Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : l'œil

Correction de la presbytie

     Tout individu quelque peu âgé est atteint de presbytie : l'œil perd partiellement ou totalement sa faculté d'accommodation ;
     dans ce qui suit nous considérons un presbyte dont les limites de vision distincte sont «$\;0,66\,m\;$ et l'infini ».

Vergence des verres correcteurs pour retrouver la distance minimale de vision distincte d'un œil emmétrope

     Le presbyte précédent désirant lire le journal à une distance de «$\;0,25\,m\;$», quelle est la vergence des verres correcteurs qu'il doit porter pour cela ?

             Le presbyte précédent désirant lire le journal à une distance de «$\;\color {transparent}{0,25\,m}\;$», Préciser la nature de l'image que donne le verre.

Solution

     Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif $\;\ldots$

     Le punctum proximum $\;{\big (}$PP${\big )}\;$ de l'œil corrigé doit être à «$\;25\,cm\;$» devant l'œil, alors qu'il est, pour l'œil non corrigé, à «$\;66\,cm\;$» devant ce dernier ;
         Le punctum proximum $\;\color {transparent}{\big (}$PP$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'œil corrigé doit être à «$\;\color {transparent}{25\,cm}\;$» devant l'œil, il faut donc que le verre correcteur, supposé « accolé au cristallin », fasse correspondre l'objet réel situé à «$\;25\,cm\;$» devant le verre et son image située à «$\;66\,cm\;$» devant ce même verre $\;{\big (}$ce qui correspond à une image, donnée par le verre correcteur, « virtuelle »${\big )}$ ;
         Le punctum proximum $\;\color {transparent}{\big (}$PP$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'œil corrigé doit être à «$\;\color {transparent}{25\,cm}\;$» devant l'œil, on trouve la vergence $\;V\;$ du verre correcteur par application de la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$» soit numériquement «$\;V={\dfrac {1}{-0,66}}-{\dfrac {1}{-0,25}}\;$» et finalement «$\;V=2,5\,\delta \;$».

     Remarque : pour un presbyte non borgne, il est nécessaire qu'il y ait un verre correcteur devant chaque œil, nous supposerons que les deux yeux du presbyte ont le même défaut de presbytie et par conséquent sont corrigés par un verre correcteur de même vergence.

     Les verres correcteurs donnent donc, du journal, une image virtuelle et heureusement droite $\;{\big (}$«$\;p_{i}\;$ et $\;p_{o}\;$» étant de même signe, le grandissement transverse, par chaque verre correcteur est $\;>0\;$${\big )}$.

 

Distance maximale de vision distincte de l'œil « corrigé » précédent

     Préciser jusqu'à quelle distance maximale, le presbyte regardant à travers ses verres correcteurs $\;{\big (}$et non au-dessus${\big )}\;$ pourra-t-il voir ;

     en déduire les limites de vision distincte du presbyte « corrigé ».

Solution

     Quand l'œil presbyte non corrigé n'accommode pas, il voit net un objet situé au punctum remotum c'est-à-dire l'infini, et donc le presbyte ne doit pas mettre de verres correcteurs pour voir les objets situés à l'infini ;

     si toutefois il garde ses verres correcteurs, le punctum remotum $\;{\big (}$PR${\big )}\;$ de chaque œil presbyte « corrigé » $\;{\big (}$correspondant à l'absence d'accommodation${\big )}\;$ sera situé dans le plan focal objet du verre correcteur correspondant soit à l'abscisse de Descartes «$\;f_{o}=-{\dfrac {1}{V}}=-0,40\,m\;$» c'est-à-dire un PR de chaque œil presbyte « corrigé » situé à «$\;40\,cm\;$» devant chaque verre.

     Conclusion : le presbyte « corrigé » $\;{\big (}$c'est-à-dire avec, en permanence, ses verres correcteurs${\big )}\;$ voit donc net entre «$\;25\,cm\;$» $\;{\big (}$position du punctum proximum${\big )}\;$ et «$\;40\,cm\;$» $\;{\big (}$position du punctum remotum${\big )}$.

 

Objectif photographique et profondeur de champ liée à la résolution de l'œil

     On schématise un objectif photographique par une lentille mince de focale image «$\;f_{i}\;$», contre laquelle est placé un diaphragme de diamètre «$\;2\,R\;$» réglable.

     Pour caractériser la plus ou moins grande ouverture du diaphragme, on définit un nombre sans dimension appelé « nombre d'ouverture » et égal à «$\;N={\dfrac {f_{i}}{2\,R}}\;$».

Condition d'observation directe d'une diapositive pour que l'on voit l'image sous le même angle que celui sous lequel l'on voyait l'objet lors de la prise de photographie

     Supposant la mise au point rigoureusement effectuée pour un objet à la distance $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ «$\;x_{o}\;$» en avant de l'objectif,
     Supposant la mise au point rigoureusement effectuée pour l'image étant alors à la distance $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ «$\;x_{i}\;$» derrière ce dernier,
     établir que la condition d'observation directe de la diapositive obtenue pour que l'observateur voit « l'image de l'objet photographié » sous le même angle
     établir que la condition d'observation directe de la diapositive obtenue pour que celui sous lequel il voyait l'objet réel lors de la prise de photographie,
     établir que la condition d'observation directe de la diapositive obtenue est de placer la diapositive à la distance «$\;x_{i}\;$» de son œil.

     Commenter pour un objectif usuel de distance focale image «$\;50\,mm\;$» ou
     Commenter pour un téléobjectif de distance focale image «$\;135\,mm\;$» ;

     comment suggérez-vous de résoudre le problème soulevé ?

Solution

     1^er schéma $\;{\big (}$en bas${\big )}\;$ de disposition d'un objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et de sa diapositive $\;A_{i}B_{i}\;$ par un objectif diaphragmé,
     2^ème schéma $\;{\big (}$en haut${\big )}\;$ de disposition d'un observateur relativement à la diapositive pour que cette dernière soit vue sous le même angle que celui sous lequel l'objet serait vu directement

     Si l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ était à l'abscisse de Descartes «$\;-x_{o}<0\;$» de l'objectif lors de la prise de photographie et
     Si l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ correspondante à l'abscisse de Descartes «$\;x_{i}>0\;$»,
     l'angle non algébrisé sous lequel était vu l'objet est «$\;\alpha ={\dfrac {A_{o}B_{o}}{x_{o}}}={\dfrac {A_{i}B_{i}}{x_{i}}}\;$» ;

     si l'observateur regarde directement l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de la diapositive en la plaçant à la distance $\;d\;$», il la voit sous l'angle non algébrisé «$\;\alpha '$ $={\dfrac {A_{i}B_{i}}{d}}\;$» et ce sera le même angle $\;\alpha \;$ à condition que «$\;\alpha '=\alpha \;$» ce qui se réécrit «$\;{\dfrac {A_{i}B_{i}}{d}}={\dfrac {A_{i}B_{i}}{x_{i}}}\;$» c'est-à-dire «$\;d=x_{i}\;$» ;

     pour un objectif usuel de distance focale image «$\;50\,mm\;$» ou
     pour un téléobjectif de distance focale image «$\;135\,mm\;$»,
     l'abscisse de Descartes de la pellicule lors de la prise de vue est usuellement « proche de la distance focale image » ;
     pour un objectif usuel ainsi, pour voir la diapositive sous le même angle que l'on voyait l'objet,
     pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à la distance focale image de l'objectif c'est-à-dire
     pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à «$\;50\,mm\;$» pour un objectif usuel ou
     pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à «$\;135\,mm\;$» pour le téléobjectif considéré,
     pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance égale à ce qui est, dans chaque cas,
     pour un objectif usuel ainsi, il faudrait placer cette dernière à une distance $\;<\;$ à la distance minimale de vision distincte de «$\;250\,mm\;$» ;

     une façon de remédier à ce problème est que l'observateur utilise un projecteur, formant une image réelle agrandie «$\;A'_{i}B'_{i}\;$» de l'image de la diapositive «$\;A_{i}B_{i}\;$» $\;{\bigg (}$par exemple de grandissement transverse $\;G_{t}\;$ tel que «$\;\vert G_{t}\vert ={\dfrac {A'_{i}B'_{i}}{A_{i}B_{i}}}\;$» suffisamment grand$\!{\bigg )}$ ;
     une façon de remédier à ce problème en plaçant la diapositive à la distance $\;x_{i}\;$ de l'objectif du projecteur, l'écran étant à la distance $\;D\;$ de ce dernier,
     une façon de remédier à ce problème le grandissement transverse créé par le projecteur serait tel que «$\;\vert G_{t}\vert ={\dfrac {D}{x_{i}}}\;$» et
     une façon de remédier à ce problème l'observateur verra l'image sous le même angle $\;\alpha \;$ s'il se place à la distance non algébrisée «$\;X\;$» de l'écran telle que «$\;\alpha ={\dfrac {A'_{i}B'_{i}}{X}}={\dfrac {\vert G_{t}\vert \,A_{i}B_{i}}{X}}={\dfrac {\vert G_{t}\vert \,\alpha \,x_{i}}{X}}\;$» c'est-à-dire
     une façon de remédier à ce problème l'observateur verra l'image sous le même angle $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ s'il se place à la distance non algébrisée «$\;X=\vert G_{t}\vert \,x_{i}\;$» de l'écran du projecteur, la diapositive étant à la distance non algébrisée $\;x_{i}\;$ de ce dernier.

 

Détermination de la profondeur de champ liée à la résolution limitée de l'œil

     En raison des propriétés de la rétine de l'œil, toute tache vue sous un angle «$\;\lesssim \;$ à $\;\varepsilon =1\,'\;{\text{d'angle}}\;$» sera vue, lors de l'observation de l'image par ce dernier, comme un point lumineux.

     Supposant la mise au point rigoureusement effectuée pour une distance $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ «$\;x_{o}\;$» en avant de l'objectif, « des points lumineux situés sur l'axe optique principal à une distance $\;\neq x_{o}\;$», donnent des « faisceaux » convergeant vers une image ponctuelle hors du film, laissant sur ce dernier une tache et non un point ;

     cette tache sera vue ultérieurement comme un point si son diamètre est «$\;\lesssim \;$ à $\;x_{i}\,\varepsilon \;$», ceci nécessitant que «$\;x_{o}\;$» soit compris entre les distances extrêmes $\;{\big (}$non algébrisées${\big )}\;$ «$\;x_{m,\,o}\;$ et $\;x_{M,\,o}\;$», l'intervalle «$\;\left[x_{m,\,o},\,x_{M,\,o}\right]\;$» définissant la « profondeur de champ ».

     Exprimer le minimum et le maximum de profondeur de champ, respectivement «$\;x_{m,\,o}\;$ et $\;x_{M,\,o}\;$», en fonction de la distance focale image «$\;f_{i}\;$»,
     Exprimer le minimum et le maximum de profondeur de champ, respectivement «$\;\color {transparent}{x_{m,\,o}}\;$ et $\;\color {transparent}{x_{M,\,o}}\;$», en fonction du nombre d'ouverture «$\;N\;$» et
     Exprimer le minimum et le maximum de profondeur de champ, respectivement «$\;\color {transparent}{x_{m,\,o}}\;$ et $\;\color {transparent}{x_{M,\,o}}\;$», en fonction de la distance de mise au point «$\;x_{o}\;$».

Solution

Objectif diaphragmé avec mise au point sur $\;A_{o}\;$ et définition du minimum de profondeur de champ pour cette mise au point

     La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance non algébrisée «$\;x_{o}\;$», c'est-à-dire pour le point objet réel «$\;A_{o}\;$» de l'axe optique principal, d'abscisse de Descartes «$\;-x_{o}<0\;$»,
     La mise au point étant rigoureusement faite des points «$\;A'_{o}\;$» situés sur l'axe optique principal entre «$\;A_{o}\;$ et $\;O\;$» donneront des images «$\;A'_{i}\;$» situées derrière la pellicule et par conséquent
     La mise au point étant rigoureusement faite le faisceau issu de «$\;A'_{o}\;$» et limité par le diaphragme, émergera selon un faisceau convergeant en «$\;A'_{i}\;$», laissant une tache $\;{\big (}$et non un point${\big )}\;$ sur la diapositive $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

Objectif diaphragmé avec mise au point sur $\;A_{o}\;$ et définition du maximum de profondeur de champ pour cette mise au point

     la mise au point étant toujours rigoureusement faite pour la distance non algébrisée «$\;x_{o}\;$», c'est-à-dire pour le point objet réel «$\;A_{o}\;$» de l'axe optique principal, d'abscisse de Descartes «$\;-x_{o}<0\;$»,
     La mise au point étant toujours rigoureusement faite des points «$\;{A''}_{\!o}\;$» situés sur l'axe optique principal « en deçà de $\;A_{o}\;$» donneront des images «$\;{A''}_{\!i}\;$» situées devant la pellicule et par conséquent
     La mise au point étant toujours rigoureusement faite le faisceau issu de «$\;{A''}_{\!o}\;$» et limité par le diaphragme, émergera selon un faisceau convergeant en «$\;{A''}_{\!i}\;$», laissant encore une tache $\;{\big (}$et non un point${\big )}\;$ sur la diapositive $\;{\big (}$voir figure ci-contre à gauche${\big )}$ ;

     lors de l'observation de la pellicule par l'œil de l'observateur se plaçant dans les conditions précisées dans la solution de la question « condition d'observation directe d'une diapositive pour que l'on voit l'image sous le même angle que celui sous lequel l'on voyait l'objet lors de la prise de photographie » plus haut dans cet exercice, c'est-à-dire l'œil de l'observateur à la distance «$\;x_{i}\;$» de la diapositive,
     lors de l'observation de la pellicule par l'œil de l'observateur ces taches seront perçues comme des points lumineux si « leur diamètre est $\;<\;$ à $\;x_{i}\,\varepsilon \;$»,

     la mise au point étant rigoureusement faite le point «$\;A_{m,\,o}\;$» de la 1^ère figure ci-dessus à droite étant « le point objet $\;A'_{o}\;$ le plus proche de $\;O\;$ permettant de considérer la tache vue par l'œil comme un point » et
     la mise au point étant rigoureusement faite le point «$\;A_{M,\,o}\;$» de la 2^ème figure ci-dessus à gauche étant « le point objet $\;{A''}_{\!o}\;$ le plus éloigné de $\;O\;$ permettant de considérer la tache vue par l'œil comme un point ».

     $\;\blacktriangleright \;$Expression du minimum de profondeur de champ$\;x_{m,\,o}\;$${\big (}$voir figure ci-dessus à droite${\big )}$ :
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du minimum de profondeur de champ on écrit tout d'abord la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes pour le couple «$\;(A_{o},\,A_{i})\;$» «$\;{\dfrac {1}{x_{i}}}-{\dfrac {1}{-x_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {1}{x_{i}}}=$ ${\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{x_{o}}}={\dfrac {x_{o}-f_{i}}{f_{i}\,x_{o}}}\;$» ou encore «$\;x_{i}={\dfrac {f_{i}\,x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$» puis, en raisonnant dans le cas limite,
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du minimum de profondeur de champ on écrit tout d'abord la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes pour le couple «$\;(A_{m,\,o},\,A_{m,\,i})\;$» «$\;{\dfrac {1}{x_{m,\,i}}}-{\dfrac {1}{-x_{m,\,o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {1}{x_{m,\,i}}}$ $={\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{x_{m,\,o}}}={\dfrac {x_{m,\,o}-f_{i}}{f_{i}\,x_{m,\,o}}}\;$» ou encore «$\;x_{m,\,i}={\dfrac {f_{i}\,x_{m,\,o}}{x_{m,\,o}-f_{i}}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$», enfin,
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du minimum de profondeur de champ les triangles $\;KK'A_{m,\,i}\;$ et $\;HH'A_{m,\,i}\;$ étant semblables, on en déduit «$\;{\dfrac {OA_{m,\,i}}{KK'}}={\dfrac {A_{i}A_{m,\,i}}{HH'}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {x_{m,\,i}}{2\,R}}={\dfrac {x_{m,\,i}-x_{i}}{HH'}}\;$» dont on tire «$\;HH'=$ $2\,R\,{\dfrac {x_{m,\,i}-x_{i}}{x_{m,\,i}}}\;$» qui vaut, dans le cas limite où la tache cesse d'être ponctuelle, «$\;(HH')_{\text{lim}}=\;x_{i}\,\varepsilon \;$» soit finalement, la relation «$\;2\,R\left(1-{\dfrac {x_{i}}{x_{m,\,i}}}\right)=x_{i}\,\varepsilon \;$» ou «$\;1-{\dfrac {x_{i}}{x_{m,\,i}}}=x_{i}\;{\dfrac {\varepsilon }{2\,R}}\;\;({\mathfrak {3}})\;$» ;
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du minimum de profondeur de champ en reportant les formules $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ dans la relation $\;({\mathfrak {3}})$, on obtient «$\;1-{\dfrac {\dfrac {f_{i}\,x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}{\dfrac {f_{i}\,x_{m,\,o}}{x_{m,\,o}-f_{i}}}}={\dfrac {f_{i}\,x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}{\dfrac {\varepsilon }{2\,R}}\;$» ou encore «$\;1-{\dfrac {x_{o}\,(x_{m,\,o}-f_{i})}{x_{m,\,o}\,(x_{o}-f_{i})}}=$ ${\dfrac {x_{o}\,f_{i}\,\varepsilon }{2\,R\,(x_{o}-f_{i})}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;1-{\dfrac {x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}+{\dfrac {x_{o}\,f_{i}}{x_{m,\,o}\,(x_{o}-f_{i})}}$ $={\dfrac {x_{o}\,f_{i}\,\varepsilon }{2\,R\,(x_{o}-f_{i})}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {x_{o}\,f_{i}}{x_{m,\,o}\,(x_{o}-f_{i})}}=-1+{\dfrac {x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}+{\dfrac {x_{o}\,f_{i}\,\varepsilon }{2\,R\,(x_{o}-f_{i})}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {x_{o}}{x_{m,\,o}}}=-{\dfrac {x_{o}-f_{i}}{f_{i}}}+{\dfrac {x_{o}}{f_{i}}}+{\dfrac {x_{o}\,\varepsilon }{2\,R}}\;$» soit
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du minimum de profondeur de champ en reportant les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {3}})}$ «$\;{\dfrac {x_{o}}{x_{m,\,o}}}=1+{\dfrac {x_{o}\,\varepsilon }{2\,R}}\;$» et finalement «$\;x_{m,\,o}={\dfrac {x_{o}}{1+{\dfrac {x_{o}\,\varepsilon }{2\,R}}}}\;$» ou encore,
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du minimum de profondeur de champ en reportant les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {3}})}$ «$\;x_{m,\,o}={\dfrac {x_{o}}{1+{\dfrac {x_{o}\,N\,\varepsilon }{f_{i}}}}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$» sachant que «$\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}\;$».

     $\;\blacktriangleright \;$Expression du maximum de profondeur de champ$\;x_{M,\,o}\;$${\big (}$voir figure ci-dessus à gauche${\big )}$ :
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du maximum de profondeur de champ la position de «$\;A_{i}\;$» ayant été établie dans le sous paragraphe « expression du minimum de profondeur de champ » plus haut dans la solution présente
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du maximum de profondeur de champ la position de «$\;\color {transparent}{A_{i}}\;$» soit «$\;x_{i}={\dfrac {f_{i}\,x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$»,
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du maximum de profondeur de champ on écrit la relation de conjugaison $\;{\big (}$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes pour le couple «$\;(A_{M,\,o},\,A_{M,\,i})\;$» «$\;{\dfrac {1}{x_{M,\,i}}}-{\dfrac {1}{-x_{M,\,o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {1}{x_{M,\,i}}}$ $={\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{x_{M,\,o}}}={\dfrac {x_{M,\,o}-f_{i}}{f_{i}\,x_{M,\,o}}}\;$» ou encore «$\;x_{M,\,i}={\dfrac {f_{i}\,x_{M,\,o}}{x_{M,\,o}-f_{i}}}\;\;({\mathfrak {4}})\;$», enfin,
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du maximum de profondeur de champ les triangles $\;KK'A_{M,\,i}\;$ et $\;HH'A_{M,\,i}\;$ étant semblables, on en déduit «$\;{\dfrac {OA_{M,\,i}}{KK'}}={\dfrac {A_{M,\,i}A_{i}}{HH'}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {x_{M,\,i}}{2\,R}}={\dfrac {x_{i}-x_{M,\,i}}{HH'}}\;$» dont on tire «$\;HH'=$ $2\,R\,{\dfrac {x_{i}-x_{M,\,i}}{x_{M,\,i}}}\;$» qui vaut, dans le cas limite où la tache cesse d'être ponctuelle, «$\;(HH')_{\text{lim}}=\;x_{i}\,\varepsilon \;$» soit finalement, la relation «$\;2\,R\left({\dfrac {x_{i}}{x_{M,\,i}}}-1\right)=x_{i}\,\varepsilon \;$» ou «$\;{\dfrac {x_{i}}{x_{M,\,i}}}-1=x_{i}\;{\dfrac {\varepsilon }{2\,R}}\;\;({\mathfrak {5}})\;$» ;
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du maximum de profondeur de champ en reportant les formules $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {4}})\;$ dans la relation $\;({\mathfrak {5}})$, on obtient «$\;{\dfrac {\dfrac {f_{i}\,x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}{\dfrac {f_{i}\,x_{M,\,o}}{x_{M,\,o}-f_{i}}}}-1={\dfrac {f_{i}\,x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}{\dfrac {\varepsilon }{2\,R}}\;$» ou encore «$\;{\dfrac {x_{o}\,(x_{M,\,o}-f_{i})}{x_{M,\,o}\,(x_{o}-f_{i})}}-1=$ ${\dfrac {x_{o}\,f_{i}\,\varepsilon }{2\,R\,(x_{o}-f_{i})}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}-{\dfrac {x_{o}\,f_{i}}{x_{M,\,o}\,(x_{o}-f_{i})}}-1$ $={\dfrac {x_{o}\,f_{i}\,\varepsilon }{2\,R\,(x_{o}-f_{i})}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {x_{o}\,f_{i}}{x_{M,\,o}\,(x_{o}-f_{i})}}={\dfrac {x_{o}}{x_{o}-f_{i}}}-1-{\dfrac {x_{o}\,f_{i}\,\varepsilon }{2\,R\,(x_{o}-f_{i})}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {x_{o}}{x_{M,\,o}}}={\dfrac {x_{o}}{f_{i}}}-{\dfrac {x_{o}-f_{i}}{f_{i}}}-{\dfrac {x_{o}\,\varepsilon }{2\,R}}\;$» soit
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du maximum de profondeur de champ en reportant les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {4}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {5}})}$ «$\;{\dfrac {x_{o}}{x_{M,\,o}}}=1-{\dfrac {x_{o}\,\varepsilon }{2\,R}}\;$» et finalement «$\;x_{M,\,o}={\dfrac {x_{o}}{1-{\dfrac {x_{o}\,\varepsilon }{2\,R}}}}\;$» ou encore,
     $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Expression du maximum de profondeur de champ en reportant les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {4}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {5}})}$ «$\;x_{M,\,o}={\dfrac {x_{o}}{1-{\dfrac {x_{o}\,N\,\varepsilon }{f_{i}}}}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$» sachant que «$\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}\;$».

 

Application numérique

     Avec «$\;f_{i}=100\,mm\;$» et «$\;N=8\;$», déterminer les minimum et maximum de profondeur de champ, respectivement «$\;x_{m,\,o}\;$ et $\;x_{M,\,o}\;$», pour «$\;x_{o}\;$ variant de $\;1,000\;$ à $\;10,000\,m\;$».

Solution

     Les formules $\;({\mathfrak {a}})\;$ et $\;({\mathfrak {b}})\;$ nous donnent, avec «$\;N=8\;$», «$\;f_{i}=100\,mm=0,100\,m\;$» et «$\;\varepsilon =1\,{\text{' d'angle}}={\dfrac {1}{60}}\,{\text{°}}={\dfrac {\pi }{180\times 60}}\,{\text{rad}}\simeq 2,91\,10^{-4}\,{\text{rad}}\;$»,
     Les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ nous donnent, «$\;x_{m,\,o}={\dfrac {x_{o}}{1+{\dfrac {x_{o}\,N\,\varepsilon }{f_{i}}}}}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1+{\dfrac {x_{o}\times 8\times 2,91\,10^{-4}}{0,100}}}}\;$ avec $\;x_{0}\;$ en $\;m$, soit $\;x_{m,\,o}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1+2,378\,10^{-2}\,x_{o}}}\;$ en $\;m\;$» et
     Les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ nous donnent, «$\;x_{M,\,o}={\dfrac {x_{o}}{1-{\dfrac {x_{o}\,N\,\varepsilon }{f_{i}}}}}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1-{\dfrac {x_{o}\times 8\times 2,91\,10^{-4}}{0,100}}}}\;$ avec $\;x_{0}\;$ en $\;m$, soit $\;x_{M,\,o}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1-2,378\,10^{-2}\,x_{o}}}\;$ en $\;m\;$».

     On obtient le tableau ci-dessous pour les valeurs de distance de mise au point «$\;x_{o}\in \left[1,000\,m\;;\;10,000\,m\right]\;$», les distances du tableau étant en «$\;m\;$» :

$\;{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x_{o}&1,000&2,000&3,000&4,000&5,000&6,000&7,000&8,000&9,000&10,000\\\hline x_{m,\,o}&0,977&1,909&2,801&3,654&4,470&5,253&6,004&6,725&7,418&8,084\\\hline x_{M,\,o}&1,024&2,100&3,230&4,419&6,672&6,995&8,392&9,872&11,440&13,106\\\hline \end{array}}$.

     Commentaires : dans le tableau ci-dessus, on remarque que «$\;x_{o}\;$» n'est pas le centre de l'intervalle de netteté «$\;\left[x_{m,\,o}\;;\;x_{M,\,o}\right]\;$» $\;{\big (}$encore appelé « profondeur de champ »${\big )}\;$ et
     Commentaires : dans le tableau ci-dessus, on remarque que la largeur est d'autant plus grande que $\;x_{o}\;$ l'est ; pour «$\;x=1,000\,m\;$», la largeur est «$\;\Delta x_{o}=4,7\,cm\;$» et
     Commentaires : dans le tableau ci-dessus, on remarque que la largeur est d'autant plus grande que $\;\color {transparent}{x_{o}}\;$ l'est ; pour «$\;x=10,000\,m\;$», la largeur vaut «$\;\Delta x_{o}=5,022\,m\;$».

     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;({\mathfrak {a}})\;$ et $\;({\mathfrak {b}})\;$ que «$\;x_{m,\,o}\;$ et $\;x_{M,\,o}\;$» sont d'autant plus proches de «$\;x_{o}\;$» que «$\;N\;$» est faible,
     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi, en prenant «$\;N=2\;$ au lieu de $\;8\;$», on aurait eu les résultats numériques suivants

     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi, en prenant «$\;\color {transparent}{N=2}\;$ «$\;x_{m,\,o}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1+{\dfrac {x_{o}\times 2\times 2,91\,10^{-4}}{0,100}}}}\;$ avec $\;x_{0}\;$ en $\;m$, soit $\;x_{m,\,o}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1+0,596\,10^{-2}\,x_{o}}}\;$ en $\;m\;$» et
     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi, en prenant «$\;\color {transparent}{N=2}\;$ «$\;x_{M,\,o}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1-{\dfrac {x_{o}\times 2\times 2,91\,10^{-4}}{0,100}}}}\;$ avec $\;x_{0}\;$ en $\;m$, soit $\;x_{M,\,o}\simeq {\dfrac {x_{o}}{1-0,596\,10^{-2}\,x_{o}}}\;$ en $\;m\;$»
     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi, en prenant «$\;\color {transparent}{N=2}\;$ conduisant aux valeurs du tableau ci-dessous :
     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ $\;{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x_{o}&1,000&2,000&3,000&4,000&5,000&6,000&7,000&8,000&9,000&10,000\\\hline x_{m,\,o}&0,994&1,976&2,947&3,904&4,855&5,793&6,720&7,636&8,542&9,438\\\hline x_{M,\,o}&1,006&2,024&3,055&4,098&5,154&6,223&7,305&8,401&9,510&10,634\\\hline \end{array}}$ ;
     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi, en prenant «$\;\color {transparent}{N=2}\;$ pour «$\;x=1,000\,m\;$», la largeur est «$\;\Delta x_{o}=1,2\,cm\;$» et
     Commentaires : D'autre part, on constate sur les formules $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi, en prenant «$\;\color {transparent}{N=2}\;$ pour «$\;x=10,000\,m\;$», la largeur vaut «$\;\Delta x_{o}=1,196\,m\;$».