère espèce [6] en ce même instant de la puissance électrique instantanée  [41] fournie par l'échelon de courant ;

     Remarque : le bilan de puissance   permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique  » a « une discontinuité de 1ère espèce en  » [6], [21].

     on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique  » est

  • « continu si le condensateur est initialement déchargé »  ce qui est le cas usuel  ou
  • « discontinu de 1ère espèce [6] s'il est initialement chargé »

     en effet explicitant la « dérivée temporelle » [10], on obtient   soit encore «   » en utilisant la définition de l'intensité du courant traversant le condensateur parfait ; l'expression obtenue étant le produit, en  , d'une grandeur continue   et d'une autre discontinue de 1ère espèce [6]  , est discontinue de 1ère espèce [6] dans la mesure où    ce qui nécessite que le condensateur soit initialement chargé  ;

     dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique   soit continu ou discontinu de 1ère espèce [6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur   sous forme électrostatique.

Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur puis en son intensité de courant de charge d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance

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Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes du condensateur

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     Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de la tension   à ses bornes soit « »   «   » ;

     son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à « » ou, après simplification par  [42], on obtient   soit en normalisant

« » ou « » [5].

Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 l'équation différentielle en intensité iC(t) du courant de charge du condensateur

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     Ayant déterminé l'équation différentielle en tension aux bornes du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à   et multiplier par   dans le but d'utiliser   d'où l'équation différentielle cherchée

« » ou « » [13].

Obtention directe du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences 

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Bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 imposant une tension u(t)

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     La puissance électrique instantanée   fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude  , se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique   et en puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique soit

« » dans lequel
  • « »,   étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine parfaite  en convention récepteur  liée à la tension instantanée   à ses bornes par     et
  • « »,   étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et   l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier  en convention récepteur .

Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant

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     Nous avons vu dans le chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un parallèle soumis à un échelon de courant était discontinue de 1ère espèce en » [6], [43], cela entraîne une discontinuité de 1ère espèce [6] de

  • la puissance calorifique   dissipée dans le conducteur ohmique en   ainsi que de
  • la puissance électrique instantanée  [44] fournie par l'échelon de courant en   ;

     le bilan de puissance   permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique  » a « une discontinuité de 1ère espèce [6] ou une continuité en  » [9] ;

     on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique  » est

  • « continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant » ou
  • « discontinu de 1ère espèce [6] si elle est initialement traversée par un courant d'intensité non nulle »

     en effet explicitant la « dérivée temporelle » [10], on obtient   soit encore «   » en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en  , d'une grandeur continue   et d'une autre discontinue de 1ère espèce [6]  , est discontinue de 1ère espèce [6] dans la mesure où      ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant  ;

     dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique   soit continu ou discontinu de 1ère espèce [6] est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine   sous forme électromagnétique.

Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine puis en la tension à ses bornes d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance

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Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 l'équation différentielle en intensité iL(t) du courant traversant la bobine

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     Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité   du courant la traversant soit «   »   «   » [45] ;

     son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à « » ou, après simplification par  [46], on obtient   soit, en éliminant   au profit de   par définition de la tension aux bornes d'une bobine parfaite