Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance

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Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance
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Chapitre no 21
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
Chap. suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires
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Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace, échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps modifier

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace modifier

     Ces notions ont déjà été évoquées en note « 27 » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous les détaillons un peu plus ci-dessous :

  • échelle macroscopique de l'espace : toute dimension  ,
  • échelle microscopique de l'espace : toute dimension   de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles,
  • échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions   qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques » [1] et comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques » [2].

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps modifier

     Ces notions n'ont pas encore été introduites :

  • échelle macroscopique de temps : toute durée   supérieure à l'ordre de grandeur de persistance sur la rétine,
  • échelle microscopique de temps : toute durée   la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles,
  • échelle mésoscopique de temps : les durées   qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques » [3] et comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques » [4].

Quantification de la charge électrique, conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique modifier

Quantification de la charge électrique, valeur du quantum de charge modifier

     Les charges individuelles des porteurs de charge mobiles ainsi que celles des ions fixes étant toutes « multiples d'une même charge élémentaire » [5], on en déduit que la charge électrique est une grandeur quantifiée, le quantum de charge étant la charge élémentaire  .

Conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique modifier

     Considérons la charge électrique correspondant à une circulation d'un courant de très faible intensité   pendant une durée mésoscopique  , la charge circulant valant     [6] [7] reste « très grande relativement au quantum de charge » [8] ;

     il est donc légitime, dans la mesure où on fait une observation mésoscopique (ou macroscopique), de négliger la quantification de la charge c.-à-d. de considérer la charge comme une grandeur « continue » [9].

Modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique modifier

     Cette notion a déjà été introduite dans le paragraphe « modélisation filiforme d'un conducteur, sens conventionnel du courant » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous la rappelons ci-dessous :

     quand une dimension d'un conducteur est très grande par rapport aux deux autres, on modélise le conducteur en négligeant les dimensions transversales, cette limite définissant une portion de circuit « filiforme » ; le courant qui correspondait à la circulation de porteurs de charge à travers les sections droites du conducteur est maintenant une circulation de porteurs de charge à travers les points successifs de la portion de circuit filiforme, le sens (conventionnel) [10] du courant étant le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive  et le sens contraire des porteurs de charge négative [11] .

Notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit filiforme modifier

     Ces notions déjà, en grande partie, introduites dans le paragraphe « définition de l'intensité algébrique du courant » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » sont rappelées ci-après :

     la définition du courant électrique ayant été rappelée au paragraphe précédent « modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique » plus haut dans ce chapitre, pour algébriser sa circulation, on définit, arbitrairement, un sens   de mesure de l’intensité du courant :

     La durée élémentaire   est en fait une durée mésoscopique [15], la charge circulant peut donc s'écrire en utilisant la loi des grands nombres   [16]  est le nombre moyen de porteurs de charge mobiles circulant dans le sens   pendant  ,   étant leur charge individuelle [17] ;
     on en déduit l'intensité du courant au point   sous la forme  , dans laquelle   représente le débit (moyen) de porteurs de charge mobiles de charge individuelle   dans le sens   ;
     exemple une intensité de   dans un conducteur métallique correspond à un débit de porteurs de charge mobiles de charge individuelle (fictive)   dans le sens   égal à   soit un débit d'électrons de conduction dans le sens   égal à  .

Cause de l'existence d'un courant dans un circuit électrique modifier

Cause dans une partie réceptrice : force électrique « motrice » due à un champ électrique généré par un générateur modifier

     Revoir les notions exposées dans le paragraphe « nécessité d'imposer une tension aux bornes d'un récepteur pour qu'il soit traversé par un courant » au chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après :

     il y a circulation de courant dans la partie réceptrice d'un circuit filiforme si les porteurs de charge mobiles sont soumis à une force motrice d'origine électrique ;

     le récepteur est relié à un générateur qui impose en tout point   du récepteur un champ électrique  , un porteur mobile de charge   subit alors, quand il est en  , la force électrique motrice

 
qui permet sa mise en mouvement dans le sens du courant si   et en sens contraire si   [18] ;

     le courant dans un récepteur est donc toujours dans le sens du champ électrique   [19].

Cause dans une partie génératrice : force « motrice » due à un champ électromoteur modifier

     Revoir les notions exposées dans le paragraphe « tension aux bornes d'un générateur et sens du courant dans ce dernier » au chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après :

     en tout point   d'un générateur, existe aussi un champ électrique  , un porteur mobile de charge   est donc aussi soumis, quand il est au point  , à une force électrique     mais celle-ci étant « résistive » [20],

     il existe donc nécessairement, s'exerçant sur chaque porteur mobile de charge  , une force motrice d'origine dépendant de la nature du générateur  origine électrochimique pour une pile  introduction de phénomènes d'oxydo-réduction  ou origine électromécanique pour un alternateur  introduction de phénomènes d'induction qui seront également vus dans chap.  « circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire : conversion de puissance mécanique en puissance électrique » de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) »  et s'écrivant en fonction d'un champ électromoteur   indépendant du porteur

  [21] ;

     le courant dans un générateur est donc toujours dans le sens du champ électromoteur   [22] c.-à-d. encore dans le sens contraire du champ électrique   [23].

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans le sens du courant modifier

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie réceptrice modifier

     Un porteur mobile de charge  , quand il est au point   d'une partie réceptrice, dans le champ électrique  , possède de l'énergie potentielle électrique   [24] tout comme un objet de masse  , quand il est au point   de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme  , possède de l'énergie potentielle de pesanteur   ;

     si   est   son énergie potentielle électrique   dans le sens de   qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice [25], comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet   dans le sens de   qui est le sens spontané de déplacement de l'objet [26] ;

     comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive [27], on en déduit que l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge  positive ou négative  dans une partie réceptrice décroît dans le sens du courant.

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie génératrice modifier

     Un porteur mobile de charge  , quand il est au point   d'une partie génératrice, dans le champ électrique  , possède aussi de l'énergie potentielle électrique   [24] tout comme un objet de masse  , quand il est au point   de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme  , possède de l'énergie potentielle de pesanteur   ;

     si   est   son énergie potentielle électrique   dans le sens contraire de   qui est aussi le sens du champ électromoteur   et le sens du courant dans la partie génératrice [28], comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet   dans le sens contraire de   qui est le sens provoqué de déplacement de l'objet dont on veut provoquer une remontée [26] ;

     comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive [27], on en déduit que l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge  positive ou négative  dans une partie génératrice croît dans le sens du courant.

Potentiel d'un point d'un circuit électrique, choix de la référence de potentiel, définition de la tension entre deux points d'un circuit modifier

Potentiel d'un point d'un circuit électrique modifier

     Comme l'énergie potentielle de pesanteur terrestre d'un objet en une position   de l'espace   est   à la masse   de l'objet, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge en une position   d'un circuit électrique   est   à la charge   du porteur, l'autre facteur ne dépendant que de la position dans l'espace champ de pesanteur ou électrique ;

     pour l'objet de masse   dans le champ de pesanteur  , l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit

 [29]
  représente l'altitude de la position   où se trouve l'objet par rapport au sol [30],

     de même on définit l'énergie potentielle électrique du porteur de charge   dans le champ électrique   selon

 
  représente le potentiel électrique en   où se trouve le porteur,
potentiel mesuré par rapport à une position particulière appelée « masse du circuit » [31] ;

     le potentiel électrique    exprimé en   décroît dans le sens du champ électrique   [32], en effet

  • dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive   dans le sens du courant donc dans le sens de   et, comme   est  , le potentiel électrique   dans le sens de   [33],
  • dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive   dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur   et par suite le sens contraire du champ électrique   et, comme   est  , le potentiel électrique qui   dans le sens contraire de  ,   dans le sens de   [34].

Choix de la référence du potentiel modifier

     L'énergie potentielle électrique nécessitant, comme toute énergie potentielle, de préciser sa « référence » [35], il en est de même du potentiel électrique qui n'est donc défini qu'à une constante additive près, on choisit donc l'endroit où le potentiel est considéré comme nul et cet endroit définit la « masse du circuit » [36].

Définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.) modifier

     De même que l'on définit une dénivellation dans un champ de pesanteur comme une différence d'altitudes, on définit une tension dans un champ électrique comme une différence de potentiels ou d.d.p., plus précisément la tension entre les points   et   d'un même circuit, noté   et égale à la différence de potentiels ou d.d.p.   ou

 

     représentée à côté de la portion de circuit entre   et   par une flèche allant de   vers   [37], la valeur de la tension étant notée à côté de la flèche.

Sens du courant relativement au sens de variation des potentiels modifier

     Dans une partie réceptrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électrique   et ce dernier dans le sens des potentiels  ,

le courant est toujours dans le sens des potentiels  ,
par conséquent le sens du courant est toujours opposé au sens de la « flèche tension » choisie positive ;

     dans une partie génératrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur   soit dans le sens contraire du champ électrique  ,
     dans une partie génératrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur   soit dans le sens de ce dernier étant dans le sens des potentiels  ,

le courant est toujours dans le sens des potentiels  ,
par conséquent le sens du courant est toujours de même sens que la « flèche tension » choisie positive.

Notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence modifier

     En régime dépendant du temps, la propagation d'une onde électrique le long d'un circuit est aussi celle du champ électrique, elle se fait donc à la célérité   [38] ;

     ainsi un champ électrique existant en   à la date  , se retrouvera en    séparé de   de   à la date   ; on pourra encore affirmer que l'intensité en   à la date   était celle existant en   à la date   ou

  ;

     l'A.R.Q.S.  approximation des régimes quasi-stationnaires  nécessite qu'à un instant  , l'intensité soit indépendante de   c.-à-d. que

 ,

     ceci suppose que la durée de propagation   entre deux points quelconques séparés de   puisse être négligée par rapport à  , durée caractérisant la variation de   [39] ou encore

  ;

     notant   la longueur du circuit, la condition d'A.R.Q.S. sera réalisée pour deux points choisis de façon quelconque sur le circuit si

 .

     Cas d'un régime dépendant du temps  -périodique : choisissant la période   comme durée caractérisant la variation de l'intensité,

la condition d'A.R.Q.S. s'écrit       ou encore
  [40] soit aussi  .

     Exemples de calcul : un circuit de T.P. ayant pour longueur  , la condition d'A.R.Q.S. nécessite que la longueur d'onde de l'onde électrique se propageant dans le circuit vérifie   soit, en travaillant à   près,   d'où une fréquence     soit   ce qui, correspondant à la fréquence maximale des générateurs de fonctions « usuels » des salles de T.P., fait que l'A.R.Q.S. sera toujours applicable dans ces dernières ;

     Exemples de calcul : avec une fréquence « domestique »   correspondant à une longueur d'onde     soit  , la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'un circuit admissible est   soit, en travaillant à   près,   ce qui reste usuellement réalisé dans la mesure où le circuit ne traverse pas toute la France !

     Contre-exemple de calcul : les fréquences utilisées dans les antennes d'émission d'ondes électromagnétiques sont plus élevées pouvant dépasser le   [41], une fréquence   correspondant à une longueur d'onde     soit  , la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'une antenne admissible est   soit, en travaillant à   près,   ce qui, ne pouvant pas être réalisé, montre que l'A.R.Q.S. ne sera pas une bonne approximation de courant dans les antennes.

Conservation de la charge en A.R.Q.S. et conséquences modifier

Conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés d'un circuit en A.R.Q.S. modifier

     À l'instant   on appelle « charge mobile » entre deux points fixés   et   du circuit, « la charge des porteurs de charge mobiles y étant présents à cet instant », cette charge restant constante en régime permanent est supposée, en A.R.Q.S., ne pas varier avec le temps sur l'échelle de temps   caractérisant la variation de l'intensité.

Indépendance de l'intensité du courant d'un circuit série relativement au point considéré modifier

     Une conséquence de la conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés   et   d'un circuit série en A.R.Q.S., est que la « charge mobile   entrant par   pendant la durée élémentaire  » doit être égale à la « charge mobile   sortant par   pendant la même durée élémentaire  » [42], ce qui implique, en divisant chaque membre par  ,

  ;

     en A.R.Q.S., on parle donc d'« intensité du courant traversant la portion de circuit filiforme » sans référence au point traversé, intensité que l'on note   ; on représente alors le sens « » du courant par une flèche chevauchant le circuit série en un point quelconque de ce dernier en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de l'intensité algébrique du courant   [43].

Loi des nœuds modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Cela découle directement de la conservation de la « charge mobile » présente à l'intérieur d'une sphère centrée sur le nœud   et de très petit rayon ;

     Démonstration : s'il y a trois portions de circuit filiforme  ,   et   reliées au nœud   [45] et si on appelle  ,   et   les intersections de la sphère avec les portions  ,   et  , on doit avoir, dans la mesure où les sens   des courants sur les portions  ,   et   sont

  • vers   pour   et   [45] et
  • s'éloignant de   pour   [45],

     la « charge mobile » entrante dans la sphère entre   et   égale à la « charge mobile » sortante de la sphère entre les mêmes instants [46] soit, avec    respectivement   la « charge mobile » entrante dans la sphère par    respectivement par   et   la « charge mobile » sortante de la sphère par  ,

 ,

     d'où, en divisant chaque membre par la durée élémentaire considérée   et par utilisation des intensités (algébriques) des courants sur chaque fil de connexion   [47],

  [48] [49].

Exemple d'utilisation de la loi des nœuds, nombre d'équations de nœud indépendantes dans un circuit à n nœuds modifier

     On considère le circuit à   nœuds ci-dessous et nous allons vérifier qu'il n'y a que   équations de nœud indépendantes, la 4ème étant une combinaison linéaire des trois autres ;

on pourra alors retenir que, dans un circuit à   nœuds, il n'y a que   équations de nœud indépendantes ;
 
Pont de Wheatstone : circuit fermé à   nœuds et   branches

     on choisit d'abord les sens   de courant sur les   portions de circuit filiforme en commençant par celle contenant le générateur  si celui-ci est un générateur de tension permanente on a supposé que sa borne   est à gauche  hypothèse  , le sens   choisi correspondant alors à   puis les quatre autres fixant les sens   dans les portions autres que celles de l'ampèremètre  les choix correspondant là encore à des intensités   dans l'hypothèse   et enfin la portion contenant l'ampèremètre  la seule arbitraire dans l'hypothèse   ;

     la loi des nœuds appliquée successivement aux nœuds  ,   et   nous conduit aux équations suivantes :

  • nœud   :  ,
  • nœud   :   introduisant, en plus des précédents, les courants d'intensités   et  ,
  • nœud   :   introduisant, en plus des précédents, le courant d'intensité   ;

     montrons alors que la loi de nœud   est une combinaison linéaire de celles des nœuds  ,   et   en effet elle donnerait :   n'adjoignant aucun nouveau courant non introduit précédemment et, cette équation pouvant être réécrite   est alors la somme membre à membre des trois autres   soit, par simplification évidente  .

Conséquences de la notion de potentiel en A.R.Q.S. modifier

Même tension aux bornes de deux branches en parallèle modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Justification : cela découle du fait que la tension aux bornes de chaque branche est la différence des potentiels des nœuds limitant chaque branche quelle que soit la branche considérée.

     Rappel, représentation de   sur un circuit : on précise le sens   de tension par une flèche à côté de la portion de circuit considérée entre deux points  ou de la branche entre deux nœuds  allant du point origine   de la d.d.p. à son point extrémité finale  , en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de tension algébrique    la flèche précisant le sens   de tension placée à côté de la portion de circuit considérée est appelée, par la suite, « flèche tension » .

Loi des mailles modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Justification : cela découle du fait que la tension est une d.d.p., ainsi quand on fait la somme des tensions en tournant dans un sens ou dans l'autre, les potentiels de chaque nœud apparaissent deux fois, une fois avec le signe   et l'autre fois avec le signe    

     Choix d'un sens de mesure des tensions d'une maille : on précise le sens   dans lequel on tourne pour décrire la maille, a priori « arbitraire » [52], il doit toujours être rappelé au centre de la maille.

Exemple d'utilisation de la loi des mailles, équations de mailles indépendantes dans un circuit (Γ) à n nœuds et b branches modifier

     On considère le même circuit que précédemment, circuit à   nœuds et   branches ci-dessous où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les   branches, il nous faut donc   équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a   équations de nœud indépendantes, il est donc nécessaire de trouver   équations de mailles indépendantes [53] :

 
Pont de Wheatstone : circuit fermé à   nœuds et   branches

     les mailles indépendantes choisies sont :

  • maille   succession de la branche  , l'ampèremètre et la branche  , choix d'un sens   dans le sens horaire d'où   [54],
  • maille   succession de l'ampèremètre, la branche   et la branche  , les branches   et   étant de nouvelles branches non encore introduites, on y choisit un sens   dans le sens horaire d'où   [55],
  • maille   succession de la branche  , le générateur et la branche  , le générateur étant une nouvelle branche non encore introduite, on y choisit un sens   dans le sens horaire d'où     [56],
  • pour terminer il conviendra d'exprimer ces tensions en fonction des intensités traversant les branches  et on le fera par la suite directement sans introduire les tensions  ,  ,   ou  ,  ,   ou  ,   ou  , voir le paragraphe « Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches » plus bas dans ce chapitre.

Lois de Kirchhoff modifier

     L'ensemble des lois des nœuds et des lois de mailles d'un circuit constitue les lois de Kirchhoff [57] du circuit.

Conventions récepteurs et générateurs dans une branche modifier

Conventions récepteurs dans une branche modifier

     « La flèche tension aux bornes de la branche » est « de sens contraire » à « la flèche courant traversant la branche » [58] ;

     ces conventions sont bien adaptées à un récepteur car le sens   de courant y est dans le sens   des tensions c.-à-d. dans le sens   des potentiels  ,

  et   en convention récepteur sont donc toujours de même signe dans un récepteur,

     mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un générateur [59], lesquelles sont alors mal adaptées car

  et   en convention récepteur sont de signe contraire dans un générateur.

Conventions générateurs dans une branche modifier

     « La flèche tension aux bornes de la branche » est « de même sens » que « la flèche courant traversant la branche » [60] ;

     ces conventions sont bien adaptées à un générateur car le sens   de courant y est dans le sens   des tensions c.-à-d. encore dans le sens   des potentiels  ,

  et   en convention générateur sont donc toujours de même signe dans un générateur,

     mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un récepteur [59], lesquelles sont alors mal adaptées car

  et   en convention générateur sont de signe contraire dans un récepteur.

Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches modifier

 
Pont de Wheatstone : circuit fermé à 4 nœuds et 6 branches

     On considère le même circuit que précédemment, circuit à   nœuds et   branches ci-contre où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les   branches, il nous faut donc   équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a   équations de nœud indépendantes et que l'on peut trouver   équations de mailles indépendantes [61] ; on se propose ici de réécrire les équations de mailles choisies sachant que les branches  ,  ,  ,   ou   sont équivalentes à un conducteur ohmique de résistance  ,  ,  ,   ou   [62] :

  • maille   :   car les branches   et   sont en convention générateur et la branche   en convention récepteur,
  • maille   :  , les branches   et   étant en convention récepteur [63] et la branche   en convention générateur,
  • maille   :  , les branches   et   étant en convention générateur [64] avec   la tension aux bornes du générateur dans le sens   choisie sur la maille [65].

     Commentaires : les   équations de nœud indépendantes et ces   équations de maille indépendantes conduisent à un système de   équations linéaires indépendantes aux   inconnues  ,  ,  ,  ,   et   ; la « résolution de ce système » [66] nous permettrait de trouver une solution unique dépendant de la valeur de tension   et de celles des résistances à savoir « »  

Ordres de grandeurs des intensités et des tensions dans différents domaines d'application modifier

Domaine de l'électronique modifier

  • Ordre de grandeur des intensités, quelques   et
  • celui des tensions, quelques   ;

     nous verrons qu'il existe des courants d'intensité nettement plus faible allant jusqu'à quelques   mais alors   sauf exception   il sera légitime de considérer leur intensité comme nulle comparée aux autres intensités ;

     de même il existe des tensions nettement plus faibles allant jusqu'à quelques   mais il sera aussi légitime de les considérer comme nulles comparées aux autres tensions.

Domaine de l'électricité domestique modifier

  • Ordre de grandeur des intensités, quelques   et
  • la tension en régime alternatif du réseau actuel,   [67].

Domaine de l'électrotechnique modifier

  • Ordre de grandeur des intensités, quelques   et
  • celui des tensions, quelques   ;

     par exemple les moteurs électriques des T.G.V. délivrent des courants d'intensité de   à  , les tensions dépendant, quant à elles, du réseau, ainsi le réseau « bicourant » [68] T.G.V. S.E. fonctionne en régime permanent sous tension de   ou en régime alternatif sous tension de   [69].

Domaine des phénomènes naturels modifier

  • Les intensités dans les éclairs d'orage peuvent atteindre   pendant une durée très brève et
  • les tensions correspondantes être de  .

Notion de puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit modifier

Définition de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit modifier

     La puissance instantanée électrique   reçue par la portion de circuit   à l'instant   est la puissance instantanée développée par les forces électriques exercées sur tous les porteurs de charge mobiles qui sont présents dans la portion de circuit   à l'instant   ;

     si la portion de circuit   est un récepteur, les forces électriques sont motrices et la puissance instantanée électrique reçue est positive mais

     si la portion de circuit   est un générateur, les forces électriques sont résistives et la puissance instantanée électrique reçue est négative ;

mathématiquement    est la position du porteur à l'instant  ,
avec   la puissance développée par la force électrique [70]
s'exerçant sur le porteur passant en   avec la vitesse d'entraînement   [71].

Expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant modifier

     On admet, pour l'instant [72], l'expression de la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit  , puissance instantanée notée   et exprimée en  , la portion de circuit   étant telle que   est la tension instantanée en ses bornes exprimée en   et   l'intensité instantanée du courant la traversant en  , les deux obéissant à une convention récepteur,

 .

Vérification du signe de la puissance instantanée électrique reçue suivant la nature réceptrice ou génératrice de la portion de circuit modifier

     En convention récepteur, la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie   d'après la formule précédente   que la puissance instantanée électrique reçue par un récepteur est positive, alors que,

     En convention récepteur, la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie   d'après la formule précédente   que la puissance instantanée électrique reçue par un générateur est négative.

Notion de puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit modifier

Bilan de puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé modifier

     Considérons le circuit série fermé constitué

  • d'une portion de circuit   limitée par les points   et  , portion de circuit que nous noterons par la suite   et, pour assurer la fermeture du circuit,
  • d'un fil de connexion   reliant les points   et  , fil de connexion que nous noterons par la suite   ;

     on peut évaluer la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit   avec choix d'une convention récepteur pour cette portion selon    est la tension aux bornes de la portion de circuit,   étant l'intensité du courant la traversant ;

     raccourcissant le fil de connexion   de façon à ce que   tende vers  , la portion de circuit   tend alors vers le circuit fermé   et simultanément       établissant que

la puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé est nulle.

Définition de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit modifier

 
Circuit série constitué d'une partie réceptrice fermée sur une partie génératrice et choix de conventions communes

     Considérons un circuit série fermé constitué d'une partie réceptrice   et d'une partie génératrice  , du bilan de puissance établi au paragraphe précédent on en déduit :

  ou que   ;

     ayant choisi la convention récepteur pour la partie réceptrice (voir figure ci-contre), les mêmes grandeurs correspondent à la convention générateur pour la partie génératrice ;

     sachant que   [73] on déduit, du bilan de puissance reçue, la puissance instantanée électrique reçue par la partie génératrice   ;

     ainsi en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit   s'évalue selon   [74] ;

     on définit alors la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit   comme l'opposé de la puissance instantanée électrique reçue   soit

 .

Expression, en convention générateur, de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant modifier

     Ayant vu qu'en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit s'écrit   et
     Ayant vu que la puissance instantanée électrique fournie en est l'opposé, on en déduit :

     l'expression de la puissance instantanée électrique fournie par la portion de circuit  , puissance instantanée notée   et exprimée en  , la portion de circuit   étant telle que   est la tension instantanée en ses bornes exprimée en   et   l'intensité instantanée du courant la traversant en  , les deux obéissant à une convention générateur,

 .

     Remarque : pour être complet il convient d'ajouter que la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit s'écrira en convention récepteur    

Vérification du signe de la puissance instantanée électrique fournie suivant la nature génératrice ou réceptrice de la portion de circuit modifier

     En convention générateur, la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie   d'après la formule précédente   que la puissance instantanée électrique fournie par un générateur est positive, alors que,

     En convention générateur, la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie   d'après la formule précédente   que la puissance instantanée électrique fournie par un récepteur est négative.

Notes et références modifier

  1. Exemple d'une chaîne linéaire d'atomes : la distance entre deux atomes est d'échelle microscopique, une distance de   sur cette chaîne d'échelle mésoscopique et celle de   sur cette même chaîne d'échelle macroscopique ;
       nous pourrions déterminer la masse d'un échantillon mésoscopique de   de chaîne d'atomes en multipliant la masse d'un atome par le nombre d'atomes comptés mais ce dernier étant grand et difficilement comptable, nous déduirons la masse de l'échantillon en multipliant la masse d'un atome par le nombre moyen d'atomes c.-à-d. en appliquant la loi des grands nombres à l'échantillon mésoscopique  ou encore en y faisant une étude statistique .
  2. Reprenant l'exemple de la chaîne linéaire d'atomes précédente :
       ayant évalué la masse d'un échantillon mésoscopique de   de chaîne d'atomes, la masse d'un échantillon macroscopique de   de chaîne d'atomes pourrait être déterminée en ajoutant les masses de tous les échantillons mésoscopiques mais ce serait trop fastidieux, elle sera calculée en définissant la masse linéique des échantillons mésoscopiques suivant leur abscisse de positionnement   et en intégrant    le caractère petit des échantillons mésoscopiques relativement aux échantillons macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de la matière  ;
       si la masse linéique des échantillons mésoscopiques ne dépend pas de leur abscisse de positionnement, la masse de l'échantillon macroscopique de   de chaîne d'atomes s'obtiendra simplement en multipliant la masse linéique par le nombre moyen d'échantillons mésoscopiques dans l'échantillon macroscopique c.-à-d. en multipliant par  .
  3. On pourra donc appliquer la loi des grands nombres sur la durée mésoscopique  ou encore y faire une étude statistique .
  4. On pourra remplacer la définition d'une grandeur   sur une durée mésoscopique   repérée à l'instant    par exemple le nombre d'atomes passant par un trou pendant   à partir de l'instant   par le débit de cette grandeur    sur l'exemple le débit d'atomes passant par le trou à l'instant   et calculer la grandeur   sur une durée macroscopique   à partir d'une date   en intégrant    sur l'exemple on obtient le nombre d'atomes passant par le trou pendant   à partir de l'instant    le caractère petit des durées mésoscopiques de temps relativement aux durées macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de l'évolution de grandeur relativement au temps  ;
       si le débit de la grandeur   sur des durées mésoscopiques ne dépend pas de leur date de détermination, la grandeur   sur la durée macroscopique de   à partir de   s'obtiendra simplement en multipliant le débit de la grandeur   sur des durées mésoscopiques par le nombre moyen de durées mésoscopiques dans la durée macroscopique c.-à-d. en multipliant par  .
  5. Exemples de porteurs de charge mobiles et d'ions fixes ou mobiles dans les conducteurs, semi-conducteurs intrinsèques ou extrinsèques :
    • dans un conducteur métallique les porteurs de charge mobiles sont les électrons de conduction de charge  , les ions fixes nécessairement de charge positif dépendent du métal  pour le cuivre c'est le cation  ,
    • dans un semi-conducteur intrinsèque les porteurs de charge mobile sont les électrons de conduction et les trous, ces derniers fictifs étant de charge    on rappelle que leur introduction permet de simplifier le traitement : quand des électrons de valence sont devenus des électrons de conduction, ils ont laissé derrière eux des sites de valence vides que des électrons de valence voisins peuvent venir occuper en libérant leur propre site de valence ; pour éviter d'avoir deux types de porteurs de charge mobile électroniques les électrons de conduction et les électrons de valence sautant d'un site occupé à un site vide, les sites vides sont remplacés par des sites dans lequel on trouve un électron de valence fictif et un trou fictif, le premier ne pouvant pas se déplacer mais le second étant mobile, ainsi quand un site vide   est occupé par un électron de valence du site occupé voisin  , on peut dire que le trou du site vide   recouvre l'électron de valence du site occupé voisin   rendant l'électron de valence de ce site   fictif en même temps que l'électron de valence fictif du site   est rendu réel par le départ du trou, tous les électrons de valence restant fixes, seule leur nature réelle ou fictive étant modifiée, et les porteurs de charge mobiles pour la conduction due aux électrons de valence étant les trous ,
    • dans un semi-conducteur extrinsèque les porteurs de charge mobile sont des électrons de conduction si le semi-conducteur est dopé avec des atomes pentavalents, et des trous si le semi-conducteur est dopé avec des atomes trivalents,
    • dans un électrolyte les porteurs de charge mobiles sont des cations de charge   et des anions de charge    pour une solution de chlorure de sodium   et  , pour une solution de sulfate de sodium   et   ainsi que   et   que l'on trouve dans toute solution aqueuse .
  6. La formule utilisée est établie au paragraphe « notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit » plus bas dans ce chapitre.
  7. Si ces porteurs sont de charge individuelle égale en valeur absolue à la charge élémentaire leur nombre étant   reste très grand et autorise une utilisation de la loi des grands nombres c.-à-d. encore une étude statistique.
  8. A fortiori cela sera vérifié pour la circulation de charge correspondant une très faible intensité pendant une durée macroscopique ou pour la circulation de charge correspondant une intensité plus importante pendant une durée mésoscopique ou macroscopique.
  9. Il ne s'agit bien sûr que d'une continuité apparente de la charge aux échelles mésoscopique et macroscopique, à l'échelle microscopique la charge nécessitant bien sûr de conserver son aspect quantifié, par exemple pour l'explication des réactions aux électrodes dans une électrolyse.
  10. Ce sens est qualifié de « conventionnel » car, dans la plupart des matériaux conduisant plus ou moins l'électricité, il y a deux types de porteurs de charge mobiles circulant en sens inverse (quand un mouvement d'ensemble est imposé) [voir note « 11 » ci-dessous], il y avait donc deux choix possibles ; c'est en   que le français Ampère définit la grandeur « courant » matérialisée par la circulation des deux types de porteurs de charge mobiles en définissant, par convention, le sens du courant comme le sens de circulation de l'un des types de porteurs de charge mobiles, les porteurs de charge mobiles de signe opposé correspondant au sens contraire du courant   mais le choix aurait pu être l'inverse, il s'agit donc d'un choix historique ;
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
  11. Les porteurs de charge de signe opposé se déplaçant effectivement en sens contraire car, pour qu'il y ait déplacement d'ensemble de porteurs de charge mobiles, il faut que le conducteur soit branché dans un circuit dans lequel il y a au moins un générateur qui impose une différence de potentiel (d.d.p.) entre ses bornes par laquelle les porteurs mobiles de charge de signe opposé sont entraînés en sens contraire  cette notion de d.d.p. est vue dans le paragraphe « définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.) » plus bas dans ce chapitre .
  12. Élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.
  13. Sauf dans des cas très particuliers, cette relation ne doit pas être interprétée comme la dérivée d'une grandeur  , car cette dernière n'a en général aucun intérêt physique  circuit basique comprenant un générateur et un conducteur ohmique,   définirait la charge ayant circulé depuis un instant arbitraire choisi comme origine et l'instant   considéré   sans signification physique, par contre dans les exemples de la charge  ou décharge  d'un condensateur et les phénomènes électrolytiques,   a un sens physique  dans le 1er exemple c'est la charge du condensateur et dans le 2ème cela correspond aux charges absorbées ou libérées aux électrodes .
  14.  .
  15. Elle est donc bien élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.
  16. Dans le cas le plus fréquent il y a plusieurs types de porteurs de charge mobile, la relation doit donc être écrite   où la somme est faite sur tous les types  
  17. On rappelle que la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive  ou négative  dans un sens est équivalente à la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle opposée dans l'autre sens ; si ce sont des porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive  ou négative  qui circulent dans le sens   on considère leur nombre et leur charge individuelle mais s'ils circulent dans le sens   on considère leur nombre et la charge opposée de leur charge individuelle.
  18. En effet on rappelle que le sens conventionnel du courant est le sens  respectivement le sens contraire  de déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive  respectivement négative .
  19. En effet si   est  , le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge   étant dans le sens de  , le courant est dans le sens de  ,
       En effet si   est  , le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge   étant dans le sens contraire de  , le courant est encore dans le sens de  .
  20. En effet, dans le générateur, le champ électrique allant de la borne « » à la borne « », les porteurs mobiles de charge individuelle positive sont soumis à une force électrique allant de la borne « » à la borne « » alors que le courant (donc le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive) circule en sens contraire ;
       de même les porteurs mobiles de charge individuelle négative sont soumis à une force électrique allant de la borne « » à la borne « » alors que le courant (donc le sens contraire de déplacement d'ensemble des porteurs de charge négative) circule en sens contraire ;
       ceci établit que la force électrique est résistive dans un générateur.
  21. On rappelle qu'il ne faut pas dire « force électromotrice » car celle-ci a une autre signification (historique) qui n'est absolument pas une force, on dira « force due au champ électromoteur » s'exerçant sur le porteur de charge mobile.
  22. En effet si   est  , le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge   étant dans le sens de  , le courant est dans le sens de  ,
       En effet si   est  , le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge   étant dans le sens contraire de  , le courant est encore dans le sens de  .
  23. Puisque le champ électrique et le champ électromoteur sont de sens opposé.
  24. 24,0 et 24,1 Dans le cours de mécanique les énergies potentielles seront notées   mais ici, en électricité, il y aurait risque de confusion,   étant réservée à la tension, d'où la notation  .
  25. Si   est   son énergie potentielle électrique   dans le sens contraire de   qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice.
  26. 26,0 et 26,1 Une masse étant toujours   il n'y a pas de comparaison possible pour un porteur mobile de charge négative !
  27. 27,0 et 27,1 Ou le sens contraire du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge négative.
  28. Si   est   son énergie potentielle électrique   dans le sens de   qui est aussi le sens contraire du champ électromoteur   et le sens du courant dans la partie génératrice.
  29. Voir le paragraphe « énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  30. L'altitude de   étant nulle sur le sol on dit que la référence de l'altitude est le sol  mais ce choix est arbitraire, si nous intéressons à une expérience réalisée dans une pièce située au quatrième étage d'un immeuble, nous choisirons comme référence de l'altitude le plancher de cette pièce et non le sol où est implanté l'immeuble , simultanément l'énergie potentielle de pesanteur étant nulle au niveau du sol, on dit que la référence de l'énergie potentielle est le sol, le choix de cette référence comme celui de celle de l'altitude étant arbitraire.
  31. Cette position particulière étant l'endroit du circuit électrique où le potentiel électrique est choisi nul, le choix de cet endroit étant arbitraire tout comme l'est l'endroit où l'altitude d'un objet est choisie nulle, cet endroit étant la référence du potentiel électrique et simultanément la référence de l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobile du circuit.
  32. Retenir que le champ électrique est toujours dans le sens   du potentiel électrique.
  33. De même, dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative   dans le sens du courant donc dans le sens de   et, comme   est  , le potentiel électrique   dans le sens de  .
  34. De même, dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative   dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur   et par suite le sens contraire du champ électrique   et, comme   est  , le potentiel électrique qui   dans le sens contraire de  ,   dans le sens de  .
  35. C.-à-d. l'endroit où elle est choisie nulle.
  36. La masse « théorique » d'un circuit est choisie arbitrairement sur ce circuit, la résolution d'un exercice en est indépendante mais le choix d'un point plutôt qu'un autre peut faciliter cette résolution ;
       dans la pratique, un circuit comporte naturellement une masse dans certains appareils car ce point particulier d'appareil est relié à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur comme dans les générateurs B.F. et dans les oscilloscopes, il faut vérifier que ces « masses pratiques » d'appareil sont reliées entre elles car si ce n'est pas le cas tout ce qui les séparent est court-circuité  ce qui peut être très dommageable pour tout ce qui est entre ces « masses pratiques » , il convient donc de relier ces « masses pratiques » si cela est possible ou de les supprimer toutes à l'exception d'une.
  37. Flèche allant du point origine de la d.d.p. vers le point extrémité finale de la d.d.p..
  38. Nous avons vu dans le paragraphe « célérité de propagation d'un signal électrique » et dans la note « 41 » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la célérité de propagation d'une onde électromagnétique dans un diélectrique dépend de sa nature, sa célérité pouvant être inférieure à   mais, quand le diélectrique est remplacé par un conducteur, elle vaut toujours    .
  39. Si l'intensité est périodique, on prendra comme valeur de   la période  .
  40. On rappelle que la longueur d'onde de l'onde électrique est liée à sa période  ou sa fréquence  et à la célérité de propagation de l'onde dans le milieu conducteur par  .
  41. Le domaine des hautes fréquences   va de   à  , il est utilisé par les cibistes, les radioamateurs,
       le domaine des très hautes fréquences   va de   à  , il est utilisé essentiellement par la radiophonie et
       le domaine des ultra hautes fréquences   va de   à  , il est utilisé par la T.N.T., le G.P.S. et le wi-fi.
  42. Le sens   de mesure de l'intensité étant choisi de   vers  , il correspond au sens « entrant » pour   et au sens « sortant » pour  .
  43. C'est ce que nous appellerons, par la suite, la « flèche courant ».
  44. 44,0 et 44,1 Les courants étant considérés comme arrivant au nœud  respectivement repartant du nœud  si le sens   de leur mesure sur les fils de connexion correspondant est dirigé vers le nœud  respectivement dirigé s'éloignant du nœud .
  45. 45,0 45,1 et 45,2 Le résultat est évidemment indépendant du nombre de portions de circuit filiforme reliées au nœud d'une part et du choix des sens   de la mesure des intensités des courants d'autre part.
  46. La « charge mobile » de la sphère étant conservée sur la durée  .
  47. Un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.
  48. On peut remarquer que la loi des nœuds faisant intervenir les intensités des courants en un même point   le nœud   et en un même instant  , ne nécessite pas l'indépendance de ces dernières mesurées à l'instant   relativement au point considéré sur chaque fil de connexion, la loi des nœuds reste donc applicable hors A.R.Q.S. à condition de considérer, en ce même instant  , les intensités des courants sur chaque fil de connexion au nœud et non en un point quelconque en amont du nœud  ce qui, par contre, est possible dans le cadre de l'A.R.Q.S.  !
  49. Une autre forme de la loi des nœuds consiste à choisir les sens   de mesure des courants tous dans le sens arrivant au nœud  ou tous dans le sens repartant du nœud , la loi s'écrivant alors   avec   fils de connexion reliés au nœud.
  50. Le caractère « successif » des nœuds   et   est fondamental pour définir la branche   partant de   pour aller jusqu'à  , on peut alors définir le courant traversant la branche   sans aucune ambiguïté dans la mesure où le sens   y a été précisé.
  51. Ou « montées en dérivation ».
  52. En fait on le choisit   dans la mesure du possible   pour qu'il y ait le plus grand nombre de tensions positives.
  53. De façon plus générale, dans un circuit à   nœuds et   branches où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les