Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace, échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace

     Ces notions ont déjà été évoquées en note « ²⁷ » du chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous les détaillons un peu plus ci-dessous :

• échelle macroscopique de l'espace : toute dimension $\;{\mathit {l}}\gtrsim 1\;mm$,
• échelle microscopique de l'espace : toute dimension $\;{\mathit {l}}\lesssim 1\;nm\;$ de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles,
• échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions $\;{\mathit {l}}\sim 1\;\mu m\;$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques » et comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques » .

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps

     Ces notions n'ont pas encore été introduites :

• échelle macroscopique de temps : toute durée $\;\tau \gtrsim 0,1\;s\;$ supérieure à l'ordre de grandeur de persistance sur la rétine,
• échelle microscopique de temps : toute durée $\;\tau \lesssim 10^{-11}\;s\;$ la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles,
• échelle mésoscopique de temps : les durées $\;\tau \sim 1\;\mu s\;$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques » et comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques » .

Quantification de la charge électrique, conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique

Quantification de la charge électrique, valeur du quantum de charge

     Les charges individuelles des porteurs de charge mobiles ainsi que celles des ions fixes étant toutes « multiples d'une même charge élémentaire » , on en déduit que la charge électrique est une grandeur quantifiée, le quantum de charge étant la charge élémentaire $\;e\simeq 1,602\;10^{-19}\;C$.

Conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique

     Considérons la charge électrique correspondant à une circulation d'un courant de très faible intensité $\;1\;nA\;$ pendant une durée mésoscopique $\;\tau =1\;\mu s$, la charge circulant valant $\;10^{-9}\;A\times 10^{-6}\;s\simeq$ $10^{-15}\;C\;$ reste « très grande relativement au quantum de charge »  ;

     il est donc légitime, dans la mesure où on fait une observation mésoscopique (ou macroscopique), de négliger la quantification de la charge c.-à-d. de considérer la charge comme une grandeur « continue » .

Modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique

     Cette notion a déjà été introduite dans le paragraphe « modélisation filiforme d'un conducteur, sens conventionnel du courant » du chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous la rappelons ci-dessous :

     quand une dimension d'un conducteur est très grande par rapport aux deux autres, on modélise le conducteur en négligeant les dimensions transversales, cette limite définissant une portion de circuit « filiforme » ; le courant qui correspondait à la circulation de porteurs de charge à travers les sections droites du conducteur est maintenant une circulation de porteurs de charge à travers les points successifs de la portion de circuit filiforme, le sens (conventionnel) du courant étant le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive $\;{\big [}$et le sens contraire des porteurs de charge négative ${\big ]}$.

Notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit filiforme

     Ces notions déjà, en grande partie, introduites dans le paragraphe « définition de l'intensité algébrique du courant » du chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » sont rappelées ci-après :

     la définition du courant électrique ayant été rappelée au paragraphe précédent « modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique » plus haut dans ce chapitre, pour algébriser sa circulation, on définit, arbitrairement, un sens $\;+\;$ de mesure de l’intensité du courant :

Intensité algébrique du courant en un point d'un circuit filiforme :

     L'intensité algébrique $\;i\;$ du courant traversant le circuit filiforme en un point $\;M\;$ est la charge traversant le point $\;M\;$ dans le sens $\;+\;$ par $\;s\;$ ou,
     si la charge $\;dq\;$ traverse $\;M\;$ dans le sens $\;+\;$ pendant la durée élémentaire $\;dt\;$ , $\;i={\dfrac {dq}{dt}}\;$ s'exprimant en $\;A\;$  ;      on représente le courant sur un circuit filiforme par une flèche tracée sur les fils de connexion dans le sens $\;+\;$ de mesure de l'intensité algébrique et on indique celle-ci à côté de la flèche.

     La durée élémentaire $\;dt\;$ est en fait une durée mésoscopique , la charge circulant peut donc s'écrire en utilisant la loi des grands nombres $\;dq=q_{p}\;dN_{p}\;$ où $\;dN_{p}\;$ est le nombre moyen de porteurs de charge mobiles circulant dans le sens $\;+\;$ pendant $\;dt$, $\;q_{p}\;$ étant leur charge individuelle  ;
     on en déduit l'intensité du courant au point $\;M\;$ sous la forme $\;i=q_{p}\;{\dfrac {dN_{p}}{dt}}$, dans laquelle $\;{\dfrac {dN_{p}}{dt}}\;$ représente le débit (moyen) de porteurs de charge mobiles de charge individuelle $\;q_{p}\;$ dans le sens $\;+$ ;
     exemple une intensité de $\;1\;nA\;$ dans un conducteur métallique correspond à un débit de porteurs de charge mobiles de charge individuelle (fictive) $\;q_{p}=1,602\;10^{-19}\;C\;$ dans le sens $\;+\;$ égal à $\;{\dfrac {dN_{p}}{dt}}={\dfrac {i}{q_{p}}}\simeq {\dfrac {10^{-9}}{1,602\;10^{-19}}}\simeq 6,2\;10^{9}\;s^{-1}\;$ soit un débit d'électrons de conduction dans le sens $\;-\;$ égal à $\;6,2\;10^{9}\;s^{-1}$.

Cause de l'existence d'un courant dans un circuit électrique

Cause dans une partie réceptrice : force électrique « motrice » due à un champ électrique généré par un générateur

     Revoir les notions exposées dans le paragraphe « nécessité d'imposer une tension aux bornes d'un récepteur pour qu'il soit traversé par un courant » au chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après :

     il y a circulation de courant dans la partie réceptrice d'un circuit filiforme si les porteurs de charge mobiles sont soumis à une force motrice d'origine électrique ;

     le récepteur est relié à un générateur qui impose en tout point $\;M\;$ du récepteur un champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$, un porteur mobile de charge $\;q_{p}\;$ subit alors, quand il est en $\;M$, la force électrique motrice

$\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)=q_{p}\;{\vec {E}}(M)\;$
qui permet sa mise en mouvement dans le sens du courant si $\;q_{p}>0\;$ et en sens contraire si $\;q_{p}<0\;$  ;

     le courant dans un récepteur est donc toujours dans le sens du champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ .

Cause dans une partie génératrice : force « motrice » due à un champ électromoteur

     Revoir les notions exposées dans le paragraphe « tension aux bornes d'un générateur et sens du courant dans ce dernier » au chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après :

     en tout point $\;M\;$ d'un générateur, existe aussi un champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$, un porteur mobile de charge $\;q_{p}\;$ est donc aussi soumis, quand il est au point $\;M$, à une force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)=$ $q_{p}\;{\vec {E}}(M)\;$ mais celle-ci étant « résistive » ,

     il existe donc nécessairement, s'exerçant sur chaque porteur mobile de charge $\;q_{p}$, une force motrice d'origine dépendant de la nature du générateur $\;{\big [}$origine électrochimique pour une pile $\;{\big (}$introduction de phénomènes d'oxydo-réduction${\big )}\;$ ou origine électromécanique pour un alternateur $\;{\big (}$introduction de phénomènes d'induction qui seront également vus dans chap.$14$ « circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire : conversion de puissance mécanique en puissance électrique » de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) »${\big )}{\big ]}\;$ et s'écrivant en fonction d'un champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ indépendant du porteur

$\;{\vec {F}}_{\text{électrom}}(M)=q_{p}\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$  ;

     le courant dans un générateur est donc toujours dans le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ c.-à-d. encore dans le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ .

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans le sens du courant

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie réceptrice

     Un porteur mobile de charge $\;q_{p}$, quand il est au point $\;M\;$ d'une partie réceptrice, dans le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$, possède de l'énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)\;$ tout comme un objet de masse $\;m$, quand il est au point $\;M\;$ de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}$, possède de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)$ ;

     si $\;q_{p}\;$ est $\;>0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice , comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet $\;U_{\text{pes}}\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {g}}\;$ qui est le sens spontané de déplacement de l'objet  ;

     comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive , on en déduit que l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge ${\underline {\big (}}$positive ou négative${\underline {\big )}}$ dans une partie réceptrice décroît dans le sens du courant.

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie génératrice

     Un porteur mobile de charge $\;q_{p}$, quand il est au point $\;M\;$ d'une partie génératrice, dans le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$, possède aussi de l'énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)\;$ tout comme un objet de masse $\;m$, quand il est au point $\;M\;$ de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}$, possède de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)$ ;

     si $\;q_{p}\;$ est $\;>0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ et le sens du courant dans la partie génératrice , comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet $\;U_{\text{pes}}\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {g}}\;$ qui est le sens provoqué de déplacement de l'objet dont on veut provoquer une remontée  ;

     comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive , on en déduit que l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge ${\underline {\big (}}$positive ou négative${\underline {\big )}}$ dans une partie génératrice croît dans le sens du courant.

Potentiel d'un point d'un circuit électrique, choix de la référence de potentiel, définition de la tension entre deux points d'un circuit

Potentiel d'un point d'un circuit électrique

     Comme l'énergie potentielle de pesanteur terrestre d'un objet en une position $\;M\;$ de l'espace $\;U_{\text{pes}}(M)\;$ est $\;\propto \;$ à la masse $\;m\;$ de l'objet, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge en une position $\;M\;$ d'un circuit électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)\;$ est $\;\propto \;$ à la charge $\;q_{p}\;$ du porteur, l'autre facteur ne dépendant que de la position dans l'espace champ de pesanteur ou électrique ;

     pour l'objet de masse $\;m\;$ dans le champ de pesanteur $\;{\vec {g}}$, l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit

$\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z_{M}\;$
où $\;z_{M}\;$ représente l'altitude de la position $\;M\;$ où se trouve l'objet par rapport au sol ,

     de même on définit l'énergie potentielle électrique du porteur de charge $\;q_{p}\;$ dans le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ selon

$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)=q_{p}\;V(M)\;$
où $\;V(M)\;$ représente le potentiel électrique en $\;M\;$ où se trouve le porteur,
potentiel mesuré par rapport à une position particulière appelée « masse du circuit »  ;

     le potentiel électrique $\;V(M)\;$ ${\big (}$exprimé en $\;V{\big )}\;$ décroît dans le sens du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ , en effet

• dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive $\;\searrow \;$ dans le sens du courant donc dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;>0$, le potentiel électrique $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ ,
• dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive $\;\nearrow \;$ dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ et par suite le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;>0$, le potentiel électrique qui $\;\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}(M)$, $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ .

Choix de la référence du potentiel

     L'énergie potentielle électrique nécessitant, comme toute énergie potentielle, de préciser sa « référence » , il en est de même du potentiel électrique qui n'est donc défini qu'à une constante additive près, on choisit donc l'endroit où le potentiel est considéré comme nul et cet endroit définit la « masse du circuit » .

Définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.)

     De même que l'on définit une dénivellation dans un champ de pesanteur comme une différence d'altitudes, on définit une tension dans un champ électrique comme une différence de potentiels ou d.d.p., plus précisément la tension entre les points $\;A\;$ et $\;B\;$ d'un même circuit, noté $\;u_{AB}\;$ et égale à la différence de potentiels ou d.d.p. $\;V(A)-V(B)\;$ ou

$\;u_{AB}=V(A)-V(B)\;$

     représentée à côté de la portion de circuit entre $\;A\;$ et $\;B\;$ par une flèche allant de $\;B\;$ vers $\;A\;$ , la valeur de la tension étant notée à côté de la flèche.

Sens du courant relativement au sens de variation des potentiels

     Dans une partie réceptrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ et ce dernier dans le sens des potentiels $\;\searrow$,

le courant est toujours dans le sens des potentiels $\;\searrow$,
par conséquent le sens du courant est toujours opposé au sens de la « flèche tension » choisie positive ;

     dans une partie génératrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ soit dans le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$,
     dans une partie génératrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{\text{électromot}}}\;$ soit dans le sens de ce dernier étant dans le sens des potentiels $\;\searrow$,

le courant est toujours dans le sens des potentiels $\;\nearrow$,
par conséquent le sens du courant est toujours de même sens que la « flèche tension » choisie positive.

Notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence

     En régime dépendant du temps, la propagation d'une onde électrique le long d'un circuit est aussi celle du champ électrique, elle se fait donc à la célérité $\;c=3\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$  ;

     ainsi un champ électrique existant en $\;M\;$ à la date $\;t$, se retrouvera en $\;M'\;$ ${\big (}$séparé de $\;\Delta {\mathit {l}}>0\;$ de $\;M{\big )}\;$ à la date $\;t+{\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}$ ; on pourra encore affirmer que l'intensité en $\;M'\;$ à la date $\;t\;$ était celle existant en $\;M\;$ à la date $\;t-{\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}\;$ ou

$\;i\!\left(M'\,,\,t\right)=i\!\left(M\,,\,t-{\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}\right)$ ;

     l'A.R.Q.S. ${\underline {\big (}}$approximation des régimes quasi-stationnaires${\underline {\big )}}$ nécessite qu'à un instant $\;t$, l'intensité soit indépendante de $\;M\;$ c.-à-d. que

$\;i\!\left(M'\,,\,t\right)\simeq i\!\left(M\,,\,t\right)$,

     ceci suppose que la durée de propagation $\;\tau ={\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}$ entre deux points quelconques séparés de $\;\Delta {\mathit {l}}\;$ puisse être négligée par rapport à $\;\Delta t_{i}$, durée caractérisant la variation de $\;i\;$ ou encore

$\;\tau ={\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}\ll \Delta t_{i}$ ;

     notant $\;{\mathit {l}}\;$ la longueur du circuit, la condition d'A.R.Q.S. sera réalisée pour deux points choisis de façon quelconque sur le circuit si

$\;\tau _{\text{max}}={\dfrac {\mathit {l}}{c}}\ll \Delta t_{i}$.

     Cas d'un régime dépendant du temps $\;T$-périodique : choisissant la période $\;T\;$ comme durée caractérisant la variation de l'intensité,

la condition d'A.R.Q.S. s'écrit $\;\tau _{\text{max}}={\dfrac {\mathit {l}}{c}}\ll T\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\mathit {l}}=c\;\tau _{\text{max}}\ll c\;T={\dfrac {c}{f}}\;$ ou encore
$\;{\mathit {l}}\ll \lambda ={\dfrac {c}{f}}\;$ soit aussi $\;f\ll {\dfrac {c}{\mathit {l}}}$.

     Exemples de calcul : un circuit de T.P. ayant pour longueur $\;{\mathit {l}}\sim 3,0\;m$, la condition d'A.R.Q.S. nécessite que la longueur d'onde de l'onde électrique se propageant dans le circuit vérifie $\;\lambda \gg l\sim 3,0\;m\;$ soit, en travaillant à $\;10\,\%$ près, $\;\lambda \gtrsim 30\;m\;$ d'où une fréquence $\;f={\dfrac {c}{\lambda }}$ $\lesssim {\dfrac {3\;10^{8}}{30}}=10^{7}\;Hz\;$ soit $\;f\lesssim 10\;MHz\;$ ce qui, correspondant à la fréquence maximale des générateurs de fonctions « usuels » des salles de T.P., fait que l'A.R.Q.S. sera toujours applicable dans ces dernières ;

     Exemples de calcul : avec une fréquence « domestique » $\;f=50\;Hz\;$ correspondant à une longueur d'onde $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}={\dfrac {3\;10^{8}}{50}}=$ $6\;10^{6}\;m\;$ soit $\;\lambda =6000\;km$, la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'un circuit admissible est $\;{\mathit {l}}\ll 6000\;km\;$ soit, en travaillant à $\;10\,\%$ près, $\;{\mathit {l}}\lesssim 600\;km\;$ ce qui reste usuellement réalisé dans la mesure où le circuit ne traverse pas toute la France !

     Contre-exemple de calcul : les fréquences utilisées dans les antennes d'émission d'ondes électromagnétiques sont plus élevées pouvant dépasser le $\;GHz\;$ , une fréquence $\;f=1\;GHz\;$ correspondant à une longueur d'onde $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}={\dfrac {3\;10^{8}}{10^{9}}}=$ $0,3\;m\;$ soit $\;\lambda =30\;cm$, la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'une antenne admissible est $\;{\mathit {l}}\ll 30\;cm\;$ soit, en travaillant à $\;10\,\%$ près, $\;{\mathit {l}}\lesssim 3\;cm\;$ ce qui, ne pouvant pas être réalisé, montre que l'A.R.Q.S. ne sera pas une bonne approximation de courant dans les antennes.

Conservation de la charge en A.R.Q.S. et conséquences

Conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés d'un circuit en A.R.Q.S.

     À l'instant $\;t\;$ on appelle « charge mobile » entre deux points fixés $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ du circuit, « la charge des porteurs de charge mobiles y étant présents à cet instant », cette charge restant constante en régime permanent est supposée, en A.R.Q.S., ne pas varier avec le temps sur l'échelle de temps $\;\Delta t_{i}\;$ caractérisant la variation de l'intensité.

Indépendance de l'intensité du courant d'un circuit série relativement au point considéré

     Une conséquence de la conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ d'un circuit série en A.R.Q.S., est que la « charge mobile $\;dq_{1}\;$ entrant par $\;M_{1}\;$ pendant la durée élémentaire $\;dt\;$» doit être égale à la « charge mobile $\;dq_{2}\;$ sortant par $\;M_{2}\;$ pendant la même durée élémentaire $\;dt\;$» , ce qui implique, en divisant chaque membre par $\;dt$,

$\;i(M_{1},\,t)=i(M_{2},\,t)$ ;

     en A.R.Q.S., on parle donc d'« intensité du courant traversant la portion de circuit filiforme » sans référence au point traversé, intensité que l'on note $\;i(t)$ ; on représente alors le sens «$\;+\;$» du courant par une flèche chevauchant le circuit série en un point quelconque de ce dernier en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de l'intensité algébrique du courant $\;i(t)\;$ .

Loi des nœuds

Définition d'un nœud

     Un nœud est un point d'où partent au moins trois portions de circuits filiformes.

Début d’un théorème

Énoncé de la loi des nœuds

     En un nœud, la somme des intensités $\;{\big (}$algébriques${\big )}\;$ des courants y arrivant à l'instant $\;t\;$ est égale à la somme des intensités des courants en repartant au même instant .

Fin du théorème

     Démonstration : Cela découle directement de la conservation de la « charge mobile » présente à l'intérieur d'une sphère centrée sur le nœud $\;N\;$ et de très petit rayon ;

     Démonstration : s'il y a trois portions de circuit filiforme $\;({\mathfrak {1}})$, $\;({\mathfrak {2}})\;$ et $\;({\mathfrak {3}})\;$ reliées au nœud $\;N\;$ et si on appelle $\;M_{1}$, $\;M_{2}\;$ et $\;M_{3}\;$ les intersections de la sphère avec les portions $\;({\mathfrak {1}})$, $\;({\mathfrak {2}})\;$ et $\;({\mathfrak {3}})$, on doit avoir, dans la mesure où les sens $\;+\;$ des courants sur les portions $\;({\mathfrak {1}})$, $\;({\mathfrak {2}})\;$ et $\;({\mathfrak {3}})\;$ sont

• vers $\;N\;$ pour $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ et
• s'éloignant de $\;N\;$ pour $\;({\mathfrak {3}})\;$ ,

     la « charge mobile » entrante dans la sphère entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ égale à la « charge mobile » sortante de la sphère entre les mêmes instants soit, avec $\;dq_{1}\;$ ${\big (}$respectivement $dq_{2}{\big )}\;$ la « charge mobile » entrante dans la sphère par $\;M_{1}\;$ ${\big (}$respectivement par $M_{2}{\big )}\;$ et $\;dq_{3}\;$ la « charge mobile » sortante de la sphère par $\;M_{3}$,

$\;dq_{1}+dq_{2}=dq_{3}$,

     d'où, en divisant chaque membre par la durée élémentaire considérée $\;dt\;$ et par utilisation des intensités (algébriques) des courants sur chaque fil de connexion $\;i_{k}(t)={\dfrac {dq_{k}}{dt}},\;k\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]$ ,

$\;i_{1}(t)+i_{2}(t)=i_{3}(t)\;$ .

Exemple d'utilisation de la loi des nœuds, nombre d'équations de nœud indépendantes dans un circuit à n nœuds

     On considère le circuit à $\;4\;$ nœuds ci-dessous et nous allons vérifier qu'il n'y a que $\;3\;$ équations de nœud indépendantes, la 4^ème étant une combinaison linéaire des trois autres ;

on pourra alors retenir que, dans un circuit à ${\underline {n}}$ nœuds, il n'y a que ${\underline {n-1}}$ équations de nœud indépendantes ;

Pont de Wheatstone : circuit fermé à $\;4\;$ nœuds et $\;6\;$ branches

     on choisit d'abord les sens $\;+\;$ de courant sur les $\;6\;$ portions de circuit filiforme en commençant par celle contenant le générateur $\;{\big [}$si celui-ci est un générateur de tension permanente on a supposé que sa borne $\;+\;$ est à gauche $\;{\big (}$hypothèse $\;a{\big )}$, le sens $\;+\;$ choisi correspondant alors à $\;i>0{\big ]}\;$ puis les quatre autres fixant les sens $\;+\;$ dans les portions autres que celles de l'ampèremètre $\;{\big [}$les choix correspondant là encore à des intensités $\;>0\;$ dans l'hypothèse $\;a{\big ]}\;$ et enfin la portion contenant l'ampèremètre $\;{\big [}$la seule arbitraire dans l'hypothèse $\;a{\big ]}$ ;

     la loi des nœuds appliquée successivement aux nœuds $\;A$, $\;B\;$ et $\;C\;$ nous conduit aux équations suivantes :

• nœud $\;A$ : $\;i=i_{1}+i_{2}$,
• nœud $\;B$ : $\;i_{1}=i_{3}+i_{5}\;$ introduisant, en plus des précédents, les courants d'intensités $\;i_{3}\;$ et $\;i_{5}$,
• nœud $\;C$ : $\;i_{2}+i_{5}=i_{4}\;$ introduisant, en plus des précédents, le courant d'intensité $\;i_{4}$ ;

     montrons alors que la loi de nœud $\;D\;$ est une combinaison linéaire de celles des nœuds $\;A$, $\;B\;$ et $\;C\;$ en effet elle donnerait : $\;i_{4}+i_{3}=i\;$ n'adjoignant aucun nouveau courant non introduit précédemment et, cette équation pouvant être réécrite $\;i=i_{4}+i_{3}\;$ est alors la somme membre à membre des trois autres $\;i+i_{1}+\left(i_{2}+i_{5}\right)=\left(i_{1}+i_{2}\right)+\left(i_{3}+i_{5}\right)+i_{4}\;$ soit, par simplification évidente $\;i=i_{4}+i_{3}$.

Conséquences de la notion de potentiel en A.R.Q.S.

Même tension aux bornes de deux branches en parallèle

Définition d'une branche

     Une branche est toute partie filiforme entre deux nœuds successifs , les différentes branches entre ces deux nœuds successifs étant dites « montées en parallèle » .

Début d’un théorème

Loi de tension concernant les branches montées en parallèle

     Aux bornes de deux branches montées en parallèle on a la même tension.

Fin du théorème

     Justification : cela découle du fait que la tension aux bornes de chaque branche est la différence des potentiels des nœuds limitant chaque branche quelle que soit la branche considérée.

     Rappel, représentation de ${\underline {u(t)}}$ sur un circuit : on précise le sens $\;+\;$ de tension par une flèche à côté de la portion de circuit considérée entre deux points $\;{\big (}$ou de la branche entre deux nœuds${\big )}\;$ allant du point origine $\;B\;$ de la d.d.p. à son point extrémité finale $\;A$, en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de tension algébrique $\;u(t)=V_{A}(t)-V_{B}(t)\;$ $\;{\big (}$la flèche précisant le sens $\;+\;$ de tension placée à côté de la portion de circuit considérée est appelée, par la suite, « flèche tension »${\big )}$.

Loi des mailles

Définition d'une maille

     Une maille est un circuit fermé constitué de branches successives décrites une seule fois.

Début d’un théorème

Énoncé de la loi des mailles

     La somme des tensions aux bornes des branches successives d'une maille, partant d'un nœud et y revenant, est nulle.

Fin du théorème

     Justification : cela découle du fait que la tension est une d.d.p., ainsi quand on fait la somme des tensions en tournant dans un sens ou dans l'autre, les potentiels de chaque nœud apparaissent deux fois, une fois avec le signe $\;+\;$ et l'autre fois avec le signe $\;-\;$ $\;\ldots$

     Choix d'un sens${\underline {\;+\;}}$de mesure des tensions d'une maille : on précise le sens $\;+\;$ dans lequel on tourne pour décrire la maille, a priori « arbitraire » , il doit toujours être rappelé au centre de la maille.

Exemple d'utilisation de la loi des mailles, équations de mailles indépendantes dans un circuit (Γ) à n nœuds et b branches

     On considère le même circuit que précédemment, circuit à $\;4\;$ nœuds et $\;6\;$ branches ci-dessous où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;6\;$ branches, il nous faut donc $\;6\;$ équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a $\;3\;$ équations de nœud indépendantes, il est donc nécessaire de trouver $\;3\;$ équations de mailles indépendantes  :

Pont de Wheatstone : circuit fermé à $\;4\;$ nœuds et $\;6\;$ branches

     les mailles indépendantes choisies sont :

• maille $\;(I)\;$ succession de la branche $\;(1)$, l'ampèremètre et la branche $\;(2)$, choix d'un sens $\;+\;$ dans le sens horaire d'où $\;u_{1}+u_{5}+u_{2}=0\;$ ,
• maille $\;(II)\;$ succession de l'ampèremètre, la branche $\;(3)\;$ et la branche $\;(4)$, les branches $\;(3)\;$ et $\;(4)\;$ étant de nouvelles branches non encore introduites, on y choisit un sens $\;+\;$ dans le sens horaire d'où $\;{u'}_{5}+u_{3}+u_{4}=0\;$ ,
• maille $\;(III)\;$ succession de la branche $\;(4)$, le générateur et la branche $\;(2)$, le générateur étant une nouvelle branche non encore introduite, on y choisit un sens $\;+\;$ dans le sens horaire d'où $\;{u'}_{4}+u+{u'}_{2}$ $=0\;$ ,
• pour terminer il conviendra d'exprimer ces tensions en fonction des intensités traversant les branches $\;{\big (}$et on le fera par la suite directement sans introduire les tensions $\;u$, $\;u_{1}$, $\;u_{2}\;$ ou $\;{u'}_{2}$, $\;u_{3}$, $\;u_{4}\;$ ou $\;{u'}_{4}$, $\;u_{5}\;$ ou $\;{u'}_{5}{\big )}$, voir le paragraphe « Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches » plus bas dans ce chapitre.

Lois de Kirchhoff

     L'ensemble des lois des nœuds et des lois de mailles d'un circuit constitue les lois de Kirchhoff du circuit.

Conventions récepteurs et générateurs dans une branche

Conventions récepteurs dans une branche

     « La flèche tension aux bornes de la branche » est « de sens contraire » à « la flèche courant traversant la branche »  ;

     ces conventions sont bien adaptées à un récepteur car le sens $\;+\;$ de courant y est dans le sens $\;-\;$ des tensions c.-à-d. dans le sens $\;+\;$ des potentiels $\;\searrow$,

$\;i(t)\;$ et $\;u(t)\;$ en convention récepteur sont donc toujours de même signe dans un récepteur,

     mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un générateur , lesquelles sont alors mal adaptées car

$\;i(t)\;$ et $\;u(t)\;$ en convention récepteur sont de signe contraire dans un générateur.

Conventions générateurs dans une branche

     « La flèche tension aux bornes de la branche » est « de même sens » que « la flèche courant traversant la branche »  ;

     ces conventions sont bien adaptées à un générateur car le sens $\;+\;$ de courant y est dans le sens $\;+\;$ des tensions c.-à-d. encore dans le sens $\;+\;$ des potentiels $\;\nearrow$,

$\;i(t)\;$ et $\;u(t)\;$ en convention générateur sont donc toujours de même signe dans un générateur,

     mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un récepteur , lesquelles sont alors mal adaptées car

$\;i(t)\;$ et $\;u(t)\;$ en convention générateur sont de signe contraire dans un récepteur.

Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches

Pont de Wheatstone : circuit fermé à 4 nœuds et 6 branches

     On considère le même circuit que précédemment, circuit à $\;4\;$ nœuds et $\;6\;$ branches ci-contre où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;6\;$ branches, il nous faut donc $\;6\;$ équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a $\;3\;$ équations de nœud indépendantes et que l'on peut trouver $\;3\;$ équations de mailles indépendantes  ; on se propose ici de réécrire les équations de mailles choisies sachant que les branches $\;(1)$, $\;(2)$, $\;(3)$, $\;(4)\;$ ou $\;(5)\;$ sont équivalentes à un conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}$, $\;R_{2}$, $\;R_{3}$, $\;R_{4}\;$ ou $\;R_{5}\;$  :

• maille $\;(I)$ : $\;-R_{1}\;i_{1}-R_{5}\;i_{5}+R_{2}\;i_{2}=0\;$ car les branches $\;(1)\;$ et $\;(5)\;$ sont en convention générateur et la branche $\;(2)\;$ en convention récepteur,
• maille $\;(II)$ : $\;R_{5}\;i_{5}-R_{3}\;i_{3}+R_{4}\;i_{4}=0$, les branches $\;(5)\;$ et $\;(4)\;$ étant en convention récepteur et la branche $\;(3)\;$ en convention générateur,
• maille $\;(III)$ : $\;-R_{4}\;i_{4}+u-R_{2}\;i_{2}=0$, les branches $\;(4)\;$ et $\;(2)\;$ étant en convention générateur avec $\;u\;$ la tension aux bornes du générateur dans le sens $\;+\;$ choisie sur la maille .

     Commentaires : les $\;3\;$ équations de nœud indépendantes et ces $\;3\;$ équations de maille indépendantes conduisent à un système de $\;6\;$ équations linéaires indépendantes aux $\;6\;$ inconnues $\;i$, $\;i_{1}$, $\;i_{2}$, $\;i_{3}$, $\;i_{4}\;$ et $\;i_{5}$ ; la « résolution de ce système » nous permettrait de trouver une solution unique dépendant de la valeur de tension $\;u\;$ et de celles des résistances à savoir «$\;\left(i_{0},\,i_{1,\,0},\,i_{2,\,0},\,i_{3,\,0},\,i_{4,\,0},\,i_{5,\,0}\right)\;$» $\;\ldots$

Ordres de grandeurs des intensités et des tensions dans différents domaines d'application

Domaine de l'électronique

• Ordre de grandeur des intensités, quelques $\;mA\;$ et
• celui des tensions, quelques $\;V$ ;

     nous verrons qu'il existe des courants d'intensité nettement plus faible allant jusqu'à quelques $\;nA\;$ mais alors $\;-\;$ sauf exception $\;-\;$ il sera légitime de considérer leur intensité comme nulle comparée aux autres intensités ;

     de même il existe des tensions nettement plus faibles allant jusqu'à quelques $\;\mu V\;$ mais il sera aussi légitime de les considérer comme nulles comparées aux autres tensions.

Domaine de l'électricité domestique

• Ordre de grandeur des intensités, quelques $\;A\;$ et
• la tension en régime alternatif du réseau actuel, $\;220\;V\;$ .

Domaine de l'électrotechnique

• Ordre de grandeur des intensités, quelques $\;kA\;$ et
• celui des tensions, quelques $\;kV$ ;

     par exemple les moteurs électriques des T.G.V. délivrent des courants d'intensité de $\;500\;$ à $\;1000\;A$, les tensions dépendant, quant à elles, du réseau, ainsi le réseau « bicourant » T.G.V. S.E. fonctionne en régime permanent sous tension de $\;1500\;V\;$ ou en régime alternatif sous tension de $\;25\;kV\;$ .

Domaine des phénomènes naturels

• Les intensités dans les éclairs d'orage peuvent atteindre $\;500\;kA\;$ pendant une durée très brève et
• les tensions correspondantes être de $\;100\;MV$.

Notion de puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit

Définition de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit

     La puissance instantanée électrique $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ reçue par la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t\;$ est la puissance instantanée développée par les forces électriques exercées sur tous les porteurs de charge mobiles qui sont présents dans la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t$ ;

     si la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ est un récepteur, les forces électriques sont motrices et la puissance instantanée électrique reçue est positive mais

     si la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ est un générateur, les forces électriques sont résistives et la puissance instantanée électrique reçue est négative ;

mathématiquement $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=\sum \limits _{{\text{présents dans }}{\mathcal {C}}\,{\text{à }}t}^{\text{tous les porteurs}}{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\;$ où $\;M_{t}\;$ est la position du porteur à l'instant $\;t$,
avec $\;{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]=q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}(M_{t})\;$ la puissance développée par la force électrique
s'exerçant sur le porteur passant en $\;M_{t}\;$ avec la vitesse d'entraînement $\;{\vec {v}}(M_{t})\;$ .

Expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant

     On admet, pour l'instant , l'expression de la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}$, puissance instantanée notée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ et exprimée en $\;W$, la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ étant telle que $\;u(t)\;$ est la tension instantanée en ses bornes exprimée en $\;V\;$ et $\;i(t)\;$ l'intensité instantanée du courant la traversant en $\;A$, les deux obéissant à une convention récepteur,

$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=u(t)\;i(t)$.

Vérification du signe de la puissance instantanée électrique reçue suivant la nature réceptrice ou génératrice de la portion de circuit

     En convention récepteur, la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique reçue par un récepteur est positive, alors que,

     En convention récepteur, la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique reçue par un générateur est négative.

Notion de puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit

Bilan de puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé

     Considérons le circuit série fermé constitué

• d'une portion de circuit $\;({\mathcal {C}})\;$ limitée par les points $\;A\;$ et $\;A'$, portion de circuit que nous noterons par la suite $\;A({\mathcal {C}})A'\;$ et, pour assurer la fermeture du circuit,
• d'un fil de connexion $\;({\mathcal {f}})\;$ reliant les points $\;A'\;$ et $\;A\;$, fil de connexion que nous noterons par la suite $\;A'({\mathcal {f}})A$ ;

     on peut évaluer la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit $\;A({\mathcal {C}})A'\;$ avec choix d'une convention récepteur pour cette portion selon $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left[A({\mathcal {C}})A'\right]=u(t)\;i(t)\;$ où $\;u(t)\;$ est la tension aux bornes de la portion de circuit, $\;i(t)\;$ étant l'intensité du courant la traversant ;

     raccourcissant le fil de connexion $\;A'({\mathcal {f}})A\;$ de façon à ce que $\,A'\;$ tende vers $\;A$, la portion de circuit $\;A({\mathcal {C}})A'\;$ tend alors vers le circuit fermé $\;A({\mathcal {C}})A\;$ et simultanément $\;u(t)\rightarrow V_{A}(t)-V_{A}(t)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left[A({\mathcal {C}})A'\right]\rightarrow {\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left[A({\mathcal {C}})A\right]=0\;$ établissant que

la puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé est nulle.

Définition de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit

Circuit série constitué d'une partie réceptrice fermée sur une partie génératrice et choix de conventions communes

     Considérons un circuit série fermé constitué d'une partie réceptrice $\;(\mathrm {recept} )\;$ et d'une partie génératrice $\;(\mathrm {generat} )$, du bilan de puissance établi au paragraphe précédent on en déduit :

$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {recept} ,\;t\right)+{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {generat} ,\;t\right)=0\;$ ou que $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {generat} ,\;t\right)=-{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {recept} ,\;t\right)$ ;

     ayant choisi la convention récepteur pour la partie réceptrice (voir figure ci-contre), les mêmes grandeurs correspondent à la convention générateur pour la partie génératrice ;

     sachant que $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {recept} ,\;t\right)=u(t)\;i(t)\;$ on déduit, du bilan de puissance reçue, la puissance instantanée électrique reçue par la partie génératrice $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {generat} ,\;t\right)=-u(t)\;i(t)$ ;

     ainsi en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ s'évalue selon $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=-u(t)\;i(t)\;$  ;

     on définit alors la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ comme l'opposé de la puissance instantanée électrique reçue $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ soit

$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=-{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$.

Expression, en convention générateur, de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant

     Ayant vu qu'en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit s'écrit $\;-u(t)\;i(t)\;$ et
     Ayant vu que la puissance instantanée électrique fournie en est l'opposé, on en déduit :

     l'expression de la puissance instantanée électrique fournie par la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}$, puissance instantanée notée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ et exprimée en $\;W$, la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ étant telle que $\;u(t)\;$ est la tension instantanée en ses bornes exprimée en $\;V\;$ et $\;i(t)\;$ l'intensité instantanée du courant la traversant en $\;A$, les deux obéissant à une convention générateur,

$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=u(t)\;i(t)$.

     Remarque : pour être complet il convient d'ajouter que la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit s'écrira en convention récepteur $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=-u(t)\;i(t)$ $\;\ldots$

Vérification du signe de la puissance instantanée électrique fournie suivant la nature génératrice ou réceptrice de la portion de circuit

     En convention générateur, la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique fournie par un générateur est positive, alors que,

     En convention générateur, la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique fournie par un récepteur est négative.